La unión hace la fuerza

Los anillos borromeos

Piste verte Le 4 septembre 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 29 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’union fait la force Voir les commentaires
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Observe los tres anillos que están representados aquí abajo.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings

El rojo está por encima del verde.

El verde está por encima del azul.

El azul está por encima del rojo.

Ninguno de estos tres anillos está por encima de los otros dos. Cada uno está por debajo de otro y por encima de un tercero. Imposible clasificarlos desde el más alto al más bajo... Tres objetos, ninguno superior, ninguno inferior, todos distintos... Hermoso símbolo.

Ahora, en su mente, borre uno de los tres anillos. Se puede ahora disociar sin dificultad los dos anillos restantes. Dos anillos cualesquiera no están anudados. Y, sin embargo, el conjunto de los tres anillos está anudado : es imposible disociarlos, ni siquiera deformándolos. La única solución para disociarlos sería ¡cortarlos ! De a dos, son independientes, pero es el conjunto de los tres anillos el que es solidario. Ahí de nuevo, un hermoso símbolo.

No es asombroso que este símbolo no solo fascine a los matemáticos :

Uno puede ver ahí la Trinidad cristiana.

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http://en.wikipedia.org/wiki/File:BorromeanRings-Trinity.svg

Jacques Lacan ve ahí un modelo para la subjetividad humana : lo real, lo imaginario y lo simbólico.

Y por otra parte, la Unión Matemática Internacional ha elegido esos anillos como símbolo de la unidad de las matemáticas.

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Se les llama anillos borromeos. Según Wikipedia, ’’el nudo debe su nombre de borromeo a la utilización que se hacía de ellos en los escudos de armas de una familia italiana, los Borromi’’.

Para un matemático, se debe demostrar lo que enunciamos más arriba. ¿Cómo probar que es imposible desanudar el conjunto ? Se podría decir que es evidente, pero hay que reconocer que algunos rompecabezas, incluso cuando parecen imposibles de resolver, poseen una solución. La topología algebraica ha desarrollado métodos para demostrar que en ciertas situaciones no se puede separar dos anillos, incluso si se autoriza deformarlos a voluntad (como si fueran de caucho) pero sin llegar a cortarlos. Sin embargo, el desafío aquí es otro, ya que evidentemente es posible separarlos de a dos, y por tanto se trata de demostrar que ¡uno no puede separar los tres ! Es el topólogo Massey quien reguló los productos de Massey en los años 1950, que son las herramientas adaptadas a este nuevo tipo de problemas  [1].

¿Y si demostramos alguna cosa ?

La figura inicial de este artículo deja pensar que los tres anillos son perfectamente circulares.
Es un error.

Vamos a demostrar que es imposible realizar anillos borromeos circulares, siguiendo un artículo de Lindström y Zetterström que data de 1991 [2].

Se trata de una prueba por contradicción. Se supone que es posible realizar anillos borromeos circulares, ¡y de ahí se deduce una contradicción !

Supongamos por lo tanto que uno dispone de tres anillos circulares en posición ’’borromeica’’, de tres colores, como en la figura. Imaginemos los anillos azul y verde rígidamente fijos en el espacio (por algún medio, no sé cuál, pero eso no importa mucho). En cuanto al anillo rojo, es libre de moverse en el espacio. Tómelo y llévelo hacia usted, hasta el momento en que se tope con el anillo azul en dos puntos. Durante ese movimiento, el anillo rojo no se encontrará con el anillo verde ya que éste está detrás del rojo, que se acerca a usted.

Los dos anillos rojo y azul son ahora dos circunferencias en el espacio que tienen dos puntos en común.

Ejercicio de geometría elemental : demuestre que si dos circunferencias en el espacio tienen dos puntos en común, o bien están en un mismo plano, o bien están sobre una misma esfera. Le dejo el placer de la demostración. Note que no supongo que las circunferencias tienen los mismos radios.

Si los anillos rojo y azul están en un mismo plano, observe lo que sucede cuando uno recorre el anillo verde. El anillo verde pasa dos veces por debajo del rojo y dos veces por encima del azul. Cuando uno lo recorre, el anillo verde debería pasar por encima, por debajo, y nuevamente por encima y por debajo del plano. Pero es imposible : ¡un círculo no puede cortar a un plano cuatro veces sin estar completamente contenido en él !

Si los anillos rojo y azul están trazados sobre una misma esfera, es lo mismo. El anillo verde debería entrar, salir, entrar y luego salir de la bola bordeada por esta esfera. Esto de nuevo es imposible, pues una circunferencia no puede cortar una esfera en cuatro puntos sin estar contenida en ella.

QED

Para saber más

Un sitio internet (en inglés) ¡dedicado únicamente a estos anillos !

Para darse un gusto, un truco de prestidigitador que tiene solo un lejano vínculo con los anillos, pero que muestra bien que a veces una asociación con tres (¡o más !) es útil.

Post-scriptum :

Un gran agradecimiento a los relectores de este artículo : Jérôme Germoni, Olivier Faugeras y Barbara Schapira.

Notes

[1Si usted ya conoce bastante de topología algebraica, aquí están las definiciones (en inglés).

[2Lindström, Bernt ; Zetterström, Hans-Olov (1991), ’’Borromean Circles are Impossible’’, American Mathematical Monthly 98 (4) : 340–34.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La unión hace la fuerza » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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