Le Laplacien

Piste rouge Le 4 décembre 2012  - Ecrit par  Serge Cantat, Luc Hillairet Voir les commentaires (7)

Le « laplacien » est un opérateur : à une fonction, il en associe une nouvelle. À quoi cela peut-il bien servir, et comment cela marche-t-il ? C’est ce que nous allons essayer de comprendre en parlant des disparités de la répartition de la population en France métropolitaine, ou encore de cordes de guitare qui vibrent.



Moyennes, et écarts de Laplace

Commençons avec un exemple. Considérons la carte des régions de France, représentée sur la figure suivante avec ses vingt-deux régions métropolitaines. À droite, seules les relations de voisinage sont conservées : chaque région est remplacée par un point, et deux points sont liés par un segment lorsque les deux régions associées sont voisines.

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Région de France métropolitaine (cliquer pour agrandir).
À gauche, les régions. À droite, une version schématique des relations de voisinage (on a laissé le pourtour de la France pour faire joli). Par convention, nous avons décidé que la seule région voisine de la Corse était la région Provence-Alpes-Côte d’Azur.

Considérons maintenant une caract