Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

Piste verte 12 juin 2014  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (28)

Le ballon officiel de la Coupe du Monde de football a été officiellement dévoilé en décembre 2013.

Après une grande consultation nationale au Brésil, il a été décidé qu’il porterait le nom de « brazuca », un petit mot familier pour signifier « brésilien ».

Je voudrais révéler ici une vérité que les présentations du brazuca semblent cacher :

Le ballon de foot de la Coupe du monde est un cube !

Incroyable n’est-ce pas ?

Voici des photos des ballons officiels des Coupes du monde, depuis 1970.
Bien sûr, chacun essaye d’apporter un peu d’originalité par rapport au précédent mais je dois dire que l’idée de faire des ballons cubiques est tout simplement une petite révolution footballistique !

Comment fabrique-t-on un ballon de football ?

Il s’agit de découper un certain nombre de pièces (anciennement en cuir et maintenant en polyéthylène) et de les coudre ou les coller pour fabriquer une balle la plus sphérique possible.
À l’intérieur, on gonfle une chambre à air, dont la pression améliore la rotondité du ballon.

Les pièces sont découpées dans un matériau plat.
Peut-être que pour la Coupe 2018, on pourra fabriquer directement des pièces sphériques, mais cela ne semble pas encore le cas.

La première idée est de fabriquer un polyèdre, obtenu en recollant des polygones.
On comprend bien que pour que le polyèdre « ait l’air le plus rond possible », il faut qu’il ait beaucoup de faces, les plus petites possible.
On comprend également que l’agencement de ces faces doit être le plus régulier possible, le plus symétrique possible.
Un bon ballon, bien rond, doit paraître identique quel que soit l’endroit d’où on l’observe.

On sait depuis Platon qu’il n’y a que cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre, ayant respectivement 4, 6, 8, 12 et 20 faces.

On s’est donc initialement orienté vers celui qui a le plus de faces : l’icosaèdre avec ses 20 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Pour améliorer encore la rotondité, on peut essayer de « couper les pointes » : on dit qu’on tronque l’icosaèdre.
Pour chaque sommet, imaginez les plans perpendiculaires au rayon qui le joint au centre.
Lorsque ce plan est proche du sommet, il coupe l’icosaèdre sur un petit pentagone et les faces triangulaires sont devenues des hexagones (dont trois côtés sont petits).
Quand le plan se rapproche progressivement du centre, les petits côtés des hexagones augmentent : il arrive un moment où les hexagones et les pentagones deviennent tous réguliers.
C’est la forme traditionnelle du ballon de foot : un icosaèdre tronqué avec 20 faces hexagonales et 12 faces pentagonales.

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Un article dans Images des Maths décrivait tout cela pour la Coupe du monde précédente.
Si vous voulez apprendre à dessiner ces ico-dodéca-èdres, un joli billet dans IdM vous aidera.

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Pour les balles de tennis, et autres ballons, voir cet autre objet du mois.

Évidemment, l’évolution technologique des ballons ne se limite pas à leur géométrie : il va de soi que la manière de coudre ou de coller les pièces du puzzle a aussi beaucoup changé.

Les origamis courbes : des faces qui ne sont pas nécessairement planes

Le ballon standard (icosaèdre tronqué) est
formé de polygones plans que l’on recolle sans les déformer ni les tordre.
Quand on gonfle ils se tendent et prennent une forme sphérique (mais c’est
une autre histoire).

Pour le brazuca, les pièces à assembler sont également planes mais seront « pliées »
au moment de l’assemblage, puis à nouveau tendues au moment du gonflage.

Voyons cela avec un peu plus de détails.

Lorsqu’on découpe un morceau de papier, on peut le déformer dans l’espace de nombreuses manières, sans le déchirer.
En géométrie, on parle de surfaces « développables ». [1].

En voici un exemple :

On peut donc imaginer des polyèdres dont les faces ne sont pas des polygones plans, mais des surfaces développables, qu’on peut donc découper dans du papier avant l’assemblage.
Voici un exemple de polyèdre courbe.

Avec des faces qui ne sont pas forcément planes, on peut peut-être réaliser des polyèdres plus ronds ?
Pourquoi pas des ballons de football ?

Un théorème de Alexandrov-Pogorelov

Commençons par un exemple simple.

Un domaine est convexe si le segment qui joint deux quelconques de ses points est entièrement contenu dans le domaine.

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convexe
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non convexe

Considérez maintenant deux domaines convexes dans le plan dont les frontières ont la même longueur.
Découpez les domaines dans du papier, choisissez un point sur le bord de chacun d’entre eux, et recollez ces points.

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Ensuite, avec une bande adhésive, ou de la colle, vous continuez à recoller les bords des deux domaines. il a été montré dans les années 1970 que vous pouvez toujours continuer à coller et faire tout le tour, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de moment où des plis se font à la jointure, vous empêchant de continuer. Vous allez donc fabriquer un objet dans l’espace qui se trouve être convexe dans l’espace [2]. Ce n’est pas du tout évident ! On pourrait penser qu’on n’arrive pas à recoller les deux domaines sans déchirer ceci ou cela. Il n’y a aussi pas de raison a priori que l’objet construit soit convexe.

L’objet que vous avez construit est constitué de deux surfaces développables recollées sur leur bord.

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Un article de IdM explicite un exemple simple de ce théorème, à propos de la balle de tennis.

Mieux encore.

Au lieu de partir de deux domaines, vous pouvez, par exemple, partir de six domaines convexes que vous pensez comme les « faces carrées » d’un cube.
Sur les bords de chacun de ces domaines, vous choisissez quatre points, que vous pensez comme les sommets du « carré ».
On suppose que les quatre « coins » que vous avez choisis sont en effet des coins, c’est-à-dire que les domaines présentent des angles en ces sommets.

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Vous supposez que les longueurs de toutes les « arêtes courbes » sont les mêmes, vous prenez votre bande adhésive et vous recollez, comme pour faire un cube.

Pour mémoire, je vous montre un cube !

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Il faut encore une hypothèse : chaque sommet d’un cube est commun à trois faces.
Il faut que la somme des trois angles correspondants soit inférieure ou égale à 360 degrés.

Le théorème de Alexandrov-Pogorelov garantit que, sous ces hypothèses, ça marche !
Vous fabriquez une espèce de cube, dont les arêtes sont courbes, et dont les six faces sont développables et non nécessairement planaires.

Encore plus fort !

Il n’est pas nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème que les domaines soient convexes.
La condition importante est que lorsqu’on recolle deux points, la somme des deux courbures des deux domaines en chacun des points de contact soit positive [3].
En termes moins précis, il faut recoller une concavité avec une convexité plus forte.

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Le brazuca

Le brazuca est fabriqué en appliquant le théorème de Alexandrov-Pogorelov.
Voici les six faces « carrées » qu’on recolle pour fabriquer un « cube sphérique ».

Notez que chaque pièce a en effet quatre « coins » qu’on voit en noir.
L’angle en chacun de ces coins est de 120 degrés.

Voici comment on assemble les six surfaces développables :

Ici on voit un « sommet » du cube : trois faces s’y rejoignent, comme il se doit dans un cube. Il y a six faces recollées et huit sommets.
Notez que les trois angles de 120 degrés font un total de 360 degrés, soit un tour complet, si bien que le brazuca ne présente pas de « sommet pointu », comme c’est le cas du cube ordinaire [4].

Et voici encore quelques images pour bien comprendre la structure cubique.

Et voilà !

Encore fallait-il trouver ces formes qui, tout en étant jolies, mènent à un ballon presque parfaitement sphérique.

Ce clip vidéo montre la fabrication du brazuca.

William Thurston, la haute couture et l’octaèdre

De manière étonnante, en même temps que les ingénieurs de Adidas concevaient le brazuca, le grand mathématicien W. Thurston parvenait à la même idée, par une autre voie [5].

Thurston, comme beaucoup de géomètres du passé, était intéressé par la manière de découper des vêtements pour recouvrir la surface du corps humain !
Dans l’un de ses derniers articles, en collaboration avec Kelly Delp, il explique ses idées et ses échecs.
En bon mathématicien théoricien, il est amené à supposer que la surface qu’il s’agit d’habiller est parfaitement sphérique [6] !
Il part de l’octaèdre et cherche la forme à donner aux faces triangulaires pour que l’objet obtenu soit le plus sphérique possible.

Voici les huit « triangles » qu’il propose.

Et voici le résultat.

Finalement, tout cela est très proche du brazuca, n’est-ce pas ?

En guise de conclusion

Je suis émerveillé par l’inventivité des ingénieurs de Adidas qui ont tout simplement « redécouvert » le théorème de Alexandrov-Pogorelov : je suis convaincu qu’ils ne le connaissaient pas (et même qu’ils ne le connaissent toujours pas).

Je suis tout autant émerveillé par la créativité de Delp et Thurston qui cherchent l’inspiration dans la mode !

Pour faire des maths, est-il utile de connaître le travail de ses prédécesseurs ?
La question est complexe.
Bien sûr, si personne n’étudiait ce qu’ont fait les géomètres du passé, on n’irait pas loin…
D’un autre côté, pour s’approprier les choses du passé, il est parfois utile de les redécouvrir soi-même.

Post-scriptum :

MÉFIEZ-VOUS DES IMITATIONS : Je vois ici un faux brazuca en vente. On voit bien que c’est un icosaèdre tronqué qui se déguise en cube. N’achetez pas !

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Pour plus de détails, voir cet article

[2Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, 1973, malheureusement pas en accès libre sur internet (mais on trouve de larges extraits ici.)

[3On parle de la courbure d’une courbe ici !

[4Trois angles de 90 degrés ne font « que » 270 degrés et c’est pour cette raison que le cube à des « sommets pointus ».

[5W. Thurston est décédé récemment. Il a eu une influence fondamentale sur la géométrie du vingtième siècle. L’outil de recherche de IdM signale 25 articles qui contiennent son nom.

[6L’histoire de la vache sphérique est célèbre parmi les scientifiques.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

img_12097 - http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm
img_12120 - http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=saf
img_12099 - https://www.flickr.com/photos/jon_tucker/4744898836/sizes/z/in/photostream/
img_12100 - http://www.grasshopper3d.com/forum/topics/tangent-matching-for-developable-surfaces
img_12101 - http://www.mathcurve.com/polyedres/icosaedre_tronque/icosaedre_tronque.shtml
img_12102 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12103 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12104 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12105 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12106 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12107 - http://therightwinger.co.za/tag/brazuca/
img_12108 - http://www.pugsports.com/product/7632
img_12109 - https://www.flickr.com/photos/dmswart/6049438045/
img_12112 - http://www.selectism.com/2013/12/04/adidas-unveils-the-brazuca-world-cup-match-ball/
img_12113 - http://fr.wikipedia.org/wiki/Brazuca#mediaviewer/Fichier:Brazuca.jpg
img_12114 - http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm
img_12118 - http://en.wikipedia.org/wiki/File:Face_colored_cube.png
convexe - http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html
non convexe - http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-de-Hilbert.html

Commentaire sur l'article

  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 12 juin 2014 à 09:10, par le_cheveulu

    Une superbe publicité. Ah ? C’est un article de math ? J’avais pas vu...

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    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 13 juin 2014 à 11:12, par projetmbc

      Dans ce cas, on ne parle plus de rien. Je ne suis pas certain que Images des Mathématiques soit le meilleur site pour augmenter les ventes de la marque dont on ne doit pas dire le nom.

      Comment faire alors pour parler d’un ballon dont on ne doit pas dire la marque ?

      Je propose à l’avenir d’indiquer « la marque dont on ne doit pas dire le non » à chaque fois qu’une marque sera citée. Pas sûr que ce soit utile vu la fréquence des articles qui citent de marques dont on doit pas dire le non.

      C’est juste pour détendre un peu l’atmosphère. :-)

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      • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

        le 14 juin 2014 à 10:15, par le_cheveulu

        Il me semble que la fin de l’article parvient bien à parler de mathématiques avec des montages papiers sans invoquer la marque du ballon.

        D’autre part, je le répète, la radio et la télévision sont bien soumises à des règles strictes en la matière et parviennent à les suivre la plupart du temps. Et quand ce n’est pas le cas, il y a débat public.

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        • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

          le 14 juin 2014 à 10:54, par projetmbc

          Il reste malgré tout la liberté à chacun, y compris aux personnes qui font ce site de faire comme ils l’entendent. Non ?

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          • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

            le 14 juin 2014 à 11:55, par le_cheveulu

            Pas lorsque le site est hébergé sur un matériel public.

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            • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

              le 14 juin 2014 à 15:52, par projetmbc

              Mouais... Peut-on sérieusement reprocher le présent site de publicité virale ? Il faudrait être un peu moins binaire et se souvenir de l’adage qui dit que « Toute règle est faite pour être dépassée ».

              Pour finir, même si l’excellent auteur de cet article n’avait pas indiqué la marque du ballon, on aurait tous compris. À moins que vous nous interdisiez de parler de ce ballon, quoiqu’il arrive ?

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              • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

                le 14 juin 2014 à 16:19, par le_cheveulu

                Je n’adhère pas à votre interprétation de l’adage. Dépassée ne veut pas dire jetée à la poubelle. Je crois que les règles sont là pour défendre les intérêts des plus faibles qui sans cela sont soumis aux lois de la jungle.

                D’autre part, je ne savais pas qui produisait le ballon avant d’avoir lu l’article. Je ne connaissait que les conditions dans lesquelles il était produit. Et je pense que parler du ballon de la coupe du monde sans préciser la marque aurait fait l’économie de l’affichage de la marque. Cela dit, j’admets ne pas être ce que l’on appelle un « footeux ».

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                • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

                  le 21 avril 2015 à 13:26, par MichelM

                  Bonjour,

                  Je suis d’accord avec vous. Il serait d’ailler intéressant d’avoir un article similaire pour des ballons Etika issus du commerce équitable www.etikasports.com

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                  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

                    le 21 avril 2015 à 14:15, par Étienne Ghys

                    Pourquoi pas ? Mais les ballons qu’on trouve sur le site www.etikasports.com ont la géométrie du ballon traditionnel (dodécaèdre tronqué), et IdM a déjà consacré un article à cette géométrie.

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 12 juin 2014 à 09:43, par Étienne Ghys

    Intéressant commentaire.

    Si vous n’avez pas vu de maths dans cet article, c’est probablement parce que nous ne donnons pas le même sens au mot « mathématiques ».

    Je considère en effet que les ingénieurs de Adidas ont fait preuve d’une belle créativité mathématique.

    Je ne sais pas si vous employez le mot « publicité » dans un sens péjoratif, mais je peux vous garantir que je n’ai aucun lien avec Adidas !

    Bien cordialement,

    Etienne GHys

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    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 12 juin 2014 à 16:09, par le_cheveulu

      Je vous concède que mon commentaire sarcastique n’est pas constructif donc je vais argumenter. Je reconnais le travail mathématique de l’article que vous avez rédigé et je reconnais aussi le travail des ingénieurs de cette entreprise. Je déplore par contre qu’un institut public (le CNRS) fasse de la publicité visuelle gratuite pour une entreprise dont les valeurs éthiques me semblent douteuses. Dans le détail : un tel ballon est vendu aujourd’hui 140€ pièce alors qu’il est produit au Pakistan (les Chinois sont devenu trop cher !!) par la société Sialkot pour 0.70€ pièce par des ouvriers qui ne gagnent pas plus de 1300€ par an (oui par an, pas par mois !).

      Le tapage médiatique sur la coupe du monde va être colossal. Je ne m’attend pas à ce que le site images des mathématiques suivent les nombreux mouvements de boycotts au Brésil. Mais pourquoi ne pas prendre quelques précautions concernant les publicités dissimulées. Après tout les médias classiques (TV, radio) sont bien soumis à des règles strictes de diffusions commerciales via le CSA.

      Bien Cordialement.

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      • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

        le 12 juin 2014 à 18:16, par Étienne Ghys

        Cher chevelu,

        Merci pour vos précisions.

        Plusieurs réponses partielles à vos commentaires.

        D’abord, même si Images des Mathématiques est hébergé par la CNRS, même si j’en suis le rédacteur en chef, et même si je suis directeur de recherche au CNRS, je ne m’exprime en aucun cas « au nom du CNRS » et j’estime avoir le droit de m’exprimer en mon nom propre.

        Ensuite, je ne vois pas pourquoi un organisme public devrait s’interdire de parler du travail d’une entreprise privée ? On trouve des maths partout, y compris, bien sûr, dans le secteur privé !

        Vous me dites que les valeurs de Adidas vous semblent douteuses. Peut-être. Je n’en sais rien. Je viens à l’instant de googler « Adidas éthique » et la première réponse que je reçois est que Adidas faisait partie d’une liste de 110 entreprises les plus « éthiques » en 2011, mais il semble en effet que ce ne soit plus le cas aujourd’hui. Je n’ai aucune information. Je ne sais pas si je dois faire confiance à cet article que je viens de lire et qui me semble présenter un point de vue mesuré.
        Quoi qu’il en soit, je ne pense pas que IdM soit un lieu pour discuter de cette question qui dépasse largement les maths.

        Quant aux « nombreux mouvements de boycotts » au Brésil, je ne vois pas pourquoi IdM s’y associerait. Je connais bien le Brésil et j’ai d’ailleurs écrit cet article à Rio. Je peux vous dire que la vision qu’on a de ces mouvements dans la presse brésilienne n’a pas grand-chose à voir avec leur description en France.

        En tous les cas, s’il y a des ingénieurs qui font des maths que je trouve belles, je ne vois pas pourquoi je me priverais de l’écrire dans IdM.

        Et je ne pense pas avoir fait acte de publicité en encourageant quiconque à acheter ces ballons... Vous êtes bien entendu libre de ne pas les acheter et de ne pas regarder le match de ce soir :-)

        Bien cordialement,

        Etienne Ghys

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        • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

          le 14 juin 2014 à 11:53, par le_cheveulu

          Cher Monsieur Ghys,

          Comme vous le dites bien, le site est hébergé sur un support public et donc son contenu peut-être soumis à discussion par les citoyens. Si vous souhaitez vraiment parler en votre nom propre, sans que le contenu soit discuté, il aurait fallu publier sur un support privé. La discussion démocratique, a donc tout lieu d’être que l’on soit d’accord ou pas.

          Pour le second point, il s’agit d’une question politique (qui a lieue d’être ici puisque le matériel public est utilisé, donc peut-être soumis démocratiquement à la discussion). Il ne s’agit pas, comme vous le dite, de parler du travail d’une entreprise privée, mais plutôt de la visibilité que l’on en donne. Mon point de vue, que j’avoue être partisan d’un capitalisme non libéral pour clarifier les choses, est que je n’ai rien contre le fait de donner de la visibilité à une entreprise dans la mesure où elle satisfait un cahier des charges minimal en accord avec les valeurs de la république. Or ici il me semble que le comportement éthique de cette entreprise laisse à désirer. Comme je l’ai dit plus haut, la fin de l’article prouve qu’il est parfaitement possible de parler de l’utilisation des mathématiques sans faire référence à la marque qui exploite l’innovation.

          Troisième point, sur les mouvements au Brésil, je ne vois pas en quoi les média locaux brésiliens ont plus d’objectivités que nos média européens. Pour ma part, je ne me fie ni aux uns ni aux autres. Je préfère ma référer à des analyses telles que par exemple celles fournies par cette émissions de France Culture (et il y en a d’autres) :

          http://www.franceculture.fr/player/reecouter?play=4864894

          Bien sûr, comme toute source, elle est critiquable puisqu’il s’agit d’un point de vue français et universitaire. Malgré tout, elle fournit une analyse inscrite dans un temps long (c’est à dire sans s’en tenir à la coupe de 2014) moins soumis aux pressions de « buzz » médiatiques.

          Enfin pour finir, tout comme vous, j’aime les mathématiques et je souhaite que l’on parle des ingénieurs ou des chercheurs qui l’exploite et la fond. Mais je fais une distinction nette entre ces ingénieurs, et ceux qui les finances. Et d’ailleurs où sont-ils ces ingénieurs ? Comment se nomment-ils ? Qui connaît et se souviendra de leur nom ?

          Bien cordialement.

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 12 juin 2014 à 11:39, par Bruno Duchesne

    Au delà de l’aspect esthétique et original de ce nouveau ballon, une de ses caractéristiques est d’avoir des trajectoires prévisibles contrairement à son prédécesseur Jabulani. Je ne sais pas pourquoi ce ballon est moins chaotique que le précédant mais des scientifiques s’y sont intéressés.

    Merci pour cet article et le théorème de Pogorelov !

    Bonne continuation.

    Répondre à ce message
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 12 juin 2014 à 14:08, par ROUX

    Merci !!!

    Ah, chouette, un Ghys !!! La tonte de la pelouse attendra un peu (car j’ai lu votre article, puis j’ai regardé la vidéo puis j’ai téléchargé le Thurston que j’ai... Regardé : la pelouse, zut !!!).

    Encore merci !

    Répondre à ce message
    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 12 juin 2014 à 18:17, par Étienne Ghys

       :-)

      Etienne

      Répondre à ce message
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 12 juin 2014 à 18:40, par ROUX

    Et la pelouse est désormais tondue...

    ’-)

    Répondre à ce message
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 14 juin 2014 à 21:33, par flandrin

    Cet article aborde des notions mathématiques riches sous une forme attrayante.
    Merci.

    Répondre à ce message
    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 16 juin 2014 à 08:28, par Étienne Ghys

      Merci !

      Etienne

      Répondre à ce message
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 15 juin 2014 à 23:02, par ROUX

    Encore merci car, cet après-midi d’un dimanche, à table, avec des ami(e)s, discuter de ballon cubique, de convexité et de concavité, et même du signe de la somme de courbures...

    Ouh la la la !!!

    Merci !

    Répondre à ce message
    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 16 juin 2014 à 08:27, par Étienne Ghys

      Merci !

      Etienne

      Répondre à ce message
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 16 juin 2014 à 08:29, par Karen Brandin

    Peut-être (sûrement) que je suis rabat-joie, aigrie ou tout simplement inquiète voire franchement malheureuse qu’à une poignée de jours de l’épreuve de maths du bac une terminale S, apparemment troublée pour les notations et voyant une affixe baptisée $b'$ me demande de qui ce nombre complexe peut bien être la dérivée,
    qu’un terminale ES spé maths dérive sans réelle difficulté la fonction $x \mapsto f(x)=x e^{x^{2}-1} $ et se retrouve la ligne plus bas incapable de résoudre l’équation $2x=0,$ propose donc au hasard
    $-2$ puis $\dfrac{1}{2} $ comme solution avant de renoncer ; tempête dans un verre d’eau lorsque l’on demande sans calcul le module du complexe $i\sqrt{3} $
    et qu’on vous répond $0$, $\pi $ puis $\dfrac{\pi}{2} $ jusqu’à ce qu’un autre élève en terminale STL voyant mon désarroi samedi, me dise pour « dédramatiser » : « bleu ou rouge ; non ? en chimie, ça marche toujours ! »

    Quel rapport avec cet article ? Aucun si ce n’est la popularité dont je me réjouis au demeurant pour l’auteur qui est un passeur remarquable, remarqué sans aucun doute, une sorte de mathématicien « fractal », capable de travailler à différentes échelles pour différents publics.

    Déjà 17 commentaires et combien déjà pour « le débat du 18 » autour de l’enseignement ?

    Sous le terrain, les pavés.

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 29 juin 2014 à 00:32, par possoz13

    Bravo et merci pour autant de clarete , de pédagogie dans l’article et de (bon) répondant aux commentaires. Bien sur qu’il faut parler des applications mathématiques intéressantes qui sont le fruit d’innovations industrielles et commerciales...

    ...on aurait d’ailleurs bien aimé que ce soit un bureau d’etudes, un centre de recherche, une entreprise ou un chercheur d’entreprise française qui en soit à l’origine !

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    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 29 juin 2014 à 17:34, par Étienne Ghys

      Merci pour ce commentaire !

      Etienne Ghys

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 6 décembre 2014 à 10:06, par François Fillastre

    Bonjour,

    J’ai l’impression que pour montrer qu’en recollant deux domaines le long de leur bord on obtient un convexe de l’espace, on utilise les deux résultats suivants :

    • un théorème de recollement, qui dit que si les domaines satisfont les bonnes hypothèse, en les recollant on obtient une surface munie d’une distance particulière, qu’on appelle maintenant « à courbure positive au sens d’Alexandrov »
    • un théorème de réalisation, qui dit que toute distance « à courbure positive au sens d’Alexandrov » sur la sphère (abstraite) correspond à un convexe dans l’espace.

    Si je ne m’abuse, ces deux théorèmes sont dus à A.D. Alexandrov et non à Pogorelov (cf le livre d’Alexandrov « Intrinsic Geometry of Convex Surface »).
    Pogorelov a montré le résultat non trivial que le convexe qu’on obtient est unique (à transformations de l’espace près).

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    • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

      le 6 décembre 2014 à 10:51, par Étienne Ghys

      Cher François,

      Je me réjouis de voir que les experts veillent, y compris dans les publications qui ne leur sont pas destinées :-) C’est très bien comme ça.

      L’une des difficultés que nous rencontrons à Images des Maths est de trouver des auteurs. Et l’une des raisons qui font qu’il est difficile de trouver des auteurs est la crainte de se faire reprocher telle ou telle imprécision par les experts. Alors, les auteurs, s’ils acceptent de s’essayer à la vulgarisation, ont une tendance naturelle à écrire des textes trop précis, trop secs, et inaccessibles aux lecteurs de IdM. Mais tu as raison, si c’est Alexandrov et pas Pogorelov, il faut le corriger. Evidemment.

      Je te fais confiance sur cette question puisque tu es bien plus spécialiste que moi. En ce qui me concerne, je ne suis pas familier avec le livre d’Alexandrov que je n’ai pas ouvert depuis des années. Je croyais qu’il ne réalisait que des métriques polyédrales à courbure positive ? Il faut dire que je crois me souvenir que le bouquin est un peu obscur par endroits, en tous cas à mon goût. J’avais aussi entendu dire que ce bouquin n’est pas exempt de fautes ?

      Pogorelov est, si je me m’abuse, un élève d’Alexandrov. Son livre fait référence constamment au livre de son maître. Pour le théorème de réalisation, je l’ai lu (et compris) chez Pogorelov et je ne me souviens pas qu’il l’attribue à Alexandrov. Tu me dis que le théorème d’unicité est en revanche dû à Pogorelov, alors j’ai modifié légèrement le texte en ajoutant par ci par là le nom d’Alexandrov. C’est la force d’internet de permettre les corrections.

      Merci pour ta vigilance.

      Etienne

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 6 décembre 2014 à 13:05, par François Fillastre

    Je (re)lis cet article maintenant et fait un commentaire, parce que c’est plus ou moins la période où les étudiants doivent trouver des sujets de mémoire, et à mon avis cet article est une excellente introduction à ces théorèmes - en tout cas incomparablement plus attrayant que d’être immédiatement confronté à la prose de l’école d’Alexandrov. Ok, je sais, IdM ne sert pas à ça non plus, mais ça serait dommage de se priver :)

    D’où mon petit pinaillage sur les références. Pour le thérorème de réalisation, on le montre d’abord dans le cas des métriques polyédrales (ce que fait Alexandrov dans son livre « Convex Polyhedra ») et ensuite on utilise des résultats d’approximation polyédrale (ce qu’il fait dans "Intrinsic geometry of convex surfaces). Pour ça il faut par exemple montrer que les métriques sont triangulables, ce qui est très long (et certainement source d’erreurs),
    et Pogorelov ne fait que mentionner ce résultat. Il fait bien un survol de la preuve du théorème de réalisation, mais celle-ci est très longue. Enfin bon bref :)

    En tout cas, encore une fois félicitation pour cet article, d’un intérêt à plusieurs niveaux. Mon commentaire ne se voulait pas une critique.

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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 1er avril à 10:12, par Christian MARCHAL

    Bonjour,
    J’ai vu Etienne présenter, entre autres, ce sujet devant des élèves à moi le 12 mars à Abu Dhabi et on s’était promis de mettre en application .....
    mais comme d’habitude, on avait pas tout compris ; n’importe quelle arc de courbe entre 2 sommets du patron du cube ne marche pas et on aimerait avoir des exemples ou des règles pour en construire.
    merci

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