Le Rêve de la carte parfaite

19 août 2013  - Ecrit par  Raúl Ibáñez Voir les commentaires (1)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série. Il sera accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du Chapitre 2 - Les dimensions de la Terre

Les calculs d’Ératosthène

Nous devons la mesure du diamètre de la Terre la plus célèbre de l’Antiquité à Ératosthène
de Cyrène (vers 276 – vers 194 av. J.-C.), qui fut le directeur de la bibliothèque
d’Alexandrie durant 45 ans, et ce jusqu’à sa mort. Pour mener à bien cette
entreprise, il effectua une double mesure, de l’angle et de la longueur, d’un arc de
méridien passant par Alexandrie. Selon ses calculs, le méridien entier mesurait
250 000 stades, ce qui, nous le verrons ci-après, était une remarquable estimation.
Ses travaux ont été rapportés par l’astronome grec Cléomède (vers 10 – vers 70) et
par d’autres auteurs classiques (Héron, Strabon, Pline, Vitruve…). Nombreuses sont
les théories scientifiques issues d’ouvrages fondamentaux de la Grèce antique qui
ont été irrémédiablement perdues au fil des siècles et qui nous sont parvenues
d’une façon indirecte à travers les œuvres d’autres auteurs classiques, devenus malgré
eux les relais essentiels de ce savoir disparu.

La méthode d’Ératosthène considérait que la Terre est sphérique et que les
rayons du soleil sont parallèles lorsqu’ils atteignent la surface terrestre compte tenu
de l’énorme distance qui sépare l’astre de la Terre. De plus, il partait du principe que
les villes qui lui servent de repère, Alexandrie et Syène (l’actuelle Assouan), étaient
situées sur le méridien (celui-là même qu’il avait choisi de mesurer).

Selon Ératosthène, la distance qui séparait Syène d’Alexandrie était de
5 000 stades, ce qui lui permit de déterminer la longueur de l’arc de méridien. La
légende raconte qu’il calcula cette distance d’après le récit de caravaniers qui lui
avaient dit que leurs chameaux, qui parcouraient environ 100 stades par jour, avaient
eu besoin de 50 jours pour effectuer le voyage entre Syène et Alexandrie. Cependant,
il est plus probable qu’il ait découvert cette donnée dans les livres de sa bibliothèque,
trouvant dans les récits des caravaniers ou des soldats de l’armée égyptienne
la confirmation de ses calculs.

De plus, le savant prit en compte la situation de Syène sur le tropique
du Cancer. Donc, à midi lors du solstice d’été (vers le 21 juin), les rayons du
soleil
tombaient verticalement sur cette ville ; n’importe qui pouvait facilement
vérifier ce phénomène en observant la lumière se refléter au fond d’un puits
d’une grande profondeur.

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Schéma montrant la position d’Alexandrie et de Syène et l’incidence des rayons solaires pendant le solstice qui permit à Ératosthène de mesurer le diamètre de la Terre.

Ératosthène utilisa également un gnomon pour calculer l’angle de l’arc
de méridien depuis Alexandrie. Un gnomon est la forme la plus simple du
cadran solaire : un bâton planté verticalement sur une surface horizontale. On
raconte qu’Ératosthène utilisa non pas un simple gnomon formé d’un bâton,
mais un grand obélisque.

Ératosthène utilisa un gnomon pour mesurer l’angle $\alpha$ entre l’inclinaison du
soleil et la verticale à midi lors du solstice d’été. Cet angle équivalait, selon ses
calculs, à 1/50 de la circonférence, soit $\alpha = 360º / 50 = 7,2º$. Et puisqu’à ce même
instant les rayons du soleil tombent verticalement sur la ville de Syène, l’angle de
l’arc de méridien entre Alexandrie et cette même ville de Syène est exactement
égal à $\alpha$, soit à 7,2º.

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À midi le jour du solstice d’été, les rayons du soleil tombaient verticalement sur Syène et se reflétaient au fond d’un puits, alors qu’à Alexandrie, ils formaient un angle de 7,2° par rapport à la verticale, par exemple d’un obélisque.

Une simple démonstration permet donc d’affirmer que si l’arc de méridien a
une longueur de 5 000 stades pour un angle de 7,2°, alors la circonférence complète,
soit 360°, aura une longueur de :

\[\frac{360°}{7,2°} \times 5000 = 50 \times5000 = 225 000 \text{ stades}\]

Il semble qu’Ératosthène ait effectué plusieurs calculs avant d’arriver à une estimation
finale de 252 000 stades. Sa méthode brille par sa simplicité et son efficacité
dans la mesure où elle pourrait encore être appliquée de nos jours. Le problème
que nous aurions aujourd’hui serait celui de la conversion des stades en mètres,
unité de mesure actuellement en vigueur. La valeur unitaire du stade variait à
l’époque du savant grec, ce qui rend aujourd’hui la conversion en mètres approximative
puisqu’on ne sait pas précisément sur quelle valeur s’est appuyé Ératosthène.
Si nous prenons en compte la valeur du stade égyptien, qui est de 157,5 m, l’estimation
du mathématicien est de 39 690 km, un chiffre très proche de 40 030,2 km,
calculé par le système géodésique WGS 84, qui mesure le périmètre de la Terre en
se basant sur un modèle sphérique.

Bien que les estimations d’Ératosthène se révèlent aujourd’hui légèrement incorrectes,
on s’aperçoit que la mesure effectuée à son époque est très proche de la
réalité. En effet, Syène et Alexandrie ne se situent pas exactement sur le même
méridien, les techniques de mesure de distance entre ces deux villes ne pouvaient,
à l’époque, garantir une parfaite exactitude, et, enfin, le gnomon ne pouvait calculer
d’une manière exacte l’angle entre les rayons du soleil et la verticale.

[...]

PDF - 2.2 Mo
Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Serge Cantat. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Raúl Ibáñez — «Le Rêve de la carte parfaite» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli

Commentaire sur l'article

  • Le Rêve de la carte parfaite

    le 29 août 2013 à 12:35, par Audibert

    LE REVE DE LA CARTE PARFAITE

    A propos du livre N°22 : Un autre livre en français peu accompagner ce N°22 . Il s’agit de :

    Levallois J.J. Mesurer la terre 1988 Presses des Ponts et chaussées .

    Cet ouvrage très bien rédigé , copieusement documenté, relativement facile à lire compte tenu du sujet parfois technique qu’il traite, est malheureusement difficile à trouver sur le marché.

    Répondre à ce message

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