La vida secreta de los números

Le 23 septembre 2013  - Ecrit par  Joaquín Navarro
Le 6 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La vie secrète des nombres Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista y de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...

Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.

Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un resumen del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Los matemáticos son seres humanos (casi) como los demás

Prefacio de Shalom Eliahou, profesor de la Université du Littoral Côte d’Opale

Algunos grandes nombres de las matemáticas son conocidos mucho más allá de los círculos doctos : Euclides, Arquímedes, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, Erdős, Gödel, Grothendieck, por citar sólo a algunos. Pero detrás de estos nombres conocidos hay otros menos conocidos, y detrás de los teoremas a los cuales están ligados hay seres humanos de carne y hueso, con una vida a veces agitada y llena de diversas aventuras y desventuras. Este es el objeto de la presente obra : dar una mirada al lado humano de la creación matemática y a las circunstancias a veces inesperadas en las cuales pudo ocurrir.

Volquémonos sobre una de las numerosas anécdotas relatadas y veamos lo que puede revelarnos acerca del progreso de los conocimientos. Su héroe es el matemático estadounidense Frank Nelson Cole (1861-1926). Durante un congreso de la American Mathematical Society en 1903, dio una exposición de una hora durante la cual permaneció en absoluto silencio, conformándose con escribir en la pizarra las igualdades

\[2^{67}-1 \,=\, 147.573.952.589.676.412.927 \,=\, 193.707.721 \times 761.838.257.287 \:.\]

Pero, aparte del asunto de no decir una sola palabra, ¿por qué esta exposición fue tan extraordinaria que le valió a Cole una ovación de pie ? De hecho, ¡fue una auténtica aclamación ! Sucede que el número de la izquierda, de la forma $2^{p}-1$ con $p$ primo, es lo que llamamos un número de Mersenne. Es en efecto Marin Mersenne (1588-1648), fraile y matemático francés que trabajó mucho por la circulación de ideas científicas en Europa, quien sugirió considerar los números primos de la forma especial $2^{p}-1$. Esta sugerencia resultó excelente y mantiene candente actualidad desde hace 350 años, ya que es la fuente de numerosos récords sobre los más grandes números primos conocidos. El último a la fecha se remonta al 25 de enero de 2018 con el descubrimiento del $2^{82.589.933}-1$, un monstruoso número primo con casi 25 millones de cifras. En 2118, se dirá que es liliputiense en vez de monstruoso ; ¿quién sabe ?. Pero volvamos a 1903. En esa época se sabía desde hacía varios decenios que $2^{67}-1$ era descomponible, sin conocer no obstante sus divisores primos. Fue Cole quien finalmente los develó, al cabo de cálculos que ocuparon todos sus domingos durante tres años.

Se sabe bien que el problema de la factorización de números enteros preocupa a la humanidad desde hace milenios. Incluso hoy en día sigue siendo de importancia fundamental, ya que de ahora forma parte de la seguridad informática en virtud del famoso protocolo criptográfico RSA. Cole estaría ciertamente sorprendido al ver que su cálculo se hace ahora en un abrir y cerrar de ojos usando computadoras. ¡Pero queda tanto por hacer en este tema general de la factorización y de los números primos ! ¿Dónde estarán los conocimientos en esta área en un siglo más ? ¿Cuál será el número primo más grande que se conozca entonces ? ¿Cuántas cifras tendrá ? ¿Será también un primo de Mersenne ? ¿Los progresos alcanzados habrán sido más bien de orden conceptual o tecnológico ? Evidentemente nadie hoy en día está en condiciones de dar respuestas adecuadas a estas preguntas. Si los matemáticos de 1903 se hubieran preparado para 2003, de seguro se habrían equivocado enormemente. Y lo mismo se puede decir de aquellos un siglo antes : en 1811, un tal Peter Barlow escribió que sin duda no se conocería nunca un primo de Mersenne superior a $2^{31}-1$, un número de 10 cifras, porque él estimaba poco probable ¡que alguien quisiera tratar de encontrar más allá ! Para terminar este punto, digamos que en Estados Unidos un premio Cole recompensa periódicamente los trabajos meritorios en álgebra y en teoría de números.

Por las páginas de este libro desfilarán varios otros temas de interés : conflictos de prioridad, rivalidades, conjeturas falsas, títulos escandalosos, hechos trágicos, tramposos, bromistas, sabios distraídos, genios. Y se hallará vastamente con qué divertirse. Entre otros, el telegrama críptico de Dirichlet a su suegra, las astucias de Roberval para permanecer en su puesto por 40 años, la técnica de lucha anti-dolor de Pascal, el teorema de Napoleón, el humor de Newton, los talentos matemáticos de Don Juan y el panadero tramposo de Poincaré.

En resumen, en esta pequeña muestra usted lo habrá comprendido : son innumerables las anécdotas vinculadas a los constructores de las matemáticas. Este libro da una mirada muy divertida.

Extracto del capítulo 6 - Matemáticas más recientes

Computador y guerra fría

A la Segunda Guerra Mundial le sucedió inmediatamente otra, no declarada : la famosa Guerra Fría, bastante más larga, que « Occidente » ganó definitivamente con la caída del muro de Berlín. Durante este período de 44 años, los dos campos se enfrentaron en silencio no solo en el plano político sino también en el científico e incluso, por lejano que pueda parecer, en el campo de las matemáticas.

En 1945, apenas terminó el conflicto armado, la URSS se encontró con un mundo de conocimientos para el cual no estaba preparada. Por ejemplo, la élite intelectual manifestaba un gran interés por las técnicas informáticas, pero no disponía del más mínimo computador. Y cuando se trata de comprar uno para comprender su funcionamiento y copiarlo, los intereses se topan con otro tipo de problemas.

Ese mismo año en Estados Unidos se construyó el ENIAC, el primer computador digno de tal nombre. La burocracia comunista, ante la imposibilidad de apoderarse o de copiar una máquina tan gigantesca y además única, envió —por medio de la comisión gubernamental de compras—, una carta a la Universidad de Pennsylvania pidiendo la adquisición de lo que llamaba un « robot calculador ». Luego de recibir la carta, el decano de la universidad la remitió inmediatamente a las autoridades militares americanas. Nunca hubo respuesta. Sin embargo la URSS se las arregló por su cuenta, como lo demostró la historia. La matemática del cálculo se desarrolló fuertemente en el bloque del Este, que dio nacimiento a grandes cerebros de la informática como Andreï Kolmogorov (1903-1987).

Un extraterrestre en Estados Unidos

John von Neumann (1903-1957), Johnny para sus amigos, era de origen húngaro. Su nombre de bautismo era en realidad János. Sus contemporáneos tendían a considerarlo como un verdadero extraterrestre debido a su memoria excepcional, así como a la velocidad y la capacidad de cálculo que poseía. Su diversidad de intereses y la potencia de su razonamiento eran prácticamente sobrehumanos. Fue tal vez el último hombre de su época en ser capaz de dominar todas las matemáticas. Parecería que hoy eso no es posible, dada la extensión de este campo.

George Pólya (1887-1985), matemático también, que siempre se distinguió por su gran perspicacia para proponer problemas pertinentes, hizo ver un día que un teorema estaba aún sin demostración. En los minutos que siguieron, von Neumann se acercó al pizarrón, tomó una tiza y lo demostró. Se cuenta que a partir de ese día Pólya lo miraba con un gran respeto mezclado de miedo.

Hans Bethe (1906-2005), premio Nobel de Física en 1967, clasificaba los problemas presentados en los seminarios matemáticos según diez niveles crecientes de dificultad. Esta clasificación era más o menos la siguiente : « Un problema de nivel 1 es de aquellos que incluso mi madre puede comprender. El de nivel 2 es, digamos, comprensible para mi esposa... » Para ganar tiempo pasemos a los niveles superiores : « El de nivel 7 es un problema que yo soy capaz de comprender. El nivel 8 es el de los enunciados que sólo el expositor y Johnny von Neumann son capaces de comprender. Los de nivel 9 son aquellos que sólo Johnny comprendería y no el expositor. Y el nivel 10 corresponde a los problemas que ni siquiera von Neumann comprendería. Pero problemas de ese tipo, ya no quedan muchos. »

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John von Neumann fue uno de los padres de las máquinas para calcular electrónicas.

Norbert Wiener

El matemático Norbert Wiener (1894-1964) es famoso por ser el inventor de la cibernética, pero también por haber sido un verdadero niño prodigio. Él aparece en innumerables historias populares como el arquetipo mismo del sabio distraído. Vamos a elegir algunas, menos conocidas y que sin embargo valen la pena.

Imagine una clase en el mítico Instituto de Tecnología de Massachusetts donde Wiener transmitía a toda velocidad su saber, recubriendo el pizarrón de símbolos y navegando en medio de un océano de conceptos y teoremas, donde los desafortunados oyentes se aburrían irremediablemente, sintiéndose por momentos completamente perdidos. Frente a ese bombardeo sin piedad, un alumno decidió pedir una pausa : « ¿Podría usted, por favor, repetir un poco más lentamente ? » Wiener accedió amablemente a la petición, pero como él la entendía. ¿Iba muy rápido ?, entonces detengámonos. Wiener se ubicó sonriente a un costado del pizarrón y se quedó inmóvil y silencioso por un largo rato. Una vez que pasó un tiempo que a él le pareció suficiente para digerir mentalmente lo que había expuesto, se dio vuelta hacia el pizarrón y puso un punto final muy enérgico. Así se terminó la clase y se fue sin decir una palabra. De nuevo, nadie había comprendido nada.

Una constitución ilógica

El lógico más destacado entre los matemáticos contemporáneos es Kurt Gödel (1906-1978), eminente matemático austro-americano. Figurará en todas las enciclopedias futuras no solo por sus éxitos profesionales, sino también por la colección de anécdotas resultantes de lo extraño de su carácter, que no hizo más que acentuarse con la edad. Hacia el fin de su vida, Gödel decidió adoptar la nacionalidad americana y, conforme a las costumbres de su patria de adopción, hacer los trámites necesarios que consisten, entre otros, en tener dos padrinos y jurar obediencia a la Constitución delante de un magistrado. Sus padrinos fueron dos de sus amigos ¡y qué amigos ! Cada uno de ellos había pasado, como Gödel, por el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. El primero era Albert Einstein y el segundo Oskar Morgenstern (1902-1977), el economista que inventó, con John von Neumann, la teoría de juegos. Ambos desconfiaban de la actitud de Gödel durante la ceremonia, ya que conocían su paranoia creciente y sabían que, incluso si deseaba obtener su ciudadanía, iba a poner las cosas difíciles. Él había leído toda la constitución americana y su espíritu aguzado de lógico ya había descubierto puntos que le parecían oscuros. De hecho, Gödel aseguraba que estaba mal redactada y que había fallas por las cuales era fácil instaurar un régimen dictatorial.

Llegó el momento del juramento y el juez, ante personajes tan distinguidos como lo eran los tres espíritus más potentes del planeta, se creyó obligado a hacer algunos comentarios. Con una exquisita amabilidad, recordó a Gödel que lo que había sucedido en su país natal (que confundió lamentablemente con Alemania, mientras que Gödel era austríaco) no podría producirse aquí : « La Constitución no permitiría nunca una dictadura en nuestro país ». Esa fue la gota de agua que rebalsó el vaso. Gödel comenzó entonces un discurso incendiario, ya que según él, una falla en la Constitución autorizaba justamente el surgimiento de una dictadura. Sus padrinos interrumpieron precipitadamente su discurso, quizás simplemente hablando del tiempo que hacía afuera, la historia no lo dice. La entrevista se terminó como pudo, con todo el mundo —incluido el juez— tratando de calmar al ilustre lógico. Gödel obtuvo finalmente la nacionalidad que deseaba. Probablemente el juez se la concedió para hacerlo callar. « Menos mal que terminó bien », debió pensar seguramente Einstein, aliviado, y Morgenstern probablemente se preguntó por qué se había metido en tal situación. « ¡Ellos no me dejaron explicar mi argumento ! » decía Gödel a quien quisiera escucharle. Si Groucho Marx hubiera presenciado la escena, seguro que habría disfrutado enormemente.

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Kurt Gödel en el Institute for Advanced Study de Princeton.

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Sommaire du livre
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Shalom Eliahou. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La vida secreta de los números» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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