Las tablas de multiplicación

¿Malos recuerdos ?

Piste verte Le 14 janvier 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 11 février 2019  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Les tables de multiplication Voir les commentaires
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¡Ah ! Las tablas de multiplicación de nuestra niñez, ¡qué malos recuerdos ! (a mí, fue la tabla del 7 la que me dio problemas). Era como si se burlaran de nosotros cuando aparecían en la contratapa de nuestros cuadernos... ¿Habrá matemáticos aún hoy que intentan simplificar su uso ?

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Me gustaría explicar aquí cómo un problema sencillo como ’’multiplicar dos números’’ puede tener muchas soluciones diferentes según el objetivo buscado, la sociedad en la cual se vive o las herramientas que se puede utilizar.

Los estudiantes de hoy ignoran que, haciendo multiplicaciones, utilizan el resultado de siglos de progreso en matemáticas. Por su parte, los adultos piensan que todo ha sido dicho sobre la multiplicación desde hace ya mucho tiempo. Y, sin embargo, ...

Sin querer lanzarnos en una larga historia de la numeración [1], comencemos con ponernos en el lugar de un patricio romano que desea calcular la superficie de su campo rectangular del cual ha medido su largo y su ancho. Él debe entonces hacer una multiplicación como, por ejemplo, esta :

\[ \mathrm{CXXIV} \times \mathrm{XXIX} \, = \, ? \]

¡Todo el mundo concordará en que, con esta numeración, se trata de una tarea imposible ! Esto no deja de tener relación con el hecho de que los romanos hayan desarrollado tan poco las ciencias (aparte de la ingeniería civil o militar...)

Sin embargo, si avanzamos hacia la idea matemática —genial— de describir los números en unidades, decenas, centenas, etc, entonces calcular $124 \times 29 \, = \, ¿?$ se vuelve muchísimo más fácil.

¿Por qué ?

Porque si decimos que 124 es 1 centena, 2 decenas y 4 unidades, y escribimos :

\[124 = 1\times 100 + 2\times10 + 4\]
y
\[29= 2\times 10 + 9\]

entonces, al multiplicar
\[ \begin{array}{c} (1\times 100 + 2\times10 + 4)\\ \times \\ (2 \times 10 + 9) \end{array} \]
basta con distribuir los términos. Calculamos :

\[ \begin{array}{c} (1\times 100 + 2\times10 + 4) \times 9 \\ +\\ (1\times 100 + 2\times10 + 4) \times 2\times 10 \end{array} \]
es decir,
\[ \begin{array}{c} 1\times 9 \times 100 + 2\times 9 \times 10 + 4\times 9 \\ +\\ 1\times 2 \times 1000 + 2\times 2 \times 100 + 4\times 2 \times 10 \end{array} \]
o mejor aún
\[ \begin{array}{c} 1116\\ +\\ 2480\\ \end{array} \]
esto es,
\[ 3596. \]

Observemos que para multiplicar nuestros dos números apenas hemos necesitado multiplicar los números comprendidos entre 0 y 9, es decir, hemos requerido ’’conocer las tablas’’. Si los cálculos se presentan ordenadamente, entonces devienen bastante sencillos, y esto es exactamente lo que nuestros profesores nos han enseñado. La presentación depende del país ; en Francia, uno escribe

\[ \begin{array}{ccccc} & 1 & 2 & 4\\ & \times & 2 & 9 \\ --&--&--&--\\ 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 4 & 8 & \\ --&--&--&--\\ 3 & 5 & 9 & 6 \end{array} \]

lo cual mentalmente se ejecuta así :

’’Nueve veces cuatro, treinta y seis ; coloco seis y guardo tres.

Nueve veces dos, dieciocho, y tres, veintiuno ; coloco uno, guardo dos. Etc.’’

Se ha dado entonces un gran progreso conceptual, lo cual nos hace incomparablemente más eficaces que los romanos. Para multiplicar números escritos en sistema decimal, basta aprenderse las tablas de multiplicación (lo cual siempre se logra...), y luego memorizar las instrucciones para la operatoria (el algoritmo). Con esto, el proceso se vuelve completamente automático, y en principio todo estudiante debiera poder ejecutar cualquier multiplicación, incluso una de números ’’con muchas cifras’’. ¿Se tiene conciencia del enorme trabajo de preparación matemática, el cual ha tomado siglos, para llegar a esta solución satisfactoria ?

¿Una solución satisfactoria ?

Sí y no. Esto depende de para quién, y en qué contexto.

Durante mucho tiempo, los seres humanos no tuvieron necesidad de multiplicaciones muy complicadas. Por ejemplo, un comerciante puede calcular el precio de compra de una cantidad de objetos multiplicando dicha cantidad por el precio unitario. De hecho, para la vida cotidiana, es más bien raro que uno deba confrontarse a multiplicaciones complicadas : ¿recuerdas, por ejemplo, la última vez que multiplicaste ’’a mano’’ dos números de cinco cifras ?
Probablemente, fue en el liceo. En cierto sentido, el algoritmo allí aprendido es más que suficiente.

Sin embargo, la ciencia es más exigente, y en ese ámbito rápidamente se tiene necesidad de cálculos más precisos. Podemos, por ejemplo, citar el caso de la astronomía, de cálculos extremadamente largos, tanto así que en el lenguaje coloquial se ha acuñado la expresión ’’cálculo astronómico’’ para referirse a uno muy complicado. Es así como, de acuerdo a las distintas necesidades, los matemáticos han inventado nuevos métodos y herramientas par efectuar cálculos cada vez más adaptados a sus necesidades. A continuación presentamos algunos ejemplos, algunos muy antiguos, otros no tanto, y otros muy recientes —pues es importante precisar que el arte de multilplicar bien es constantemente mejorado hoy por algunos investigadores en matemática (volveremos sobre este punto más adelante).

La primera herramienta para contar son ciertamente los dedos. He aquí un método muy astuto e increíblemente antiguo [2] para multiplicar dos enteros comprendidos entre 6 y 9 (concordarán en que estos son los casos más difíciles a memorizar) conociendo solamente las tablas de multiplicar del 1 al 5 (este método ha sido tomado del libro Ifrah arriba citado). El truco es muy simple y recomendable a los estudiantes de escuelas primarias que tienen ’’dificultades con sus tablas’’.

Supongamos, por ejemplo, que debamos multiplicar 7 por 8.

Observa la siguiente figura :

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Decimos que 7 es ’’una mano y 2 dedos’’, y bajamos dos dedos de una mano. Nos quedan entonces 3 dedos levantados.

Decimos que 8 es ’’una mano y 3 dedos’’, y bajamos 3 dedos de la otra mano. Nos quedan entonces 2 dedos levantados.

Contamos el número total de dedos abajo : 5. Pues bien, esta es la cifra de las decenas del resultado.

Multiplicamos las cantidades de dedos levantados de una y otra mano :
3 por 2, es decir, 6. Esta es la cifra de las unidades del resultado.

Así, 7 veces 8 es igual a 56.

¿Por qué funciona ?

Hay que verificar que
\[ (5+x)(5+y)= 10(x+y)+(5-x)(5-y) \]

Ejercicio : En un mundo extraterrestre cuyos habitantes tienen seis dedos en cada mano, obviamente los matemáticos contarían en base doce [3]. ¿El truco de arriba seguiría funcionando ?

1)

La respuesta es...

2)

SÍ, pues
\[(6+x)(6+y)= 12(x+y)+(6-x)(6-y)\]

3)

De hecho, el truco vale también con N dedos por mano, pues
\[(N+x)(N+y)=2N(x+y)+(N-x)(N-y).\]

 

Entre las herramientas más elaboradas para hacer multiplicaciones se cuentan :

— máquinas de cálculo antiguas, comenzando por la Pascaline, de 1652 ;

 
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— máquinas de cálculo mecánicas, como esta, de 1958 ;

 
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— calculadoras actuales.

 
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Ciertamente, la cantidad de trabajo de matemáticos, informáticos, ingenieros y físicos que ha sido necesaria para la elaboración de la más sencilla de nuestras calculadoras es enorme.

En paralelo, las tablas de logaritmos se hicieron populares entre los calculadores. Si bien ellas ya han sido olvidadas, durante largo tiempo simplificaron el trabajo de científicos e ingenieros. Cada número posee un logaritmo que uno halla en una tabla de logaritmos. Por ejemplo, el logaritmo de 17 vale 1,2304489, y el de 21 vale 1,3222192. La propiedad fundamental es que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. Así, si se desea calcular
el producto de 17 por 21, se suma
\[1,2304489 + 1,3222192 = 2,5526681\]
y se busca en la tabla el número cuyo logaritmo es este último valor. Se trata del 357, que es, por lo tanto, el resultado de la multiplicación. Hemos reemplazado de esta forma una multiplicación por una adición (bastante más sencilla) y tres consultas a nuestra tabla.

 
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Derivada de este principio de los logaritmos, la regla de cálculo fue muy popular entre científicos e ingenieros hasta los años 70.

 
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Una curiosidad : los cuartos de cuadrado.

¿Sabes por qué, en cierta época, se publicaban tablas de cuartos de cuadrados ? Era debido a la identidad notable siguiente :
\[ xy = \frac{(x+y)^2}{4} - \frac{(x-y)^2}{4}. \]
Para multiplicar dos números $x,y$ se les suma y se les resta, se busca en la tabla los cuartos de cuadrados de los dos valores obtenidos, se hace la diferencia y... ¡listo ! Esto pareciera ser aún más fácil que los logaritmos, pero estos últimos tienen un valor teórico que va mucho más allá del cálculo de multiplicaciones. Para una discusión sobre las tablas de cuartos de cuadrados,
ver el artículo de Mehmke y d’Ocagne en l’Encyclopédie des mathématiques pures et appliquées (1906-1911) (dirigida por Molk), Tome I, Arithmétique et Algèbre : Vol. 4, Calcul des probabilités. Théorie des erreurs. Applications diverses.

 

Como hemos visto, cada época desarrolla sus herramientas, prácticas o conceptuales, para resolver un problema de acuerdo a las necesidades del momento o de los usuarios. Así como nadie iría a hacer sus compras con una tabla de logaritmos, la mayoría de la gente hace sus multiplicaciones domésticas a la antigua (aunque se debe admitir que cada vez más personas
hacen cálculos cada vez más simples con calculadoras cada vez más sofisticadas y baratas...). ¿Debemos tener nostalgia de los viejos tiempos en que todo el mundo podía multiplicar dos números de 6 cifras en tan solo unos minutos sobre una hoja de papel ? Ciertamente que no : se trata de una competencia que se ha hecho inútil para la gran mayoría, y hay muchas otras competencias matemáticas que serían más útiles hoy. ¿Debemos, entonces, abandonar la enseñanza de la multiplicación en la escuela ? Evidentemente que no, a condición además de explicar por qué el algoritmo funciona (lo cual raramente se explicaba en el pasado), pues esto permite tener una mejor comprensión de la multiplicación.

¿Se puede aún hacer progresos en el arte del cálculo y mejorar la manera de multiplicar dos números ?

Para concluir, quisiera explicar que este es un problema actual, sobre el cual trabajan activamente investigadores en la frontera entre matemáticos e informáticos.

Comencemos por una pregunta simple : ¿cuándo tiempo debemos emplear para multiplicar dos números ? Si tengo que multiplicar, por ejemplo, 1789 por 1515, opero de la siguiente forma :

\[ \begin{array}{ccccc} &1& 7 & 8 & 9\\ \times & 1 & 5 & 1 & 5 \\ --&--&--&--&--\\ = & & & & \\ \end{array} \]

y mentalmente proceso casi como un recitado :

’’Cinco veces nueve, cuarenta y cinco ; coloco cinco, guardo cuatro.

Cinco veces ocho, cuarenta ; más cuatro, cuarenta y cuatro ; coloco cuatro, guardo cuatro...’’

¿Cuántos ’’versos’’ contendrá este recitado ? Cada una de las 4 cifras del multplicador debe multiplicar con cada una de las del multiplicando, lo cual hace que mi recitado tenga 16 versos. Supongamos que yo conozco bien las tablas, y digamos que me bastan 10 segundos por línea. En total, necesitaré 160 segundos para llegar a :

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&1& 7 & 8 & 9\\ &&\times & 1 & 5 & 1 & 5 \\ --&--&--&--&--&--&--\\ &&&8&9&4&5\\ &&1&7&8&9&\\ &8&9&4&5&&\\ 1&7&8&9&&&\\ --&--&--&--&--&--&-- \end{array} \]

Queda aún hacer la suma para encontrar el resultado (2 710 335), pero olvidemos esta parte, pues es bastante más sencillo hacer sumas que hacer multiplicaciones. Por lo tanto, necesito 160 segundos, digamos 3 minutos.
Supongamos ahora que yo tenga que multiplicar dos números que tienen 100 veces más cifras. En otras palabra, ¡tengo una multiplicación de dos números de 400 cifras ! Me dirás que nunca has debido enfrentarte a una multiplicación de este tipo, y ciertamente tienes razón. Sin embargo, los computadores hacen cálculos de este tipo frecuentemente, sin decírtelo. Hagamos, entonces, como si realmente tuviésemos que abocarnos a esta tarea. Debemos entonces multiplicar cada una de las 400 cifras de uno por cada una de las 400 cifras del otro. Esto hace que el ’’recitado’’ tenga 160 000 ’’versos’’, lo cual nos tomará 600 000 segundos, es decir, más de 40 horas de cálculo (a condición de no habernos detenido ni haber cometido errores). La conclusión es evidente : si multiplicamos números que tienen 100 veces más cifras, el tiempo de cálculo se amplifica por 10 000. Y, en general, si multiplico números que tienen $N$ veces más cifras, el tiempo de cálculo se amplifica por $N$ al cuadrado. Así, con números ’’apenas’’ 1 000 veces más largos, se requiere de un tiempo
1 000 000 de veces myor.

Obviamente, esto carece de interés para un cliente que hace sus compras en un supermercado. Sin embargo, el computador que determina, por ejemplo, el estado del tiempo del día de mañana realiza una cantidad gigantesca de cálculos de gran precisión. Ciertamente, el computador no demora 10 segundos por línea, sino que solo una millonésima de segundo. Pero como debe realizar millones de estas operaciones, es importante pensar bien en el algoritmo que uno le entrega y, entre otras cosas, es necesario darle uno que sea mejor que el aprendido en el liceo. Aunque ’’mejor’’ no es la palabra más apropiada, pues un computador no funciona como un ser humano, y lo normal es que utilice un algoritmo diferente para multiplicar, más adaptado a su condición, por decirlo de algún modo.

Quisiera continuar la discusión a un nivel elemental, y esto me obliga, a partir de aquí, a no poder explicar todo : si tuviese que dar detalles, tendría que abandonar el espíritu de esta nota. Por tanto, sin entrar en explicaciones precisas, enumeremos algunos hitos importantes en el desarrollo matemático relacionados con lo que nos convoca ahora.

  • A principios del siglo XIX, mientras se interesaba en la propagación del calor (un problema que no tiene mayor relación con las multiplicaciones), el matemático Fourier desarrolló un método para entender las ’’funciones periódicas’’. Rápidamente, este método se tornó fundamental para un gran número de aplicaciones muy diversas.
  • Durante mucho tiempo, esta ’’transformada de Fourier’’ fue una herramienta más teórica que práctica, pues los cálculos involucrados eran demasiado complejos. Pero en 1965, dos matemáticos estadounidenses, Cooley y Tukey, tuvieron una idea teórica fundamental que permitió disminuir el tiempo de estos cálculos de manera considerable. Se trata de la ’’transformada rápida de Fourier’’. Esto permitió que la herramienta de Fourier se hiciera al fin ’’utilizable’’ [4]
  • En 1971, dos matemáticos alemanes, Strassen y Schöhage, tuvieron la idea de transportar la transformada rápida de Fourier al contexto que nos interesa : la multiplicación. Ellos pusieron a punto un algoritmo que permite multiplicar dos números de $N$ cifras ya no en tiempo proporcional a $N$ al cuadrado (como ocurre con el método del liceo), sino que en un tiempo proporcional solamente a $N$ [5]. El ahorro de tiempo es excelente. Supongamos, por ejemplo, que en lugar de multiplicar números de $N$ cifras, ahora multiplicamos números de $10N$ cifras. Pues bien, con el método del liceo, un computador requiere de un tiempo 100 veces mayor, mientras que con el método mejorado necesita de apenas 10 veces el tiempo inicial... Obviamente, si se trata de ganar algunos microsegundos, no es mucho. Pero si esto conlleva a que un cálculo se haga en 10 horas en lugar de 100, el ahorro se hace evidente.

Una vez que estas ideas teóricas están a disposición, se requiere implementarlas ’’en la práctica’’ en los computadores. Esto requiere de mucho conocimiento acumulado, así como de mucha teoría, la cual es a veces completamente matemática, otras veces informática y otras tecnológica, aunque a menudo incorpora elementos de las tres ramas. Es importante saber que el progreso del cálculo científico resulta por una parte de la mejora del material y, por otra, de la mejora de los algoritmos utilizados.

Para hacerte una idea de este tipo de investigación, puedes consultar por ejemplo la página personal de Jean-Michel Müller, director de investigación CNRS en LIP. En particular, mira el índice de su libro Calcul et Arithmétique des ordinateurs (el cual, sin embargo, no es para nada elemental).
Podemos decir entonces, tan solo exagerando un poco, que ciertos matemáticos/informáticos de hoy contribuyen a crear nuevos métodos para multiplicar números, aunque claramente no destinados a seres humanos.

Un problema tan sencillo como el de la multiplicación tiene por tanto soluciones ’’múltiples’’, las que varían de acuerdo a la época y a las herramientas a nuestra disposición (las cuales pueden ir desde nuestros dedos a super-computadores que cuestan una fortuna). El rol del matemático es el de proveer una solución adaptada a cada ámbito. Henri Poincaré muy bien decía : ’’Uno no se plantea los problemas, sino que los problemas se le plantean a uno. No hay problemas resueltos, sino problemas más o menos resueltos. »

¡Para reír un poco !

  • El matemático Stiefel comenzaba su curso de matemáticas aplicadas en el Politécnico de Zürich [6] contando su experiencia de novato tratando de saber el resultado de la multiplicación 2 por 3. Como un novato no sabe nada, fue a preguntar a varios especialistas uno tras otro.

El primero, ingeniero, sacó una regla pequeña de su vestón y comenzó a manipularla unos segundos para finalmente responder : 5,97.

El segundo, un químico vestido con una camisa malgastada y de un blanco opaco y antiguo... (se deben dar todas las informaciones del caso), sacó de su estante de libros uno lleno de rayas y de un título extraño (¿tabla de logaritmos ?) y se abandonó a ciertos rituales bizarros antes de responder :
6,002.

El tercero, un físico que murmuraba de manera extraña, también él vestido con una camisa —pero esta vez limpia y fresca—, trazó unos garabatos incomprensibles, del tipo $2 \times 3 = 2 / (1/3) = ... = 2/(1 - 2/3)$, para luego señalar que la aproximación de primer orden era suficiente, y el resultado debía ser : 2(1 + 2/3) = 3,333333.

El cuarto, el especialista (pues era matemático), no estaba en su oficina durante la mañana [7]. A la hora del té, tomó el problema y comenzó como el físico, pasando a (-2)(1 - 4/3), pero enredándose con una divergencia mal colocada... Sin embargo, me aseguró que la respuesta era bien conocida y única, para pasar rápidamente a lo que realmente le interesaba ese día.

La enseñanza es que se debe prestar atención a los especialistas, sobre todo cuando en la calle todo el mundo está de acuerdo en que 2 veces 3 es 5 si uno compra y 7 si uno vende.

  • Si entiendes inglés mira este trozo de film para aprender que, a veces, hay varias respuestas posibles para una misma pregunta.
Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Se podrá consultar con réditos asegurados el libro de G. Ifrah Histoire Universelle des Chiffres, cuya lectura es apasionante pero que pareciera ser criticado por algunos especialistas, entre los cuales no me cuento.

[2Uno de los personajes de la serie estadounidense ’’Prison Break’’ (temporada 1), un psicópata sugerentemente llamado Teddy Bag, lo conoce y se lo enseña a dos niños...

[3NdT : claramente, el autor está suponiendo que los extraterrestes tienen, al igual que nosotros, dos manos...

[4Al parecer, el gran Gauss había tenido esta misma idea, ¡pero en 1805 ! Esto es no solo 160 años antes que Cooley y Turkey, sino que también 17 años antes de la publicación del libro de Fourier sobre el asunto. Se trata de otra pequeña diablura de la historia de las matemáticas.

[5Miento un poco : en realidad, se requiere de un tiempo proporcional a $N \log N \log \log N$.

[6Gracias a Pierre de la Harpe por esta anédota.

[7NdT : curiosamente, el autor no se refiere a la vestimenta del matemático...

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Las tablas de multiplicación» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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