Topologie

La science des trous

Piste rouge Le 20 décembre 2020  - Ecrit par  Thierry Libert Voir les commentaires

Cet article, qui se veut accessible à des lycéens, est une modeste initiation à la topologie. Il présente quelques concepts clés de cette discipline, qui n’est véritablement étudiée qu’au niveau de l’enseignement supérieur, alors que certains de ses concepts se retrouvent déjà, ça et là, dans les programmes du secondaire. Ils sont notamment incontournables dans un cours d’analyse digne de ce nom, dont la topologie (au sens général du terme) est en quelque sorte le terreau. Nous ne l’aborderons toutefois pas par cette voie, mais par l’entremise d’un innocent problème de comptage de trous, concernant un curieux solide créé à l’aide d’une imprimante 3D.

Cet article présuppose une certaine familiarité du lecteur avec les notions (naïves) d’ensemble et de correspondance entre ensembles.

Saisir

La topologie est une discipline des mathématiques, des plus fondamentales, et néanmoins non scolaire. Il est vrai qu’elle est davantage concernée par les traits de forme des objets nous éveillant au monde, que par ceux des objets traditionnellement étudiés, à un niveau élémentaire, dans l’enseignement des mathématiques.

Donner à un bébé l’un ou l’autre cube en carton trainant dans l’armoire d’une classe d’école, en lieu et place de ces drôles d’objets illustrés ci-dessus, sera source de frustration chez lui — et de fatigue chez ses parents. Et pourquoi donc ? Parce que ces objets attachants sont plus faciles à saisir, direz-vous. Le trait de forme à l’origine de cette propriété est aussi celui qui permet d’en attacher d’autres, tout aussi précieux.

Ce trait de forme s’appelle tantôt un trou, tantôt une anse, ou comme vous voudrez : le fait est que cette notion n’est, quant à elle, pas facile à saisir, assez curieusement. En témoigne l’expérience suivante :

Naturellement, vous penserez qu’il convient de s’entendre au préalable sur ce que sont des trous pour les compter. Eh bien ! détrompez-vous.

Vous seriez-vous seulement demandé ce que sont des trous avant de douter de leur nombre, comme cet enfant dans le clip ? Qui plus est, seule la recherche de réponses aux questions concernant des trous peut nous éclairer sur ce qu’ils sont. C’est dans ce sens, en tout cas, que les sciences se construisent : leurs concepts et leurs techniques se précisent dans la quête de réponses, et non a priori.

Par ailleurs, les sciences ne peuvent répondre à tout. Ainsi, vous verrez que les mathématiques permettent bel et bien de compter les trous, mais elles le font sans vraiment nous dire ce qu’ils sont. Après tout, elles nous font le coup depuis l’école maternelle. Vous êtes-vous déjà demandé ce que sont des nombres, par exemple, et notamment ceux qui servent à compter ?

Compter

En matière de comptage, vous aurez noté la dextérité dont l’enfant fait preuve, dans le clip, pour mettre en correspondance un à un les soi-disant trous de ce curieux solide cubique et leurs homologues dans la pomme de discorde.

Faut-il rappeler qu’établir des correspondances un à un, aussi appelées correspondances bijectives, est la base du dénombrement. Nous énoncerons le principe sous-jacent comme suit :

Principe 1 : comptage d’éléments
Deux ensembles qui sont images l’un de l’autre par une correspondance bijective ont exactement le même nombre d’éléments.

En particulier, ce principe s’applique pour déterminer le nombre d’éléments de l’un des ensembles en se servant de celui de l’autre, sans devoir du reste définir ce qu’est un nombre.

Voyez maintenant comment les mathématiques s’en sortent pour compter le nombre de trous d’un solide :

Voici donc ce que les mathématiques ont imaginé : déformer les solides au moyen de transformations qui, comme le laisse entendre ce clip, « ne détruisent, ni ne créent des trous ». En qualifiant une telle transformation de bicontinue, nous pouvons formuler cette idée comme suit, en relevant alors une certaine analogie avec le principe 1 :

Principe 2 : comptage de trous
Deux solides qui sont images l’un de l’autre par une transformation bicontinue ont exactement le même nombre de trous.

Cependant, pour réellement comprendre ce principe, il faut préciser ce que les mathématiques entendent exactement par « transformation bicontinue ». Commençons déjà par nous entendre sur le terme « solide ».

Solide mathématique

L’objet vedette du premier clip a été fabriqué avec une imprimante 3D, qui est une machine à créer des solides matériels. Il s’agit d’un outil de fabrication numérique, dans le sens où ces solides devront être modélisés sous l’une ou l’autre forme numérique, à partir de laquelle sera générée une suite de commandes exécutables par la machine. Cette modélisation doit notamment permettre d’indiquer à la tête d’impression où déposer la matière.

Dans un repère cartésien attaché au plateau, chaque position de la tête d’impression est déterminée par ses coordonnées, à savoir, un triplet (x,y,z) de nombres réels, qui est une information numérique. En faisant abstraction des aspects techniques liés à l’impression, une modélisation naïve consiste alors à identifier le solide à l’ensemble des coordonnées associées à un dépôt de matière — ensemble dont il conviendra ici d’obtenir une description numérique globale.

Aussi, au niveau d’abstraction le plus élevé, celui des mathématiques, nous pouvons simplement convenir que :

Hypothèse de modélisation
Un solide s’identifie à un ensemble de points

— en rappelant que le point est le concept mathématique associé à celui de position, avant même l’introduction d’un repère de quelque nature. Dans la suite de ce texte, le mot « ensemble », sans autre précision, sera toujours synonyme de « ensemble de points ».

Un solide, au sens mathématique du terme, n’est donc ni dur, ni mou, et pas plus solide que liquide. Il ne s’agit pas d’un objet matériel, mais d’un objet de pensée, au service d’une modélisation. Et si celle-ci exigeait de considérer que les solides sont rigides, par exemple, il suffirait de se restreindre dans leur étude aux transformations préservant les longueurs, à savoir, les isométries. C’est ce qui se fait, par exemple, dans le cadre de la géométrie euclidienne, étudiée à l’école. C’est ce qu’il faut s’abstenir de faire, par contre, pour entrer dans la topologie, où les transformations bicontinues joueront en quelque sorte le rôle des isométries.

Bord et adhérence

Toutefois, un dépôt de matière n’est pas un acte ponctuel. Quand il est activé en un point, c’est bien souvent pour se fondre avec d’autres dépôts de matière effectués (ou à effectuer) en des points situés dans un voisinage. Et par voisinage d’un point, nous entendons simplement une portion d’espace pouvant contenir une « goutte » de matière centrée en ce point, disons, comme la portion limitée par une sphère de rayon non nul, typiquement — ce que les mathématiques appellent une boule. Autrement dit :

Définition
Nous appellerons voisinage d’un point tout ensemble pouvant contenir une boule (de rayon non nul) centrée au point considéré.

Dès lors, des points requièrent une attention particulière dans le processus d’impression 3D : ceux en lesquels n’importe quel voisinage rencontre à la fois le solide et son complémentaire. Car, aussi petite soit la « goutte » de matière déposée en ces points, la tête d’impression ne peut les discerner de ce qui appartient ou non au solide. Nous dirons naturellement de ces points qu’ils sont à la frontière du solide et de son complémentaire, par analogie avec la situation suivante :

Pour les mathématiques, frontière et bord sont synonymes. Le concept ayant du sens pour un ensemble quelconque de points, nous le définirons comme suit :

Définition
Le bord ou la frontière d’un ensemble est l’ensemble des points en lesquels tout voisinage rencontre à la fois l’ensemble considéré et son complémentaire.

Tout logiquement, un ensemble et son complémentaire ont la même frontière. Par contre, au vu de la définition précédente, un point du bord n’appartient pas nécessairement à l’ensemble considéré, mais il y est collé, dirons-nous, dans le sens où il ne peut pas appartenir à une boule (de rayon non nul) disjointe de cet ensemble. En ce sens, un point appartenant à l’ensemble y est aussi collé, à plus forte raison. Aussi, nous regrouperons les points collés à un ensemble dans le concept suivant :

Définition
L’adhérence d’un ensemble est la réunion de cet ensemble et de son bord.

Le concept d’adhérence est une pierre angulaire de la topologie, en raison du rôle central qu’y jouent les transformations « ne décollant pas les points », lesquelles sont précisément l’objet de la section suivante.

Continuité

Le second clip montre l’enfant créant un trou dans de la pâte à modeler et, quelques séquences plus loin, l’adulte en détruisant un maladroitement. Ces actions sont ici résumées par les séquences vidéos que voici :

Dans les deux cas, on peut observer qu’un trou se crée ou se détruit en décollant certains éléments de l’une ou l’autre parties de l’objet, comme l’illustrent les instantanés suivants :

Traduire cette observation en langage mathématique est possible, grâce au concept d’adhérence. Toutefois, ce qu’il convient ici de traduire est une propriété de la transformation que l’objet subit, non de l’objet lui-même.

À cette fin, ce qu’il suffit de connaître de la transformation est la correspondance qu’elle induit entre les points des solides (mathématiques) qui modélisent le solide matériel avant et après transformation, respectivement, tel qu’il apparaît sur les instantanés ci-dessus. De fait, c’est ce que la modélisation mathématique retient d’une transformation :

Hypothèse de modélisation
Une transformation d’un solide donné en un second s’identifie à une correspondance qui, à chaque point du premier, associe un et un seul point du second, appelé son image.

L’action d’une transformation s’étend naturellement à tout ensemble de points en convenant que l’image d’un ensemble donné est l’ensemble des images des seuls points de cet ensemble en lesquels la transformation est définie.

Une transformation, au sens précédent, ignore donc les aspects dynamiques liés à une transformation physique d’un solide matériel donné. De nouveau, il s’agit seulement d’un objet de pensée, servant à isoler et étudier certains aspects d’une quelconque réalité (matérielle ou pas).

Ceci étant, pour en revenir à la propriété observée, il est plus naturel de chercher à traduire sa négation, à savoir, le fait que la transformation en question « ne décolle pas les points ». En effet, ceci revient essentiellement à exprimer que l’image de tout point collé à un ensemble est elle-même collée à l’image de cet ensemble, quel qu’il soit. Cela donne naissance au concept de transformation continue, que nous définissons alors comme suit, en nous appuyant sur le concept d’adhérence :

Définition
Une transformation est dite continue lorsque l’image de l’adhérence d’un ensemble, quel qu’il soit, est incluse dans l’adhérence de l’image de cet ensemble.

Ainsi, une transformation continue ne peut créer ou détruire un trou par décollement. Cependant, rien ne dit qu’elle ne peut en créer ou en détruire un autrement.

Transformation bicontinue

Inversons maintenant les séquences vidéos de la section précédente :

Celles-ci nous donnent alors à imaginer des transformations qui détruisent et créent respectivement un trou en ne décollant aucun point — et qui sont dès lors continues. À l’inverse, elles le font ici en recollant des points.

Bien entendu, rien ne dit jusqu’ici qu’une transformation, en tant que correspondance entre ensembles, est inversible. De fait, c’est seulement le cas des correspondances bijectives et, à vrai dire, c’est à celles-ci que renvoie le plus souvent le terme « transformation » dans la pratique des mathématiques. Pour nous conformer à cet usage, et pouvoir parler de l’inverse d’une transformation sans réserve, nous compléterons notre hypothèse de modélisation par la restriction suivante :

Définition
Nous appellerons transformation d’un solide donné en un second toute correspondance bijective du premier vers le second.

Rappelons qu’une transformation continue ne peut créer ou détruire un trou par décollement. Pour prévenir la création ou la destruction de trous par recollement, il suffit alors d’imposer que l’inverse de cette transformation soit elle aussi continue, ce qui livre le concept de transformation bicontinue, sur lequel repose le principe 2, du comptage des trous :

Définition
Une transformation est dite bicontinue lorsque cette transformation et son inverse sont toutes deux continues.

Ainsi, que ce soit par décollement ou par recollement, une transformation bicontinue ne peut ni créer ni détruire des trous.

Ceci étant, si vous ne pouvez concevoir la création ou la destruction de trous autrement que par décollement ou recollement, justement, alors vous accepterez qu’une transformation bicontinue ne peut changer leur nombre, quel qu’il soit. C’est ni plus ni moins ce qu’affirme le principe 2.

Notons que ce principe n’est pas une vérité établie (ni même un énoncé) des mathématiques proprement dites, puisque la notion de trou n’a pas été définie. Et bien que celle-ci ait ici servi à introduire le concept de transformation bicontinue, la définition de ce dernier, elle, n’y fait aucunement référence.

Ce principe, sans définir la notion de trou, nous éclaire néanmoins sur ses aspects topologiques. Ainsi, d’après lui, tout trait de forme pouvant être créé au moyen d’une transformation bicontinue n’est pas un trou au regard de la topologie. L’orifice servant à mettre du liquide dans une carafe, par exemple, n’en est pas un :

Qu’en est-il de l’autre trait de forme observable sur une carafe, celui servant à la saisir et qui s’appelle une anse ? Pourriez-vous en créer une sur un objet en pâte à modeler sans décollement ou recollement ?

Si vous avez encore un petit creux, ce dernier exercice le comblera peut-être : combien de trous l’objet suivant possède-t-il ?

Annexe : un brin d’histoire

L’histoire de la topologie commence dans les travaux d’Euler, avec sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg (1736), puis sa formule liant les nombres de sommets, d’arêtes et de faces d’un polyèdre (1750).

L’étude de cette formule — ses démonstrations et ses généralisations — se poursuit notamment avec Legendre, qui en donne une preuve rigoureuse dans le cas des polyèdres convexes (1794), et L’huilier, qui la généralise dans le cas de polyèdres à « trous » (1813).

Toutefois, ce n’est qu’avec Gauss et Riemann qu’une nouvelle branche des mathématiques est fondée, vers le milieu des XIXe siècle. Le terme topologie émerge d’ailleurs dans le titre d’un ouvrage de Listing, un élève de Gauss, Vorstudien zur Topologie (1847), où il dit :

« Par topologie, nous entendrons l’étude des aspects qualitatifs des formes spatiales ou des lois de la connexion, de la position mutuelle et de l’ordre des points, droites, surfaces, corps ainsi que de leurs parties ou de leurs réunions … »

De nos jours, il serait réducteur de circonscrire la topologie à l’étude de certains aspects de formes spatiales, même en considérant que la notion d’espace s’est depuis généralisée. À vrai dire, rares sont les domaines des mathématiques (ou des disciplines connexes, comme la logique ou l’informatique) qui n’ont pas été nourris de concepts topologiques, sous leur forme la plus générale.

Puisse cet article contribuer à la faire entrer de plain-pied dans l’enseignement élémentaire, en douce rigueur, et avec saveur.

Post-scriptum :

Je remercie les éditeurs de la rubrique, Philippe Colliard et Andrès Navas, ainsi que les relecteurs, Jean Aymes et Rémi Molinier, pour leurs remarques et suggestions.

Je remercie surtout mon fils, Clément, sans qui les clips didactiques accompagnant cet article n’auraient jamais vu le jour. Sa soeur attend maintenant son tour.

Article édité par Philippe Colliard

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Pour citer cet article :

Thierry Libert — «La science des trous» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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img_23182 - composition de l’auteur à partir des images extraites des sites https://www.haba.de/fr_FR/hochet-anneaux--303237, https://www.haba.de/fr_FR/hochet-pyramide-de-couleurs--300548, https://www.haba.de/fr_FR/herisson-musical--304821

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