La troisième dimension du théorème de Céva

Le 29 octobre 2010  - Ecrit par  Pierre Lecomte Voir les commentaires (1)
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Des droites issues des sommets d’un triangle sont concourantes ou parallèles si, et seulement si, le produit des rapports de section [1]] de leurs intersections avec les côtés opposés, calculés par rapport à ces côtés [2], vaut 1.

Tel est le théorème de Ceva. C’est un théorème du plan mais il donne lieu de manière inattendue à quelques images en dimension trois non dénuées d’une certaine beauté.

Nous utiliserons dans la suite les notations de la figure ci-dessous. Nous appellerons $A',B',C'$ les pieds des céviennes $AA'$ etc.

Les ceviennes

Notons $x,y,z$ les rapports de section dont il est question dans l’énoncé. Le lieu des points $(x,y,z)$ pour lesquels les trois droites sont parallèles ou concourantes est une surface $\mathcal C$ de $\mathbb R^3$, d’équation $xyz=1$. En voici un aperçu.

La surface $\mathcal C$ des ceviennes parallèles ou concourantes

Elle présente quatre nappes. L’une décrit les céviennes dont les pieds sont situés entre les sommets des côtés auxquels ils appartiennent – celles qui se coupent en un point intérieur au triangle, pour lesquelles $x,y,z>0$ ; les trois autres représentent les cas où un seul pied a cette propriété.

Le lieu des $(x,y,z)$ décrivant des céviennes parallèles est une courbe $\mathcal P$ de $\mathbb R^3$, illustrée ci-dessous.

La courbe $\mathcal P$ des droites parallèles

Elle possède trois branches. Elles sont gauches. Il est facile de voir qu’elle admet en effet le paramétrage
[
x\mapsto (x,-\fracx+1x,-\frac1x+1)
]
et que les branches s’obtiennent en laissant varier $x$ dans les intervalles
[
]-\infty,-1[, \quad ]-1,0[ , \quad ]0,+\infty[
]
en dehors desquels ce paramétrage n’est pas défini.

Dans le premier, $x$ et $y$ sont négatifs ; dans le second, c’est $x$ et $z$ qui le sont tandis que dans le troisième, c’est $y$ et $z$. Chaque branche est donc située sur une des trois nappes de la surface $\mathcal C$ correspondant à des céviennes qui ne se coupent pas en un point intérieur au triangle $ABC$. Ceci se voit aussi sur la figure suivante, dans laquelle la surface $\mathcal C$ est ajourée pour souligner le caractère gauche de $\mathcal P$.

La courbe $\mathcal P$ sur la surface $\mathcal C$

Les coordonnées des points de $\mathcal P$ vérifient manifestement l’équation
[
xy+x+1=0
]
Ses solutions décrivent un cylindre hyperbolique dont les génératrices sont parallèles à l’axe des $z$. Nous l’appellerons $\mathcal I$. Une de ses nappes contient deux branches de $\mathcal C$ ; l’autre contient la troisième.

Le cylindre hyperbolique $\mathcal I$ contient aussi $\mathcal P$

La courbe $\mathcal P$ admet en fait les équations cartésiennes
[
\left{
\beginmatrix
xyz=1\
xy+x+1=0
\endmatrix
\right.
]
Elle est donc l’intersection de $\mathcal C$ et du cylindre $\mathcal I$. La figure ci-dessous représente cela, dans laquelle cette fois $\mathcal I$ n’est pas ajouré.

La courbe $\mathcal P$ est l’intersection entre la surface $\mathcal C$ et le cylindre $\mathcal I$

L’équation $xy+x+1=0$ n’est pas symétrique en $x,y,z$. Toutefois, moyennant la condition $xyz=1$, elle est équivalente à $zx+z+1=0$. Cette équation est celle d’un second cylindre hyperbolique contenant $\mathcal P$, disons $\mathcal J$. On a $\mathcal P=\mathcal I\cap \mathcal J$.

La courbe $\mathcal P$ est aussi l’intersection des cylindres $\mathcal I$ et $\mathcal J$

Sur la surface $\mathcal C$, l’équation $zx+z+1=0$ est à son tour équivalente à $yz+y+1=0$. C’est l’équation d’un troisième cylindre, $\mathcal K$, qui contient encore $\mathcal P$ : $\mathcal I\cap \mathcal J\cap \mathcal K=\mathcal P$.

<\quote>

Les trois cylindres $\mathcal I$, $\mathcal J$ et $\mathcal K$

Les cylindres $\mathcal I$, $\mathcal J$ et $\mathcal K$ sont trois manifestations géométriques de la condition de parallélisme des céviennes. Ces manifestations correspondent à des expressions analytiques équivalentes de cette condition, mais qui ne sont pas pour autant formellement identiques.

Le bouquet final

Notes

[1Si $X$ est un point de la droite $AB$, alors $\overrightarrow{AX}=\lambda\overrightarrow{AB}$ pour un certain nombre $\lambda$ et le rapport de section de $X$ par rapport à $[A,B]$ est
[
\frac\overrightarrowAX \overrightarrowXB =\frac\lambda1-\lambda

[2Plus précisément, avec les notations de la première figure, il s’agit des rapports de $A'$ par rapport à $[B,C]$, $B'$ par rapport à $[C,A]$ et de $C'$ par rapport à $[A,B]$.

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Pour citer cet article :

Pierre Lecomte — «La troisième dimension du théorème de Céva» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • La troisième dimension du théorème de Céva

    le 20 mai 2015 à 02:04, par Philippe Sadzot

    Les illustrations sont très belles, pas étonnant que l’on finisse sur un bouquet !

    je suis curieux de voir quels genres d’applications la version 3D de Céva pourrait bien avoir...

    Répondre à ce message

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