La regla de tres

Piste verte Le 22 novembre 2008  - Ecrit par  François Sauvageot
Le 15 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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La regla de tres es una receta utilizada para calcular en situaciones de proporcionalidad. Su símbolo -una cruz- no es muy intuitivo para describir una situación que los matemáticos califican como lineal, y que representan mediante una recta. Es una noción sutil que se acerca a la de la fracción.

La proporcionalidad

Una situación es proporcional cuando partes iguales contribuyen al todo de la misma forma.

Ejemplo. Supongamos que para hacer panqueques para 8 personas se necesitara :

  • 250g de harina,
  • 4 huevos,
  • medio litro de leche,
  • 50g de mantequilla.

Dividiendo todos los ingredientes en dos partes iguales, se podrá hacer panqueques para 4 personas. Si no hubiera más que 2, se podría dividir de nuevo estas cantidades en 2, es decir :

  • 62,5g de harina,
  • 1 huevo,
  • 125ml de leche,
  • 12,5g de mantequilla.

Si formáramos 4 montones que tuvieran cada uno esta lista de ingredientes, podríamos hacer con cada uno de ellos panqueques para 2 personas. Con dos montones nuestras cantidades nos alcanzan para 4 personas, y con 4 montones nos alcanzan para 8 personas.
Y de esa forma, si fuéramos 6 personas bastaría con usar 3 de estos montones.

Como el huevo no es divisible en dos partes, con esta idea se puede encontrar la cantidad de ingredientes para hacer panqueques para un número par de invitados, tomando tantos montones como parejas de invitados haya. Si fuésemos un número impar, habría que hacer un poco menos o un poco más de la cantidad prevista por la receta.

Esta situación puede resumirse en un cuadro de proporcionalidad

Número de invitados 2468
Harina 62,5g125g187,5g250g
Huevos 1234
Leche 125ml1/4 l375ml1/2 l
Mantequilla 12,5g25g37,5g50g

o incluso mediante un gráfico.

Diversas situaciones

Algunas situaciones dependen de la proporcionalidad, o se reducen a ella, al menos en cierta medida.

  • Tomar una escala común de medida permite razonar rápidamente. En el ejemplo anterior, la unidad de medida es el número de invitados. Pero se habría podido tomar el número de huevos o la cantidad de leche. ¡A veces uno está limitado por lo que hay en su refrigerador !
  • Otro ejemplo corriente es convertir en valor monetario. Pero muy a menudo el valor de los objetos no es lineal, es decir, no es proporcional al número de objetos. En efecto, con frecuencia hay rebajas por compras al por mayor. En otras palabras, el precio por unidad es más alto que el precio por una compra en gran cantidad.
  • Por lo tanto, lo más habitual es que una situación no resulte proporcional sino hasta cierto límite. Uno no proyecta hacer panqueques para un millón de invitados, y si cocina panqueques para 50 personas, 1 huevo no hace diferencia. Además, nuestro ejemplo se trata ante todo de órdenes de magnitud. Uno usará un poco más de 50 g de harina y no necesariamente justo 62,5g. Las situaciones corrientes son con frecuencia situaciones aproximadas.

Pero algunas situaciones no dependen en absoluto de la proporcionalidad.

  • La distancia de frenado no se relaciona simplemente con el tiempo de reacción del conductor. Si él o ella tarda dos veces más en reaccionar, el automóvil recorrerá de seguro bastante más que dos veces mayor distancia antes de detenerse.
  • El tiempo que demora un atleta tampoco es proporcional a la distancia que recorre. El récor del mundo en 400mts es superior más de dos veces al récor del mundo en los 200mts. Durante una carrera de 10.000mts las primeras vueltas se dan a velocidades diferentes de las últimas vueltas.
  • El costo de una carrera en taxi incluye un valor inicial al cual se añade una suma que es proporcional a la cantidad de kilómetros recorridos.
  • Algunos fenómenos son cuadráticos. El peso de un disco (homogéneo) de metal no es proporcional a su radio, sino al cuadrado de su radio.

En realidad hay toda clase de variaciones de una cantidad en función de otra y la situación de proporcionalidad es la más simple, así que uno siempre trata -en lo posible- de recurrir a ella.

La cuarta proporcional y la regla de tres

La cuarta proporcional es el cuarto número a colocar en un cuadro de proporcionalidad en el cual 3 de 4 casillas ya están llenas. Este cuarto número se obtiene realizando el producto de los números situados sobre una misma diagonal y dividiéndolo por el tercer número.

Article original édité par François Sauvageot

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La regla de tres» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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