Extracto del capítulo 4 - Jugar sudoku con la vida

Las matrices y las arvejas: las leyes de Mendel

Desde un punto de vista histórico, las leyes de Mendel no solo constituyen un primer paso importante de la biología contribuyendo al nacimiento de la genética. Estas favorecieron también el estudio y el desarrollo de la biología matemática, proporcionando un buen ejemplo de concepción experimental. En esta sección, presentaremos un modelo de base de las famosas leyes de la herencia con la ayuda de matrices.

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Gregor Mendel, botánico nacido en Austria en 1822, fue ordenado monje agustino en 1843, y se retiró al monasterio de Königskloster, situado en la actual República Checa. En su pequeño jardín de solamente 35 metros de largo y 7 metros de ancho, Mendel comenzó en 1857 experimentos de hibridación de arvejas, que le condujeron más tarde a establecer sus famosas leyes de la herencia de los caracteres. La idea genial de Mendel fue estudiar con un enfoque distinto algunos caracteres de la arveja Pisum sativum. Además, hizo una distinción entre los caracteres dominantes, representados por una letra mayúscula (A, B, C ...), y los caracteres recesivos, representados por minúsculas (a, b, c ...). Los caracteres elegidos más conocidos por este investigador genial fueron la forma del grano (redondo A, irregular a), su color (amarillo b, verde b) su aspecto (liso C, rugoso c), así como de otros elementos que se transmiten según sus leyes, como la posición de la flor, la forma y el color de la vaina, etc. Una de las razones de su éxito fue la utilización de linajes puros (AA, aa), evitando la autopolinización fortuita de las plantas durante sus experimentos. Su principal conclusión fue que la herencia de caracteres podía ser explicada por leyes matemáticas simples. Él envió sus resultados a Nägeli, un famoso científico suizo, que ignoró completamente sus descubrimientos. Mendel publicó sus trabajos en un artículo titulado ’’Investigación sobre híbridos vegetales’’, presentado en 1865 a la Sociedad de Ciencias Naturales de Brno, donde su trabajo pasa una vez más totalmente inadvertido. Durante la publicación de sus trabajos, él escribió igualmente una carta a Darwin, comentándole los resultados de sus experiencias, pero desgraciadamente este último nunca la leyó. Despreciado durante 35 años, Mendel murió en 1884 y su trabajo fue redescubierto recién en 1900.

Extracto del capítulo 6 - Ecología y Matemáticas, un lindo matrimonio de razón

El modelo de Lotka-Volterra: los lobos y los conejos

Durante la Primera Guerra Mundial, entre 1914 y 1918, la pesca fue interrumpida en el norte del mar Adriático. Al final del conflicto, las actividades pesqueras regresaron a la normalidad. Durante los años 20, un biólogo italiano, Umberto d’Ancona, realizó un estudio cuantitativo de las especies vendidas en los mercados de Venecia, de Rijeka y de Trieste. D’Ancona descubrió que se encontraba muchos más peces depredadores que peces más pequeños, que constituyen habitualmente su alimentación natural, y por lo tanto sus presas, dado su menor tamaño. El biólogo era el novio de la hija de un famoso matemático de la época, Vito Volterra, a quien le sugirió llevar un estudio matemático que permitiera explicar de manera satisfactoria el número diferente de peces depredadores y de sus presas. Fue así como su futuro suegro propuso en 1926 un sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema similar había ya sido propuesto un año ante, pero de manera independiente, por el físico-químico americano Alfred J. Lotka. El fruto de sus trabajos se hizo entonces conocido bajo el nombre de ecuaciones de Lotka-Volterra.

Este sistema de ecuaciones diferenciales que modela la relación depredador-presa fue uno de los primeros modelos, y uno de los más emblemáticos de la biología matemática. Su utilidad ecológica es evidente si se desea repoblar una región geográfica dada con una especie o si se elige el número de peces que coexistirán en un acuario de un parque temático con otros depredadores, como los tiburones. Por otro lado, este modelo se aplica igualmente a numerosos temas de estudio en otros campos, como en inmunología (a la relación entre un virus o las células cancerosas y el sistema inmunitario), en parasitología (a la relación entre el individuo huésped y un parásito), e incluso en economía (a la relación entre los consumidores y los recursos, entre otros).

Explicaremos de manera intuitiva el significado de este importante modelo. En este último, llamaremos $x$ a los depredadores, por ejemplo, los tiburones, los lobos, etc. e $y$ a las presas, por ejemplo, los peces, los conejos, etc. Además, supondremos que los depredadores se alimentan exclusivamente de sus presas y que la alimentación de estas está presente en cantidad suficiente, sin importar que sea de origen vegetal, animal u otra. Ya sea que elijamos la relación tiburones-peces o lobos-conejos a título de ejemplo, el modelo es igualmente válido para millares de relaciones depredadores-presas, incluso entre los insectos, los protozoos, etc. Sin embargo, las dos relaciones mencionadas figuran entre las más famosas.

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Si reunimos en un solo sistema las dos ecuaciones diferenciales, obtenemos:

\[ \frac{dx}{dt} =−px+qxy \qquad\text { y} \qquad \frac{dy} {dt} =ry−sxy\]

que constituyen el famoso sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra.

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La competencia entre 2 especies

Además del modelo depredador-presa, Lotka y Volterra propusieron otro modelo sobre la relación de competencia entre dos poblaciones o dos especies. Imaginemos dos poblaciones en competencia para un mismo recurso, y cuyo crecimiento es logístico. Si $x$ e $y$ son los números de individuos de cada población, tendremos entonces:

\[\frac{dx}{dt} =r_{x}x \frac{k_{x} −x−\alpha_{xy}y}{k_x} \qquad\text { y}\qquad \frac{dy}{dt}=r_{y}y \frac{k_{y} −y−\alpha_{yx}x} {k_y} \]

donde $r_x$, $r_y$ representan sus tasas de crecimiento respectivas y $k_x$, $k_y$ las capacidades de carga de cada una de las poblaciones. Además, las expresiones integran los coeficientes de interacción $\alpha$, que constituyen los parámetros que modelan la interacción entre los individuos de las poblaciones.

Dicho de otra forma $\alpha_{xy}$ especifica el impacto de la especie $y$ sobre $x$, mientras que $\alpha_{yx}$ indica el impacto $x$ sobre $y$. El modelo puede ser extendido a más de dos especies, pero el análisis de las posibles situaciones se vuelve entonces más complejo.

El modelo de competición de Lotka-Volterra para tres especies.



Sommaire du livre

Para ir más lejos

He aquí algunos artículos sobre este tema (algunos en francés):

• Daniel Bernoulli, pionero de los modelos matemáticos en medicina (pista verde).

• Las matemáticas de la morfogénesis (Parte1 et Parte 2) ( fuera de pista ).

• Des mathématiques dans nos cellules ? (Partie 1 et Partie 2) (piste rouge).

• Le globule rouge (piste rouge).

• L’histoire mouvementée des cycles limites (piste rouge).

• La probabilidad de extinción de una especia amenazada (pista negra)

• Darwin et les mathématiciens.

• Les mathématiques dans le débat sur les OGM.

• Las matemáticas de lo vivo por Ian Stewart.