Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

Piste verte Le 12 juin 2014  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (30)
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Le ballon officiel de la Coupe du Monde de football a été officiellement dévoilé en décembre 2013.

Après une grande consultation nationale au Brésil, il a été décidé qu’il porterait le nom de « brazuca », un petit mot familier pour signifier « brésilien ».

Je voudrais révéler ici une vérité que les présentations du brazuca semblent cacher :

Le ballon de foot de la Coupe du monde est un cube !

Incroyable n’est-ce pas ?

Voici des photos des ballons officiels des Coupes du monde, depuis 1970.
Bien sûr, chacun essaye d’apporter un peu d’originalité par rapport au précédent mais je dois dire que l’idée de faire des ballons cubiques est tout simplement une petite révolution footballistique !

Comment fabrique-t-on un ballon de football ?

Il s’agit de découper un certain nombre de pièces (anciennement en cuir et maintenant en polyéthylène) et de les coudre ou les coller pour fabriquer une balle la plus sphérique possible.
À l’intérieur, on gonfle une chambre à air, dont la pression améliore la rotondité du ballon.

Les pièces sont découpées dans un matériau plat.
Peut-être que pour la Coupe 2018, on pourra fabriquer directement des pièces sphériques, mais cela ne semble pas encore le cas.

La première idée est de fabriquer un polyèdre, obtenu en recollant des polygones.
On comprend bien que pour que le polyèdre « ait l’air le plus rond possible », il faut qu’il ait beaucoup de faces, les plus petites possible.
On comprend également que l’agencement de ces faces doit être le plus régulier possible, le plus symétrique possible.
Un bon ballon, bien rond, doit paraître identique quel que soit l’endroit d’où on l’observe.

On sait depuis Platon qu’il n’y a que cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre, ayant respectivement 4, 6, 8, 12 et 20 faces.

On s’est donc initialement orienté vers celui qui a le plus de faces : l’icosaèdre avec ses 20 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Pour améliorer encore la rotondité, on peut essayer de « couper les pointes » : on dit qu’on tronque l’icosaèdre.
Pour chaque sommet, imaginez les plans perpendiculaires au rayon qui le joint au centre.
Lorsque ce plan est proche du sommet, il coupe l’icosaèdre sur un petit pentagone et les faces triangulaires sont devenues des hexagones (dont trois côtés sont petits).
Quand le plan se rapproche progressivement du centre, les petits côtés des hexagones augmentent : il arrive un moment où les hexagones et les pentagones deviennent tous réguliers.
C’est la forme traditionnelle du ballon de foot : un icosaèdre tronqué avec 20 faces hexagonales et 12 faces pentagonales.

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Un article dans Images des Maths décrivait tout cela pour la Coupe du monde précédente.
Si vous voulez apprendre à dessiner ces ico-dodéca-èdres, un joli billet dans IdM vous aidera.

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Pour les balles de tennis, et autres ballons, voir cet autre objet du mois.

Évidemment, l’évolution technologique des ballons ne se limite pas à leur géométrie : il va de soi que la manière de coudre ou de coller les pièces du puzzle a aussi beaucoup changé.

Les origamis courbes : des faces qui ne sont pas nécessairement planes

Le ballon standard (icosaèdre tronqué) est
formé de polygones plans que l’on recolle sans les déformer ni les tordre.
Quand on gonfle ils se tendent et prennent une forme sphérique (mais c’est
une autre histoire).

Pour le brazuca, les pièces à assembler sont également planes mais seront « pliées »
au moment de l’assemblage, puis à nouveau tendues au moment du gonflage.

Voyons cela avec un peu plus de détails.

Lorsqu’on découpe un morceau de papier, on peut le déformer dans l’espace de nombreuses manières, sans le déchirer.
En géométrie, on parle de surfaces « développables ». [1].

En voici un exemple :

On peut donc imaginer des polyèdres dont les faces ne sont pas des polygones plans, mais des surfaces développables, qu’on peut donc découper dans du papier avant l’assemblage.
Voici un exemple de polyèdre courbe.

Avec des faces qui ne sont pas forcément planes, on peut peut-être réaliser des polyèdres plus ronds ?
Pourquoi pas des ballons de football ?

Un théorème de Alexandrov-Pogorelov

Commençons par un exemple simple.

Un domaine est convexe si le segment qui joint deux quelconques de ses points est entièrement contenu dans le domaine.

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Convexe
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Non convexe

Considérez maintenant deux domaines convexes dans le plan dont les frontières ont la même longueur.
Découpez les domaines dans du papier, choisissez un point sur le bord de chacun d’entre eux, et recollez ces points.

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Ensuite, avec une bande adhésive, ou de la colle, vous continuez à recoller les bords des deux domaines. il a été montré dans les années 1970 que vous pouvez toujours continuer à coller et faire tout le tour, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de moment où des plis se font à la jointure, vous empêchant de continuer. Vous allez donc fabriquer un objet dans l’espace qui se trouve être convexe dans l’espace [2]. Ce n’est pas du tout évident ! On pourrait penser qu’on n’arrive pas à recoller les deux domaines sans déchirer ceci ou cela. Il n’y a aussi pas de raison a priori que l’objet construit soit convexe.

L’objet que vous avez construit est constitué de deux surfaces développables recollées sur leur bord.

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Un article de IdM explicite un exemple simple de ce théorème, à propos de la balle de tennis.

Mieux encore.

Au lieu de partir de deux domaines, vous pouvez, par exemple, partir de six domaines convexes que vous pensez comme les « faces carrées » d’un cube.
Sur les bords de chacun de ces domaines, vous choisissez quatre points, que vous pensez comme les sommets du « carré ».
On suppose que les quatre « coins » que vous avez choisis sont en effet des coins, c’est-à-dire que les domaines présentent des angles en ces sommets.

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Vous supposez que les longueurs de toutes les « arêtes courbes » sont les mêmes, vous prenez votre bande adhésive et vous recollez, comme pour faire un cube.

Pour mémoire, je vous montre un cube !

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Il faut encore une hypothèse : chaque sommet d’un cube est commun à trois faces.
Il faut que la somme des trois angles correspondants soit inférieure ou égale à 360 degrés.

Le théorème de Alexandrov-Pogorelov garantit que, sous ces hypothèses, ça marche !
Vous fabriquez une espèce de cube, dont les arêtes sont courbes, et dont les six faces sont développables et non nécessairement planaires.

Encore plus fort !

Il n’est pas nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème que les domaines soient convexes.
La condition importante est que lorsqu’on recolle deux points, la somme des deux courbures des deux domaines en chacun des points de contact soit positive [3].
En termes moins précis, il faut recoller une concavité avec une convexité plus forte.

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Le brazuca

Le brazuca est fabriqué en appliquant le théorème de Alexandrov-Pogorelov.
Voici les six faces « carrées » qu’on recolle pour fabriquer un « cube sphérique ».

Notez que chaque pièce a en effet quatre « coins » qu’on voit en noir.
L’angle en chacun de ces coins est de 120 degrés.

Voici comment on assemble les six surfaces développables :

Ici on voit un « sommet » du cube : trois faces s’y rejoignent, comme il se doit dans un cube. Il y a six faces recollées et huit sommets.
Notez que les trois angles de 120 degrés font un total de 360 degrés, soit un tour complet, si bien que le brazuca ne présente pas de « sommet pointu », comme c’est le cas du cube ordinaire [4].

Et voici encore quelques images pour bien comprendre la structure cubique.

Et voilà !

Encore fallait-il trouver ces formes qui, tout en étant jolies, mènent à un ballon presque parfaitement sphérique.

Ce clip vidéo montre la fabrication du brazuca.

William Thurston, la haute couture et l’octaèdre

De manière étonnante, en même temps que les ingénieurs de Adidas concevaient le brazuca, le grand mathématicien W. Thurston parvenait à la même idée, par une autre voie [5].

Thurston, comme beaucoup de géomètres du passé, était intéressé par la manière de découper des vêtements pour recouvrir la surface du corps humain !
Dans l’un de ses derniers articles, en collaboration avec Kelly Delp, il explique ses idées et ses échecs.
En bon mathématicien théoricien, il est amené à supposer que la surface qu’il s’agit d’habiller est parfaitement sphérique [6] !
Il part de l’octaèdre et cherche la forme à donner aux faces triangulaires pour que l’objet obtenu soit le plus sphérique possible.

Voici les huit « triangles » qu’il propose.

Et voici le résultat.

Finalement, tout cela est très proche du brazuca, n’est-ce pas ?

En guise de conclusion

Je suis émerveillé par l’inventivité des ingénieurs de Adidas qui ont tout simplement « redécouvert » le théorème de Alexandrov-Pogorelov : je suis convaincu qu’ils ne le connaissaient pas (et même qu’ils ne le connaissent toujours pas).

Je suis tout autant émerveillé par la créativité de Delp et Thurston qui cherchent l’inspiration dans la mode !

Pour faire des maths, est-il utile de connaître le travail de ses prédécesseurs ?
La question est complexe.
Bien sûr, si personne n’étudiait ce qu’ont fait les géomètres du passé, on n’irait pas loin…
D’un autre côté, pour s’approprier les choses du passé, il est parfois utile de les redécouvrir soi-même.

Post-scriptum :

MÉFIEZ-VOUS DES IMITATIONS : Je vois ici un faux brazuca en vente. On voit bien que c’est un icosaèdre tronqué qui se déguise en cube. N’achetez pas !

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Pour plus de détails, voir cet article

[2Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, 1973, malheureusement pas en accès libre sur internet (mais on trouve de larges extraits ici.)

[3On parle de la courbure d’une courbe ici !

[4Trois angles de 90 degrés ne font « que » 270 degrés et c’est pour cette raison que le cube à des « sommets pointus ».

[5W. Thurston est décédé récemment. Il a eu une influence fondamentale sur la géométrie du vingtième siècle. L’outil de recherche de IdM signale 25 articles qui contiennent son nom.

[6L’histoire de la vache sphérique est célèbre parmi les scientifiques.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

img_12097 - http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm
img_12120 - http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=saf
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img_12112 - http://www.selectism.com/2013/12/04/adidas-unveils-the-brazuca-world-cup-match-ball/
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  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde

    le 18 décembre 2017 à 10:14, par Étienne Ghys

    Cher Monsieur,

    A strictement parler, vous avez raison : c’est la figure remplie qui est convexe, bien sûr.

    Cela dit, les maths ne sont pas exemptes d’imprécisions, d’implicites, et d’abus de langages, et c’est tant mieux... Sinon, on n’écrirait que suites de symboles incompréhensibles par un être humain. Et j’irais même jusqu’a dire que les abus de langage sont encore plus nécessaires dans un site comme Images des Maths, qui n’est ni un traité de mathématiques, ni un journal académique.

    Prenons cet exemple : convexe. Ne dit-on pas qu’une courbe est convexe ? au lieu de dire qu’elle borde un domaine convexe ? Ne parle-t-on pas d’une fonction convexe ? au lieu de dire que la partie du plan qui est au dessus de son graphe est convexe ?

    A vrai dire, il y a un abus de langage très fréquent : celui qui consiste à utiliser le même mot pour un objet et son bord. Prenez le mot « sphère » qui est couramment employé dans la langue usuelle à la place de « boule », qui serait le mot mathématique précis, que bien peu de gens utilisent dans ce sens (en français, on parle de boules dans un sens différent). . Si on consulte un manuel de mathématiques du début du 20 ème siècle, par exemple à l’école primaire, il n’est pas rare de voir cette « confusion » entre sphère et boule. D’ailleurs, si on remonte plus loin et si on lit Euler, pas trop mauvais mathématicien :-) , on constate avec étonnement que le concept de surface n’existe que comme bord d’un volume. Je viens de regarder ce que disent les dictionnaires anciens, Littré, Académie et autres : le moins qu’on puisse dire est que c’est vague... Le dictionnaire de mon ordinateur donne « Bombé, arrondi vers l’extérieur. »

    La question du choix des mots est cruciale en mathématiques. Certains mathématiciens pensent qu’ils peuvent baptiser leurs concepts comme bon leur semble, et qu’ils sont en quelque sorte propriétaires de ces mots. Mais les mots ont une histoire, ils sont compris d’une certaine manière par les « gens normaux » et il me semble qu’il faut en tenir compte, tout particulièrement lorsqu’on s’adresse à un large public.

    Mais vous avez parfaitement raison : si j’avais écrit un texte destiné à des mathématciens, j’aurais probablement dû écrire que le figure obtenue après recolement est le bord d’un convexe, plutôt qu’un convexe.

    Merci pour votre lecture,

    Etienne Ghys

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