La regula falsi

Piste verte Le 5 juin 2017  - Ecrit par  Jérôme Gavin, Alain Schärlig Voir les commentaires (5)

Nos amis des bords du lac Léman, Jérôme Gavin et Alain Schärlig, nous invitent à nous promener dans de vieux problèmes de fausse position médiévaux, un sujet auquel ils ont consacré un livre [1] cité en bibliographie. Nous les remercions chaleureusement de leur envoi et vous proposons de les suivre, dans une version adaptée afin qu’elle s’insère dans notre rubrique.

Quand un humoriste veut se moquer des maths – ou de ceux qui les enseignent ! – il le fait le plus souvent en brodant sur une histoire de robinets qui coulent, ou de baignoires qui se vident. Et c’est de bonne guerre pour capter la sympathie de son auditoire, car dans la mémoire de nombreux adultes ces énoncés évoquent de mauvais souvenirs. Et ils font même monter en eux des désirs de vengeance.

Or si ces problèmes ont fait chauffer – et font encore chauffer – les méninges de tant d’élèves, c’est tout simplement parce qu’ils sont victimes d’une erreur de casting : on se croit obligé de les résoudre par l’algèbre et, dans ce cas, ils sont ardus ; alors qu’ils peuvent être résolus très facilement et par une méthode bien plus accessible.

Ils ont été inventés en effet des centaines d’années avant l’algèbre, pour illustrer de manière ludique – et facile – un autre mode de résolution : mal nommé en français la fausse position et mieux désigné par les maîtres de calcul allemands de la Renaissance (qui aimaient le latin) comme la regula falsi – la règle du faux –, ce procédé a permis à de nombreuses civilisations antiques de progresser sans connaître l’algèbre. On en trouve notamment des traces chez les anciens Egyptiens, deux mille ans avant notre ère, tandis que l’algèbre n’est arrivée en Europe qu’au XIIIe siècle et n’a été utilisable efficacement dans nos contrées qu’à partir du XVIIe.

On a ainsi pu résoudre, pendant des siècles, tous les problèmes que nous appelons du premier degré, et notamment ceux qui mettent en jeu des robinets. Mais ces exemples étaient tellement entrés dans les mœurs qu’on n’a pas vu, quand on s’est mis à enseigner l’algèbre, qu’ils étaient inadéquats… et plus du tout amusants. Ils sont donc restés dans la collection, par pure tradition !
Concentrons-nous donc sur les histoires de liquide, qui sont notre sujet : celles où il est question de robinets, de citernes, d’étangs, de fontaines ou encore de baignoires. On en trouve tout au long de l’histoire du calcul.
Et la plus ancienne se trouve à notre connaissance dans les Neuf chapitres, un ouvrage de calcul chinois que certains datent du IIe siècle avant notre ère. Cet énoncé n’est pas là pour amuser la foule. Son rôle est d’illustrer la méthode de la fausse position par un exemple tiré de la vie de tous les jours : un étang est alimenté par cinq canaux de débits différents et l’élève doit calculer combien de temps il faudra pour le remplir. Nous y reviendrons au problème 2.
Voici d’abord un exemple moderne illustrant la méthode de fausse position.

Problème 1 : un bassin et quatre robinets

Un bassin vide est alimenté par quatre robinets. Le premier pourrait le remplir en 1 heure, le deuxième en 2 heures, le troisième en 3 heures et le quatrième en 6 heures. Combien de temps faudra-t-il pour le remplir si l’on ouvre les quatre robinets à la fois ?

Solution 1

Le truc est à la portée de tous : on commence par imaginer un résultat, sachant bien que le nombre choisi est faux, puis on le pose provisoirement comme s’il était juste. D’où le nom de fausse position.
Faux pour faux, on choisit un nombre confortable, qui sera facile à travailler. Ici, compte tenu de l’énoncé, on choisit 6 heures. Puis on essaie, en sachant qu’avec ce nombre on n’arrivera pas au résultat voulu : en 6 heures, le premier robinet remplirait 6 fois le bassin ; le deuxième le remplirait 3 fois, le troisième 2 fois et le dernier 1 fois. Soit en tout 12 bassins, ce qui est beaucoup trop. Mais… si, en 6 heures, on remplit 12 bassins, alors combien d’heures faudra-t-il pour n’en remplir qu’un ? La réponse est évidente, c’est une demi-heure !

Commentaire

Ici le calcul saute aux yeux. Parce que ces problèmes de robinets sont un cas particulier de la fausse position dans lequel il suffit de diviser la valeur fausse par le résultat faux. Dans le cas général, quand on applique la fausse position à d’autres problèmes, l’affaire se termine un peu moins facilement : il faut passer par une règle de trois, qui ne se calcule pas toujours de tête. Nous commentons le procédé dans un post scriptum, car c’est un peu en-dehors de notre sujet.

Problème 2 : Le remplissage de l’étang chinois

La plus ancienne apparition de la méthode de fausse position se trouve à notre connaissance dans les Neuf chapitres [2], un ouvrage de calcul chinois que certains datent du IIe siècle avant notre ère.
Regardons le problème de l’étang chinois. Un étang est alimenté par cinq canaux de débits différents et l’élève doit calculer combien de temps il faudra pour le remplir. Le premier canal le remplirait en un tiers de jour, le deuxième en un jour, le troisième en deux jours et demi, le quatrième en 3 jours et le cinquième en 5 jours. Si au départ l’étang est vide, combien de temps faudra-t-il pour le remplir si l’on ouvre les cinq canaux ?
Notre suggestion : essayer avec 15 jours

Solution 2

La valeur fausse qui semble la plus pratique est ici 15 jours. Essayons : à lui seul, le premier canal remplirait 45 fois l’étang, le deuxième 15 fois, le troisième 6 fois, le quatrième 5 fois et le dernier 3 fois. Donc, tous ensemble et en 15 jours, ils rempliraient l’étang 74 fois. Mais on ne veut le remplir qu’une fois. On divise donc 15 (valeur fausse) par 74 (résultat faux) et on trouve un cinquième de jour et quelques broutilles (environ 4 h 52). Remarquons que l’auteur chinois s’y prend autrement : il choisit 1 jour, ce qui l’entraîne à des calculs plus ardus : les canaux rempliraient respectivement 3 étangs, 1 étang, 2/5 d’étang, 1/3 d’étang et 1/5 d’étang ; soit en tout 4 étangs et 14/15 ; après quoi la division de 1 (valeur fausse) par 14 14/15 (résultat faux) lui donne le résultat.

Problème 3 : un lion grec, au Ve siècle

L’étang chinois est le plus ancien problème connu dans la famille des robinets. Mais en voici un autre, dû vraisemblablement à Métrodore, un auteur grec du Ve siècle de notre ère, quand le jour était compté pour 12 heures.
Je suis Lion de bronze. Mes deux yeux, ma gueule et le creux de mon pied droit sont autant de fontaines. Pour remplir le bassin, mon œil droit met 2 jours, mon œil gauche en met 3 et mon pied en met 4 ; à ma gueule, il suffit de 6 heures. Quel temps vont mettre, réunis, mes yeux, mon pied et ma gueule ?
Notre suggestion : essayer avec 12 jours

Solution 3

Prenons 12 jours, une valeur manifestement trop grande mais bien adaptée au problème. Pendant cette durée l’œil droit remplirait 6 bassins, le gauche 4, le pied 3 et la gueule 24. Soit en tout 37 bassins. Alors si 12 donne 37, qu’est-ce qui donnera 1 ? On divise 12 par 37 et on trouve un peu moins d’un tiers de jour, soit un peu moins de 4 heures grecques (pour nous : 7 heures et 47 minutes environ).

A quelques siècles de là, en 1202, c’est Léonard de Pise [3] qui propose à son tour quelques problèmes de robinets dans son Liber abaci, un livre qui a fait connaître les chiffres arabes en Europe et par là-même le calcul écrit (qui n’était pas possible avec les chiffres romains). Perdus dans les 426 pages du manuscrit, quelques énoncés mettent en jeu une cuve pourvue de quatre ouvertures, puis la même alimentée par quatre tuyaux, puis un autre récipient comportant quatre trous superposés et posant des problèmes de plus en plus compliqués. Voici le premier, qui est aussi le plus simple.

Problème 4 : Une cuve à Pise, en 1202

Une cuve a quatre ouvertures. Par la première, la cuve peut être vidée en 1 jour, par la deuxième en 2, par la troisième en 3 et par la quatrième en 4 ; on demande en combien d’heures la cuve se videra si lesdites quatre ouvertures sont ouvertes en même temps.
Notre suggestion : essayer avec 12 jours

Solution 4

Léonard choisit 12 jours. Pendant ce temps, la première ouverture va vider la cuve 12 fois, la deuxième 6 fois, la troisième 4 fois et la quatrième 3 fois. Soit en tout 25 fois. Alors si 12 donne 25, la réponse sera 12/25 de jour ; et puisqu’il demande des heures, l’auteur propose de multiplier 12/25 par 12 – les jours sont donc aussi de 12 heures pour lui – ce qui fait un peu moins de 6 heures pour vider la cuve (11 heures 30 environ pour nous).

Problème 5 : Un récipient à Byzance, au XIVe siècle

Un autre problème historique nous vient de Byzance [4] et date du XIVe siècle. Celui-ci se calcule réellement de tête.

Un récipient est pourvu de cinq tuyaux. Le premier tuyau le remplit en deux heures, le deuxième en trois heures et le troisième en quatre heures ; mais dans le même temps, le quatrième le vide en six heures et le cinquième en quatre heures. Si tous les tuyaux sont ouverts en même temps, au bout de combien d’heures le récipient déborde-t-il ?
Cet énoncé a connu d’innombrables variantes, avec notamment un robinet d’eau chaude, un d’eau tiède et un d’eau froide, placés sur une baignoire dont le bouchon n’est pas bien posé et dans laquelle un saboteur à percé un trou…
Notre suggestion : essayer avec 12 heures

Solution 5

Choisissons une fausse position de 12 heures et comptons le nombre de fois que le récipient va se remplir pendant cette durée. On trouve 8, ce qui est trop ; puis on divise 12 par 8, ce qui donne 1,5 ; le débordement aura donc lieu au bout d’une heure et demie.

Johann Widmann a écrit l’un des plus anciens livres [5] de calcul en allemand, publié à Leipzig en 1489. C’est dans ce livre que sont notamment apparus pour la première fois les signes plus et moins. Et on y trouve évidemment un passage sur la fausse position.

Problème 6 : Un tonneau à trois ouvertures, à Leipzig en 1489

Il s’agit de l’histoire d’un tonneau plein d’eau, percé de trois ouvertures plus ou moins larges, elles-mêmes fermées par des bouchons plus ou moins gros. Quand on retire le plus gros bouchon, l’eau sort en 1 heure ; quand on enlève le deuxième bouchon, l’eau sort en 2 heures ; et quand on retire le plus petit bouchon, l’eau sort en 3 heures. On demande en combien de temps le tonneau se videra si l’on retire les trois bouchons à la fois.
Notre suggestion : essayer par vous-même.

Solution 6

Widmann propose une durée de 6 heures. Par la première bonde, le contenu sortira 6 fois ; par la deuxième 3 fois et par la troisième 2 fois. Au total 11 fois. On divise 6 par 11, ce qui donne 6/11 d’heure ou 32 minutes et 44 secondes à peu près.


On peut remarquer que l’illustrateur n’avait certainement pas compris le problème, car, avec des ouvertures correspondant aux bouchons telles qu’il les a dessinés, le tonneau ne se viderait jamais complètement !

Robert Recorde était gallois et médecin. A ce titre, il soignait le roi d’Angleterre à Londres. Mais cela ne l’a pas empêché d’écrire l’un des plus anciens livres de calcul en anglais [6], paru en 1552. Au chapitre de la fausse position, son exemple est une citerne comportant quatre robinets ; donc un problème très semblable au tonneau de Widmann.
On peut noter en passant que dans un second livre, daté de 1557, Recorde a défini le signe égal – et l’a utilisé pour la première fois –, complétant ainsi l’ invention du plus et du moins de Widmann.

Problème 7 : Une citerne à Londres, en 1552

Une citerne pourvue de quatre robinets contient 72 barils d’eau. Quand le plus gros robinet est ouvert, l’eau en sort en 6 heures ; avec le deuxième, cela prend 8 heures ; avec le troisième, 9 heures ; et avec le quatrième, cela nécessite 12 heures. On demande combien de temps il faudra pour vider la citerne si tous les robinets sont ouverts.
Notre suggestion : essayer avec 72 heures

Solution 7

Si l’on procède comme dans les problèmes précédents, on peut choisir 72 heures : la citerne se videra 12 fois par le premier robinet, 9 fois par le deuxième, 8 fois par le troisième et 6 fois par le quatrième. Donc 35 fois en tout. On divise 72 par 35 et on trouve 2 heures et quelques minutes. Notons que dans son livre, Recorde s’y prend autrement, en choisissant la voie qui apparemment fatigue le moins les méninges : il compte le nombre de barils qui s’écoulent et choisit 2 heures. La fuite est alors de 24 barils par le premier robinet, 18 par le deuxième, 16 par le troisième et 12 par le quatrième. Soit 70 barils. Or on devrait trouver 72… et la simple division ne suffit plus ! C’est une vraie règle de trois qu’il faut mettre en œuvre : multiplier 2 (valeur fausse) par 72 (résultat juste), puis diviser par 70 (résultat faux) ; ce qui donne aussi – évidemment ! – 2 heures et quelques minutes.

Remarques finales

Dans le cas général, le procédé de la fausse position aboutit in fine à une règle de trois : on multiplie la valeur fausse qu’on a choisie par le résultat juste qu’on doit atteindre, puis on divise ce produit par le résultat faux qu’on a trouvé. Dans notre premier exemple, on multiplierait 6 heures, valeur fausse, par 1 bassin, résultat à trouver ; puis on diviserait par 12 bassins, résultat faux.
Or dans les problèmes de robinets qui nous intéressent, le résultat qu’il faut trouver est en général 1. C’est donc encore plus simple : la multiplication par 1 est sous-entendue, ce qui fait qu’on se contente de diviser la valeur fausse par le résultat faux.
Mais quoi qu’il en soit, les calculs sont extrêmement réduits même dans le cas général. Tout ce qu’il faut calculer, c’est une multiplication et une division, ce qui est vraiment peu. Au pire, cela nécessite de recourir à un morceau de papier et à un crayon.
Restons dans les mathématiques pour souligner encore ceci : pour pouvoir appliquer la règle de trois, il faut qu’il y ait proportionnalité dans l’histoire racontée ; en conséquence, la fausse position simple, c’est-à-dire celle que nous avons évoquée ici, ne peut malheureusement être utilisée que pour résoudre les problèmes linéaires du premier degré. C’est certainement ce qui lui a valu de disparaître.

Nous reprendrons le thème de la linéarité dans d’autres articles, à suivre…

Post-scriptum :

C’est pourtant simple !

Ainsi, tout au long de l’Histoire, les problèmes de robinets ont servi d’exemples pédagogiques simples. Jusqu’à ce qu’on mette en congé la fausse position et qu’on s’obstine à les faire résoudre par l’algèbre, avec laquelle ils ne sont plus simples. Et c’est ainsi que de beaux problèmes ont acquis une mauvaise réputation. Quel dommage !

Article édité par Jean-Pierre Escofier et Sébastien Kernivinen.

Article édité par Ilia Itenberg

Notes

[1GAVIN Jérôme et SCHÄRLIG Alain [2012] – Longtemps avant l’algèbre : la fausse position ; ou comment on a posé le faux pour connaître le vrai, des Pharaons aux temps modernes, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 224 p.

[2CHEMLA Karine et SHUCHUN Guo [2004] – Les neuf chapitres, le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Dunod, Paris, 1119 p.

[3BONCOMPAGNI Baldassare [1857] – Scritti di Leonardo Pisano, volume I, Il Liber Abbaci di Leonardo Pisano pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C. I, 2616, Badia Fiorentina, N° 73, Rome, 459 p.

[4VOGEL Kurt [1968] – Ein Byzantinisches Rechenbuch des frühen 14. Jahrhundert, Hermann Böhlaus Nachfolger, Wien, 173 p.

[5WIDMANN Johannes [1489] – Behende und hübsche Rechenung auff allen kauffmanschaft, imprimé par Conrad Kacheloffen, Leipzig, 236 folios non numérotés.

[6RECORDE Robert [1573] – The Ground of Arts, Teachyng The Perfect Worke And Practice of Arithmetike, R. Wolfe, Londres, 251 folios non numérotés. Reproduction en facsimilé par Early English Books Online, sans date ni lieu.

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Pour citer cet article :

Jérôme Gavin, Alain Schärlig — «La regula falsi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

  • La regula falsi

    le 6 juin à 17:23, par fakbill

    Ce qui est dramatique du point de vue de l’ingénieur ou du physicien est qu’une bonne partie des problèmes de robinets ne sont pas modélises correctement. Combien de générations d’élèves auront pensé que, à l’évidence, la hauteur d’eau dans une baignoire donc l’évacuation est ouverte est une fonction *linéaire* du temps ? Trop. Cela fait partie de ces problèmes de calculs purs auxquels on donne une fausse « coloration physique » sans se soucier du fait que la modélisation est totalement fausse. Feynman hurlait contre ce genre de pratiques. Un élève qui aurait fait l’expérience aurait été surpris du résultat. Faire des approximations, c’est l’âme de la physique….mais là le modèle est grossièrement faux. Cela dit, remettre en cause une chose apprise n’était probablement pas trop dans l’air du temps à l’époque des problèmes de robinets.

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    • La regula falsi

      le 6 juin à 22:22, par Jérôme Gavin

      On aurait donc demandé à des générations d’élèves de résoudre des problèmes de baignoires qui se vident avec un modèle physique grossièrement faux et en les forçant à utiliser un outil mathématique peu adapté à la situation. Il ne semble donc pas très étonnant que ces problèmes aient acquis une mauvaise réputation.
      Cela dit, les problèmes présentés ici, dans leur contexte historique, n’avaient pas, de mon point de vue, vocation à présenter un modèle physique (regardez la disposition des bouchons sur tonneau de Widmann).
      Ils sont « habillés » pour éveiller la curiosité et permettre à celui qui maîtrise la regula falsi de se faire plaisir.

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      • La regula falsi

        le 11 juin à 22:34, par fakbill

        Pas « on aurait ». On « a ». Par contre, je ne pense pas que leur mauvaise réputation soit due à cela.

        « Cela dit, les problèmes présentés ici, dans leur contexte historique, n’avaient pas, de mon point de vue, vocation à présenter un modèle physique »
        Mais alors pourquoi aller parler de tonneaux ?? Soit on fait du calcul pour le calcul. Si on veut enrober l’énoncé dans un « sucre réel » pour le rendre plus sympathique ou je ne sais quoi alors merci de ne PAS prendre un modèle grossièrement faux. Ca ne fait que renforcer la vision des maths qu’on une majorité des élèves : une suite de règles arbitraires.

        Le commentaire suivant fait peur...On enseignait vraiment ça comme ça ??
        Ca me fait penser à la « règle de trois ». Presque tout le monde sait que ça existe mais combien ont vraiment compris la notion de « linéarité » ?? Peu. La règle de 3 est un outil magique qu’on sort sans comprendre. C’est une règle. Pas une preuve. Pas un théorème mais une règle qui fait que, dans la tête de beaucoup, les maths sont comme une sorte de droit aux lois plus ou moins absurde.

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        • La regula falsi

          le 13 juin à 13:32, par fakbill

          Ce lien montre a quel point le modèle est faux :
          http://www.joelsornette.fr/physique/ressources/exotypes/exotype47.pdf
          Tout modèle est faux mais, dans ce cas, il est clair que les concepteur de ces sujets n’ont jamais fait l’expérience ni, probablement, même eu l’idée que le fait de ne pas la faire pose problème.
          http://v.cx/2010/04/feynman-brazil-education : « Nobody had rolled such a ball, or they would never have gotten those results ! »...

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  • La regula falsi

    le 11 juin à 08:59, par Jean-Paul Allouche

    Jusque dans les années 1960, on enseignait à l’école primaire que des problèmes courants pouvaient être résolus soit « par l’arithmétique » soit « par l’algèbre ». Souvent seule la première approche était autorisée. L’exemple le plus classique concernait les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. Il faisait intervenir ce qu’on appelait alors « la fausse supposition ». Un exemple (extrait en l’occurrence de Wikipédia qui utilise comme l’auteur de ce billet l’expression « fausse position ») : un marchand a acheté 120 foulards, les uns à 2 écus, les autres à 5 écus, pour une somme de 468 écus. Combien a-t-il acheté de foulards de chaque sorte ? Le raisonnement, différent de celui indiqué dans Wikipédia, consistait à supposer (« fausse supposition ») que le marchand n’avait acheté que des foulards à 2 écus, ce qui aurait fait 240 écus. La différence avec 468, soit 228, divisée par (5-2) = 3, donnait 76. Il fallait donc retirer 76 foulards aux 120 foulards à 2 écus et l’on obtenait 44 foulards à deux écus et 76 à 5 écus. Il y a toute une littérature qui a étudié ces questions de « fausse supposition » pour ces systèmes de deux équations à deux inconnues, voir par exemple cet article et sa bibliographie. Mais peut-être est-ce justement ce que les auteurs expliqueront dans la suite annoncée de l’article. En revanche les problèmes dits de robinets se traitaient souvent plus simplement en regardant ce qui se passait par unité de temps, ramenant ainsi le problème à des sommes et différences de fractions (inverses d’entiers) et je ne savais pas qu’on les abordait aussi par un raisonnement de fausse (sup)position.

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