Las imágenes como símbolos matemáticos

Le 23 mars 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 25 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Les images comme symboles mathématiques Voir les commentaires
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Quisiera comenzar por dos anécdotas personales que me hicieron tomar conciencia del temor y el malestar que los matemáticos sienten ante las figuras y las imágenes.

Cuando era estudiante de tercer ciclo en la universidad, tuve la ocasión de ’’sorprender’’ a uno de mis profesores haciendo pequeños croquis para seguir un razonamiento, cuando se exigía no hacer nunca la más mínima figura en el pizarrón en su clase magistral. ¿Por qué él no compartía con sus estudiantes este acceso a la comprensión que permiten la figuras ?

Mucho tiempo después, al final de una de mis conferencias, la reacción de un eminente colega me sorprendió bastante. Yo había presentado un teorema difícil de topología donde era necesario -como se acostumbra en esta disciplina- ’’cortar y pegar’’ numerosos espacios. Para facilitar la comprensión de esas construcciones, yo había preparado algunas figuras bastante elaboradas, como por ejemplo la figura 1. Ese colega me preguntó entonces pérfidamente :

— ’’Lo que usted explicó, ¿se puede decir que se trata de un teorema ?’’

Ciertamente, ¿o acaso las figuras no permiten demostrar un teorema con el mismo rigor que una prueba clásica, redactada con palabras ?

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Figura 1 : Una figura de topología (relacionada con un teorema de K. Kuperberg).

Claramente, este ’’miedo a la imagen matemática’’ está ligado al riesgo de error que conlleva. ¿Cómo es que los matemáticos, después de tantos siglos de práctica en razonamientos, no han logrado aún domesticar las imágenes e incorporarlas como herramientas de trabajo ? Me parece que esto es un desafío para las matemáticas del mañana.

Un poco de historia

La historia de la relación entre imágenes y matemáticas merecería por supuesto un análisis detallado. Al respecto se puede consultar un artículo muy interesante de Jeanne Peiffer [1]. Quisiera, sin embargo, trazar a grandes rasgos (un tanto simplistas) los principales períodos de esta historia.

Con los antiguos griegos parece claro que el texto y la figura forman un todo, y que no se puede leer uno sin observar lo otro. Aunque no es seguro que las ediciones originales contenían figuras, sus descripciones son tan exactas que el lector es invitado a trazarlas.

Durante el Renacimiento, los matemáticos a menudo son artistas, arquitectos, ingenieros. Las figuras tienen un rol central, en especial porque los libros escritos por esos autores no son necesariamente leídos por matemáticos.

Es a inicios del siglo XIX, sobre todo en Francia, cuando comienza un período iconoclasta en matemática. Esto coincide con la puesta a punto de los métodos ’’rigurosos’’ de demostración y la toma de conciencia de que las figuras pueden equivocarse. La cita siguiente de Lagrange (de la introducción a su Mecánica Analítica) ilustra bien esta mentalidad.

’’El lector no encontrará ilustraciones en esta obra. Los métodos que yo propongo no necesitan construcciones o razonamiento mecánico o geométrico, sino solamente operaciones algebraicas sometidas a una regla de procedimiento regular y uniforme.’’

A modo de anécdota, no hay que olvidar que el grabado de las figuras costaba caro, y que los editores ponían mala cara para publicar libros de matemáticas ilustrados. Las figuras eran además a menudo relegadas hacia el final de la obra, sobre una o dos páginas desplegables. Por supuesto, hay excepciones, como los libros de geometría descriptiva, cuyo objetivo es abiertamente práctico, pero incluso los tratados de Monge dedicados a este tema no están ricamente ilustrados [2].

Este rechazo a la figura en matemática continuó en el siglo XX, al menos en Francia. Citemos a Dieudonné, en los años 1970 :

’’Es así como sería deseable liberar al alumno lo antes posible de la camisa de fuerza de las figuras tradicionales, hablando lo menos posible, en beneficio de la idea de transformación geométrica del plano y del espacio completos...’’

Por el contrario, en Alemania, hacia el fin del siglo XIX, surgió un enfoque más concreto de las matemáticas. Los artículos de F. Klein acerca de la uniformización de ciertas superficies de Riemann están ilustrados con magníficas figuras (sobre este tema, vea este maravilloso libro [3]). No se duda en fabricar toda una serie de objetos en yeso, utilizados en la enseñanza superior para representar un cierto número de superficies algebraicas (y que se encuentran además expuestos hoy en día en las salas comunes de numerosos departamentos de matemáticas en el mundo entero). Vea por ejemplo [4] y [5].

El desafío de Hilbert

En el congreso internacional de matemáticos de París, en 1900, D. Hilbert propone sus famosos 23 problemas [6] pero antes de sus descripciones, él hace un cierto número de comentarios generales acerca de las matemáticas. Aquí hay un extracto [7] :

’’A nuevos conceptos hay que asociar nuevos signos. Debemos elegirlos de manera que nos recuerden los fenómenos que formaron esos conceptos. Las figuras son signos que nos recuerdan la intuición espacial, utilizados con ese fin por los matemáticos. ¿Quién no usa simultáneamente con la desigualdad $a < b < c $ la imagen de tres puntos que se suceden sobre la recta ? ¿Quién no utiliza el dibujo de segmentos o de rectángulos encajados cuando se trata de demostrar rigurosamente la continuidad de una función o la existencia de un punto de acumulación ? ¿Quién podría prescindir de un triángulo, de un círculo y de su centro, o de tres ejes ortogonales ? ¿O que abandonaría la representación de un campo de vectores, o la figura de una familia de curvas y de su envoltura, que son tan importantes en la teoría de las ecuaciones diferenciales, en los fundamentos del cálculo de las variaciones o en todas las demás partes de las matemáticas ?

Los símbolos aritméticos son diagramas escritos y las figuras geométricas son fórmulas gráficas. Ningún matemático podría prescindir de la utilización de esas fórmulas gráficas, no más que del uso de los paréntesis o de otros signos en las fórmulas.

La utilización de los signos geométricos como herramientas de pruebas rigurosas presupone el conocimiento y el dominio de los axiomas que están subyacentes a esas figuras. Para poder incorporar esas figuras geométricas en el tesoro de los signos matemáticos es necesario comenzar por un análisis riguroso de sus contenidos conceptuales. De la misma manera que cuando se añaden dos números se debe colocar las cifras correctamente, la utilización y la combinación de las figuras geométricas debe estar regida por reglas precisas.’’

Así entonces, Hilbert nos desafía a hacer con las imágenes lo que Viète había hecho con los símbolos algebraicos : establecer reglas precisas para su uso, que les sean propias y que permitan utilizarlas como herramientas matemáticas auténticas. Este desafío no ha sido todavía recogido, pero debería serlo en un futuro próximo si se toma en cuenta las posibilidades extraordinarias propuestas por los programas computacionales de creación gráfica de los cuales hoy se dispone. Una imagen ahora puede ser modificada, controlada o trabajada con tanta precisión como se manipula un archivo de texto, por ejemplo.

Algunos intentos

La teoría de nudos ofrece un ejemplo del todo interesante que va en esta dirección. Nacida durante el siglo XIX, consiste en estudiar los diagramas que no son más que pequeños croquis trazados en el plano. Los artículos sobre este tema son una excepción en las revistas matemáticas : contienen a menudo un gran número de diagramas que uno manipula de manera casi automática, un poco como manipula los símbolos algebraicos siguiendo reglas bien establecidas, como lo deseaba Hilbert. Esta teoría, luego de haberse adormecido un poco durante la primera mitad del siglo XX, experimentó un rebrote de actividad extraordinario desde los años 1980, en especial -pero no solamente- a raíz de sus lazos con la física teórica (los diagramas de Feynman por ejemplo). Hoy uno puede manipular un nudo como manipula una incógnita en una ecuación. Por ejemplo, en el sitio internet de D. Bar-Natan [8] se encuentra toda una serie de herramientas informáticas que permiten trabajar con esos nudos, de la misma manera como los programas de cálculo formal permiten trabajar con ecuaciones. Aquí hay una figura extraída de [9].

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Figura 2 : Imagen tomada de un artículo reciente de teoría de nudos.

Aquí hay otro ejemplo de una fórmula-imagen extraída de una reciente tesis de probabilidades, en la cual se ve cosenos y diagramas en la misma fórmula de las desigualdades [10].

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Figura 3 : Imagen tomada desde una tesis en teoría de probabilidades.

Pero los diagramas no son más que pobres imágenes, demasiado elementales, y Hilbert probablemente tenía en la cabeza imágenes más ricas. Hacia el fin del siglo XX, un cierto número de matemáticos propuso una renacimiento de las imágenes en las matemáticas. Un ejemplo emblemático fue dado por el matemático estadounidense W. Thurston, quien renovó en profundidad nuestra forma de comprender la geometría de las ’’variedades de dimensión 3’’. Por supuesto, no se trata de entrar aquí en el detalle de sus trabajos, y quisiera conformarme con un ejemplo. Bajo su impulso, J. Weeks fue llevado a concebir y realizar un programa computacional llamado SnapPea, que es una verdadera herramienta visual de trabajo para el topólogo en dimensión 3. Ahí uno encuentra atlas que contienen un gran número de variedades que pueden modificarse, cortarse, pegarse, examinarse, hacer girar sobre una pantalla ante sus ojos, etc. Este asistente de trabajo ha tenido un impacto considerable en el desarrollo de la topología de pequeña dimensión (vea [11] y [12]). Por supuesto, no se trata más que de una herramienta visual de ayuda para el descubrimiento, y el deseo de Hilbert no está todavía completamente realizado.

Un teorema de S. Smale de 1957 sorprendió a más de un matemático. Es posible evertir la esfera sin desgarrarla. Esto significa que si uno colorea de rojo, por ejemplo, la cara interna de una esfera y la cara externa de amarillo, es posible deformar progresivamente la esfera, permitiendo que ciertas partes penetren en otras, pero sin dejar que se desgarren, de modo que al final de la deformación la esfera haya vuelto a su posición original y los dos colores hayan sido cambiados. El simple hecho que la frase anterior sea casi incomprensible para quienes no son matemáticos, y bastante imprecisa para aquellos que lo son, muestra una vez más la dificultad de expresar algunas ideas matemáticas con palabras, mientras que las imágenes pueden hacerlo mucho más fácilmente. Para este ejemplo, B. Morin y J.-P. Petit publicaron un artículo en la revista Pour la Science en 1979, el cual contenía toda una serie de dibujos que permitían comprender el enunciado de ese teorema, y a la vez su demostración [13]. Más impresionante aún : W. Thurston y sus colaboradores produjeron una película acerca de este teorema, conteniendo una prueba que es tan convincente -o tal vez incluso más convincente- que la prueba publicada por Smale [14]. Mejor todavía, en una veintena de minutos, esta película muestra las etapas conceptuales que condujeron al descubrimiento de ese teorema. Aunque el uso de las imágenes en esta película no está formalizado como Hilbert lo habría deseado me parece que la película contiene efectivamente la prueba de un teorema.

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Figura 4 : Invirtiendo la esfera.

La figura anterior está extraída de esa película. A la izquierda muestra algunas etapas de la eversión de la esfera (que progresivamente pasa del amarillo al rojo), y a la derecha una de las posiciones intermedias ’’alambicadas’’ (por decir lo menos). Para una comprensión completa, recomendamos al lector ver la película.

Por supuesto, las imágenes están lejos de ser los únicos conceptos utilizados por los matemáticos, ¡y no sería necesario tampoco darles un rol exagerado ! Pero las imágenes han invadido nuestra sociedad y han llegado a ser -querámoslo o no- uno de los principales medios de comunicación hoy en día. Es necesario ahora que las imágenes tomen el lugar que merecen en el núcleo de las matemáticas. Hay que recoger el desafío de Hilbert :

’’Incorporar esas figuras geométricas en el tesoro de los signos matemáticos’’.

Bibliografía

Esta nota es la redacción de una conferencia en la Academia de Ciencias de Francia, el 6 de mayo de 2008, en un coloquio titulado ’’La virtud creadora del simbolismo matemático’’. Repite un artículo de la Lettre de l’Académie des Sciences, fechada en diciembre de 2008.

Notes

[1J. PEIFFER, Rôle des figures dans la transmission et la production des mathématiques, Images des Mathématiques, CNRS, 2006,

[2G. MONGE, Géométrie descriptive, http://gallica.bnf.fr/

[3D. MUMFORD, C. SERIES, D. WRIGHT, Indra’s Pearls : The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, 2002. Vea también http://klein.math.okstate.edu/IndrasPearls/

[4G. FISCHER, Mathematical Models : From the Collections of Universities and Museums. (Dos volúmenes). Friedr. Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1986.

[5A. VIERLING-CLAASSEN, http://www.math.harvard.edu/ angelavc/models/

[6Respecto a los problemas de Hilbert, se puede leer este artículo.

[7D. HILBERT, Mathematische Probleme Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900,
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ kersten/hilbert/rede.html

[8D. BAR-NATAN, http://katlas.org/wiki/Main_Page

[9D. BAR-NATAN, Fast Khovanov Homology Computations, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 16-3 (2007) 243-255, http://www.math.toronto.edu/ drorbn/papers/FastKh/

[10M. HEYDENREICH, A lace-expansion analysis of random spatial models, Ph.D. Eindhoven University of Technology, November 2008, http://www.win.tue.nl/ mheydenr/Heydenreich_proefschrift.pdf

[11J. WEEKS, SnaPea, http://www.geometrygames.org/SnapPea/

[12J. WEEKS, The Shape of Space - How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional Manifolds.(1985) Marcel Dekker.

[13B. MORIN et J.-P. PETIT, Le retournement de la sphère, Pour la Science 15 (1979), 34-49. Vea también http://www.jp-petit.org/science/maths_f/cube_central.htm

[14S. LEVY, D. MAXWELL, T. MUNZNER, W. THURSTON, Outside in, video distribuido por A.K Peters, disponible en YouTube http://fr.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Las imágenes como símbolos matemáticos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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