Introduction

Problématique : « La volonté du peuple », quésaco ?

Des « moi » au « nous »

Allégorie de la volonté du peuple.

Nous présentons ici la problématique dans laquelle s’inscrit cet article. Le principe fondamental de la démocratie est que l’État doit suivre la volonté du peuple. Mais les différents individus qui composent ce peuple, évidemment, ne sont en général pas d’accord entre eux... Pour connaitre la volonté populaire, on doit donc consulter les citoyens par le biais d’un scrutin électoral, dans lequel chacun indique ses préférences entre les différentes options parmi lesquelles il s’agit de choisir (par exemple la validation ou non d’une loi, le choix d’un président, la peine infligée à un accusé, ...). Mais même ainsi, ce que signifie au juste l’expression « volonté du peuple » n’est pas clair : quelle est la bonne façon d’agréger les préférences individuelles de chaque électeur pour en faire émerger une préférence collective ? On entend fréquemment que « c’est la majorité qui doit l’emporter », mais cette règle de la majorité présente trois écueils :

• Déjà, il n’est pas si clair que cette règle soit vraiment équitable : quand 51 % des citoyens sont “plutôt pour” une loi et que 49 % sont “carrément contre”, la volonté du peuple est-elle vraiment en faveur de la loi ? (voir aussi ici).
• D’autre part, ce principe ne peut bien fonctionner que dans le cas d’un référendum, car dès qu’il y a au moins trois options en lice, il est évidemment possible qu’aucune des trois ne recueille la préférence de 50 % des électeurs...
• Pire encore, ce principe aboutit parfois à des décisions contradictoires : il se peut ainsi qu’une option X soit majoritairement préférée à une autre option Y, elle-même majoritairement préférée à une troisième option Z, et que pourtant Z soit majoritairement préférée à X ! (C’est ce qu’on appelle le « paradoxe de Condorcet » ; voir aussi ici).

À vrai dire, de solides arguments philosophiques et mathématiques suggèrent que la meilleure définition de la volonté du peuple serait sans doute de choisir l’option qui maximise le “bonheur total” apporté à la population. Cela correspondrait à une méthode électorale où chaque électeur attribue aux différentes options des “notes” évaluant la “quantité de bonheur” respective que ces options apporteraient pour lui, et où est déclarée vainqueuse l’option qui obtient le meilleur total (voir aussi ici). Nous appellerons cette méthode électorale scrutin utilitariste [1].

Le gros écueil du scrutin utilitariste est cependant qu’il y est facile aux électeurs de “tricher” en déclarant des notes qui ne correspondent pas à leur opinion véritable afin d’amplifier l’impact de leur suffrage personnel. Imaginons ainsi une situation très simple où deux électeurs A et B doivent chacun donner une note entre 0 et 20 à deux options X et Y. L’électrice A, qui aime bien X mais pas du tout Y, donne une note de 15 à X et de 2 à Y. L’électeur B, pour sa part, préfère Y à X mais tolèrerait quand même cette dernière option : s’il mettait ses notes sincèrement, il donnerait ainsi 11 à X et 17 à Y. « Toutefois, se dit B (qui connait les préférences de A), du coup c’est X qui sera élu par 26 à 19... J’ai plutôt intérêt à tricher en exagérant mes préférences : si je donne 0 à X et 20 à Y, le score total deviendra de 15 à 22, et c’est mon choix Y qui gagnera ! ». C’est ce qu’on appelle le problème de la manipulabilité (voir aussi ici), et c’est un sérieux problème, car il n’y a guère de doute que bon nombre d’électeurs n’hésiteront pas à dévoyer le système en leur faveur s’ils le peuvent !

Une faille dans le système...

Allégorie de la manipulation d’une méthode électorale.

But de cet article

Une bonne méthode électorale doit donc non seulement donner une image fidèle de la préférence collective, mais aussi être faite de sorte qu’elle soit difficile à manipuler. Il a été montré dans le premier article qu’il est mathématiquement impossible de trouver une méthode qui soit parfaite de ces deux points de vue à la fois (voir ici). Toutefois, existe-t-il un compromis optimal, une méthode qui serait la seule à présenter une certaine liste de propriétés souhaitables ?

De nombreux exemples de méthodes électorales ont déjà été présentés dans les deux articles précédents ; et certaines d’entre elles semblent particulièrement judicieuses, comme la méthode Schulze (voir ici). Notre but ici ne sera pas de critiquer ces méthodes, mais simplement d’en présenter de nouvelles, auxquelles on n’aurait pas forcément songé à première vue mais qui pourtant jouissent de solides atouts mathématiques. Nous diviserons cet article en trois parties indépendantes, chacune étant consacrée à une telle méthode : respectivement le vote par assentiment, le jugement majoritaire et le « scrutin bipartiludique ». Notez que ces méthodes sont toutes les trois d’invention (ou du moins de mise en exergue) récente, puisqu’ aucune n’a plus de quarante ans !

Le vote par assentiment

Préambule : Manipulation du scrutin utilitariste

Nous avons dit dans l’introduction que, si tous les électeurs étaient parfaitement honnêtes, la méthode électorale idéale serait le scrutin utilitariste, dans lequel chaque électeur donne une note aux différentes options (par exemple entre 0 et 20) et où l’option vainqueuse est alors celle qui obtient le meilleur total. Mais nous avons aussi dit qu’il serait facile à un électeur malhonnête de manipuler un tel scrutin en amplifiant ses préférences véritables... L’idée que nous allons suivre dans cette partie est de regarder, justement, ce qui se passerait avec le scrutin utilitariste si tout le monde votait stratégiquement !

J’affirme que pour maximiser l’impact de son vote dans un tel scrutin, un électeur manipulateur a intérêt à écarter ses notes à l’extrême en ne donnant que des notes de 0 et de 20 aux différentes options. C’est évident quand il n’y a que deux options en lice ; et s’il y a plus de deux options, on peut en fait toujours se ramener plus ou moins au cas binaire : car si le nombre d’électeurs est très grand, la voix d’un électeur individuel ne peut en général rien changer au résultat de l’élection ; à la rigueur, si les deux options arrivées en tête se tiennent dans un mouchoir de poche, la voix d’un électeur peut faire basculer le résultat de l’une à l’autre — auquel cas on est ramené au cas de deux options — ; mais pour avoir réellement trois options ou plus à prendre en compte, il faudrait carrément que ce soient les trois options arrivées en tête qui se tiennent dans un mouchoir de poche, ce qui devient tellement improbable qu’on peut considérer que cela n’arrive jamais ! L’argument donné ci-dessus n’est pas tout à fait rigoureux, mais on peut tout de même démontrer le théorème suivant :

Le système de vote par assentiment

L’idée derrière la méthode du vote par assentiment est maintenant simplissime : pour éviter le développement de stratégies mensongères chez les électeurs, n’autorisons à tout le monde que les notes de 0 et de 20, ce qui coupera l’herbe sous le pied des manipulateurs ! Comme il n’y a alors plus que deux notes, il est plus logique de les renommer en « contre » et « pour », ce qui donne la méthode électorale suivante :

La méthode du vote par assentiment est apparue indépendamment dans les travaux de divers chercheurs aux environs de l’année 1977 [3].

Avec le système de vote par assentiment, la notion de « vote stratégique » est ambigüe, car c’est à l’électeur d’apprécier si une opinion mitigée doit être traduite en pour ou en contre, ce qui fait qu’il y a plusieurs possibilités de vote sincère ! Par exemple, une électrice classant trois options X, Y et Z dans cet ordre peut aussi bien choisir de voter « pour X, contre Y, contre Z » que « pour X, pour Y, contre Z » sans qu’aucun de ces suffrages ne puisse être qualifié de mensonger. Dans ce contexte, il faut donc distinguer « manipulation du scrutin » et « vote stratégique » : même quand on vote sincèrement, il peut y avoir une part de stratégie pour choisir entre les différents votes sincères possibles...

Cette définition posée, nous allons énoncer une propriété remarquable du vote par assentiment, à savoir qu’il ne permet le développement d’essentiellement aucune stratégie mensongère ! En outre, c’est dans un sens la seule méthode qui présente cet avantage, car nous avons vu dans le premier article qu’il n’est pas possible d’éviter les manipulations dès lors qu’on peut classer les options sur trois niveaux ou plus. L’énoncé précis de cette propriété est le suivant :

Le jugement majoritaire

Les inventeurs du jugement majoritaire

Photographies contemporaines de Michel Balinski (à g.) et Rida Laraki (à d.), concepteurs du scrutin au jugement majoritaire.

La méthode électorale que nous allons présenter dans cette partie est elle aussi dérivée du scrutin utilitariste, mais cette fois-ci, au lieu de supposer que tout le monde vote stratégiquement et d’en tirer les conséquences, on va plutôt supposer que quelques personnes votent stratégiquement et chercher comment corriger le scrutin utilitariste afin que le résultat soit le moins possible impacté par ces électeurs manipulateurs.

Imaginons ainsi un scrutin utilitariste auquel 9 électeurs ont participé, et que les électeurs ont mis les notes suivantes à l’option X : 14, 14, 14, 14, 14, 14, 0, 14 et 14. Là, on se dit : « Ouh là ! Il y a consensus à une voix près pour dire que X vaudrait 14 ; c’est sans doute que X vaut réellement 14 et que le vote de la septième électrice est un vote manipulatoire, donc ne méritant pas d’être pris en compte ! », de sorte qu’on a envie de décréter que la moyenne “authentique” de X est 14 [5]. On peut pousser ce principe un peu plus loin, en disant que s’il y a une majorité stricte d’électeurs qui ont mis exactement la même note, celle-ci doit correspondre à la note globale. Par ailleurs, il semble évident de requérir que, si l’un des électeurs modifie la note qu’il a mise à une option X pour la remplacer par une note plus élevée, cela ne pourra faire qu’augmenter la note globale de X (éventuellement cette note globale pourra rester la même si on estime que notre électeur est en train de faire usage de stratégie, mais en aucun cas elle ne devra baisser !).

Il se trouve que, dès lors qu’on a retenu ces deux principes, il n’y a en fait qu’une seule façon possible de déterminer la note globale en fonction des notes individuelles ! Imaginons par exemple que les notes mises par nos 9 électeurs pour une option Y soient, par ordre décroissant, 20, 11, 8, 8, 6, 5, 3, 0 et 0 ; et essayons de voir quelle pourrait être la note globale N correspondante. Si les quatre premiers électeurs diminuaient leur note pour tous la remplacer par « 6 », la distribution des notes deviendrait « 6, 6, 6, 6, 6, 5, 3, 0, 0 », et la note globale serait alors de 6 vu qu’il y aurait une majorité stricte pour cette note. Mais comme, au cours de cette modification de notes, il n’y aurait eu que des diminutions, la note globale ne pourrait qu’avoir diminué, de sorte que N était nécessairement supérieur ou égal à 6. Inversement, si les quatre derniers électeurs montaient leur note à « 6 », la distribution devenant alors « 20, 11, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6 » avec une majorité de « 6 », la nouvelle note globale serait de 6, ce qui implique que N était initialement inférieur ou égal à 6. Au bout du compte, il n’y a qu’une seule possibilité : N est forcément égal à 6. On peut immédiatement généraliser ce raisonnement pour obtenir le

Cela nous amène à la méthode électorale qui fait l’objet de cette partie :

Le scrutin au jugement majoritaire a été mis au point en 1996 par deux chercheurs du CNRS : l’américain Michel Balinski et le marocain Rika Laraki.

Avant de clore ce paragraphe, signalons enfin que l’idée d’attribuer à chaque option sa note médiane est aussi liée au critère de Condorcet qui faisait l’objet de notre second article : en effet, si un vote est organisé pour choisir la note attribuée à une option donnée, la note médiane est alors la vainqueuse de Condorcet parmi toutes les notes possibles, en vertu du premier théorème de l’électeur médian.

Le scrutin bipartipludique, ou « scrutin de Condorcet randomisé » (piste rouge)

La méthode que nous allons présenter dans cette partie est un peu plus compliquée, mais c’est une curiosité mathématique qu’il m’aurait semblé dommage de ne pas mentionner.

Nous savons que la question de l’expression démocratique est très simple à résoudre dans le cas où il n’y a que deux options en lice (par exemple pour un référendum), puisqu’il n’y a alors qu’à choisir l’option qui remporte le plus de suffrages — c’est là une règle clairement démocratique, et qui ne prête le flanc à aucune stratégie manipulatoire de la part des électeurs (voir aussi ici). C’est d’ailleurs l’idée qui sous-tend le scrutin uninominal majoritaire à deux tours (dans lequel un second tour décisif est organisé entre les deux candidats arrivés en tête à l’issue du premier — méthode utilisée notamment pour les élections présidentielles françaises) : autant on peut ergoter sur la pertinence des résultats du premier tour, autant le second ne prête à aucune contestation de par sa nature binaire !

Dans nombre de démocraties, le système de scrutin est fait de sorte que cette situation binaire peut se retrouver jusque dans la composition des partis politiques, deux partis hégémoniques écrasant tous les autres [6] — l’exemple archétypique d’un tel phénomène étant les États-Unis. Imaginons maintenant un pays dans lequel n’existent que deux partis, que par allusion nous appellerons respectivement « Démocrate » et « Républicain ». Nous faisons l’hypothèse que ces deux partis n’ont aucune ligne politique déterminée a priori : leur seul objectif est la conquête du pouvoir, et ils sont prêts pour cela à suivre aveuglément le vent de l’opinion publique. Justement, une élection présidentielle approche, et les partis doivent publier leurs programmes, programmes en fonction desquels les électeurs voteront pour l’un ou pour l’autre. Nous imaginons qu’il n’y a que trois programmes politiques envisageables (les mêmes pour les deux partis) : un programme appelé « pierre », un programme appelé « feuille » et un programme appelé « ciseaux ». On suppose que les préférences des électeurs au sujet de ces programmes sont les suivantes :

• Dans le cas d’une confrontation pierre contre feuille, feuille l’emporterait ;
• Dans le cas d’une confrontation pierre contre ciseaux, pierre l’emporterait ;
• Dans le cas d’une confrontation feuille contre ciseaux, ciseaux l’emporterait. [7]

La question est alors : que va-t-il se passer ?

Remarquons d’abord que les états-majors des partis se moquent complètement de savoir par quels scores auraient lieu les victoires de feuille sur pierre, de pierre sur ciseaux ou de ciseaux sur feuille. Remarquons aussi que dans la situation que nous avons décrite, si l’un des deux partis (mettons le parti Démocrate) doit présenter son programme avant l’autre, il est certain de perdre : il suffira en effet aux Républicains de proposer feuille si les Démocrates ont proposé pierre, de proposer ciseaux s’ils ont proposé feuille, et de proposer pierre s’ils ont proposé ciseaux. La situation n’est donc intéressante que si les deux partis doivent présenter leurs programmes en même temps. Mais alors, qu’avons-nous là ? Eh oui, vous l’avez compris : c’est exactement comme si les deux partis jouaient à chifoumi ! De façon générale, les programmes politiques envisageables peuvent être en nombre quelconque, et les électeurs peuvent avoir n’importe quelles préférences entre ces programmes ; mais l’idée reste la même, c’est pourquoi nous appellerons également « chifoumi » les variantes suivantes :

Jeu de chifoumi standard

La pierre est battue par la feuille (qui l’enveloppe) ; la feuille est battue par les ciseaux (qui la découpent) ; et les ciseaux sont battus par la pierre (qui les émousse).

Il se trouve que la théorie mathématique des jeux de chifoumi a été étudiée de longue date et est aujourd’hui parfaitement comprise ; en particulier, on sait déterminer la stratégie optimale pour ces jeux. Ce qui est fascinant ­— mais ne surprendra guère ceux d’entre vous y ayant déjà joué —, c’est que cette stratégie optimale consiste à jouer d’une certaine façon... aléatoire ! [8] Nous n’avons malheureusement pas la place ici de présenter en détail ce domaine passionnant des mathématiques qu’est la « théorie des jeux » ; nous nous contenterons donc d’énoncer les définitions et les résultats indispensables pour cet article :

Le grand théorème sur les jeux de chifoumi est alors le suivant :

Le bloc dépliable suivant présente quelques exemples de stratégies optimales :

Maintenant que nous avons ce vocabulaire en main, nous pouvons présenter le « scrutin bipartiludique » :

L’origine du scrutin bipartiludique semble remonter à une publication de Laffond, Laslier & Le Breton en 1993. Je me suis appuyé pour écrire le présent texte sur la présentation qu’en fait Myerson dans son article cité parmi les références.

Ainsi le scrutin bipartiludique donne, de manière générale, une vainqueuse aléatoire ! Cela rappelle le « scrutin stochocratique » évoqué dans le premier article. Toutefois, la vainqueuse d’après le scrutin bipartiludique est beaucoup moins arbitraire qu’avec le scrutin stochocratique ; dans de nombreux cas, elle n’est même pas aléatoire du tout :

Notez que dans les situations de la vraie vie, il existe quasiment toujours une vainqueuse de Condorcet [11] ; ainsi, le caractère aléatoire du scrutin bipartiludique a beau en être une propriété théorique essentielle, en pratique il apparaît comme un détail !

Dans le deuxième article, nous avons dit que le fait d’être une méthode de Condorcet était une forme de robustesse à la manipulation (voir ici). Le scrutin bipartiludique est même particulièrement robuste à la manipulation :

Le théorème ci-dessus ne semble guère impressionnant... Pourtant, le scrutin bipartiludique est la seule méthode de Condorcet qui le vérifie ! Nous ne démontrerons pas ce point ici ; cependant nous allons montrer comment, par exemple, la « méthode Schulze » que nous avions présentée dans le second article pourrait se prêter à la manipulation :

Références

• Sur le vote par assentiment : Approval Voting, 2^e édition, par S. Brams & P. Fishburn ; Springer éd. (2007). Niveau piste rouge (en anglais).
• Sur le jugement majoritaire : Ne votez pas, jugez !, par M. Balinski & R. Laraki ; Pour la Science n^o 414, pp. 22–28 (2012). Niveau piste bleue.
• Sur le « scrutin bipartiludique » : Fundamentals of Social Choice Theory, par Roger B. Myerson ; texte librement disponible sur l’internet (1996). Niveau hors-piste (en anglais).
• Sur l’utilisation pratique des différentes méthodes électorales : Le suffrage universel inachevé, par M. Balinski ; Belin éd. (2004). Niveau piste verte.