La tercera dimensión del teorema de Ceva

El 29 octubre 2010  - Escrito por  Pierre Lecomte
El 6 febrero 2019  - Traducido por  Andrés Navas
Artículo original : La troisième dimension du théorème de Céva Ver los comentarios
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Las rectas que parten desde los vértices de un triángulo son concurrentes o paralelas si y solamente si el producto de las razones de los trazos determinados [1] por sus intersecciones con los lados opuestos, calculados respecto a dichos lados [2], vale 1.

Lo anterior corresponde al teorema de Ceva. Se trata de un teorema de geometría plana, pero inesperadamente origina imágenes tridimensionales de cierta belleza.

En lo que sigue, usaremos las notaciones de la figura de abajo. Llamaremos $A',B',C'$ los pies de las cevianas $AA'$, $BB'$, $CC'$.

Las cevianas

Denotemos $x,y,z$ las razones de secciones a las que have mención el enunciado del teorema. El conjunto de los puntos $(x,y,z)$ para los cuales las tres rectas son paralelas o concurrentes es una superficie $\mathcal C$ de $\mathbb R^3$, de ecuación $xyz=1$. Ella es exhibida en la siguiente figura.

La superficie $\mathcal C$ de las cevianas paralelas o concurrentes

La superficie $C$ consiste de cuatro ramas. Una describe las cevianas cuyos pies se sitúan entre los lados a los que pertenecen, es decir, aquéllas que se cortan en un punto interior del triángulo ($x,y,z$ son números positivos). Las otras tres representan los casos en que solamente un pie satisface esta propiedad.

El conjunto $(x,y,z)$ que describe las cevianas paralelas es una curva $\mathcal P$ de $\mathbb R^3$, ilustrada a continuación.

La curva $\mathcal P$ de las rectas paralelas

Esta curva posee tres ramas (torcidas). Es fácil constatar que admite ella la parametrización
$x\mapsto (x,-\frac{x+1}{x},-\frac{1}{x+1})$
y que las ramas se obtienen al hacer variar $x$ en los intervalos
$]-\infty,-1[, \quad ]-1,0[ , \quad ]0,+\infty[.$
Fuera de éstos, la expresión no está bien definida.

En el primer intervalo, $x$ e $y$ son negativos; en el segundo, $x$ y $z$ son negativos, mientras que en el tercero, $y$ y $z$ lo son. Cada rama de la curva se sitúa entonces sobre una de las ramas de la superficie $\mathcal C$ correspondiente a las cevianas que no se cortan en un punto interior del triángulo $ABC$. Esto se aprecia también en la figura siguiente, en la cual la superficie $\mathcal C$ aparece en forma de red para resaltar el carácter torcido de $\mathcal P$.

La curva $\mathcal P$ sobre la superficie $\mathcal C$

Las coordenadas de los puntos de $\mathcal P$ satisfacen evidentemente la ecuación
$xy+x+1=0$
Las soluciones de ésta describen un cilindro hiperbólico (al que llamaremos $I$) cuyas generatrices son paralelas al eje $z$. Una de sus ramas contiene dos ramas de $\mathcal P$, mientras que la otra contiene la tercera.

El cilindro hiperbólico $\mathcal I$ contiene también a $\mathcal P$

La curva $\mathcal P$ admite en efecto las ecuaciones cartesianas
$ \left\{ \begin{matrix} xyz=1\\ xy+x+1=0 \end{matrix} \right. $
Ella es por lo tanto la intersección de $\mathcal C$ con el cilindro $\mathcal I$.
La figura de abajo (en la cual $\mathcal I$ no está discretizada) representa esto.

La curva $\mathcal P$ es la intersección de la superficie $\mathcal C$ con el cilindro $\mathcal I$

La ecuación $xy+x+1=0$ no es simétrica en $x,y,z$. Sin embargo, usando la relación
$xyz=1$, ella resulta ser equivalente a $zx+z+1=0$. Esta ecuación es la de un segundo cilindro hiperbólico que contiene a $\mathcal P$, digamos $\mathcal J$. Se tiene $\mathcal P=\mathcal I\cap \mathcal J$.

La curva $\mathcal P$ es también la intersección de los cilindros $\mathcal I$ y $\mathcal J$

Sobre la superficie $\mathcal C$, la ecuación $zx+z+1=0$ es a su vez equivalente a $yz+y+1=0$. Ésta es la ecuación de un tercer cilindro $\mathcal K$, el cual también contiene a $\mathcal P$: $\mathcal I\cap \mathcal J\cap \mathcal K=\mathcal P$.

<\quote>

Los tres cilindros $\mathcal I$, $\mathcal J$ y $\mathcal K$

Los cilindros $\mathcal I$, $\mathcal J$ y $\mathcal K$ son tres manifestaciones geométricas de la condición de paralelismo de las cevianas. Estas manifestaciones
corresponden a expresiones analíticas (equivalentes) de esta condición, las cuales no son, sin embargo, formalmente idénticas.

El bouquet final

Notas

[1Si $X$ es un punto de la recta $AB$, entonces $\overrightarrow{AX}=\lambda\overrightarrow{AB}$ vale para cierto $\lambda$, y la razón de los trazos determinados por $X$ en $[A,B]$ es
$ \frac{\overrightarrow{AX} }{\overrightarrow{XB} }=\frac{\lambda}{1-\lambda} $

[2De manera más precisa, con las notaciones de la primera figura, se trata de las razones de $A'$ respecto a $[B,C]$, de $B'$ respecto a $[C,A]$, y de $C'$ respecto a $[A,B]$.

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Para citar este artículo:

Andrés Navas — «La tercera dimensión del teorema de Ceva» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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