Le Yin et le Yang

Piste verte 4 mars 2011  - Rédigé par  Serge Cantat Voir les commentaires

Quelle est la forme exacte de la courbe qui sépare le Yin du Yang ? Trois mathématiciens se sont récemment penché sur le problème.

La dualité et la complémentarité du Yin et du Yang sont symbolisées par une figure célèbre, le Taijitu, qui ressemble à la suivante.

Le taijitu

Le pourtour est un cercle, les deux petits îlots sont
également représentés par des cercles.
Mais quelle est la forme exacte de la courbe $F$ séparant le Yin, sombre,
en bleu sur la figure précédente, du Yang, clair, en jaune ? Dans un petit article
récent, les trois mathématiciens Taras Banakh, Oleg Verbitsky et Yaroslav Vorobets proposent de définir $F$ à l’aide de la spirale de Fermat [1].

La courbe du Yin et du Yang

La spirale de Fermat

La spirale de Fermat est une courbe $S$ qui est tracée dans le plan ; elle n’est pas confinée dans un cercle, comme l’est la courbe $F$ que nous cherchons à préciser, mais s’étend indéfiniment. Avant de la décrire, traçons-en quelques portions ; les quatre figures suivantes représentent la portion de $S$ située dans un disque dont
le rayon est de plus en plus grand.

Spirale de Fermat

On ne trace qu’une portion de la spirale à chaque fois : celle contenue dans un disque dont le rayon croît d’une figure à l’autre.

Imaginons maintenant qu’une petite fourmi $f$, située initialement en l’origine $o$ du plan (le point rouge de la figure suivante), se met à marcher le long de la spirale $S$ en s’éloignant constamment du point $o$. La fourmi va donc décrire une des deux portions de la spirale. Pour décrire $S$, il nous faut caractériser le mouvement de la fourmi.

La marche de la fourmi de Fermat

Notons $f$ la position de la fourmi, $r$ sa distance à l’origine et $ang$ l’angle que fait la droite $(of)$ avec la direction de départ de la fourmi. Comme on le voit sur la figure, l’angle ne cesse de croître
à mesure que la fourmi s’éloigne. Au cours du mouvement, la droite $(of)$ tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à faire un, puis deux, puis trois tours complets, et continue ainsi indéfiniment. Pour prendre en compte
cette rotation ininterrompue, l’angle $ang$ sera choisi croissant : après un tour complet, lorsque $ang$ passe la valeur $2\pi$, les angles suivants seront compris entre $2\pi$ et $4\pi$ ; ainsi, lorsque $(of)$ croise la direction initiale de départ, on ne réajuste pas l’angle à zéro ; après $n$ tours complets l’angle est compris entre $2n\pi$ et $2n\pi+2\pi$ .

Dire que la courbe décrite par la fourmi est une spirale de Fermat revient à écrire la relation suivante entre l’angle et la distance à l’origine :
\[ ang = \pi r^2. \]
La deuxième moitié de la courbe est donnée par la relation
\[ ang = \pi r^2 + \pi. \]
Ces équations définissent la spirale de Fermat $S$.

Nous pouvons maintenant utiliser cette formule pour illustrer un phénomène évident sur les figures précédentes. Si la fourmi $f$, située à une distance $r$ de $o$, veut accroître cette distance de $d$, il faut qu’elle tourne d’un angle
\[ {\text{variation de }} ang= \pi (r+d)^2-\pi r^2=2\pi rd+\pi d^2. \]
Par exemple, lorsque $r=1$ et $d=1$, l’angle varie de $3\pi$, lorsque $r=10$ et $d=1$ il varie de $21\pi$, lorsque $r=50$ et $d=1$, la variation est égale à $101\pi$, soit cinquante tours et demi. Ceci est bien en accord avec le fait que les enroulements de la spirale $S$ sont de plus en plus rapprochés à mesure que l’on s’éloigne de l’origine.

Les drapeaux coréens.

Le drapeau sud-coréen actuel est constitué d’un Taijitu central entouré de quatre trigrammes.

Drapeau actuel de la Corée du Sud

La courbe de séparation $F$ choisie par la Corée du sud est constituée de deux demi cercles deux fois plus petits que le disque principal ; en particulier, elle est tangente au pourtour circulaire. Les drapeaux coréens plus anciens offrent des figures plus originales qui, de manière surprenante, font apparaître des portions de la spirale de Fermat. Les exemples suivants représentent trois de ces drapeaux, les deux de gauches avec une spirale [2].

Drapeaux coréens anciens

L’adéquation des drapeaux avec la spirale de Fermat est saisissante, comme le montre la figure qui suit, tirée de l’article de Banakh, Verbitsky et Vorobets.

Spirale de Fermat dans les drapeaux coréens

Les choix coréens ont donc varié avec le temps, les plus anciens utilisant des portions variables de la courbe $S$. Banakh, Verbitsky et Vorobets proposent alors de définir la courbe $F$ séparant le Yin du Yang comme étant l’intersection de la spirale de Fermat $S$ avec le disque de rayon $1$. Ce choix a été fait pour que chaque rayon du disque coupe la courbe $F$ en un unique point.

Symétries minimales

Mais pourquoi diantre trois mathématiciens se sont-ils mis en tête de proposer ainsi en 2010 un choix définitif pour la courbe séparant le Yin du Yang ? La raison
réside dans une propriété particulière de la spirale de Fermat. Cette propriété concerne les aires des régions claire et sombre représentant le Yang et le Yin, ce que nous allons maintenant expliquer.

Notons $D$ le disque de rayon $1$, dans lequel est tracé le Taijitu.
Notons $Aire(D)$ l’aire de ce disque, si bien que $Aire(D)=\pi$.
Par symétrie, l’aire de chacune des deux régions est égale à $Aire(D)/2$.

Considérons maintenant n’importe quelle partie $R$ de $D$ et notons $Aire(R)$ son aire. Soit $L$ une droite passant par le centre du disque. Notons $R'$ la région symétrique de $R$ par rapport à $L$. L’ensemble des points
qui sont à la fois dans $R$ et dans $R'$ est la plus grande partie de $R$ qui est symétrique par rapport à la droite $L$ ; cet ensemble est l’intersection de $R$ et
de $R'$, et est noté $R\cap R'$.

Symétrie par rapport à une droite

Dans cette figure, l’ensemble du disque rouge n’est pas représenté ; seule une portion est dessinée. On voit une partie $R$ en jaune et blanc, son symétrique par rapport à la droite $L$ en marron et blanc : l’intersection $R\cap R'$ est en blanc.

Lorsque $L$ tourne, $R'$ varie et la zone symétrique $R\cap R'$ change avec l’axe de symétrie $L$. Par exemple, lorsque $R$ est un demi disque, on peut trouver une droite $L$ pour laquelle $R=R'$, et dans ce cas l’aire de $R\cap R'$ est égale à $Aire(R)$, et une autre droite pour laquelle $R\cap R'$ est d’aire nulle.

Partie symétrique

Sur chacune des deux figures, La droite $L$ est en trait mixte, la région $R$ en bleu ciel, son symétrique $R'$ en rose, et l’intersection $R\cap R'$ en violet.

Banakh, Verbitsky et Vorobets s’intéressent à l’aire de la partie symétrique $R\cap R'$ et à ses variations lorsque $L$ tourne. Ils montrent la propriété suivante.

Il existe au moins une droite $L$ passant par le centre de $D$ telle que l’aire de $R\cap R'$ soit supérieure ou égale à \[\frac{(Aire(R))^2 }{Aire(D)}.\]

Nous pouvons réécrire cette inégalité sous la forme

\[ \frac{Aire(R\cap R')}{Aire(R)}\geq \frac{Aire(R)}{Aire(D)}. \]

Le théorème précédent montre donc que toute région $R$ du disque contient une partie symétrique qui occupe une proportion de $R$ supérieure ou égale à la proportion de $R$ dans $D$.
Ainsi, lorsque $Aire(R)=\frac{1}{2}Aire(D)$, $R$ contient une partie symétrique d’aire au moins $\frac{1}{4} Aire(D)$.
Nous ne démontrerons pas ce résultat [3]. Insistons juste sur le fait qu’il ne dépend pas de la forme de $R$ : l’existence d’au moins une telle droite $L$ est toujours assurée.

Nous pouvons maintenant énoncer la propriété de la spirale de Fermat.
Choisissons l’une des deux régions délimitées par la spirale de Fermat dans le
disque $D$ et notons $R$ cette région. On a bien sûr $Aire(R)=Aire(D)/2$. Mais maintenant, quelque soit la droite L qu’on choisit, le symétrique R’ ne rencontre R que sur une partie d’aire inférieure ou égale à 1/4 aire(D).

Nous pouvons maintenant énoncer la propriété de la spirale de Fermat :

prenons pour $R$ l’une des deux régions délimitées par la spirale de Fermat dans le disque $D$ (la même propriété s’appliquera à l’autre région) ;

  • on a bien sûr $Aire(R)=\frac{1}{2}Aire(D)$ ;
  • mais, quelque soit la droite $L$ passant par le centre de $D$, le symétrique $R'$ de $R$ par rapport à $L$ ne rencontre $R$ que sur une partie d’aire inférieure ou égale à $Aire(D)/4$.

Puisque le théorème de Banakh, Verbitsky et Vorobets nous dit qu’il y a bien une droite au moins pour laquelle la quantité $Aire(D)/4$ est atteint, cela nous assure que cette valeur est optimale ; on ne peut donc pas trouver de partie moins symétrique que la partie $R$. Ainsi, en définissant la courbe $F$ avec la spirale de Fermat, le Yin et le Yang sont le moins symétriques possible : le choix proposé par Banakh, Verbitsky et Vorobets minimise les parties du Yin, et celles du Yang, qui sont symétriques par rapport à une droite.

Je ne sais quelle est la signification philosophique d’un tel choix. Je ne sais pas non plus si les concepteurs d’anciens drapeaux coréens avaient remarqué cette propriété ou si une autre idée dictait leur choix.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Rémi Coulon, Damien Gaboriau, Nicky Sonigo et B0rel.

Notes

[1Voir ici pour quelques compléments sur la spirale de Fermat

[2En fait, il semble qu’il y ait des doutes sur l’origine de ces trois drapeaux ; voir ici.

[3Le lecteur peut consulter l’article de Banakh, Verbitsky et Vorobets. Cet article a été publié dans la revue American Mathematical Monthly, en novembre 2010.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Le Yin et le Yang» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

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