La valeur de π n’est pas la bonne !

18 octobre 2015  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (13)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Choisir de bonnes notations en mathématiques est important si on ne veut pas inutilement se compliquer la vie [1]. Malheureusement pour l’humanité (c’est en tout cas le point de vue de certains...), un très mauvais choix a été fait il y a fort longtemps ! La valeur de $\pi$ n’est pas la bonne ! Et les conséquences sont catastrophiques ;-).

Tout a commencé l’autre jour pendant un groupe de travail alors que l’orateur s’amusait à recoller les faces d’un polyèdre dans le but de construire la sphère dodécaédrique de Poincaré [2]. C’est à cet instant que le drame s’est produit puisqu’il fallait faire une rotation d’un dixième de tour, $\frac{\pi}{10}$ donc..., euh ben non $\frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ ! Mon voisin [3] me fit aussitôt remarquer que le problème, c’est que la valeur de $\pi$ a été très mal choisie [4]. On devrait poser
\[\pi = 2\pi,\]
c’est-à-dire $\pi = 6,28...$ et non $\pi = 3,14...$ : la vie s’en trouverait alors plus légère et plus harmonieuse :-). Aussitôt dit, il m’envoyait un article de Bob Palais simplement intitulé « $\pi$ is wrong ! ». On le trouve sur cette page web et j’en extraie ci-dessous quelques-uns des arguments.

Premier argument : la belle idée d’exprimer les angles en radians et non en degrés est sabotée par le fait que $\pi$ ne correspond pas à un tour complet mais à un demi-tour. Du coup, un énième de tour n’est pas $\frac{\pi}{n}$ comme il se devrait.

Deuxième argument : le très grand nombre de formules mathématiques qui se retrouvent polluées par l’apparition d’un facteur 2. Parmi celles-ci : la formule intégrale de Cauchy, les formules de séries de Fourier, l’équivalent de Stirling, la distribution gaussienne, les théorèmes de Gauss-Bonnet, les équations de l’électromagnétisme, la constante de Planck, la formule d’Euler, etc. etc.

Qui ne préfèreraient pas que les vénérables fonctions cosinus et sinus soient $\pi$-périodiques ?!

Troisième argument : l’aire d’un disque serait $\frac{1}{2}\pi r^2$, ce qui ne serait pas sans rappeler les fameuses formules de mécanique $\frac{1}{2}g t^2$ (distance parcourue au temps $t$ par un corps en chute libre dans le vide) et $\frac{1}{2}m v^2$ (énergie cinétique d’un corps de masse $m$ et de vitesse $v$).

Quatrième argument : imaginez dans quelle folie vivrions-nous si on avait défini le nombre complexe $i$ par $\frac{\sqrt{-1}}{2}$ plutôt que $\sqrt{-1}$ ? Eh bien nous vivons dans une folie analogue avec notre $\pi$. Si des extraterrestres nous écoutent et qu’ils réalisent qu’on a donné un nom à 3,14... et non à 6,28..., ils vont nous prendre pour de vrais sauvageons ! Comme ils recevront ce message codé en binaire, notre seule chance de salut sera qu’ils se disent qu’un bit s’est perdu dans la transmission...

Terminons par quelques formules qui auraient pu être aussi belles que :

\[\sin(x + \pi) = \sin(x)\]

\[\text{e}^{i\pi} = 1\]

\[n! \sim \sqrt{\pi n} n^n \text{e}^{-n}\]

\[A = \frac{1}{2}\pi r^2\]

\[ℏ = \frac{h}{\pi}\]

\[T = \frac{\pi}{\omega}\]

\[90° = \frac{\pi}{4}\]

\[c_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi}f(x)\text{e}^{i\pi x} dx\]

\[f(a) = \frac{1}{i\pi} \int_C \frac{f(z)}{z-a} dz\]

\[\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-\frac{1}{2}x^2} dx = 1\]

\[\zeta^k = \text{e}^{\frac{ik\pi}{n}}, k = 0 \cdots n\]

Il faut bien reconnaître que poser $\pi = 2 \pi$ [5] pourrait être un peu confusant... Aussi il semble préférable de choisir une autre notation et celle qui se dégage, c’est $\tau$. Ne tardez plus, le changement c’est maintenant !

Le manifeste pour $\tau$ : http://tauday.com

Et bien entendu, le $\tau$-day, ça se fête le 28 juin de chaque année !

Notons pour terminer que rien n’empêche en effet les deux notations $\pi$ et $\tau$ de coexister [6]. Le temps passant, on imagine alors que la meilleure notation finira bien par s’imposer...

Post-scriptum :

Cette anecdote m’a rappelé le premier cours de relativité que j’ai suivi il y a quelques années déjà. Le prof, qui n’était pas la moitié d’un théoricien ;-), a commencé ainsi : « Bonjour. Dans ce cours, la vitesse de la lumière, notée $c$, vaudra 1. » Et il a continué sans davantage s’étendre sur la question... Du coup, quitte à redéfinir $\pi$, je proposerais bien de carrément poser $2\pi = 1$ !!

Mais bon... comme j’en entends déjà certains grincer, reportons cette seconde réforme à la prochaine refonte des programmes scolaires... quand alors le périmètre du cercle sera égal à son rayon et que nos vénérables fonctions trigonométriques cosinus et sinus seront donc devenues 1-périodiques :-).

Notes

[1Voir le billet de Christine Huyghe.

[2C’est quoi ce truc vous demandez-vous ? Le mieux est encore d’aller écouter Nicolas Bergeron nous expliquer cette construction en détail.

[3que je ne dénoncerai pas mais qui arpente quotidiennement les coulisses de ce site et supervise la relecture des articles, un grand merci à lui et à son compère au passage pour leur travail !

[4Le suspect numéro un semble être William Jones dans un écrit de 1706. Notation qui fut reprise par Euler dès 1737 pour ensuite être universellement acceptée.

[5comme le ferait tout bon programmeur...

[6Je conçois que cette proposition est un peu moins révolutionnaire que celle de changer du jour au lendemain la valeur de $\pi$...

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «La valeur de π n’est pas la bonne !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 18 octobre 2015 à 10:26, par ROUX

    Ha ha ha !
    Alors, très amusant car la lettre tau est d’un peu loin une lettre pi qui a perdu une patte : tau, qui doit valoir le double de pi, est une lettre qui a la moitié du nombre de pattes de la lettre pi.
    Tau=2.Pi car le nombre de pattes de Pi=2.nombre de pattes de Tau.
    On n’en a pas fini avec 2 : les problèmes avec 2 s’enracinent  ;)...
    Et nous, en physique, le signe de la charge électrique qui circule dans les solides conducteurs ou semi-conducteurs.
    Moins.
    Zut !
    Moins d’où ce maudit courant électrique fléché dans le sens inverse du sens de déplacement des électrons ; moins d’où cette force électrique qui vaut moins le gradient du potentiel, et ainsi de suite :(...
    J’ai bien ri : merci !!!

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 18 octobre 2015 à 16:59, par FDesnoyer

    Etonnant comme je me suis fait la même réflexion pendant un cours avec des 1ereSTI2D.
    Bon, cela dit, j’ai presqu’eu peur !

    F.D.

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 18 octobre 2015 à 18:22, par Arnaud Chéritat

    Tau...talement d’accord !

    Au delà, la question générale de la refonte de terminologies ou notations imparfaites mais largement diffusées est délicate. Je me suis souvent plaint et j’ai peu agi. Les rares fois où j’ai essayé d’agir, je me suis fait rappeler à l’ordre dans des articles que j’écrivais, ou bien j’ai essuyé des remarques condescendant de la part de mes interlocuteurs.

    Que j’aime à faire apprendre... C’est quoi la nouvelle version ?

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    • La valeur de π n’est pas la bonne !

      le 18 octobre 2015 à 22:17, par Aurélien Alvarez

      Ah oui, il nous faut un nouveau poème pour retenir les décimales de tau ! Lecteurs oulipiens... des idées ?

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 20 octobre 2015 à 15:51, par Quentin

    oui en effet la valeur de &pi n’est pas la bonne mais je trouve qu’il y a pire : la valeur de 10 n’est pas la bonne !!!
    En effet, il faudrait poser 10=16 ou bien 10=64 comme l’on fait de nombreuse personnes dans des temps reculés (et que continu à utilisé des personnages blizzards appelés informaticiens ;-) ).

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    • La valeur de π n’est pas la bonne !

      le 21 octobre 2015 à 14:10, par Arnaud Chéritat

      C’est vrai ça, et d’ailleurs y a-t-il quelqu’un sur cette planète qui connaît les 100 premières hexadécimales de pi ou tau ?

      Plus sérieusement, incité par l’article d’Aurélien, j’ai lu le manifeste pour tau, c’est intéressant. Aurai-je le courage d’utiliser tau dans mon prochain article de recherche ? (ceux-ci sont sont truffés d’$e^{2i\pi \theta}$)

      Sur le manifeste, on apprend que ce serait peut-être Euler, qui par l’énorme impact de son œuvre, et en choisissant d’utiliser le rapport circonférence/diamètre au lieu de circonférence/rayon, aurait mis pi sur le devant de la scène. Lutter contre un choix plusieurs fois millénaire d’une base ancrée sur nos mains serait plus difficile que de lutter contre le choix de Mr Euler. Et toute base est arbitraire, même la base 2, non ?

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  • La formule n’est pas la bonne !

    le 23 octobre 2015 à 10:19, par Redwolf482

    Bonjour,

    Quel que soit le choix de pi, ne devrait-il pas rester une racine carrée dans la formule de l’intégrale de Gauss ?
    A moins de poser tau = racine(2pi), mais on aurait rapidement affaire à des tautau.

    Répondre à ce message
    • La formule n’est pas la bonne !

      le 23 octobre 2015 à 11:04, par Aurélien Alvarez

      Oui bien sûr, vous avez mille fois raisons ! Je viens de corriger :-).

      Merci, Aurélien.

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 23 octobre 2015 à 13:35, par François Giraud

    ENTIEREMENT D’ACCORD avec ce constat. Je l’explique régulièrement à mes élèves, par exemple quand on ajuste des périodes dans des cosinus ou quand on manipule l’exponentielle complexe (racines de l’unité typiquement).

    Sommes-nous capables de changer ? Ce serait un beau moment d’intelligence collective.

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  • Un débat sur Numberphile

    le 27 octobre 2015 à 22:10, par Aurélien Alvarez

    On pourra retrouver sur Numberphile (https://www.youtube.com/user/numberphile) un débat entre Steve Mould (@MouldS) et Matt Parker (@standupmaths) sur les raisons de préférer τ à π ou le contraire. Merci à Erik Python (@erikpython) de m’avoir twitté l’existence de ce débat : https://www.youtube.com/watch?v=ZPv1UV0rD8U

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    • Un débat sur Numberphile

      le 2 novembre 2015 à 20:43, par Jérôme Germoni

      Cette question tient visiblement beaucoup à cœur à Brady Haran (qui fait Numberphile) : http://www.numberphile.com/videos/tau.html

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 5 novembre 2015 à 14:25, par Maxime Bourrigan

    Un petit exemple : comme Internet en a maintenant l’habitude, un petit exercice de mathématiques (australien, cette fois) a fait parler de lui récemment : deux dodécagones réguliers sont placés côte à côte (= deux pièces de 50 centimes, la monnaie australienne partageant décidemment bien des choses avec l’anglaise), le long d’un côté, et il s’agit de trouver l’angle ainsi crée aux extrémités de ce côté commun.

    Comme le dit Palais dans son manifeste, on apprend tous à l’école que la somme des angles (intérieurs) d’un triangle vaut 180° = π. Mais si notre esprit n’était pas pollué par π, on apprendrait probablement plutôt que la somme des angles extérieurs d’un polygone, quel que soit son nombre de côtés, vaut 360° = τ. Ainsi, un dodécagone régulier a des angles extérieurs valant τ/12, et l’angle recherché vaut 2 × τ/12 = τ/6 = 60°, ce qui est la bonne réponse, que l’on pouvait ainsi trouver de tête.

    Vive τ !

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  • La valeur de π n’est pas la bonne !

    le 9 novembre 2015 à 00:18, par alfonzo

    pourquoi ne pas appeler cette valeur pipi ? ce serait très explicite !

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