Le Nombre d’or

23 mars 2013  - Rédigé par  Fernando Corbalán Voir les commentaires (19)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du Chapitre 1

"Les choses qui sont dotées
de proportions correctes réjouissent les sens".

Saint Thomas d’Aquin (1225-1274)

Que peuvent bien avoir en commun des phénomènes naturels aussi différents que
l’agencement des graines d’une fleur de tournesol, l’élégante spirale dessinée par
la coquille de certains mollusques et les bras de la Voie lactée, la galaxie qui nous
accueille ? Quelle règle géométrique d’une inégalable harmonie se cache dans
l’œuvre de grands artistes et architectes, de Vitruve à Le Corbusier en passant par
de Vinci et Salvador Dali ? Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse à
ces deux questions est un simple nombre. Un nombre d’une humble apparence,
connu depuis l’Antiquité, qui apparaît continûment dans toutes les représentations
naturelles et artistiques, ce qui lui valut des appellations telles que « divine
proportion », « nombre d’or » ou encore « proportion d’or ». Reproduire ce nombre
à l’écrit est littéralement impossible, non pas parce qu’il est excessivement grand
(il est à peine supérieur à 1) mais parce qu’il est composé d’un nombre infini de
décimales, qui de surcroît ne suivent aucune règle. Bien que nous écartions sa
retranscription littérale, nous pouvons nous aider de sa formule arithmétique pour
mieux le connaître. Le nombre d’or devient ainsi bien plus maniable :

\[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,6180339887. \]

Plus loin dans ce même chapitre, nous verrons comment arriver à cette formule,
mais reconnaissons tout de même qu’à première vue la « divine proportion » ne
paraît pas trop impressionnante. À la vue de la racine de 5, un œil entraîné saurait
qu’il y a anguille sous roche. En effet, cette racine présente une série de propriétés
qui lui valurent le qualificatif peu aimable de nombre « irrationnel » – une classe
spéciale de nombres dont nous aurons l’occasion de reparler plus précisément.
À la recherche du caractère divin du nombre d’or, nous pouvons tenter de
l’approcher par une autre voie : celle de la géométrie. Il nous faut pour cela dessiner
un rectangle dont la mesure du grand côté vaut celle du petit multipliée par 1,618 ;
c’est-à-dire un rectangle dont la proportion des deux côtés est le nombre d’or (du
moins sa valeur approximative). Si nous le faisons correctement, nous devrions
arriver à un résultat similaire au suivant :

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Un rectangle qui répondrait à ces caractéristiques serait un « rectangle d’or ». À
première vue, il peut ressembler à un rectangle banal. Faisons cependant une petite
expérience avec deux cartes de crédit quelconques. Si nous disposons la première à
l’horizontale et la seconde à la verticale, et que nous les alignons selon leurs bases,
nous aurons ceci :

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En effet, si nous traçons la diagonale de la première carte et la prolongeons sur la
deuxième, aussi incroyable que cela paraisse, elle aboutit pile au sommet opposé de
cette dernière. Si nous répétons l’expérience avec deux livres de même format, en
particulier des manuels ou des livres de poche, il est fort probable que nous obtenions
le même résultat. Cette caractéristique est propre aux rectangles d’or de même taille.

Ainsi, de nombreux objets de forme rectangulaire qui font notre quotidien ont
été façonnés en fonction de la divine proportion. Simple hasard ? Peut-être. À moins
que les rectangles et les autres formes géométriques qui respectent cette proportion
ne soient, pour une raison ou pour une autre, particulièrement harmonieux. Si nous
misons sur cette dernière possibilité, nous serons amenés à fréquenter des noms
illustres de la peinture et de l’architecture, comme nous le verrons plus en détail au
chapitre 4. Ce n’est pas un hasard si la dénomination moderne du nombre d’or est
la lettre grecque phi ($\phi$) : c’est aussi l’initiale du nom de l’architecte classique par
excellence, le légendaire Phidias.

Un monde doré

L’encre a déjà abondamment coulé pour lever le voile sur le mystère que cache
le sourire le plus célèbre de l’histoire de l’art. Mais on peut aussi envisager une
solution géométrique à l’énigme. Voyons ce qui se passerait si nous superposions
plusieurs rectangles d’or sur le visage de la belle Joconde :

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Léonard de Vinci avait-il en tête la proportion d’or quand il réalisa son œuvre
maîtresse ? L’affirmer serait aventureux. Il serait moins risqué de se contenter de dire
que le génie florentin accordait une grande importance à la relation entre l’esthétique
et les mathématiques. Nous laisserons cette question de côté pour le moment.
Mais précisons tout de même que Léonard réalisa les illustrations d’une œuvre
au contenu purement mathématique, écrite par son ami Luca Pacioli et intitulée
De divina proportione, c’est-à-dire La Divine Proportion.

Aujourd’hui, De Vinci n’est plus le seul artiste dont l’œuvre laisse entrevoir les
diverses manifestations de la proportion d’or, que ce soit à travers le rapport des côtés
d’un rectangle ou dans des formes géométriques plus complexes. De nombreux
peintres ont fait appel après lui à ces fondements théoriques. En témoignent le
pointilliste Georges Seurat ou le préraphaélite Edward Burne-Jones. Salvador Dali,
quant à lui, réalisa avec sa toile La Cène une œuvre extraordinaire dans laquelle la
divine proportion joue un grand rôle. Il ne s’agit pas seulement des dimensions de
la toile, $268$ par $167$ cm, soit un rectangle d’or quasi parfait, mais surtout du monumental dodécaèdre qui préside la scène sacrée. Les solides réguliers qui comme
celui-là s’inscrivent parfaitement dans une sphère sont intimement liés au nombre
d’or, comme nous le verrons dans le troisième chapitre.

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La toile Une baignade à Asnières (1884) de Georges Seurat est un rectangle d’or. Certains éléments qui le forment sont eux- mêmes insérés dans des rectangles d’or, comme le montrent les lignes blanches ci-dessus.

Intéressons-nous maintenant à la discipline reine des arts appliqués,
l’architecture. S’il ne fait aucun doute que la proportion d’or recèle une notion
d’harmonie à caractère universel, nous devrions aussi la retrouver dans les tracés
géométriques sous-jacents aux édifices et aux constructions. En est-il ainsi ? Une
fois de plus, il est risqué de l’affirmer de façon catégorique. À la manière d’une
dame coquette qui prendrait plaisir à voiler ses charmes, le ratio d’or laisse sentir sa
présence dans beaucoup de grandes oeuvres architecturales de toutes les époques,
comme la Grande pyramide ou quelques-unes des cathédrales françaises parmi
les plus remarquables, sans pour autant se révéler totalement. Cependant, il est
difficile de rester sceptique à l’examen détaillé de la façade de l’oeuvre majeure de
Phidias : le Parthénon. On découvre avec ravissement que les divers éléments qui
la composent se déclinent en autant de rectangles d’or.

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Le secret des roses

Le choix du nombre d’or comme étalon de mesure d’un modèle idéal de beauté n’est pas uniquement un caprice humain. Même la nature semble conférer à $\phi$ un rôle spécial quand il s’agit de « choisir » une forme plutôt qu’une autre. Pour s’en apercevoir, il faut approfondir un peu plus les propriétés du nombre d’or.
Prenons notre rectangle d’or comme point de départ. Retirons un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle. Nous obtiendrons ainsi un nouveau rectangle d’or, de taille plus petite. Si nous répétons le processus plusieurs fois, nous obtiendrons la figure suivante :



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Traçons maintenant des quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés de la figure précédente, avec pour centre leur sommet respectif. Nous aurons ainsi la figure suivante :



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Cette courbe sinueuse est une bonne approximation d’une courbe appelée spirale logarithmique. Loin d’être une simple curiosité mathématique, elle peut s’observer très facilement dans notre environnement, (même si toutes ne sont pas reliées au nombre d’or) de la coquille d’un escargot...



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... à la forme des bras des galaxies...


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[...]

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Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Etienne Ghys. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Fernando Corbalán — «Le Nombre d’or» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Manon Bucciarelli
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Commentaire sur l'article

  • Le Nombre d’or

    le 23 mars 2013 à 14:03, par Christophe Boilley

    « On découvre avec ravissement que les divers éléments qui
    la composent se déclinent en autant de rectangles d’or »
    sauf que le rectangle de façade est déformé par l’angle de prise de vue de la photographie. D’ailleurs mon navigateur me montre un rectangle dont le rapport des dimensions est plus proche de 1,8. On s’interroge aussi sur le fait que le cadre inclue arbitrairement trois rangées de marches en dessous de la base des piliers.

    Bref, ni dans le Parthénon, ni dans la coquille d’escargot qui suit, ni dans l’image de galaxie qui clôt l’article on ne trouve de nombre d’or. Il y a tant à dire sur le nombre d’or et son intrication dans les phénomènes naturels (souvent via la suite de Fibonacci) que le présent recours à l’accumulation de poncifs est bien décevant, surtout pour inaugurer une collection scientifique.

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  • Le Nombre d’or

    le 24 mars 2013 à 12:27, par Laurent Paluel-Marmont

    J’avais pour ma part fait les mêmes observations que Ch. Boilley sur les illustrations des pages 19-20.

    Le traducteur du texte n’est pas crédité. Je note l’emploi à plusieurs reprises de « nautilus » à la place de l’usuel « nautile » ; confusion entre Gênes et Genève page 108. Page 74, dernière ligne, remplacer le second « b » par « c ».

    Sans préjudice bien sûr de l’intérêt d’ensemble de l’ouvrage.

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    • Le Nombre d’or

      le 30 mars 2013 à 18:43, par Pierre Rayssiguier

      Je pense que la traduction de la définition du nombre d’or donnée p.28 ligne 10 est incorrecte : « Le tout est à la partie ce que la partie est au TOUT » devrait plutôt être exprimé comme page 51 ligne 4 « le tout est à la partie ce que la partie est au RESTE ».
      J’ajouterai une autre coquille : p. 66, 3e ligne, il manque la virgule du résultat 1,307.
      Enfin, je me suis fait la remarque que si l’usage de la lettre PHI pour le nombre d’or dérive du nom de l’architecte Phidias, PHI se prononce aussi, en français en tout cas, comme la première syllabe de ...Fibonacci.

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  • Le Nombre d’or

    le 24 mars 2013 à 14:14, par Étienne Ghys

    Je voudrais faire quelques commentaires sur les deux commentaires précédents, qui soulèvent de vraies questions concernant la diffusion des mathématiques.

    D’abord, je suis bien sûr d’accord avec leur contenu !

    Vendredi, en faisant des courses à Carrefour, j’ai vu que ce livre était en vente, en bonne position dans les bacs. Je me suis demandé si ce n’était pas la première fois qu’on vendait une collection de 40 livres de maths à Carrefour ? N’est-ce pas une excellente façon de diffuser les mathématiques ? N’est-ce pas déjà un succès ?

    Bien sûr, on voudrait des livres sans reproches. Pour cela, il faudrait que les mathématiciens acceptent d’écrire pour le grand public... Hélas, cela ne fait pas encore partie de la culture de notre profession. Le comité de rédaction de Images des Maths connaît bien la difficulté de trouver des auteurs.

    Lorsque Images des Mathématiques a été contacté pour participer à cette opération, il s’agissait d’une part d’écrire des préfaces pour les livres et d’autre part de signaler les erreurs éventuelles dans le texte, mais il ne s’agissait pas d’écrire des livres !

    Bien sûr, si j’avais été en charge de cette collection, je n’aurais probablement pas choisi le nombre d’or comme premier volume. Et pourtant, il semble clair que ce thème intéresse directement le public. Ne faut-il pas aller vers le public ? La question est complexe n’est-ce pas ? J’ai oublié le tirage de ces livres, mais il est impressionnant, et il me semble qu’il faut accompagner ce genre d’initiatives qui touchent vraiment un public large.

    J’ai écrit la préface de ce livre. Cela m’a donné l’occasion d’essayer de me souvenir du genre de livres de maths auxquels j’aurais aimé avoir accès lorsque j’étais adolescent. Mes parents avaient acheté la collection « Time Life » qui était la seule encyclopédie à la maison. J’ai lu, relu, et relu encore le volume sur les mathématiques, et je revois encore le Parthénon et le tableau de Vinci dans le chapitre sur le nombre d’or... C’est peut-être un peu à cause de ça que je suis devenu mathématicien ?

    Pour diffuser les maths, faut-il s’interdire toute concession, au risque de perdre son public ? That is the question !

    — -

    Sur mon écran, le rectangle mesure 14 sur 8,4, soit un rapport de 1,6666666.. Pas trop mal...

    Pour l’escargot et la galaxie, je suis d’accord qu’il n’y a pas de rapport avec le nombre d’or, mais c’est dit « (même si toutes ne sont pas reliées au nombre d’or) ».

    Pour le Parthénon, je suis en revanche assez convaincu, au moins par le rectangle extérieur.

    Le fait que le traducteur ne soit pas nommé est en effet regrettable. A ma connaissance, la traduction a été faite par une entreprise de traduction « Around the world ». Je n’en sais guère plus.

    Cordialement,

    Etienne Ghys

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    • Le Nombre d’or

      le 24 mars 2013 à 17:38, par Christophe Boilley

      Bien sûr qu’il faut aller vers le public et le nombre d’or est un excellent sujet, non seulement pour vulgariser les mathématiques, mais aussi pour apporter un éclairage mathématique sur des thèmes qui n’en relèvent pas a priori aux yeux du grand public : les formes naturelles, les questions d’esthétique, les choix artistiques…

      Ces images ne sont pas nouvelles, il ne s’agit pas de nier leur attrait, ni l’impact qu’elles ont eu dans la genèse d’interrogations mathématiques, tout comme l’astrologie a participé de l’essor de l’astronomie. Il est important de continuer à les montrer (comme on continue à faire découvrir le ciel par les constellations zodiacales) mais il est vrai que j’attends d’une publication scientifique aujourd’hui qu’elle fasse le distinguo entre l’analyse historique du travail des proportions dans l’art et la nature d’une part et la fascination numérologique qui l’accompagne d’autre part. Cette distinction n’empêche pas (au contraire) de parler des deux.

      Le livre présenté ici ne souffre d’ailleurs peut-être pas des défauts que je crois deviner d’après l’article. Mon propos n’était pas de faire un procès d’intention à l’auteur, mais j’ai trop souvent vu des élèves relayer les thèses esthétiques du XIXe siècle avec l’intime conviction qu’il s’agissait de théories mathématiques. Je crois que l’on peut continuer à émerveiller par les images (ce site le fait très bien) tout en éveillant à une lecture critique de ces dernières.


      Je reste assez intrigué par les mesures de 14 pour 8,4 sur la photo du Parthénon. Après récupération du fichier JPEG et mesure du nombre de pixels, je maintiens un rapport de 1,79 à moins de 2 % près (du fait de l’épaisseur du cadre). Mais peu importent ces calculs, la même photographie aurait permis une validation de rapports plus proches de 1 en prenant en compte plus de rangées de marches, ou des rapports plus grands encore en ne conservant que la colonnade. Bref, comme sur le visage de la Joconde, comme dans le test de Rorschach ou sur la lecture en colonne des caractères de la Bible écrits en lignes, on peut y trouver n’importe quoi du moment qu’on se donne assez d’imagination. Les mathématiques elles-mêmes confirment que les coïncidences ne sont pas rares.

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    • Le Nombre d’or

      le 24 mars 2013 à 19:18, par Nils Berglund

      Ce débat est très intéressant.

      Afin d’inciter à la lecture critique, et d’éviter les amalgames numérologiques lorsqu’on parle du nombre d’or, il me semble important dans tout texte de vulgarisation à son sujet de (1) discuter des exemples où l’on comprend pourquoi ce nombre joue effectivement un rôle et (2) donner également des contre-exemples, où un examen plus approfondi montre qu’il n’en est rien. Il est d’ailleurs possible que ce principe soit appliqué dans la suite du livre en question, que je n’ai pas eu l’occasion de lire.

      A titre d’illustration, dans ce texte à propos des nombres de Fibonacci, écrit pour des étudiants en première année de licence, je donne à la fois un exemple combinatoire d’arrangements de dominos produisant cette suite, preuve à l’appui, et un contre-exemple, combinatoire lui aussi, produisant la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12...

      Malheureusement, le nombre d’or reste une source importante de délires numérologiques, comme par exemple dans les « théories » de ce personnage.

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  • Le Nombre d’or

    le 24 mars 2013 à 19:23, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Pour moi le nombre d’or est un très beau nombre aux propriétés surprenantes, mais il est abusivement utilisé par certains pour essayer de nous faire « avaler » des pseudo-théories.

    Je suis d’accord avec Christophe Boilley, les exemples de superpositions de rectangles d’or sur des oeuvres d’art ou des objets sont des plus fantaisistes. Celui du Parthénon est effectivement dans un rapport d’environ 1,79 et on ne comprend pas bien comment sont choisis les sommets du rectangle. Quant à l’exemple de la Carte Bleue le problème est que la droite tracée n’est pas la diagonale de la carte de gauche. Cela s’explique car une Carte Bleue fait 54x85,5 mm soit un rapport de 1,583. L’auteur profite des coins arrondis pour essayer de nous faire « gober » sa supercherie.

    Je n’ai pas calculé les proportions de tous les « rectangles d’or » présents dans le livre, mais ces deux contre-exemples me confortent dans l’idée que je me fait de ces théories qui tiennent plus de la numérologie que des mathématiques.

    Comme le dit Etienne Ghys, le nombre d’or n’était peut-être pas le sujet idéal pour le premier volume, mais c’était peut-être le plus « vendeur ».

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  • Le Nombre d’or

    le 25 mars 2013 à 23:59, par Cronos

    Page 77 il y a une erreur à la 4eme ligne, il est écrit RO au lieu de TO.

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  • Le Nombre d’or

    le 26 mars 2013 à 09:03, par Karen Brandin

    On assiste à un phénomène très étrange.

    Lorsque le premier volume de cette encyclopédie (qui en contient donc 40, le dernier, intitulé « Planète mathématique », est sorti le 27 Février 2013 me semble t-il) est paru au rythme d’un ouvrage relié tous les quinze jours à partir d’Août 2011 peut-être, je ne sais plus, ce fut dans l’indifférence générale ou presque.

    À plusieurs reprises, j’ai essayé comme d’autres sans doute, d’attirer l’attention sur cette initiative un peu inédite et à mon sens de qualité mais je me souviens que personne (collègues y compris) n’avait rebondi sur l’information sauf Aziz El Kacimi qui était au courant de cette publication.

    Je ne sais pas du tout ce qui a pu se passer en France et quel accueil a été fait à cette entreprise hardie mais par exemple, la librairie Mollat pourtant déclarée « amie des mathématiques » n’a pas suivi cette collection ; va t-elle suivre sa reédition ?, j’y serai attentive en tout cas.
    Les premiers volumes étaient disponibles dans les enseignes du type « Maisons de la presse » jusqu’à ce que le rendement étant décidément trop faible, - c’est-dà-dire que c’était pour les buralistes des retours assurés-, ils deviennent introuvables sauf sur commande. De mon côté, je n’ai pas acquis la totalité de la collection (je n’ai en particulier ni le volume 1, ni le volume n°2) mais sur la quinzaine de volumes que j’ai, 13 ont été achetés sur Internet faute de mieux.

    Qu’il y ait des erreurs de traduction ou des approximations de traduction, c’est inévitable mais c’est dans l’ensemble un bien joli travail malgré tout.
    Je n’ai pas eu l’occasion de feuilleter les « nouveaux » volumes donc je ne sais pas l’esthétique, très sobre, est préservée mais le papier de la série initiale est plutôt jauni, les reproductions en noir et blanc et pourtant on ne s’ennuie pas une minute à une époque où il n’y a jamais assez de couleurs, de 3D pour agrémenter le contenu (ou détourner du contenu ?) .

    Des erreurs traduction, on en déplore dans tous les ouvrages (littéraires comme scientifiques) donc il y avait peu de chances que ceux-là fassent exception.

    Il suffit d’ouvrir un manuel de cours de terminale S écrit dans l’urgence des nouveaux programmes pour se convaincre qu’il n’est pas besoin de « traduire » pour commettre d’innombrables fautes de frappe ... ;-)
    Je suis malgré tout un peu déçue ; lorsque j’ai découvert la petite vidéo de Cédric Villani, un ambassadeur décidément méritant, aussi infatigable qu’engagé, j’ai cru à une nouvelle série et je m’en faisais une joie. Dommage. Ce sera néanmoins pour moi l’occasion d’acquérir le volume sur l’infini que j’avais laissé passer quitte à dépareiller la série

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  • Le Nombre d’or

    le 26 mars 2013 à 13:26, par Laurent Paluel-Marmont

    On trouvera un compte-rendu critique (aux deux sens du terme) de la collection complète « Le monde est mathématique » au lien suivant :

    orbi.ulg/ac.be/bitstream/2268/126747/1/17Losanges-3.pdf

    Tout en reconnaissant l’intérêt de l’entreprise, l’auteur de la recension souligne que « le travail d’édition » a été « traité à la légère », ce qui ne m’avait pas échappé.

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  • Le Nombre d’or

    le 26 mars 2013 à 14:48, par Laurent Paluel-Marmont

    J’ai omis de signaler dans mon précédent message que l’auteur du « Nombre d’or », Fernando Corbalán, avide de retrouver Φ ci et là (voir les chapitres 4 et 5), a négligé d’observer que la reliure du volume en question a précisément pour largeur 1,618 cm. Fascinant !

    Répondre à ce message
  • Audimat

    le 26 mars 2013 à 14:52, par Michèle Audin

    Je vous révèle un secret (réservé aux administrateurs du site) — mais je serai quand même discrète.

    Voici : à l’heure où j’écris ce message, pour les articles visibles à la une d’IdM, devinez quoi ? Eh bien les deux qui ont le plus de visiteurs (nombre de gens qui ont cliqué pour ouvrir l’article) sont la Conjecture de Goldbach et le Nombre d’Or... Je n’en dis pas plus (nombres, etc.).

    Deux titres dont l’intitulé est connu du grand public.

    Non non, je ne suis pas du tout mécontente du nombre de « lecteurs » de mes articles, ça va. Mais un peu déçue pour les beaux articles du blog Planète Terre quand même.

    Bon après-midi aux lectrices et lecteurs !

    Michèle Audin

    PS. Juste pour rire.

    Je me demandais si je n’écrirais pas un article de mathématiques avec un titre du style : DSK et Sarkozy, le juge Gentil attaque. Juste pour avoir beaucoup de « lecteurs » !

    Enfin, de « cliqueurs ». Les nombres de lecteurs effectifs (ceux qui restent plus d’une ou deux minutes sur l’article), je ne les connais pas.

    Répondre à ce message
    • Audimat

      le 26 mars 2013 à 21:16, par Christophe Boilley

      Pour se faire une idée du nombre de lecteurs qui restent plus d’une minute sur chaque article, JavaScript permet d’envoyer un court signal au serveur au bout d’une minute de présence d’un article à l’écran. Le signal peut même notifier si la page a été parcourue en entier et à quel endroit la personne quitte la page.

      Répondre à ce message
  • Le Nombre d’or

    le 27 mars 2013 à 16:28, par levangileselonsaintmatheux

    Précisions sur le soi-disant nombre d’or.
    Cette appellation ne date que des années 1930, et serait due au diplomate roumain Matyla Ghyka. Celui-ci définissait, entre autres, une « analyse harmonique » du corps humain ; il y retrouvait phi, en traçant les bons traits...!
    H. Huntley avait trouvé phi au Parthénon, en incluant trois des quatre marches . Ghyka faisait de même, en incluant les quatre marches...!
    Plus grave. Dans les années 1940, un certain de Neroman estimait que le nombril devait diviser la hauteur d’un être humain selon la divine proportion ; plus le nombril est situé à une hauteur proche de celle de la division en extrême et moyenne raison, et plus la « race » doit être considérée comme évoluée ! Je ne donnerais bien sûr pas les « races » supérieures et inférieures selon ce triste individu !
    PS à Michèle Audin : Rassurez-vous, pour ce qui me concerne, je lis tous les articles du site, y compris ceux que vous signez. Et comme j’ai été absent durant plusieurs mois (de juillet à mars), je fais aussi les archives ! Je prépare un livre (si je trouve un éditeur), dans lequel je « flingue » les élections et les politiques. Si vous voulez un coup de main pour vos articles « DSKOZY », pas de problème !

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  • Le Nombre d’or

    le 27 mars 2013 à 18:32, par Cédric Villani

    Bonjour tout le monde,

    @ Boilley, Paluel-Marmont, Cronos : Mille mercis pour le travail de repérage de coquilles. Sur ce livre comme sur les autres de la série, les relecteurs d’IdM ont travaillé dur pour débusquer le maximum d’erreurs, et je pense que cette édition est de loin la plus belle et la plus rigoureuse des différentes rééditions de la collection. [@Paluel-Marmont : la recension Internet que vous citez concerne l’édition belge ; améliorer cette édition était justement l’un des objectifs de RBA/Le Monde/IHP/Images des Maths] Comme on le sait bien, quel que soit le soin avec lequel on extirpe des erreurs d’un texte, il en reste toujours (comme on me l’a un jour expliqué, c’est avec cet argument que l’on démontre que les coquilles dans un texte sont en quantité infinie :-) ). Mais comme d’habitude, la communauté des lecteurs est d’une efficacité remarquable pour faire un nettoyage en profondeur.

    Toutes les coquilles recensées seront répertoriées dans une fiche d’Errata ; et en même temps transmises au fur et à mesure à l’éditeur pour d’éventuels tirages futurs.

    — 

    @ Hanquez, Paluel-Marmont : Je le reconnais, c’est parfois agaçant, ou comique, de voir le nombre d’or cuisiné à toutes les sauces — dans la peinture, la musique, les objets environnants... À ce sujet je recommande aux amateurs le chapitre hilarant consacré au nombre d’or dans le livre d’Alex Bellos.

    Cependant, même s’il y a des abus, le nombre d’or apparaît souvent vraiment aussi. Sans doute, comme Étienne l’a bien dit dans sa préface, parce qu’il a influé sur notre esthétique, et parce que c’est un archétype d’une « idée mathématique » : un concept abstrait simple que l’on va retrouver dans des constructions diverses. Le principe simple qui mène à sa construction (lien avec l’auto-reproductibilité) explique d’ailleurs cette propension à surgir ici et là. J’avais même envie, à la lecture de l’ouvrage de Fernando Corbalán, d’en rajouter encore en citant le rôle du nombre d’or dans la théorie KAM !

    Et puis cet ouvrage, je le trouve somme toute assez équilibré : tout en citant maintes apparitions de ce nombre, Corbalán dit aussi qu’on a parfois fait trop d’interprétations à ce sujet, et que la présence de ce nombre est débattue. Dans un même ordre d’idée, pour un sujet très lié, à savoir la suite de Fibonacci, l’auteur cite bien des statistiques, montrant qu’une proportion écrasante des pommes de pin s’arrange selon la suite de Fibonacci, mais pas toutes. Pour les cartes bleues : entre le ratio 1,583 évoqué plus haut et le ratio plus doré de 1,618 il y a environ 2% d’écart, il me semble que pour tout impact esthétique ou pratique l’effet produit sera exactement le même ! En particulier, je ne pense pas qu’il y ait un motif pour douter de la bonne foi de l’auteur (le mot « supercherie » employé plus haut me semble inadéquat, et peu adapté à une discussion sur ce forum...)

    Au delà de la question des « ventes », je pense que le Nombre d’Or est une très bonne accroche pour commencer. Un sujet simple, avec un parfum de mystère, qui touche à la culture, à l’art, à l’architecture ; c’est aussi l’occasion pour l’auteur d’aborder le lien avec des notions comme les limites.

    Quand j’étais enfant, il y a eu deux sources mathématiques non scolaires qui m’ont émerveillé, mathématiquement parlant. L’une était le dessin animé de Walt Disney, Mathémagie (on ne rit pas !), http://www.youtube.com/watch?v=YRD4gb0p5RM . Si je le regarde plus de trente ans plus tard, je trouve cela naïf et simpliste, mais cela marchait très fort sur un enfant. L’autre était un livre cartonné, plein d’illustrations, avec des vies de grands mathématiciens (Gauss...), des chapitres de vulgarisation de concepts (les nombres complexes...), etc. Et dans l’une comme dans l’autre source, le nombre d’or était un chapitre fondamental de l’ouvrage ! L’ouvrage de Corbalán est bien meilleur — plus objectif, plus fouillé, mieux documenté, plus subtil et riche — sur le sujet que l’une et l’autre sources ; les quelques coquilles relevées ici et là n’y changent rien. Un jeune qui tombe sur cet ouvrage aura de quoi réfléchir et rêver, au moins autant que ce que moi je pouvais faire quand j’étais gamin ! À mon sens, cela en soi suffirait à considérer la mission comme accomplie.

    — 

    @Brandin : J’ai reçu plusieurs commentaires de personnes qui ont suivi la précédente édition de la collection, l’ont bien aimée, et se sont aussi posé la même interrogation de savoir pourquoi cela n’avait pas marché. Le « phénomène très étrange » montre combien la promotion est importante pour permettre à l’ouvrage de remplir sa mission... On retrouve d’ailleurs le même problème pour les conférences publiques : de nos jours on arrive facilement à trouver de bons orateurs, mais pour remplir une salle c’est toujours du sport, et si l’on néglige la question de la communication on en arrive facilement à avoir un excellent exposé devant une salle vide.

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  • Le Nombre d’or

    le 29 mars 2013 à 18:25, par Cronos

    Bonjour,

    Comme il a été mentionné plus haut, ces quelques maladresses n’entache en rien l’intérêt de la collection. Étant moi-même étudiant en licence de mathématiques je ne sais que trop combien il est difficile de mettre la main sur des ouvrages à la fois accessibles mais néanmoins instructifs et variés, c’est donc avec plaisir que j’ai dévoré ce premier volume et c’est avec impatience que j’attends la parution du prochain numéro.

    • Il est aussi malheureux de constater cette absence de « culture mathématique » dans les programmes de l’enseignement secondaire telle que le regretté Denis Guedj le préconisais en lieux et place de l’accumulation poussive de connaissances égrenées sans aucun fondement (ou si peu). C’est simple, n’importe quel lycéen un tant soit peu assidus de France ou de Navarre sera en mesure ou vous signifier quelle est la dérivée du Cosinus sans toutefois pouvoir dire d’où cela sort.
    • Espérons donc que votre « caution » de médaillé de Fields, vos efforts ainsi que votre notoriété apporterons à cette collection déjà sortie anonymement en 2011 rencontreras enfin son public et le succès d’édition quelle mérite.
    • PS. Je loue l’idée du défi mathématique hebdomadaire, nous avons avec mes amis pris beaucoup de plaisir à nous pencher sur le problème des nombres palindromes, nous attendons à présent les prochains problèmes de pied ferme !

    J’ai constaté lors de l’émission du Grand Journal du 05/09/2012 que notre ministre de l’éducation vous avait fraichement intronisé au poste de directeur de l’institut Raymond Poincaré :-/

    Cronos

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  • Le Nombre d’or

    le 31 mars 2013 à 11:10, par amic

    Je tiens à faire partager ce petit article de l’excellent blog eljjdx à ce sujet, qui m’a bien fait rire.

    Quant à l’histoire de coquilles et d’erreurs, peut-être qu’un autre choix de mode de relecture aurait permis d’en détecter plus. À l’heure où l’on parle d’open access, une prépublication numérique sous licence de libre diffusion, comme celle de ce site par exemple, avec l’aide de multiples correcteurs aurait permis de laisser passer moins de typos. Je doute que tous les relecteurs d’IdM aient été conviés à relire, étant donné que j’en fais partie…

    Je me souviens également d’une explication d’une méthode pour estimer le nombre de typos : On en introduit volontairement dans un texte, et on demande à un relecteur de chasser les typos. La proportions de fausses coquilles trouvées par rapport à toutes celles introduites, permet, à partir du nombre de vraies coquilles trouvées, d’en estimer le véritable nombre… À voir ce que cela pourrait donner avec un nombre bien plus grand de relecteurs.

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  • Le Nombre d’or

    le 1er avril 2013 à 23:48, par Pierre Gallais

    Je souhaitais réagir ... mais je vois que beaucoup de réactions vont dans mon sens... donc inutile. Toutefois je ne peux m’empêcher de remarquer que les images de la Joconde et du tableau de Seurat sont peu convaincantes... on pourrait placer des rectangles 1/2 ou 2/3, etc... et trouver des rencontres. Tant qu’on ne pousse pas plus loin la proposition géométrique cela n’a guère d’intérêt. En regard de cela je songe, par exemple, à des peintures de Paul Klee (http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Klee) qui par exemple divise (un segment) en deux puis le reste en deux, puis le reste en deux, etc... combine, compose tout cela et dégage beaucoup de sensibilité, poésie. Le nombre et ses propriétés mathématiques peuvent être source d’inspiration et d’oeuvres sensibles. Les exemples foisonnent.

    Je reviendrais plus volontiers sur le cas de Le Corbusier car il a développé une « théorie » sur le Modulor (échelle s’appuyant sur le nombre d’or). Les dimensions des éléments bâtis étaient en relation intime avec les propriétés du nombre d’or et les mesures du corps humain. L’unité de base était « l’homme » ... mais quel homme ? Si l’homme selon son canon et celui de Vitruve-Vinci entrent assez bien dans un jeu de relation avec le nombre d’or... ce sont des rapports. Si les rapports se conservent à l’oeil, un appartement construit sur la base d’un homme de 1,618 m en respectant les règles de Le Corbusier - agréable pour qui fait cette taille - devient insupportable pour une personne de 1,70m. 1,618m ; c’est ma taille avec le nombril à 1m, les bras..., etc, .... je suis divin :-)j’ai aménagé mon habitat en m’inspirant de la proposition du « Corbu ». Cela fonctionne bien ... pour moi. Pour les visiteurs de 1,70m et plus cela devient incommode, voire galère. Le Corbusier s’en rendit compte lui-même puisqu’il changea d’unité de base lorsqu’il fut en Amérique. Donc échec du nombre d’or pour l’architecture d’intérieur à moins de construire pour soi et préciser la taille en cas de revente.

    Il y a beaucoup à dire et à faire de la relation des mathématiques avec l’art plastique et la sensibilité en général... je m’y appliques, y trouves beaucoup de poésie, d’étonnements, d’émerveillements. Le nombre d’or est une piste riche pour ses propriétés géométriques et algébriques mais le champ des mathématiques est un vaste champ et sa terre est fertile de produits variés, aptes à nourrir la sensibilité. Réciproquement l’approche de l’abstraction mathématique par la sensibilité est une bonne porte d’entrée pour donner de l’appétit à se confronter à des réalités mathématiques qui peuvent rebuter par leur complexité et distance avec notre environnement concret, quotidien, pragmatique.

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  • Le Nombre d’or

    le 20 août 2013 à 12:34, par Audibert

    Dans le livre N°1 comme dans tous les livres de cette collection on trouve de jolis et gentils problèmes .J’ai été très content d’y trouver le problème de la bande de papier qui se noue en pentagone régulier .Il est dit à la page 73 que « Nous avons le pentagone régulier ABCDE dont le coté est la largeur de la bande de papier » or ce coté est en fait égal à la largeur divisée par sin72°. Pour expliquer plus en détail ce problème faisons le nœud, aplatissons le, puis dénouons et déplions cette bande .Les plis déterminent une suite de trapèzes isocèles égaux dont les angles mesurent 72° et 108° et dont les diagonales sont égales aux grandes bases ; ce qui montre que le nœud est un pentagone régulier dont le coté est égal à la largeur de la bande divisée par sin72°. G.A.

    Dans le livre N°1 comme dans tous les livres de cette collection on trouve de jolis problèmes. C’est encore vrai avec le théorème de Morley présenté à la page 74.
    Mais la démonstration n’en est pas très simple .On peut la trouver dans le livre de Marcel Berger Géométrie 1977 Cedic/Fernand Nathan au paragraphe 10.3.10. , ou encore sur internet-google-théorème de Morley .Elle nécessite la connaissance des formules trigonométriques notamment dans un triangle quelconque où il est dit que le rapport entre un coté et le sinus de l’angle qui lui est opposé reste constant quelque soit le coté . Ces formules sont enseignées en classe de terminale de l’enseignement secondaire.

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