La vie secrète des nombres

Le 23 septembre 2013  - Ecrit par  Joaquín Navarro Voir les commentaires (2)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques, suivi du sommaire du livre.

Les mathématiciens sont des êtres humains (presque) comme les autres

Préface de Shalom Eliahou, professeur à l’Université du Littoral Côte d’Opale

Quelques grands noms des mathématiques sont connus bien au-delà du seul cercle des initiés : Euclide, Archimède, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, Erdős, Gödel, Grothendieck, pour n’en citer que quelques-uns. Mais derrière ces noms connus et d’autres moins connus, et derrière les théorèmes qui leur sont attachés, il y a des êtres humains de chair, avec une vie parfois mouvementée et ses lots d’aventures ou mésaventures diverses. C’est l’objet du présent ouvrage : donner un aperçu du côté humain de la création mathématique et des circonstances parfois inattendues dans lesquelles celle-ci peut prendre place.

Penchons-nous sur l’une des nombreuses anecdotes relatées, et voyons ce qu’elle peut nous révéler sur le progrès des connaissances. Son héros en est le mathématicien américain Frank Nelson Cole (1861-1926). Celui-ci a donné, lors d’un congrès de l’American Mathematical Society en 1903, un exposé d’une heure, entièrement muet, durant lequel il s’est contenté d’établir au tableau noir les égalités

\[2^{67}-1 \,=\, 147.573.952.589.676.412.927 \,=\, 193.707.721 \times 761.838.257.287 \:.\]

Outre l’aspect sans paroles, en quoi cet exposé était-il si extraordinaire pour valoir à Cole une ovation debout ? En fait, c’était un authentique exploit ! Le nombre de gauche, étant de la forme $2^{p}-1$ avec $p$ premier, est ce qu’on appelle un nombre de Mersenne. C’est en effet Marin Mersenne (1588-1648), moine et mathématicien français ayant beaucoup oeuvré à la circulation des idées scientifiques en Europe, qui a suggéré de considérer les nombres premiers de la forme spéciale $2^{p}-1$. Cette suggestion s’est révélée excellente, et reste d’actualité brûlante depuis 350 ans puisqu’elle est la source de nombreux records des plus grands nombres premiers connus. Le dernier en date remonte d’ailleurs au 25 janvier 2013, avec la découverte de $2^{57.885.161}-1$, un monstrueux nombre premier à plus de 17 millions de chiffres. En 2113, on dira peut-être lilliputien au lieu de monstrueux, qui sait ? Mais revenons à 1903. A l’époque, on savait depuis plusieurs décennies déjà que $2^{67}-1$ était décomposable, sans toutefois connaître ses diviseurs premiers. C’est Cole qui les a enfin dévoilés, à l’issue de calculs ayant occupé tous ses dimanches pendant trois ans.

On sait bien que la problématique de la factorisation des nombres entiers préoccupe l’humanité depuis des millénaires. Elle reste aujourd’hui encore d’importance fondamentale, puisqu’elle fait désormais partie intégrante de la sécurité informatique en vertu du fameux protocole cryptographique RSA. Cole serait certainement épaté de voir que son calcul se fait maintenant en un clin d’oeil par ordinateur. Mais il reste tant à faire sur ce thème général de la factorisation et des nombres premiers ! Où donc en seront les connaissances à ce sujet dans un siècle ? Quel sera le plus grand nombre premier connu alors ? Combien de chiffres aura-t-il ? Sera-t-il lui aussi un premier de Mersenne ? Les progrès réalisés auront-ils été d’ordre plutôt conceptuel ou plutôt technologique ? Evidemment personne aujourd’hui n’est en mesure de donner des réponses pertinentes à ces questions. Si les mathématiciens de 1903 s’y étaient essayés pour 2003, ils se seraient sûrement lourdement trompés. Et l’on peut dire la même chose pour ceux d’un siècle auparavant : en 1811, un certain Peter Barlow a écrit qu’on ne connaîtrait sans doute jamais de premier de Mersenne supérieur à $2^{31}-1$, un nombre à 10 chiffres, parce qu’il estimait très peu probable que quiconque veuille essayer d’en trouver au-delà ! Pour en finir sur ce point, notons qu’un prix Cole aux Etats-Unis récompense périodiquement des travaux méritants en algèbre et en théorie des nombres.

Au fil des pages de ce livre défileront bien d’autres sujets d’intérêt : des conflits de priorité, des rivalités, des conjectures fausses, des titres tapageurs, des faits tragiques, des tricheurs, des plaisantins, des savants distraits, des génies. Et l’on trouvera largement de quoi se divertir avec, entre autres, le télégramme cryptique de Dirichlet à sa belle-mère, les astuces de Roberval pour rester en poste pendant 40 ans, la technique de lutte anti-douleur de Pascal, le théorème de Napoléon, l’humour de Newton, les talents mathématiques de Don Juan et le boulanger tricheur de Poincaré.

Bref, à ce petit échantillon vous l’aurez compris : innombrables sont les anecdotes liées aux bâtisseurs des mathématiques. Ce livre en donne un aperçu fort divertissant.

Extrait du Chapitre 6 - Mathématiques plus récentes

Ordinateur et guerre froide

À la Seconde Guerre mondiale succéda immédiatement une autre, non déclarée :
la fameuse guerre froide, bien plus longue, que l’« Occident » remporta définitivement
à la chute du mur de Berlin. Pendant cette période de 44 ans, les deux
camps s’affrontèrent en silence non seulement sur le plan politique, mais aussi
scientifique et même, aussi lointain qu’il puisse paraître, dans le domaine des
mathématiques.

En 1945, à peine le conflit armé terminé, l’URSS se retrouva dans un monde
de connaissances auquel elle n’était pas préparée. Par exemple, l’élite intellectuelle
manifestait un grand intérêt pour les techniques informatiques, mais ne disposait
pas du moindre ordinateur. Et quand il s’agit d’en acheter un pour comprendre son
fonctionnement et le copier, les intéressés se heurtèrent à d’autres types de problèmes.
Cette même année, les États-Unis construisirent l’ENIAC, le premier ordinateur
digne de ce nom. La bureaucratie communiste, devant l’impossibilité de
s’emparer ou de copier une machine aussi gigantesque, et de plus, unique, remit, par
le biais de la commission d’achat gouvernementale, une lettre adressée à l’université
de Pennsylvanie qui demandait l’acquisition de ce qu’elle appelait un « robot
calculateur ». Dès réception de la lettre, le doyen de l’université la remit immédiatement
aux autorités militaires américaines. Il n’y eut jamais de réponse et l’URSS
dut faire sans. Et ils se débrouillèrent très bien comme le démontra l’Histoire. La
mathématique du calcul se développa fort bien dans le bloc de l’Est, qui donna
naissance à de grands cerveaux de l’informatique tel Andreï Kolmogorov (1903-1987).

Un extraterrestre aux États-Unis

John von Neumann (1903-1957), Johnny pour ses amis, était d’origine hongroise ;
son nom de baptême était en réalité János. Ses contemporains avaient tendance à le
considérer comme un véritable extraterrestre en raison de sa mémoire exceptionnelle
ainsi que de la vitesse et de la capacité de calcul dont il faisait preuve. La diversité
de ses intérêts et la puissance de son raisonnement étaient pratiquement surhumaines.
Il fut peut-être le dernier homme de son époque à être capable de dominer toutes
les mathématiques. Il semblerait qu’aujourd’hui ce ne soit plus possible, étant donné
l’étendue de ce domaine.

George Pólya (1887-1985), mathématicien lui aussi, qui s’était toujours distingué
par sa grande perspicacité pour proposer des problèmes pertinents, fit remarquer un
jour qu’un théorème était toujours sans démonstration. Dans les minutes qui suivirent,
von Neumann s’approcha du tableau, saisit une craie et le démontra. On raconte
qu’à partir de ce jour, Pólya le regardait avec un grand respect mêlé de panique.

Hans Bethe (1906-2005), prix Nobel de physique en 1967, classait les problèmes
présentés dans les séminaires mathématiques selon dix niveaux croissants de
difficulté. Cette classification était à peu près la suivante : « Un problème de
niveau 1 est de ceux que même ma mère peut comprendre. Celui de niveau 2 est,
disons, compréhensible par mon épouse… » Pour gagner du temps, passons aux
niveaux supérieurs : « Celui de niveau 7 est un problème que je suis capable de
comprendre. Le niveau 8 est celui des énoncés que seuls le conférencier et Johnny
von Neumann sont capables de comprendre. Ceux de niveau 9 sont ceux que seul
Johnny comprendrait et que le conférencier ne comprendrait plus. Et le niveau 10
correspondrait aux problèmes que même von Neumann ne comprendrait pas
encore. Mais des problèmes de ce type, il n’en reste plus beaucoup. »

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John von Neumann fut l’un des pères des calculateurs électroniques.

Norbert Wiener

Le mathématicien Norbert Wiener (1894-1964) est célèbre pour être l’inventeur
de la cybernétique, mais aussi pour avoir été un véritable enfant prodige. Il passe
dans d’innombrables histoires populaires comme l’archétype même du savant distrait.
Nous n’en choisirons que quelques-unes, moins connues et qui en valent
néanmoins la peine. Imaginez une classe du mythique Institut de technologie du
Massachusetts où Wiener transmettait à toute vitesse son savoir, recouvrant le
tableau de symboles et naviguant au milieu d’un océan de concepts et de théorèmes,
où les malheureux auditeurs se noyaient irrémédiablement, en se sentant,
par moments, complètement perdus. Face à ce bombardement sans merci, un élève
se décida à demander une pause : « Pourriez-vous, s’il vous plaît, tout répéter un
peu plus lentement ? » Wiener accéda aimablement à cette requête, mais comme il
l’entendait. Il allait trop vite ? Alors, détendons-nous. Wiener se plaça en souriant
d’un côté du tableau et resta immobile et silencieux un long moment. Une fois
passé un temps qui lui sembla suffisant pour digérer mentalement ce qui y était
exposé, il se tourna vers le tableau et traça un point final très énergique. Ainsi se
termina la classe et, il va sans dire, personne n’avait encore une fois rien compris.

Une constitution illogique

Le logicien ayant le plus marqué les mathématiques contemporaines est Kurt Gödel
(1906-1978), éminent mathématicien austro-américain. Il figurera dans toutes les
encyclopédies futures non seulement pour ses succès professionnels, mais aussi pour
la collection d’anecdotes résultant de l’étrangeté de son caractère, qui ne fit que
s’accentuer avec l’âge.
Vers la fin de sa vie, Gödel décida d’adopter la nationalité américaine et, conformément
aux usages de sa patrie d’adoption, de faire les démarches nécessaires qui
consistent, entre autres, à avoir deux parrains et à jurer allégeance à la Constitution
devant un magistrat. Ses parrains furent deux de ses amis, et quels amis ! Chacun d’eux
était passé, comme Gödel, par l’Institut d’études avancées de Princeton. Le premier
était Albert Einstein, le deuxième Oskar Morgenstern (1902-1977), l’économiste qui
inventa, avec John von Neumann, la théorie des jeux. Tous deux se méfiaient de
l’attitude de Gödel pendant la cérémonie, car ils connaissaient sa paranoïa grandissante
et savaient que, même s’il désirait obtenir sa citoyenneté, il allait rendre les choses
difficiles. Il avait lu toute la Constitution américaine et son esprit aiguisé de logicien avait déjà décelé des points qui lui paraissaient obscurs. En fait, Gödel
prétendait qu’elle était mal rédigée et qu’il existait des failles par lesquelles il était
aisé d’instaurer un régime dictatorial.
Arriva le moment du serment et le juge, face à des personnages si distingués
comme l’étaient les trois esprits les plus puissants de la planète, se crut obligé de
faire des commentaires. Avec une exquise politesse, il rappela à Gödel que ce qui
s’était passé dans son pays natal (qu’il confondit malheureusement avec l’Allemagne
alors que Gödel était autrichien) ne pourrait se produire ici : « La Constitution
ne permettra jamais une dictature dans notre pays. » Ce fut la goutte d’eau
qui fit déborder le vase. Gödel entama alors un discours incendiaire, car, selon lui,
une faille dans la Constitution autorisait justement l’émergence d’une dictature.
Ses parrains interrompirent précipitamment son discours, peut-être en parlant tout
simplement du temps qu’il faisait dehors, l’histoire ne le dit pas. L’entrevue se termina
comme elle put, tout le monde, juge compris, essayant de calmer l’illustre
logicien. Gödel obtint finalement la nationalité qu’il désirait. Le juge la lui accorda
probablement pour le faire taire.
« Tout est bien qui finit bien », a sûrement dû penser Einstein, soulagé,
et Morgenstern s’est probablement demandé pourquoi il s’était fourré dans une
telle situation. « Ils ne m’ont pas laissé m’expliquer ! » disait Gödel à qui voulait
l’entendre. Si Groucho Marx avait assisté à la scène, il est certain qu’il l’aurait
grandement appréciée.

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Kurt Gödel, à l’Institut d’études avancées de Princeton.

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Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Shalom Eliahou. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Joaquín Navarro — «La vie secrète des nombres» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • La vie secrète des nombres

    le 1er octobre 2013 à 13:26, par Laurent Paluel-Marmont

    Le titre du livre est trompeur ; et le sous-titre mériterait d’être corrigé en « les bizarreries des mathématiciens », révélées dans une compilation d’anecdotes souvent amusantes, parfois farfelues, à l’occasion inquiétantes. C’est l’occasion de croiser de page en page les plus grands mathématiciens, à une exception près : l’excentricité semblant être le signe du génie en mathématiques, on s’étonne de ne pas voir Cédric Villani figurer parmi ses pairs.

    Répondre à ce message
  • La vie secrète des nombres

    le 3 octobre 2013 à 18:37, par Shalom Eliahou

    D’accord avec vous, le titre ne reflète pas parfaitement le contenu du livre. Quant à l’absence de Cédric Villani dans ce volume, elle s’explique sans doute par le fait que l’original en espagnol est paru en 2010, l’année où Villani a reçu la médaille Fields.
    Bien cordialement,
    Shalom Eliahou

    Répondre à ce message

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Cet article fait partie du dossier «Le monde est mathématique» voir le dossier

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