La secta de los números

Le 17 avril 2013  - Ecrit par  Claudi Alsina
Le 14 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La secte des nombres Voir les commentaires
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados.

Hermosas demostraciones

Las demostraciones clásicas del teorema de Pitágoras no tienen solamente un interés matemático. También llaman la atención por el ingenio y la elegancia de las soluciones propuestas.

El teorema de Pitágoras en el Chou Pei Suan Ching

Ese documento chino, que podría traducirse aproximadamente como El clásico del gnomon y de las vías celestes circulares, ofrece una hermosa demostración que solo apela a traslaciones de piezas.

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EUCLIDES, PITÁGORAS Y LOS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

Euclides vivía en Alejandría hacia el año 300 a.C. y fue el autor de una obra fundamental para el desarrollo de las matemáticas y de la ciencia : los Elementos de Geometría (stoicheia). Ahí presenta con gran rigor todo el conocimiento geométrico de su época, deduciendo de manera lógica las principales propiedades (teoremas) a partir de definiciones, postulados y axiomas. La obra de Euclides no solo realiza una síntesis brillante, sino que también organiza este pensamiento geométrico por medio de un importante trabajo de estructuración. Es por este motivo que permanece hasta hoy en día, pese a los siglos que nos separan de ella, como la referencia fundamental para el aprendizaje de la geometría. Exceptuando la Biblia, los Elementos de Geometría es la obra que ha sido más frecuentemente traducida y difundida, ya sea mediante copias manuscritas o, más tarde, versiones impresas.

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Copia de los Elementos de Geometría del manuscrito conocido como de Orvilio, escrito en griego en Constantinopla en el siglo IX.

Esta obra está compuesta por varios libros. Los cuatro primeros se refieren a la geometría plana, que incluye la congruencia de triángulos, la igualdad de áreas y, por supuesto, el teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47). Presenta también la proporción de oro, el círculo, los polígonos regulares y ciertas cuadraturas. De este modo, el teorema pitagórico aparece en un contexto geométrico de áreas y figuras. Pitágoras está también presente en el libro VI, en relación con las proporciones, y también en el libro X que se refiere a las raíces cuadradas.

El teorema de Pitágoras visto por Euclides

Para el teorema de Pitágoras, Euclides propone la siguiente aproximación gráfica. Euclides transforma cada cuadrado construido sobre un lado en un paralelógramo de igual área (siendo sus bases y alturas iguales). Luego reemplaza esos paralelógramos en el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Esta demostración genial exhibe la parte ocupada por cada uno de los cuadrados a partir de los lados del ángulo recto.

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El teorema de Pitágoras en un mosaico árabe

Esta magnífica demostración basada en mosaicos es atribuída a al-Naiziri de Arabia (900 d.C.). El mosaico del fondo está formado por los cuadrados de los lados del ángulo recto, y aquel que está superpuesto, por los de la hipotenusa. Los dos recubren la misma superficie. Se trata de una forma de demostración absolutamente original.

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El teorema de Pitágoras visto por Henry Perigal

Entre otras joyas figura la demostración que propuso en 1873 el apasionado matemático Henry Perigal. La proeza consiste en proponer el siguiente rompecabezas : dividir un gran cuadrado en cuatro pedazos.

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LA DEMOSTRACIÓN DE UN PRESIDENTE DE LOS ESTADOS UNIDOS

En 1876, antes de convertirse en el vigésimo presidente de Estados Unidos, James Abram Garfield (1831- 1881) encontró y publicó una original demostración del teorema de Pitágoras, de la cual habló con muchos colegas miembros del Congreso. Según todas las expectativas, durante su presidencia no realizó ningún otro descubrimiento matemático. Basta con calcular el área de un cuadrilátero de dos maneras distintas :

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Área del trapecio = Área del triángulo 1+ Área del triángulo 2 + Área del triángulo 3

\[ \frac{1}{2} (a+b)(a+b)= \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}cc,\]
\[\frac{1}{2}(a^2 +2ab+b^2)=\frac{1}{2}(ab+ab+c^2),\]
de donde \[a^2 +b^2 +2ab=2ab+c^2,\text{es decir,}\; a^2 +b^2 =c^2.\]

El teorema de Pitágoras demostrado por Leonardo da Vinci

El ecléctico Leonardo da Vinci (1452-1519) aportó una brillante prueba del teorema. Dibujó el triángulo y los tres lados según los tres cuadrados, añadió la pieza $ECF$ arriba y colocó de manera estratégica otra reproducción $A’C’B’$ del triángulo abajo. Trazando $DD’$ y $CC’$, que en realidad son perpendiculares, se observa que $DD’$ divide el hexágono superior $ABDEFD’$ simétricamente. Las dos partes resultantes pueden hacer una rotación y colocarse de manera que escondan el hexágono $ACBA’C’B’$. A continuación, la suma de los dos cuadrados a partir de los lados del ángulo recto es igual al cuadrado colocado a lo largo de la hipotenusa.

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Otras demostraciones y rompecabezas

Se puede obtener, de manera muy simple y elegante, demostraciones directas del teorema de Pitágoras. Basta con dividir los dos cuadrados a partir de los lados del ángulo recto del triángulo rectángulo en piezas, y tratar de formar a partir de esas piezas un cuadrado a lo largo de la hipotenusa, un poco a la manera de un rompecabezas.

El matemático chino Liu Hui, que vivió en el siglo III, durante el reinado de Wei, publicó en el año 263 un importante libro sobre la historia de las matemáticas, en el cual presenta muchas soluciones a los problemas de la época. Se trata del Jiuzhang Suanshu o Los Nueve Capítulos del arte matemático). Allí aparece especialmente una aproximación al número Pi (3,141014), y el autor sugiere 3,14 como la mejor representación de la constante. También figura allí una demostración del teorema de Pitágoras bajo la forma de un rompecabezas.

UNA DISTRACCIÓN CON LOS ROMPECABEZAS PITAGÓRICOS

Los rompecabezas demuestran que el teorema puede convertirse en un juego. Se trata de pegar una fotografía cuadrada del tamaño del cuadrado a partir de la hipotenusa. Se coloca la fotografía sobre el cuadrado de la hipotenusa, luego se la recorta siguiendo el trazado de la figura geométrica, y se desplaza los pedazos obtenidos hacia los cuadrados de los lados. Se pide luego a alguien que recomponga la fotografía. El terminar el puzzle, esta persona no solo habrá descubierto el contenido de la fotografía, sino que también habrá realizado la demostración del teorema más famoso de la historia.

En ese curioso puzzle, los cuadrados de los lados del ángulo recto se dividen de la siguiente manera : el más pequeño en dos mitades y el más grande en cinco piezas obtenidas a partir del triángulo rectángulo inicial desplazado hacia los dos vértices opuestos del cuadrado más grande, tal como lo muestra la figura que sigue. Con esas siete piezas es posible recomponer el cuadrado de la hipotenusa con una repartición por lo menos menos particular.

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Johannes Eduard Böttcher (1847-1919) fue un físico alemán, rector del Realgymnasium de Leipzig, pero gran parte de su trabajo de investigación se refería a las matemáticas puras. En 1886 publicó un modesto artículo en la Revista para la enseñanza de las matemáticas y las ciencias naturales titulado de manera muy sencilla : ’’Modelo simple para la demostración del teorema de Pitágoras’’. En ese artículo propuso el siguiente rompecabezas :

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Este puzzle consiste en dividir cada uno de los cuadrados de los lados en cuatro triángulos iguales de dos en dos, y así obtener con ellos el cuadrado de la hipotenusa con una curiosa simetría central, exactamente como lo muestra la ilustración.

Esta matemática recreativa se encuentra en la obra del británico Henry Ernest Dudeney (1857-1930). Muy inventivo, Dudeney —quien, contra toda expectativa, carecía de formación matemática y era completamente autodidacta— elaboró y publicó una gran cantidad de rompecabezas y otros juegos de ingenio en los periódicos de la época. Esos juegos dieron lugar enseguida a la publicación de volúmenes enteros, una verdadera Biblia para los apasionados de los desafíos matemáticos. Pitágoras estaba presente en muchos de ellos.

El siguiente rompecabezas, compuesto de cinco piezas, permite fabricar el cuadrado de la hipotenusa con el pequeño cuadrado y la descomposición del otro en cuatro pequeños pedazos, alrededor del cuadrado.

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Elisha Scott Loomis (1852-1940), profesor de origen estadounidense cuya vocación era popularizar la ciencia y la filosofía, sin duda no es el autor más comentado en los círculos matemáticos. No hay ninguna ecuación que lleve su nombre y sus numerosas publicaciones han sido olvidadas, salvo una : La Proposición pitagórica de 1927, que reagrupa y clasifica 371 demostraciones del teorema de Pitágoras.

Trazando la paralela a la hipotenusa desde el vértice de un ángulo recto, se divide el pequeño cuadrado en dos pedazos. Luego, con la ayuda de una recta perpendicular a la primera, se divide el cuadrado del otro lado en tres. Si se recomponen los cinco pedazos así obtenidos, se consigue el cuadrado de la hipotenusa.

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Como se puede ver, son numerosas y variadas las demostraciones del teorema de Pitágoras. Quien lo desee puede ponerse como desafío personal encontrar nuevas demostraciones.

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Sommaire du livre

Para profundizar más

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Etienne Ghys. Él contestará los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La secta de los números» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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