Le 120

La taupe et les polytopes

Piste bleue 4 mars 2012  - Ecrit par  Arnaud Chéritat Voir les commentaires (3)

Un des billets de Patrick Popescu-Pampu, qui parle du bonheur ressenti par certaines personnes devant la classification des polyèdres, a trouvé une certaine résonance en moi. Je ne sais pas si je parlerais de bonheur, mais plutôt de fascination.

Il y a 5 polyèdres réguliers et pas plus.

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Les 5 polyèdres réguliers.
Saurez vous trouver l’intrus ?

Curiosité

C’est ainsi que vers la fin de mes études secondaires (était-ce en classe de première ?) j’appris dans un ouvrage de vulgarisation le fait suivant, brut : les analogues en dimension supérieure des polyèdres réguliers, on les appelle polytopes réguliers, sont au nombre de 6 dans l’espace à quatre dimensions, et au nombre de 3 seulement dans tout espace ayant cinq dimensions ou plus. Quant à l’analogue en dimension inférieure, ce sont les polygones réguliers, et il y en a une infinité.

$\infty$, 5, 6, 3, 3, 3, 3, ...
Voilà une bien curieuse suite.

C’est un fait, mathématique donc solide comme du roc, et pourtant si déroutant.

Mais qu’est-ce qui a pris à la réalité de se comporter comme ça ?

Et puis c’est décevant : si bien partie pour s’enrichir au fur et à mesure, la collection des polytopes réguliers finit par se réduire à 3 objets seulement par dimension.

D’un autre côté on peut regrouper ces objets en quatre familles infinies et cinq exceptions. Le faible nombre de ces dernières leur donne un statut particulier : elles ont quelque chose d’universel, d’iconique.

Mais un polytope, c’est quoi ? En deux dimensions, dans un plan, on fabrique des polygones réguliers en assemblant des segments de même longueur et faisant entre eux les mêmes angles. En trois dimensions, dans l’espace, on fabrique un polyèdre régulier en assemblant des polygones réguliers, de sorte qu’il soit identique en tous ses sommets, en toutes ses faces et en toutes ses arêtes. En dimension quatre, on assemble des polyèdres réguliers de façon la plus uniforme possible. Et ainsi de suite...

Si vous voulez en savoir plus, les 5 polyèdres réguliers sont

  • le tétraèdre : 4 faces triangulaires
  • le cube : 6 faces carrées
  • l’octaèdre : 8 triangles
  • le dodécaèdre : 12 pentagones
  • l’icosaèdre : 20 triangles

J’ai omis l’adjectif régulier, mais il faudrait l’ajouter à chaque fois, sauf pour le cube pour lequel c’est toujours implicite.

Toujours dans mes lectures, j’appris que les 6 polytopes réguliers sont :

  • le 4-simplexe : 5 tétraèdres réguliers
  • l’hypercube : 8 cubes
  • un objet constitué de 16 tétraèdres
  • un de 24 octaèdres
  • un de 120 dodécaèdres
  • un de 600 tétraèdres !

Là je n’ai pas vraiment respecté la terminologie officielle, mais je ne trouve pas Hécatonicosachore très poétique. En grec ancien, hecatonicosa signifie cent vingt et choros signifie chambre. Les pragmatiques et concis anglo-saxons utilisent des noms comme 24-cell, 120-cell, 600-cell... Que diriez vous de les appeler Le 24, Le 120 et Le 600 ?

En dimension $n \geq 5$, on trouve :

  • Un analogue du tétraèdre, avec $n+1$ cellules
  • Un analogue du cube ; $2n$ cellules
  • Un analogue de l’octaèdre ; $2^n$ cellules

Ces objets forment trois familles qui sont également présentes en dimension inférieure. Les polygones réguliers forment une famille infinie pour la dimension 2. Il n’y a donc que cinq polytopes exceptionnels : le dodécaèdre et l’icosaèdre en dimension 3, le 24 le 120 et le 600 en dimension 4.

Ces faits titillaient suffisamment ma curiosité pour que, pendant mon temps libre, je m’intéressasse au problème.

Je vous passe les détails, je les donnerai peut-être dans un prochain billet...

Un beau voyage intellectuel

Je réussis tant bien que mal à me convaincre de l’existence de la plupart d’entre eux, sauf pour le 120 et le 600. Pour les autres je compris comment ils s’assemblaient, à partir de leur patron, et quelle est leur « ombre » dans l’espace à trois dimensions. Dans ce problème, on peut aller assez loin sans calcul, en raisonnant par des analogies adéquates. Il est d’ailleurs intéressant de savoir qu’une formation mathématique poussée n’est pas nécessaire : voir l’histoire d’Alicia Boole-Stott qui développa une capacité à visualiser la quatrième dimension qui étonna les mathématiciens de l’époque.

J’ai prétendu il y a quelques instants que je ne donnerais pas de détails mais je vais quand même écrire quelques mots sur les patrons.

L’enveloppe d’un cube par exemple, peut être réalisée physiquement en découpant un motif formé de 6 carrés assemblés, que l’on replie ainsi :

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Patron de cube
surpris en train de se replier

Après il faut recoller d’une façon ou d’une autre (si le papier est suffisamment fin et l’objet suffisamment grand, une solution standard est d’ajouter des petites languettes au patron avant de le découper).
On a des patrons similaires pour beaucoup de polyèdres.

De façon analogue, en dimension quatre, on a des patrons tri-dimensionnels des polytopes, formés de polyèdres identiques assemblés face contre face, comme sur l’image suivante (c’est une image de synthèse) :

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Quelques patrons de polytopes
Deux patrons du 24-cell, un de l’hypercube, du 5-cell et du 16-cell.

C’est vrai que j’ai éprouvé du plaisir à explorer et de la fierté à y arriver.

Puisque j’en suis à partager des souvenirs, voici quelques anecdotes.

  1. Au lycée, je tente d’expliquer les cas les plus simples à mes copains. Ils me prennent pour un fou.
  2. En classe de maths en terminale, comme j’ai fait le programme en avance (la prof est au courant), au lieu de noter la correction des exercices, j’essaye de me convaincre par des dessins que les dodécaèdres qui forment le 120 peuvent effectivement s’agencer combinatoirement (par opposition à géométriquement, parce que là c’est quand même un peu difficile). J’ai du mal. Je fais dessins sur dessins. La prof tolère.

Je n’ai plus ces brouillons touffus écrits en pattes de mouche, mais j’ai gardé certaines des notes de l’époque, il y a presque 20 ans. Il est vrai que je n’aime pas jeter.

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Extrait de notes (vraisemblablement prises quand j’étais en classe de terminale) résumant la croissance du polytope à 120 cellules à partir d’un germe central.
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Projection particulière du 24 cellules.
J’arrivais à être soigneux, quand je le voulais.

Et des impressions (imprimante à aiguilles, l’encre sur le papier que je viens de sortir de l’archive a gardé son odeur caractéristique). C’était programmé en GFA BASIC sur un Atari ST (ceux de ma génération s’y reconnaîtront peut-être).

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Le 120 et le 600 sont reliés, par ce qu’on appelle une dualité, qui donne une méthode pour comprendre l’un si on comprend l’autre. C’est sur le 120 que j’ai passé le plus de temps, bien qu’à l’époque je n’aie jamais eu le courage d’effectuer les calculs (pas si méchants après coup) du repliement dans la 4e dimension de son patron... Il m’en est resté une impression d’incomplétude de mon aventure personnelle dans ce monde abstrait.

Après la classe de terminale, je commençai les classes préparatoires avec maths sup. La classe de maths sup est surnommée hypotaupe, taupe étant le surnom de la classe de maths spé, ce qui justifie le sous-titre de ce billet. Mon temps libre se réduisit sérieusement mais mon idée fixe ne me quittait pas et je réussis quand même à programmer en PASCAL (que l’on apprenait en cours d’informatique) une sorte de vérification « expérimentale » qu’on pouvait effectivement assembler des dodécaèdres dans un espace à quatre dimension pour en faire un polytope à 120 cellules. Je n’expliquerai pas cela ici, bien que j’en aie très envie.

Suivit une longue période où je n’ai plus regardé ces questions, mais durant laquelle j’ai longtemps gardé le désir d’un jour m’y remettre.

Plus récemment

Lors d’une visite au Fields Institute à Toronto en 2006, j’ai pu admirer une sculpture d’une projection du 120 dans l’espace à trois dimensions : c’est en quelque sorte son « ombre » dans notre monde. Cette réalisation de Marc Pelletier fait près de 2 mètres de diamètre et trône pendue telle un lustre au centre de la salle principale. Voici la photo que j’en ai prise à l’époque :

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Là l’objet est orienté de façon quelconque, mais si on se place au bon endroit, plusieurs segments se superposent et on arrive alors à mieux voir les dodécaèdres plus ou moins aplatis qui la composent. Une vidéo m’avait donné une clef utile à la compréhension d’une telle sculpture.

Un peu plus tard j’ai vu l’excellent film mathématique dimensions, dans une des séquences duquel on assiste à l’évolution d’une coupe tri-dimensionnelle du 120 et des autres, quand la coordonnée de coupe varie. On n’y comprend rien mais ça force le respect... Ainsi qu’une magnifique vidéo de Gian Marco Todesco nommée Hyperdodecahedron
qu’on peut peut-être encore voir ici.

Tout cela m’a motivé à effectuer durant l’été 2010 un retour sur le 120 et réaliser moi-même des images en 3D. Le but n’était pas de rivaliser avec ce qu’on trouve aujourd’hui sur Internet, mais de poursuivre ce voyage intérieur que j’avais commencé à 17 ans. J’ai profité d’une convalescence pour effectuer les calculs que je n’avais pas eu le courage ou le temps de faire, mis le résultat dans la machine, qui m’a sorti des images comme ça.

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Croissance d’une partie du 120 à partir d’un germe central.
Fait avec POV-Ray.

Ou en écorché :

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Écorché

Et je ne résiste pas l’envie de montrer une version en image de synthèse photo-réaliste que je viens de réaliser :

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Écorché de l’ombre du 120.
Fait avec Python + Blender + LuxRender.

Dernièrement

Le mois dernier je suis tombé sur le site web d’une petite entreprise qui réalise des impressions en 3D. Les imprimantes 3D existent depuis quelques années et fonctionnent en créant des objets tranche par tranche (horizontale). Sur Internet, les sites d’impression « en ligne » se multiplient et permettent au grand public d’accéder à cette technologie. J’ai fait appel à l’une de ces sociétés. Les machines qu’ils ont acheté fonctionnent avec une poudre (blanche et de composition secrète) déposée couche par couche dans une cuve et solidifiée en des points précis avec un liant appliqué par balayage d’une tête d’impression. Et il y a la couleur !
Vous téléversez vos créations pour en échange recevoir par la poste une matérialisation, contre une certaine somme d’argent bien sûr. Il y a également une bibliothèque communautaire d’objets 3D où vous pouvez déposer et piocher des modèles. Bien d’autres sociétés proposent des services équivalents : on pourra en consulter une liste ici.
Les prix sont abordables pour les petits objets, mais augmentent rapidement avec la taille, car ils dépendent notamment du volume.

J’ai donc eu l’idée d’envoyer mon modèle 3D et voici ce que j’ai reçu :

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L’objet
Ceci n’est pas une image de synthèse

... Soit 45 polyèdres plus ou moins aplatis [1]. Il n’y a plus qu’à fabriquer une petite coque [2] :

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Support
Réalisé avec du papier bristol, du ruban adhésif et une imprimante... 2D

Et à assembler le puzzle :

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Ça a bien plu à mes enfants... Et à mes collègues.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Aurélien Djament, Alexandre Moatti, Cidrolin, JMJ_france, Laurent Bétermin, D. Simon et blanvill.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Il n’y en a pas 120 car chaque polyèdre de l’ombre est le projeté de deux cellules, et les 30 restants sont plats (car perpendiculaires à l’espace 3D vers lequel on a projeté). C’est l’analogue de ce qui se passe quand vous projetez (orthogonalement) un cube sur un plan parallèle à l’une de ses faces.

[2Dont les faces sont justement certaines de ces ombres plates.

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Pour citer cet article :

Arnaud Chéritat — «Le 120» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • Le 120

    le 4 mars 2012 à 18:12, par Julien Puydt

    Le GFA sur Atari STF... j’avais écrit (en terminale aussi) un programme qui passait une expression algébrique parenthésée sous forme usuelle en expression post-fixée, et qui pouvait la dériver formellement...

    Le plus intéressant avait été de cogiter sur comment réaliser tout cela.

    Que de souvenirs !

    Répondre à ce message
  • Images

    le 5 mars 2012 à 19:23, par Rémi Peyre

    Très jolies images ! L’image de syntèse des patrons est absolument bluffante...

    Répondre à ce message
  • Le 120

    le 26 mars 2012 à 14:00, par Gaston Rachlou

    Merci pour ce bel article. Décidément, les filles Boole sont très talentueuses ! Je connaissais Ethel Lilian :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Ethel_Lilian_Voynich

    par son magnifique roman The Gadfly, best-seller ... en URSS !

    Répondre à ce message

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