Vivre de la géométrie pratique au XIXe siècle (2/2)

Le Nouveau manuel complet d’arpentage (1845)

la géométrie pratique entre les Vosges et l’Académie des Sciences

Piste bleue Le 26 mars 2020  - Ecrit par  Pierre Desjonquères, Thomas Morel Voir les commentaires

L’éditeur Roret est un spécialiste des manuels techniques à l’attention du grand public. Il vend en 1845 un ouvrage sur l’arpentage mêlant les écrits de Lacroix, mathématicien reconnu, à ceux des Hogard père et fils, arpenteurs-géomètres. Le croisement des points de vue donnés dans ce manuel permet de découvrir la variété des pratiques géométriques au XIXe siècle ainsi que les enjeux de popularisation de cette géométrie.

Avertissement : Le lecteur pourra retrouver les parties du manuel citées dans l’article en cliquant sur les liens du type §18, p. 9.
Le manuel complet avec les planches est disponible en fin d’article.

Introduction :

Un miroir des cultures mathématiques du XIXe siècle

La Révolution française a consacré une nouvelle unité, le mètre, comme base d’un nouveau système unifié de poids et mesures. Pour garantir l’égalité de tous devant l’impôt, l’entreprise du cadastre napoléonien, lancée au début du XIXe siècle, doit établir une cartographie précise de l’ensemble du territoire français. Dans un premier volet, l’étude de la carrière du géomètre du cadastre Philogone Barbotin (1785–1860) a montré les liens qui existent en matière de savoirs-faire géométriques entre les travaux du cadastre et les nouveaux champs d’activité du XIXe siècle industriel.

Ce second volet est dédié à la genèse d’un manuel technique de 1845 sur l’arpentage et le lever de plans destiné à un public large, dont voici la page de garde :

L’éditeur Roret est un spécialiste des manuels techniques à l’attention du grand public ; il présente ici un ouvrage composé de trois parties. Le lecteur de 1845 ignore probablement que ces textes ont été rédigés de manière indépendante et qu’ils ont eu une longue histoire avant d’être ici réunis. La première partie est composée par Lacroix ; mathématicien reconnu et « membre de l’Institut », il apporte une caution savante à l’ouvrage. La deuxième est écrite par les Hogard père et fils, inconnus du public mais dont le titre « d’arpenteurs-géomètres » doit garantir la validité technique du contenu. La dernière partie est rédigée par Vasserot, avocat à la cour d’appel de Paris, pour finir de convaincre l’acheteur potentiel du sérieux et de l’utilité de l’ouvrage. La qualité des figures est assurée par un professionnel, M. Charter, « dessinateur au dépôt général de la guerre ». Et cette « nouvelle édition » est naturellement « approuvée par l’Université », terminant une impressionnante liste d’autorités scientifique, technique, juridique et militaire.

Cette belle couverture masque la réalité assez complexe d’une période où les enjeux et les contenus de la géométrie pratique ne sont pas encore stabilisés. Nous allons montrer comment l’éditeur Roret, loin de tout dogmatisme, accumule les références, estimant que l’exposé d’avis discordants vaut mieux qu’une vérité assénée.

Un exemple emblématique va permettre de cerner l’ambiguïté fondamentale de l’ouvrage : il s’agit des équerres servant à l’arpentage. Ces outils de base de l’arpenteur permettent de réaliser des alignements, mais également de tracer des perpendiculaires en évitant des manipulations longues et délicates aux cordeaux. Le mathématicien Lacroix affirme :

Pour éviter ces inconvénients, on emploie un instrument nommé équerre d’arpenteur. On lui donne plusieurs formes ; mais je pense que celle que représente la figure 12 est la plus avantageuse. (Première partie, §18, p. 9)

Les Hogard, géomètres-arpenteurs de terrain, reprennent la même formulation mais arrivent à une conclusion opposée :

Pour éviter ces inconvénients, on emploie un instrument nommé équerre d’arpenteur, auquel on donne plusieurs formes, parmi lesquelles, d’après une longue expérience, nous donnons la préférence à celle d’un cylindre droit ou d’un prisme octogonal de 0 m. 07 de hauteur sur 0 m. 06 de diamètre […] (Suppl. Fig. 2, Deuxième partie, §4, p. 125)

Comment un mathématicien talentueux et des géomètres-ingénieurs compétents peuvent-ils avoir une vision aussi différente d’une même discipline ? Pourquoi réunir des points de vue apparemment incompatibles au sein d’un même ouvrage, sans même harmoniser la présentation ? Quel est enfin le rôle de l’éditeur, qui arrange et ordonne ces instructions de géométrie pratique, cherchant à attirer le public sans sacrifier la rigueur de l’exposé ?

Les points de vue croisés d’un savant, de géomètres de terrain et de leur éditeur donnent un éclairage précieux sur la variété des pratiques géométriques au XIXe siècle, mais aussi sur les enjeux de popularisation de cette géométrie.

I. Le livre premier

Figure 4 : Introduction du livre premier

Du Cours complet d’Agriculture (1809) au Manuel d’arpentage (1826)

Dès l’introduction, une note indique au lecteur que la première partie est extraite du Nouveau Cours complet d’Agriculture également disponible aux éditions Roret (voir figure 4). Ce cours se présente comme un dictionnaire, si bien que la première partie du manuel d’arpentage reprend fidèlement les articles correspondant aux entrées Arpentage, Cultellation et Mesures.

L’auteur en est Sylvestre François Lacroix (1765–1843), l’un des grands mathématiciens et professeurs du début du XIXe siècle. Contemporain de Gaspard Monge (1746–1818), Adrien-Marie Legendre (1752–1833) et Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), il enseigna dans de nombreuses institutions parisiennes, dont l’École polytechnique et la faculté des sciences de Paris. Nommé correspondant de l’Académie des sciences dès 1789, il en devint membre à part entière en 1799. Son immense influence auprès de ses contemporains repose moins sur ses recherches originales, assez peu nombreuses, que sur ses qualités pédagogiques. Il publie des manuels qui font référence dans toutes les branches des mathématiques. Son Cours complet de mathématiques « constitue une véritable référence en la matière au moins jusque dans les années 1840 » [1].

En 1809, Lacroix est ainsi un mathématicien de premier plan lorsqu’il participe à l’élaboration d’un Nouveau Cours complet d’Agriculture. Cette collaboration est moins étrange qu’il n’y paraît si l’on considère que l’ouvrage est publié « par les membres de la section d’agriculture de l’Institut de France ». L’ouvrage est publié par Jean-François Deterville (1766-1842), un libraire-éditeur situé rue Hautefeuille aujourd’hui dans le 6ème arrondissement, et reprend la structure du Cours d’agriculture de l’Abbé Rozier, grand succès sous l’Ancien Régime.

Lacroix écrit après la Révolution française, il doit donc mettre à jour certaines parties du Cours de l’Abbé Rozier. Les instructions relatives à la géométrie sont particulièrement concernées, puisqu’en ce début de XIXe siècle, un système décimal basé sur le mètre a remplacé toutes les anciennes mesures. La propriété foncière et l’imposition doivent reposer sur un cadastre en voie d’élaboration. S.F. Lacroix, mathématicien membre de la plus haute institution scientifique du pays, apporte donc une caution scientifique en expliquant d’une part les méthodes d’arpentage et d’autre part les avantages du nouveau système métrique.

En rédigeant ces notices géométriques en 1809, Lacroix défend l’idée de mettre la science à la portée de tous. Il s’adresse aussi bien à « l’habitant des campagnes » qui doit pouvoir comprendre l’art des « arpenteurs de profession » qu’au quidam dont l’exercice de l’arpentage et du dessin formerait l’esprit en vue de pratiques professionnelles variées. Bien que figurant initialement dans un dictionnaire agricole, le propos se veut d’une portée générale ; Lacroix fait d’ailleurs explicitement le lien avec son Essai sur l’enseignement en général, et celui des mathématiques en particulier (1805), un des premiers ouvrages modernes à proposer, selon l’historienne Caroline Ehrhardt, une « sorte de manuel de pédagogie à l’attention des professeurs de sciences » [2].

L’éditeur Roret, ayant acquis une partie des fonds de Déterville, republie en 1821–1823 le Nouveau cours d’agriculture, comprenant tous les articles écrits par Lacroix en 1809. Ceux-ci paraissent aussi, sous une forme très légèrement modifiée, dans le Traité général des eaux et forêts, chasses et pêches qui paraît à partir de 1821 [3]. Cette contribution de S.F. Lacroix à la géométrie de l’arpentage aurait pu rester anecdotique, cantonnée à ce milieu professionnel spécifique, mais l’envergure du personnage va assurer à ce texte une postérité inattendue.

En 1826, les articles de géométrie agricole de Lacroix sont donc publiés pour la première fois sous le titre Manuel d’arpentage ou instruction élémentaire sur cet art et sur celui de lever les plans. Cet ouvrage indépendant paraît dans une collection à succès, l’encyclopédie populaire des Manuels Roret. Les Manuels-Roret, dont ce manuel est l’une des premières publications, sont une collection très populaire du XIXe siècle, visant à diffuser largement et à bas prix des connaissances techniques récentes [4]. Leur influence culturelle est énorme ; ils sont par exemple mentionnés à plusieurs reprises dans le roman de Flaubert Bouvart et Pécuchet. Les deux héros possèdent « plusieurs volumes de l’Encyclopédie Roret », mis à contribution dans leurs efforts infructueux pour embrasser toutes les carrières possibles et imaginables.

Cette adaptation des articles de Lacroix est un succès immédiat, en dépit de sa structure bancale. Malgré le petit format des manuels, qui explique le prix modeste de 2 francs et 50 centimes, le texte original n’occupe qu’environ 70 pages. Lacroix ajoute donc plus de 70 pages de notes et compléments au texte original. Immédiatement réédité en 1827, l’ouvrage en est en 1834 à sa cinquième édition en huit ans, pour un contenu largement inchangé ! Si le succès est indéniable, il est plus difficile d’apprécier la réception du texte. Le problème n’est ici pas le manque de sources, mais leur caractère systématiquement biaisé. Au tournant de 1830, il n’est pas pensable de critiquer S.F. Lacroix, comme l’écrit très clairement l’auteur de la recension dans le Bulletin de Férussac :

« Le nom de l’auteur nous dispense de tout éloge et de toute réflexion ; nous devons nous borner à indiquer la marche qu’il a suivie et le sujet qu’il a traité. » [5]

Or Lacroix lui-même reconnaît les limites de son texte et renvoie, pour une exposition détaillée, à des praticiens comme A. Lefevre, géomètre en chef du département de la Haute-Vienne. Ce même Lefèvre critique à la même époque les instructions officielles et les manuels théoriques. Les premières sont « tracée[s] beaucoup trop succinctement pour le jeune arpenteur qui commence à travailler, et les seconds sont « insuffisans pour servir de guide à l’élève qui veut consacrer utilement son temps à l’arpentage parcellaire » [6]. Cette situation est paradoxale : le manuel assemblé par Roret en 1826 réunit sous une forme bancale des textes de Lacroix, qui renvoie de son côté à un praticien comme Lefèvre. Cet ouvrage est ainsi peu compatible avec la politique éditoriale de Roret, qui est de proposer des ouvrages immédiatement utilisables. Il n’est cependant pas question pour l’éditeur de remplacer Lacroix, dont le simple nom a suffi à assurer le succès du manuel. Étudions maintenant deux des notices rédigées par Lacroix.

L’article « Arpentage »

L’article « arpentage » est composé de deux parties, la première consacrée à l’arpentage sur le terrain, la seconde à la levée des plans. Lacroix commence par expliquer les rudiments de la géométrie, comme la ligne droite, et leur équivalent en opérations sur le terrain, en l’occurrence le tracé des alignements, réalisé en « plaçant des piquets de manière que, lorsqu’on se met à quelque distance derrière le premier, il cache parfaitement tous les autres » (§4, p. 4). Après cette introduction à la géométrie élémentaire, il propose une géométrie de « terrain, avec un cordeau et des piquets » (§17, p. 9). Il introduit ensuite divers outils et explique l’utilisation de la chaîne d’arpenteur pour mesurer les distances. Il propose aussi des méthodes générales pour « décomposer en figure simple un terrain quelconque ». Il privilégie une méthode, par la suite définie comme méthode par alignement, selon laquelle :

on tire une ligne, comme AD, fig. 29, qui traverse le terrain dans sa plus grande longueur, et de chacun de ses angles on abaisse une perpendiculaire sur cette ligne ; le terrain se trouve alors partagé en triangles rectangles, et en trapèzes dont deux côtés sont perpendiculaires au troisième. (§32, p. 18)

Dans le point suivant, Lacroix propose une méthode par soustraction pour les terrains, par exemple boisés, « dont on ne peut point parcourir l’intérieur dans tous les sens », illustrée par la figure 30. Il semble avoir une certaine connaissance des pratiques et énonce ainsi des méthodes fréquemment utilisées par les géomètres. Ces techniques ne nécessitent pour instruments qu’une chaîne et une équerre d’arpenteur, tandis que les calculs se limitent à des sommes et produits permettant de calculer l’aire de triangles rectangles et de trapèzes droits (produit de la demi-somme des bases par la hauteur).

La formule de Héron

Dans un point précédent, Lacroix expose une première méthode fondée sur l’idée simple que tout polygone peut être décomposé en triangles. Tout calcul d’aire se réduit ainsi à la formule de l’air du triangle, pour laquelle il suffit ensuite de mesurer base et hauteurs :

Il pourrait être reproché à un mathématicien de ne pas évoquer la formule bien connue de Héron [7] permettant de déterminer l’aire d’un triangle à l’aide de ses trois côtés. Lacroix signale cette formule dans la note du point n° 28 en page 70 :

Ajoutez ensemble les trois côtés ; prenez la moitié de la somme trouvée ; retranchez-en alternativement chacun des côtés et faites le produit de la demi-somme et des trois restes : la racine carrée de ce produit sera la mesure de l’aire du triangle proposé.

Il détaille ensuite la méthode de calcul en utilisant les tables de logarithmes. Ces techniques sont complexes pour établir l’aire d’un terrain, et c’est probablement pour cela qu’il les a ignorées dans un premier temps. Cette note, ainsi que les trente suivantes, ne figuraient pas dans l’article original pour le Nouveau Cours complet d’Agriculture. L’ajout de ces 31 notes fait sortir Lacroix de son objectif premier d’un enseignement pratique pour tous. Il ne résiste pas aux canons du livre érudit de mathématiques : la célèbre et bien peu pratique formule de Héron (note du § 28, p. 70), les beaux et coûteux instruments tels le vernier ou le cercle répétiteur de Borda (note du §49 p. 75), l’incontournable anecdote sur Thalès et la hauteur des pyramides d’Égypte (note du §56, p. 96). Cette anecdote continue d’ailleurs à être présentée dans de nombreux manuels de mathématiques, et Alain Herreman a récemment étudié en détail pour Images des mathématiques les problèmes liés à une présentation naïve de cet épisode mythique.

L’article « Mesures »

L’article « Mesures » traite du nouveau système métrique. Rédigé à l’origine en 1809, il est repris intégralement de 1826 à 1845 alors même que l’usage du système métrique est obligatoire en France depuis 1840. Dans sa première édition, Lacroix affirmait qu’une réforme des mesures était désirée « depuis près d’un siècle » ; dans la version de 1845 l’éditeur actualise discrètement « depuis plus d’un siècle », reconnaissant ainsi la lenteur des changements d’habitude des Français.

Ce plaidoyer est même progressivement enrichi depuis sa première version : dès l’introduction Lacroix donne un « exemple assez remarquable d’incohérence ». L’arpent des Eaux et Forêts fait 100 perches carrées. Une perche fait 22 pieds alors que la toise fait 6 pieds, or 62 n’est pas un diviseur de 222. Il n’est donc pas possible d’exprimer un arpent en nombre entier de toises carrées ! Lacroix insiste ensuite sur la régularité du système décimal et sur son caractère émancipateur :

Je demande pardon au lecteur de l’entretenir de choses aussi triviales, mais j’y suis forcé, car c’est là le point le plus important du sujet que je traite. Si le calcul décimal pouvait s’introduire dans les petites écoles, avec l’usage des nouvelles mesures, non-seulement la ménagère serait en état de faire tous les calculs dont elle a besoin, mais l’ouvrier exécuterait sans peine tous ses toisés ; puis, en y joignant l’usage de la règle et du compas pour tracer quelques figures de géométrie, il construirait lui-même ses plans, et le cultivateur n’éprouverait aucun embarras dans la pratique de l’arpentage. (§61, p. 50)

Lacroix est ici offensif, défendant la nécessité pratique de passer au système métrique pour rendre enfin les calculs accessibles à tous. Il n’oublie pas de prévenir le lecteur d’être un peu vigilant pour les aires : « on doit bien se garder de confondre le dixième du mètre carré avec le décimètre carré » (§70, p. 60). Le discours savant sur l’universalité de la définition du mètre existe, mais il passe au second plan, bien après l’utilité pratique et quotidienne (§66, p. 54) [8].

II. Le livre deuxième

En 1836, deux ans après la cinquième édition du Manuel de Lacroix, Roret décide de publier un Manuel supplémentaire d’arpentage. Celui-ci est rédigé par Henri Joseph Hogard (1776–1837), arpenteur géomètre des Vosges, et son fils Henri Charles Hogard (1808–1880), lui aussi arpenteur et agent-voyer, futur géologue de renom. Les Hogard sont donc des praticiens de la géométrie, ayant réalisé eux-mêmes une partie du cadastre des Vosges, comme en témoigne le cadastre de la ville de Saint-Laurent :

Le but de l’éditeur est bien de fournir un ouvrage complémentaire à celui de Lacroix, comme en témoigne le sous-titre, « recueil d’exemples pratiques pour les différentes opérations d’arpentage et de levée des plans ». Les auteurs font donc l’impasse sur l’introduction des objets de la géométrie élémentaire, puisque celle-ci se trouve déjà dans le Manuel de Lacroix, et apportent leur expérience de praticiens. La Société d’émulation des Vosges, dans ses Annales de 1836, évoque de manière feutrée la différence entre les deux ouvrages :

Ce manuel fait suite à celui de Lacroix ; il est destiné aux personnes qui se livrent par état à l’arpentage, et les suppose instruites dans la géométrie et la trigonométrie rectiligne. Mais quelle que soit cette instruction, on est toujours un peu embarrassé lorsqu’il faut passer de la théorie à la pratique, c’est-à-dire, des bancs sur le terrain. Pour éviter des tâtonnements toujours ennuyeux et souvent inutiles, nos collégues exposent successivement et avec détails les différens cas qui se rencontrent habituellement dans les opérations ; ils donnent la manière la plus facile de procéder dans chacun d’eux, et partagent ainsi généreusement avec leurs confrères les résultats de leur grande expérience.

Les Hogard font au cours du texte indifféremment référence aux explications et figures fournies dans le manuel de Lacroix ou le leur, signalant clairement que les deux doivent être utilisés ensemble. Parmi les exemplaires conservés jusqu’à aujourd’hui, certains comportent les deux manuels reliés ensemble. Il faudra néanmoins attendre 1845 pour que l’éditeur décide de fusionner les deux ouvrages et d’ajouter quelques suppléments pour former le Nouveau manuel complet d’arpentage, qui est l’ouvrage que nous avons présenté en introduction. Dans la Bibliographie de la France qui recense toutes les publications de l’année 1845, ce manuel d’arpentage est mentionné entre le Nouveau manuel complet d’architecture et le Nouveau manuel complet du sapeur-pompier, ou Théorie sur l’extinction des incendies, deux autres manuels Roret [9].

Puisque l’arpentage est utilisé pour le cadastre et l’imposition, l’éditeur Roret fait ajouter un Traité du Bornage après les contributions de Lacroix et des Hogard, « de manière à ce que l’opération de l’arpenteur soit non-seulement exacte au point de vue mathématique, mais encore régulière et légitime sous l’aspect légal ». Ce traité est rédigé par Charles Vasserot (1819–1888), alors avocat à la cour d’appel de Paris. Nous ne l’étudions pas ici car Vasserot ne semble pas être un expert de l’arpentage. Collaborateur régulier des Roret, il signe des portions juridiques dans les Manuels des forestiers, des maires, des arbitres et des gardes champêtres, pour n’en citer que quelques-uns.

Les outils de l’arpenteur, révélateurs des tensions entre théorie et pratiques

Si l’ouvrage produit est incontournable, il faut souligner qu’il n’en devient pas pour autant homogène. Les points de vue des auteurs sont certes complémentaires, mais peuvent parfois être en désaccord. Il est légitime que le savant et le praticien n’aient pas la même opinion sur un sujet comme l’arpentage. Il n’est pas surprenant de constater que c’est l’utilisation des instruments qui cristallise les différences les plus significatives entre les deux approches.

Pour Lacroix, « le moyen le plus exact et en même temps le plus simple de mesurer une distance, est d’employer deux perches de bois bien sec » (§35, p. 19). Les Hogard se bornent à remarquer qu’en pratique « on ne se sert guère que de la chaîne » (§7, p. 126). La chaîne d’arpentage est une chaîne métallique de 10 mètres dont chaque maillon fait 20 cm, et qui combinée à un jeu de dix fiches permet des mesures rapides et relativement précises.
Lacroix déconseille l’équerre usuelle des arpenteurs certes « plus portative » mais « moins exacte » ; il préfère décrire « la forme la plus ancienne, qui me paraît en même temps la plus commode ». Les Hogard ne font pas de concessions et défendent l’équerre octogonale :

Nous lui donnons la préférence, d’abord à cause de la forme, qui permet de la rendre forte par des contreforts intérieurs, facile à porter en poche, où on la tient ordinairement, et commode pour faire plonger le rayon visuel, surtout dans les terrains fort inclinés, où l’on ne pourrait se servir de l’équerre indiquée par le Manuel, et qui est depuis longtemps abandonnée.(§4, p. 125)

Cet ouvrage n’hésite donc pas à présenter deux visions discordantes des opérations d’arpentage. S’il s’agit sans nul doute d’une opération éditoriale, nous aimerions formuler une seconde hypothèse : peut-être ces deux points de vue sont-ils également valables. Un lecteur doit pouvoir entendre que l’équerre circulaire est plus exacte d’un point de vue théorique, tandis que la forme prismatique octogonale doit lui être préférée dans les opérations pratiques. Ces deux points de vue illustrent la différence entre la théorie de l’arpentage et ses pratiques, et reflètent moins une opposition de principe qu’une hiérarchie de priorités.

Les Hogard, en bons géomètres-arpenteurs, exposent systématiquement les pratiques usuelles et soulignent l’importance d’avoir de multiples méthodes pour chaque problème, afin de s’adapter au contexte. Ils n’hésitent pas à rentrer dans des exemples concrets, par exemple sur la division des terrains :

Un des problèmes les plus ordinaires à résoudre en arpentage, consiste à prendre dans une masse de terrain quelconque une portion contenant une surface donnée. Pour réduire ce problème à sa plus simple expression, nous supposons qu’il s’agisse de prendre dans une pointe de bois a (Suppl., fig. 24), dont on peut mesurer l’angle dac, que nous supposerons de 32° 10’, une surface de 3 hectares 00 centiares par une ligne cd perpendiculaire au côté ac.(§41, p. 173)

Planche 2 du Manuel supplémentaire

Loin de proposer une approche théorique reposant sur une mise en équation, les géomètres arpenteurs utilisent une méthode de fausse position, s’inscrivant dans une longue tradition héritée du moyen âge. Prenant judicieusement une longueur ax égale à 100 mètres, la surface du triangle axy ainsi produit est de 31,446 ares. En remarquant que « les triangles semblables dca, yxa ont leurs surfaces comme les carrés de leurs dimensions homologues », on a « 31 ares 446 : 3 hect. 000 : : ax2 ou 10000 : ca2 » ( 31 ares 446 sont à 3 hectares ce que 10000 est à ca2). Ainsi ca2 est égal à 3 / 31,446 à une puissance de 10 près.

Le géomètre sait d’avance que la longueur à obtenir est de l’ordre des centaines de mètres. Il peut ainsi passer aux logarithmes décimaux en n’en gardant que les parties décimales tout comme il se permet d’oublier 1002 dans le calcul ou comme il s’est passé de convertir les hectares en ares. Ce fameux système métrique dont Lacroix vantait la praticité révèle ici toute sa puissance. Deux lectures de tables, une somme, une division par 2 puis une dernière lecture de tables permettent de conclure : la longueur est de 309,014 mètres.

La généralisation de ce problème au trapèze (§43, p. 174) mène maladroitement les Hogard à une équation « étant résolue à la manière ordinaire des équations du 2e degré ». Cela contraste avec le souci d’économie de calcul de l’exemple précédent. Les calculs n’étant cette fois-ci pas détaillés, il est probable que les Hogard succombent ici au technicisme et tentent de revendiquer une autorité savante au détriment d’un objectif global de résolution pratique des problèmes. Un problème ultérieur (§48, p. 178) montre bien que pour une situation réelle, ils s’y prennent d’une manière complètement différente pour déterminer la hauteur d’un trapèze d’aire donnée.

Prendre dans un canton de bois (Suppl., fig. 30) une coupe de 8 hectares par une ligne transversale xy.

La méthode de calcul d’aire par le tracé d’une directrice à l’intérieur du polygone n’est pas possible pour un bois où des problèmes de visibilité se posent. Il faut donc utiliser la deuxième méthode préconisée par Lacroix par soustraction des aires avec des axes extérieurs, exposée ci-dessus en partie 1.
En pratique, on trace Ab, bc et cD si possible perpendiculaires entre eux, matérialisés par des cordeaux tendus entre des piquets. Le géomètre « coordonne » à ces axes chaque sommet de la ligne brisée représentant la lisière du bois : il mesure les abscisses le long des axes et les ordonnées selon la perpendiculaire. Avec cette méthode, l’équerre et la chaîne d’arpenteur suffisent et un problème complexe est ramené à une suite d’opérations simples. On remarque que les axes coupent le polygone en différents endroits, cas qui n’était pas envisagé par Lacroix. Pour mesurer l’aire, il faut donc combiner des calculs additifs et soustractifs par rapport au rectangle de référence.

La méthode mixte

Cette méthode utilise ingénieusement des axes coupant le polygone, mais elle possède un inconvénient. Pour revenir à des triangles et trapèzes connus, il faut déterminer les abscisses des points d’intersection qui ne sont pas des sommets préalablement définis (voir figure). Le lecteur attentif aura appris un peu plus tôt (§18, p. 135) qu’il n’est en fait pas nécessaire de déterminer les points d’intersection.

Par exemple, la quantité additive correspondant à fdcg se calcule ainsi : « il faut retrancher la plus petite cd des deux ordonnées (ou 15 mètres) de la grande (ou 30 mètres), et multiplier le reste (ou 15 mètres) par la moitié de l’abscisse cg (= 22,5) ce qui donnera 3 ares 37 mètres 50 pour différence des deux triangles qu’il faudra compter dans les quantités additives ».

Le cas du trapèze fkig est plus épineux, car la quantité globale est pour nous négative, c’est-à-dire à retrancher de l’aire du bois. Pour les Hogard, le calcul se fait ici aussi par valeurs positives mais le triangle ihk étant plus grand que hgf, la quantité trouvée sera comptabilisée comme une « quantité soustractive ». Les Hogard évitent ainsi l’abstraction d’un trapèze dont les bases seraient définies en distances algébriques et dont la formule serait la même que les trapèzes communs. Ils ne se privent néanmoins pas d’une méthode efficace bien que non justifiée.

Le géomètre calcule progressivement l’aire du bois, en remontant à partir de zéro. Il trouve ainsi que l’axe xy permettant d’obtenir les 8 hectares voulus doit être tracé au-dessus du point z. Puisqu’il manque à partir de cet endroit 1 hectare et 2 ares, il suffit de constituer un trapèze ztxy de cette contenance. Une méthode est alors donnée pour trouver les coordonnées de t. Le problème se ramène ainsi au problème précédent qui nécessitait de se lancer dans des résolutions d’équations du second degré. Revenant aux principes qui les animent, les Hogard évitent alors une résolution algébrique trop coûteuse en calculs :

Comme on n’a pas toujours besoin d’une exactitude parfaite, on pourra, en place de faire les calculs rigoureux qu’exigerait cette solution, se contenter de ceux dont la pratique ordinaire fournit la ressource, de la manière suivante. (§49, p. 179)

Et d’enchaîner sur un raisonnement pratique : constatant que du côté du point t, la base s’allonge de 0,66 m par mètre de hauteur et que du côté du point z la pente est de 0,20, l’augmentation est de 0,86 mètres par mètre de hauteur. tz mesurant 225 mètres, « il faudrait plus de 40 mètres de largeur pour faire 1 hect. 02 ares ». En prenant une hauteur de 42 mètres, la base s’allonge de 42 x 0,86 = 36 mètres et mène à un résultat satisfaisant. « Cette combinaison de nombres se fait à vue et dans peu d’instants par des gens exercés. » La résolution est simple et rapide, encore une fois inspirée des méthodes de fausse position.

Les Hogard proposent ainsi dans leur livre un réel apprentissage des méthodes de géométrie pratique pour un lecteur ayant des bases en géométrie et en calcul. Les résolutions algébriques sont rares, et leur formulation indiquent qu’elles n’étaient probablement pas utilisées par les géomètres-arpenteurs sur le terrain. Les Hogard déploient des trésors d’habileté pour éviter les calculs compliqués et gagner du temps sans sacrifier la précision. Ils ont même inventé un instrument, baptisé « limbomètre » fait pour soulager l’arpenteur peu familier avec les tables trigonométriques, exposé au §31, p. 150 :

Dans un limbomètre, l’échelle des ordonnées coulisse sur la règle fixe des abscisses, comme indiqué sur la figure ci-dessus. La règle des hypoténuses pivote autour du point O. La connaissance des abscisses et ordonnées permet par exemple de connaître l’hypoténuse ainsi que les angles du triangle. Ce limbomètre était fabriqué à Paris, chez le facteur d’instrument Esteveny [10], mais ne semble pas avoir été beaucoup vendu.

Conclusion

Le Nouveau manuel complet d’arpentage de 1845 est un grand succès de librairie, bien que la présence de nombreux exemplaires non datés ne permette pas de suivre le détail des rééditions. Le texte final dépasse largement l’ambition initiale de S.F. Lacroix, qui avait rédigé au début du siècle quelques notices pour une encyclopédie agricole. Le Nouveau manuel contient de nombreuses tensions internes et n’a d’ailleurs été proposé aux lecteurs qu’après la mort de Lacroix, tandis que l’éditeur termine sa préface de la manière suivante :

Nous espérons avoir dignement rempli les intentions de notre savant auteur, en mettant la science à la portée de tous ; c’est aussi un hommage que nous rendons à sa mémoire.

L’analyse de ce manuel a montré le rôle absolument crucial de l’éditeur Roret. Au terme d’un long processus de collection et d’annotation, un article composé au début du XIXe siècle pour une encyclopédie agricole devient un manuel de référence sur l’arpentage. Au lieu de réécrire et de proposer un manuel homogène, cet ouvrage réunit des auteurs de milieux différents. Chacun présente l’arpentage à sa manière, choisissant des méthodes mathématiques selon ses propres valeurs, en cherchant à concilier théorie et pratique. Les Hogard, géomètres-arpenteurs des Vosges, ont une approche de l’arpentage qui diffère sensiblement de celle de l’académicien S.F. Lacroix. Leur complémentarité est visible dans la description des instruments comme l’équerre d’arpenteur, ainsi que dans les techniques de mesure ou les formules utilisées. Réunis par un éditeur entreprenant au sein du Nouveau manuel complet d’arpentage, ces auteurs nous permettent d’apprécier la variété de la géométrie pratique au milieu du XIXe siècle.

Le manuel Roret numérisé

Lien pour charger l’intégralité du manuel (sans le catalogue) : boutisses.free.fr.

Table des matières

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Lacroix – Planche n°1 (clic droit « afficher l’image » pour zoomer)

Lacroix – Planche n°2

Hogard – Planche n°1

Hogard – Planche n°2

Hogard – Planche n°3

Chartier - Planche

p0 à p15

PDF - 1.8 Mo

p16 à p35

PDF - 1.7 Mo

p36 à p55

PDF - 1.7 Mo

p56 à p75

PDF - 1.6 Mo

p76 à p95

PDF - 1.7 Mo

p96 à p115

PDF - 1.5 Mo

p116 à p135

PDF - 1.6 Mo

p136 à p155

PDF - 1.6 Mo

p156 à p175

PDF - 1.5 Mo

p176 à p195

PDF - 1.6 Mo

p196 à p215

PDF - 1.6 Mo

p216 à p235

PDF - 1.6 Mo

p236 à p255

PDF - 1.6 Mo

p256 à p275

PDF - 1.6 Mo

p276 à p295

PDF - 1.6 Mo

p296 à p315

PDF - 1.6 Mo

p316 à p335

PDF - 1.7 Mo

p336 à p355

PDF - 1.6 Mo

p356 à p360 + début du catalogue

PDF - 1.7 Mo

Catalogue :

PDF - 1.8 Mo
PDF - 1.8 Mo
PDF - 1.5 Mo
Post-scriptum :

Remerciements

Nous remercions Rossana Tazzioli et les membres du groupe Enseignement des Mathématiques et Textes Anciens de l’IREM de Lille, pour nous avoir encouragés à rédiger ce texte après une présentation orale. Merci à Norbert Verdier et Hélène Gispert pour leurs remarques constructives au cours du processus d’édition. Merci enfin à Jean-Louis Poss et Jean Delcourt pour leur relecture attentive et leurs suggestions !

Article édité par Norbert Verdier

Notes

[1Caroline Ehrhardt, « L’identité sociale d’un mathématicien et enseignant », dans Histoire de l’éducation, 123, 2009, p. 5-43, ici p. 11.

[2Ibid., p. 38.

[3Jacques-Joseph Baudrillart, Traité général des eaux et forêts, chasses et pêche, Paris, volume 1.2, 1823, article arpentage, p. 273–284.

[4Sur les manuels Roret, nous renvoyons à la notice d’Anne-Françoise Garçon . De ce point de vue, notre étude permet de nuancer son analyse selon laquelle les auteurs de manuels Roret représenteraient « rarement le meilleur de la compétence sur le domaine », puisque S.-F. Lacroix est l’un des mathématiciens les plus connus de son époque. Bien qu’il n’ait pas à l’origine composé ses notices pour Roret, il prend soin de les remanier et commenter, doublant la pagination initiale.

[6A. Lefèvre, Essai sur l’arpentage parcellaire, ou Recueil et développemens des instructions et réglemens sur la partie d’art du cadastre, Limoges, Chapoulaud, 1824, p. v et vi.

[7En 1896, l’archéologue allemand Richard Schöne (1840-1922) découvre à Istanbul dans la bibliothèque du sérail un manuscrit qui est l’unique témoin des Métrica de Héron d’Alexandrie ; une édition bilingue (Grec et allemand) du manuscrit – due à son fils Hermann Schöne (1870-1941) – est éditée en 1903. Voir Schöne, Hermann, Opera Quae Supersunt Omnia, vol. III : Rationes Dimetiendi et Commentatio Dioptrica. Vermessungslehre und Dioptra (Bibliotheca scriptorum Graecorum et Romanorum Teubneriana), Leipzig, Teubner, 1903. Voir gallica.nbf.fr. Une traduction (allemande) est proposée (bid. pp. 18-24). Bien plus tard, arrivera la traduction française : voir Bernard Vitrac. Pour la formule de Héron utilisée dans nos classes d’aujourd’hui, on peut consulter : Dupas, Jean-Jacques, « Les racines carrées. Comment les calculer. », Tangente, 169 (Mars-Avril 2016), pp. 14-15

[8Ce n’est que pour contrer le système anglais que dans un ajout à l’édition de 1809 (page 116) il revient sur le caractère universel du méridien par rapport à des définitions locales de mesures à l’aide de pendules.

[9Bibliographie de la France : ou Journal général de l’imprimerie et de la librairie, Paris, Pillet, 1845, p.55–56.

[10Il s’agit probablement de François Esteveny, situé rue du Four Saint-Germain. Esteveny avait commencé sa carrière comme apprenti chez Lenoir, célèbre instrumentier parisien, et avait assisté Méchain dans les années 1790 lors des opérations de mesure de l’arc de méridien Dunkerque-Barcelone qui ont permis la détermination du mètre.

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Pour citer cet article :

Pierre Desjonquères, Thomas Morel — «Le Nouveau manuel complet d’arpentage (1845)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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