La structure de Weaire et Phelan

Piste bleue Le 23 août 2016  - Ecrit par  Serge Cantat, Isabelle Cantat Voir les commentaires

Ce mois-ci, deux formes géométriques de même volume s’empilent périodiquement pour remplir tout l’espace. L’empilement obtenu est la structure
de Weaire et Phelan. A ce jour, c’est la meilleure technique connue pour remplir l’espace par des domaines de volume prescrit et une aire des frontières la plus petite possible. Pour autant, on ne sait pas s’il existe un empilement plus efficace : cette question posée par Kelvin en 1887 reste donc toujours ouverte. En chemin, nous rencontrerons des bulles de savon, une piscine, des abeilles et des manchots, des architectes visionnaires et des irlandais cristallographes.

Rediffusion d’un article publié le 4 décembre 2010

Lorsque les manchots empereurs, un œuf posé sur leurs pattes, bravent le froid en attendant que madame rapporte sa pêche, ils se serrent les uns contre les autres en un grand cercle mouvant ; ceux du bord s’insèrent pour se retrouver progressivement au centre, et ainsi de suite pour ne pas mourir de froid. Cette position des manchots s’appelle la tortue. Sa forme circulaire est optimale, elle minimise la proportion de manchots sur le bord. Pour un nombre de manchots donné, le cercle minimise donc le nombre d’entre eux qui sont sur le pourtour
de la zone occupée et ne peuvent se réchauffer au contact de leurs voisins.
En termes mathématiques, si une courbe tracée dans le plan entoure une aire fixée $A$, son périmètre est toujours supérieur à celui d’un cercle entourant un disque de même aire $A$. Ayant sans doute quelques difficultés à attribuer un théorème à des pingouins, les mathématiciens parlent maintenant du théorème de Didon,
troquant ainsi une multitude d’empereurs pour une reine [1].

La forme d’une bulle de savon s’adapte librement pour minimiser son énergie.
Comme cette dernière est proportionnelle à la surface du film de savon, les bulles
cherchent à réduire leur surface tout en conservant le volume d’air qui est piégé à l’intérieur. Une bulle de savon réalise donc en pratique une surface minimale pour un volume intérieur fixé. L’analogue du théorème de Didon lorsque les courbes du plan sont remplacées par des surfaces dans l’espace devient donc le théorème du savon : la sphère est la seule forme qui minimise la surface du bord en entourant un volume donné.

Cependant les bulles ne sont pas toujours rondes. Deux bulles de savon mises au contact l’une de l’autre se collent spontanément. Lorsqu’elles ont le même volume, elles adoptent la forme représentée ci-dessous : chacune est une sphère dont on a retiré une calotte et la surface qui les sépare est un disque.
Le rayon des sphères tronquées est un petit peu plus grand que celui des sphères initiales car le volume doit être conservé dans chaque bulle ; mais, les deux calottes manquantes étant remplacées par un unique disque, la surface totale des deux bulles a diminué [2].

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Double Bulle
Figure réalisée par John Sullivan.

Les règles de Plateau

Regardez maintenant tout un paquet de bulles. Il vous suffit pour cela de souffler
dans de l’eau savonneuse avec une paille. Les bulles remontent à la surface et se collent les unes aux autres pour former une mousse. Laissez à l’eau savonneuse en excès le temps de s’écouler et vous obtiendrez une « mousse sèche », qui ne contient pratiquement plus que de l’air. On peut ainsi considérer que les bulles sont séparées par des films de savon d’épaisseur nulle. Nous dirons alors que les bulles pavent le domaine occupé par la mousse.

Vous constaterez que les bulles s’arrangent de multiples manières. Il y a de nombreuses solutions pour empiler les bulles, y compris lorsqu’elles ont toutes le même volume ; certaines bulles ont beaucoup de bulles voisines, d’autres peu, et l’organisation varie d’une mousse à l’autre. Si l’on bouge légèrement une mousse, ou que l’on souffle délicatement dessus, la mousse se déforme un peu puis revient à sa position initiale lorsque la perturbation cesse. La mousse tend en effet à minimiser la surface totale des films de savon et après une petite déformation elle va donc revenir dans la configuration qu’elle avait adoptée. Cependant, les mousses ne prennent pas spontanément la meilleure organisation possible : en réorganisant complètement la position relative des bulles, ce qui nécessite de déformer beaucoup la mousse et de changer les relations de voisinage entre bulles, on peut passer d’une mousse à une autre, parfois plus économe en surfaces de films. C’est bien dommage parce que, du coup, personne ne sait quelle est la meilleure façon d’arranger des bulles.

Si vous êtes adroit, vous pouvez également tenter des compositions artistiques. En voici une réalisée par Tom Noddy, expert es-bulles, dont vous
trouverez sans difficultés quelques films sympathiques sur internet (voir par
exemple ici).

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Composition de Tom Noddy

En observant attentivement les mousses de votre bain ou la composition fournie
par Tom Noddy, vous pourrez vérifier les règles suivantes ; la première d’entre elles est un théorème de Lagrange ; l’ensemble forme les règles de Plateau,
baptisées ainsi du nom de Joseph Ferdinand Plateau qui les énonça en 1873 [3] :

  • Les frontières entre deux bulles (les faces) sont des surfaces qui ne sont pas forcément planes, mais qui sont de courbure moyenne constante [4].
  • Le long des arêtes, c’est-à-dire des lignes courbes situées à la jonction entre trois bulles, les trois faces se coupent à 120° (l’angle est mesuré dans le plan perpendiculaire à l’arête).
  • Un point $P$ situé à la jonction de quatre bulles est appelé un sommet ; en un sommet, quatre arêtes se rejoignent et forment deux à deux des angles de $109°28'16''$ (plus précisement l’angle dont le cosinus vaut $-1/3$).
  • Il n’existe pas de point situé à la frontière de cinq bulles ou plus.

Nulle structure ne saurait se prétendre surface minimale si elle ne vérifie pas les règles de Plateau [5].

Le problème de Kelvin

Précisons maintenant une question, appelée problème de Kelvin :
comment remplir l’espace par des bulles de même volume de façon optimale,
c’est-à-dire en minimisant la surface totale des bulles ? Le volume commun à toutes les bulles est fixé, mais sa valeur exacte n’a pas d’importance : si l’on change la valeur du volume, on passera d’un empilement à l’autre par une homothétie ; on peut donc fixer par convention ce volume à l’unité. Notons, enfin, que les bulles sont désormais idéalisées, les surfaces qui les bordent n’ont donc pas d’épaisseur, contrairement à de vrais films de savon.

Il y a deux façons de préciser la question de Kelvin, c’est-à-dire de préciser la notion de « surface totale minimale », la difficulté étant qu’on parle ici d’une infinité de bulles pavant l’espace. La première consiste à dire que,
si l’on change la forme d’un nombre fini quelconque de bulles situées au milieu d’une grande zone $K$, alors la surface des films de savon présents dans $K$ a augmenté après la modification. La seconde technique est différente et moins précise : elle demande de minimiser la surface moyenne de film de savon par bulle. Pour une
mousse qui remplit tout l’espace, on regarde donc l’empilement constitué des $N$ premières couches de bulles, on calcule la surface moyenne (la surface totale divisée par le nombre de bulles) et l’on passe à la limite (ou plutôt la limite
supérieure) quand $N$ tend vers l’infini. Ceci définit la surface moyenne par bulle. Le problème est alors de minimiser cette surface moyenne par bulle, parmi toutes
les mousses qui pavent l’espace à l’aide de bulles de volume unité.

Le même problème, mais dans le plan au lieu de l’espace, demande de carreler un sol (infini) avec des carreaux qui ont tous la même aire tout en minimisant la quantité de joint au mètre carré. Ce problème a été résolu récemment par Thomas Hales, confirmant la solution attendue : la solution est fournie par le carrelage hexagonal régulier ; les carreaux sont donc identiques et agencés périodiquement
 [6].

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Carrelage

Par contre, personne n’a encore résolu le problème de Kelvin ; en dimension trois, la course à la meilleure structure est donc toujours ouverte. Le record du monde a d’abord été détenu par Lord Kelvin, qui a lancé le concours en 1887, et n’a été battu qu’une fois depuis, en 1993, par le duo Denis Weaire et Robert Phelan.

La cellule de Kelvin [7]

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Polyèdre de Kelvin

La cellule de Kelvin est basée sur la structure intermédiaire, que nous appellerons polyèdre de Kelvin, obtenue après impression, découpage et collage de la figure disponible ici : [8]. C’est un octaèdre régulier qui a été tronqué en ses sommets pour qu’apparaissent 8 faces hexagonales régulières (issues des huit triangles équilatéraux de l’octaèdre) et 6 faces carrées (les bases des petites pyramides qui ont été enlevées) : la hauteur des pyramides tronquées est choisie pour que les 36 arêtes du polyèdre aient bien la même
longueur.

Si vous en découpez-collez plusieurs exemplaires,
vous constaterez que ces polyèdres s’empilent parfaitement et peuvent remplir entièrement l’espace. L’empilement obtenu est de type « cubique centré » : si on place un des polyèdres de Kelvin au centre d’un cube avec ses faces carrées sur les faces du cube, on peut mettre un autre polyèdre centré sur chaque sommet du cube.
Empilement de Kelvin {JPEG}
On peut d’ailleurs retrouver les polyèdres de Kelvin en partant d’un empilement
de cubes. Marquez d’une croix chacun des coins des cubes, ainsi que leurs centres. A chacune des croix $Q$ est alors associé un polyèdre $V(Q)$ (dit polyèdre de Voronoi), constitué par définition de tous les points de l’espace qui sont plus proches de $Q$ que des autres croix. Alors chaque polyèdre
de Voronoi $V(Q)$ est une copie de l’octaèdre tronqué de Kelvin et la collection de
tous ces polyèdres pave l’espace.

Les règles de Plateau permettent cependant d’exclure immédiatement l’empilement des polyèdres de Kelvin de la course à la meilleure structure.
Les faces carré du polyèdre de Kelvin sont limitées par des arêtes qui se coupent à $90°$ : le polyèdre est disqualifié !

La cellule de Kelvin est très proche du polyèdre de Kelvin, elle vérifie les lois de Plateau et permet encore de remplir tout l’espace par empilement de type cubique centré. On peut l’obtenir numériquement à partir du polyèdre : le résultat est représenté ci-dessous. Les faces carrées restent planes mais leurs arêtes sont légèrement courbées vers l’extérieur, suffisamment pour qu’elles se coupent à 109°. Les faces hexagonales ont toutes la même forme. Considérons une face hexagonale du polyèdre et regardons comment cette face est modifiée dans la cellule de Kelvin. Dans l’empilement, chacune de ses arêtes est au contact d’un carré et d’un autre hexagone ; comme les arêtes des carrés sont courbées dans la
cellule de Kelvin, celles des hexagones le sont aussi. Si l’on tourne autour de notre hexagone, les arêtes de la cellule se trouvent alors successivement au-dessus et au-dessous du plan de l’hexagone initial. La courbure des arêtes des carrés se répercute sur les faces hexagonales dont le contour n’est plus plan. L’aire de la cellule vaut $S_{K}=5,306$ pour un volume de bulle unité (l’aire du polyèdre
vaut $5,314$ pour un volume unité) [9].

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Cellule de Kelvin
Image réalisée par Ken Brakke, à l’aide de son logiciel Surface Evolver.

La cellule de Weaire et Phelan

La structure de Weaire et Phelan est représentée ci-dessous dans sa version polyédrale. Le motif élémentaire contient $8$ polyèdres qui sont de deux types :

  • $6$ polyèdres identiques, tous formés de $12$ pentagones et de 2 hexagones.

PNGEn première approximation, ces polyèdres à $14$ faces, notés $B_{14}$, sont obtenus comme suit. Dessinez sur une feuille un hexagone régulier avec pour voisins $6$ pentagones réguliers ; les pentagones ne se touchent pas et vous devez découper votre feuille, plier selon les arêtes et soulever légèrement les pentagones pour les amener au contact les uns des autres. Vous avez formé une sorte de corbeille. Faites en une deuxième que vous posez comme un couvercle sur la première, voilà un polyèdre à $14$ faces. Les $B_{14}$ sont obtenus de la même façon, mais avec des pentagones irréguliers.

  • $2$ polyèdres identiques qui sont des dodécaèdres (irréguliers) ; ils sont donc formés chacun de $12$ pentagones ;

PNG
On peut former le dodécaèdre comme les $B_{14}$, mais en partant d’un pentagone central à la place de l’hexagone. Puisqu’ils ont $12$ faces les polyèdres dodécaédriques ainsi obtenus sont notés $B_{12}$ par la suite. Ici encore, certaines faces sont irrégulières.

Il faut maintenant empiler nos $6$ polyèdres $B_{14}$ et nos $2$ $B_{12}$ pour construire le motif élémentaire qui servira ensuite à paver l’espace... Les $B_{14}$ sont collés les uns aux autres par leurs hexagones : ils forment des colonnes, qui sont orientées dans les trois directions d’un réseau cubique (les lignes pointillées de la figure ci-dessous, avec les $6$ bulles du motif élémentaire représentées par des carrés rouges).

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Structure de Weaire et Phelan
Description Schématique de la structure.

Il reste quelques trous dans cette structure compliquée, dans lesquels viennent se glisser les $B_{12}$, représentés par des disques sur la figure. Ceux du motif élémentaire sont en rouge : un au centre du cube et un dans un coin.
Dans cet empilement, les hexagones sont réguliers, mais pas les pentagones.

La structure entière est obtenue par translation du motif élémentaire selon les côtés du carré. Le motif se répète ainsi à l’infini en pavant l’espace.

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Structure de Weaire et Phelan

Comme pour la structure de Kelvin, la surface minimale associée est très proche, avec des faces légèrement courbées. L’aire moyenne des bulles vaut environ $S_{WP}=5,288$ pour un volume unité, ce qui est bien légèrement inférieur à l’aire de la bulle de Kelvin.

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Cellules de Weaire et Phelan dansantes
Animation de Edouard Oudet montrant la structure de Weaire et Phelan sous toutes ses coutures.

Le fil directeur qui a servi à découvrir la structure de Weaire et Phelan était la maximisation du nombre de pentagones. Leur hypothèse était que les faces devaient être les moins courbées possible, ainsi que les arêtes. Or, les arêtes se coupant à 109°, une face plane à arêtes droite doit avoir [10]
\[ 360/(180-109)= 5,07042... \]
côtés. Les pentagones étaient donc de bons candidats, et il s’agissait de trouver une structure avec un maximum de faces pentagonales ; c’est en cherchant parmi
les structures cristallographiques connues que Weaire et Phelan ont trouvé la perle
rare [11].

La piscine olympique de Pékin : Carfrae, Phelan et Weaire

A l’heure actuelle, on ne sait pas s’il existe une structure plus efficace que
celle de Weaire et Phelan : le problème de Kelvin reste ouvert, et les recherches sont encore en cours.

Pour l’instant l’application principale de la découverte de Weaire et Phelan est ... une piscine !
L’architecte Tristram Carfrae s’est en effet inspiré de cette structure pour concevoir la piscine olympique de Pékin.

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Piscine Olympique de Pékin

Il faut dire que les films de savon semblent inspirer les architectes : le stade olympique de Munich comportait déjà un toit épousant la forme d’une
surface minimale.

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Stade de Munich
Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que les auteurs, remercient pour leur relecture attentive
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Quentin LEONE, Roland Bacher, Joël Merker, Alain, Clément Caubel, Sébastien Gandon, Edouard Oudet.

Notes

[1Pour l’inégalité isopérimétrique et le problème de Didon, voir le billet rédigé par Benoît
Kloeckner

[2Nous remercions John Sullivan, professeur à l’Université d’Illinois, Urbana-Champaign, pour la figure ci-dessous (voir son site http://torus.math.uiuc.edu/jms/). La plupart des calculs numériques de films de savon sont réalisés à l’aide du logiciel libre Surface Evolver, mis au point par Ken Brakke.

[3C’est du moins la date de publication de son ouvrage sur le sujet, intitulé Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires

[4La courbure moyenne d’une surface $S$ en un point $m$ peut être définie comme suit. Soit $L$ la droite passant par $m$ qui est perpendiculaire à $S$ ; soient $P$ et $Q$ deux plans contenant $L$ et perpendiculaires entre eux. La surface $S$
coupe $P$ sur une courbe $C$ passant par $m$ et le rayon de courbure $R(P)$ est le rayon du cercle contenu dans $P$ et passant par $m$ qui approxime le
mieux la courbe $C$. De même, on obtient un rayon de courbure $R(Q)$ pour la courbe $S\cap Q$. La courbure moyenne est

\[ {\text{courbure moyenne}} = {\text{somme des inverses des rayons de courbure }} = 1/R(P) + 1/R(Q). \]

Le nombre ainsi obtenu ne dépend pas de la paire de plans orthogonaux $P$, $Q$
choisie.
Voir l’
article d’Images des Mathématiques pour un dessin et de nombreux compléments.

[5Le livre de Hildebrandt et Tromba intitulé Mathématiques et formes optimales contient une introduction accessible aux surfaces minimales et explique les lois de Plateau.

[6Cet article présente les problèmes d’empilement résolus par Thomas Hales, et cette page décrit plus en détails le problème du carrelage optimal, plus connu sous le nom de problème
du nid d’abeilles.

[7La figure suivante et les figures similaires sont issues du site Wikipedia

[8

PDF - 67.2 ko

. Ce fichier est issu du site http://www.zapatopi.net/kelvin/

[9Si l’on change l’unité de mesure utilisée
pour mesurer les longueurs, et donc les aires et les volumes, par un facteur
multiplicatif $M$, alors les aires varient comme $M^2$ et les volumes comme
$M^3$. Pour mesurer l’efficacité d’une structure comme celle de Kelvin, on considère donc le rapport $S_K/ V_K^{2/3}$, qui ne dépend pas de ce choix
d’unité de mesure ; il revient donc au même de choisir l’unité de mesure
en sorte que le volume $V_K$ de la cellule vaille $1$.

[10Lorsque l’on fait le
tour d’un polygone, on tourne globalement de $360$ degrés. Le long d’un côté, on va tout droit, et à chaque sommet $P$ on tourne de $180 - Ang(P)$ degrés où
$Ang(P)$ est l’angle interne du polygone au sommet $P$. Ainsi, si tous
les angles $Ang(P)$ valaient $109$ degrés, le nombre $N$ de sommets
devrait satisfaire $N (180-109)= 360$, d’où la formule.

[11Voir le site d’Edouard Oudet décrivant une autre approche.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat, Isabelle Cantat — «La structure de Weaire et Phelan» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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