Le calcul des variations et ses applications chez Lagrange, de Turin à Paris, en passant par Berlin

Piste bleue 4 juin 2014  - Ecrit par  Jean Mawhin Voir les commentaires

Un travail de jeunesse de Lagrange contient les germes du calcul des variations, grande innovation mathématique qui sera aussi une importante source d’inspiration pour la physique des deux siècles à venir.

Cet article est issu d’une séance spéciale du Séminaire d’histoire des mathématiques de l’Institut Henri Poincaré consacrée à Lagrange. Pour compléter votre lecture, n’hésitez pas à visionner ce séminaire sur la chaîne audiovisuelle de l’IHP !

Turin (1736—1766)

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Rue Lagrange à Turin

Âgé de dix-neuf ans à peine, Joseph-Louis Lagrange [1] envoie au célèbre mathématicien suisse Leonhard Euler, le 12 août 1755, le résumé d’une approche analytique de la méthode des isopérimètres introduite par Euler en 1744 dans son ouvrage Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes sive Solution Problematis Isoperimetrici Latissimo Sensu Accepti.

Euler avait utilisé une méthode indirecte consistant à approcher la courbe cherchée par une suite d’approximations linéaires par morceaux, à chercher l’extremum des approximations par le calcul différentiel ordinaire, et à obtenir l’équation différentielle de la courbe extremum par un passage à la limite.

Le 6 septembre, la réponse d’Euler montre son vif intérêt pour l’approche directe de Lagrange, futur « calcul des variations ».

la voici détaillée pour les courageux,

avec une notation légèrement modernisée. La fonction $Z = Z(x,y,z)$ étant donnée, il s’agit de trouver une fonction $\widehat y(x)$ minimisant ou maximisant l’intégrale définie
\[\int _a^b Z\left(x,y(x),\frac{dy}{dx}(x)\right)\,dx\]
parmi toutes les fonctions $y = y(x)$ prenant les mêmes valeurs données en $a$ et $b$.

Pour ce faire, Lagrange introduit, à côté de la différentielle usuelle $d$, une variation $\delta y$ ayant les propriétés suivantes : si
$dZ = M\,dx + N\,dy + P\,dz $ est la différentielle de $Z$, on doit avoir
\[\delta d = d \delta, \;\;\delta Z = N \,\delta y + P \;\delta z, \;\; \delta \int_a^b Z \,dx = \int_a^b \delta Z \,dx.\]
En conséquence, puisque $z = dy/dx$, on a $\delta z = \delta dy/dx = (d/dx)\delta y$, et

[
\delta \int_a^b Z \,dx = \int_a^b (N \,\delta y + P\, \delta z)\,dx = \int_a^b \left(N \,\delta y + P\,\fracddx\delta y\right)\,dx \
= \int _a^b \left[N \,\delta y + \fracddx(P\,\delta y) - \fracddxP \,\delta y \right]\,dx = \int_a^b\left(N - \fracddxP\right)\,\delta y \,dx,
]

puisque $\delta y$ s’annule en $a$ et en $b$. En un maximum ou un minimum de $\int_a^b Z\,dx$,
$\delta \int_a^b Z \,dx = 0$ quel que soit $\delta y$, et dès lors

[
N - \fracddxP = 0,
]

ce qui s’écrit en notations actuelles
[
\frac\partial Z\partial y - \fracddx \left(\frac\partial Z\partial z\right) = 0,
]

et se nomme aujourd’hui l’équation d’Euler-Lagrange.

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Le 28 septembre de cette même année 1755, Lagrange est nommé professeur aux Écoles Royales d’Artillerie de Turin. Quelques mois plus tard, ce dernier adresse une nouvelle lettre à Euler sur l’application de son nouveau calcul à la mécanique et, en avril-mai de la même année, il soumet à l’Académie de Berlin un mémoire sur le « principe de moindre action ». [2] On ne s’étonnera pas que Maupertuis, fondateur du principe de moindre action et alors président de l’Académie de Berlin, offre aussitôt à Lagrange une chaire de mathématiques dans cette institution, dont ce dernier devient associé étranger le 2 septembre 1756. Le 5 octobre, une nouvelle lettre à Euler contient l’application du nouvel algorithme au problème de la courbe brachistochrone.

Lagrange reste à Turin et, avec quelques amis, décide en 1757 d’y créer une société scientifique (la future Académie Royale des Sciences) et de publier un journal scientifique, les Miscellanea Taurinensia. Le premier tome, paru en 1759, contient le mémoire de Lagrange Méthode de maximis et minimis, qu’Euler commente comme suit dans une lettre du 2 octobre 1759 :

Votre solution des problèmes isopérimétrique ne laisse rien à désirer et je me réjouis que ce sujet, avec lequel j’ai été occupé si complètement depuis mes premiers efforts, a été poussé par vous jusqu’à un si haut degré de perfection. L’importance du sujet m’a stimulé pour développer, aidé par vos lumières, une solution analytique que je garderai secrète aussi longtemps que vos propres méditations ne sont pas publiées, afin de ne pas vous priver d’une partie de la gloire que vous méritez.

Le deuxième mémoire de Lagrange, Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, rédigé à la fin de 1759, soumis en 1760 et publié en 1762, développe les idées de la première lettre à Euler. Il est suivi d’une Application de la méthode précédente à la solution de différents problèmes de dynamique, soumis en 1760, qui n’emploie plus l’expression « principe de moindre action ».

Euler peut maintenant publier ses propres contributions dans le mémoire Elementa calculi variationum de 1764, le premier de ses articles utilisant la variation de Lagrange. Il baptise « calcul des variations » ce nouveau calcul et souligne l’apport de Lagrange :

Quoique l’auteur de ce travail ait médité longtemps et ait révélé son souhait [d’éliminer l’approche géométrique dans la méthode des isopérimètres] à ses amis, la gloire de la première découverte était réservée au très profond géomètre de Turin La Grange, qui, en utilisant l’analyse seule, a clairement atteint la même solution que l’auteur avait déduit de considérations géométriques.

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D’Alembert

A la même époque, Lagrange rencontre pour la première fois Jean le Rond d’Alembert à Paris. Dans ses Recherches sur la libration de la lune, dans lesquelles on tâche de résoudre la Question proposée par l’Académie royale des Sciences, pour le Prix de l’année 1764, il utilise le principe des vitesses virtuelles du mathématicien français et esquisse le procédé pour en déduire les futures équations de Lagrange de la mécanique analytique.

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Statue de Lagrange à Turin

Berlin (1766—1787)

Répondant à l’invitation de Frédéric II, Lagrange arrive le 20 septembre 1766 à Berlin. Nommé le 6 novembre directeur de la Classe de mathématique de l’Académie de Berlin, il succède à Euler, retourné en Russie.

En 1769, dans un mémoire des Miscellanea Taurinensia intitulé Sur la méthode des variations, Lagrange revient sur son approche du calcul des variations et en profite pour répondre avec une vivacité inaccoutumée à quelques travaux publiés entretemps. Il commence par rappeler l’accueil chaleureux d’Euler à ses travaux :

J’ai donné, dans le second volume des Miscellanea Taurinensia une nouvelle méthode pour la solution des Problèmes où il s’agit de trouver les courbes qui jouissent de quelque propriété du maximum ou du minimum. Cette méthode, qu’on peut très-bien appeler, d’après M. Euler, méthode des variations, avait déjà été communiquée dès 1755 à ce grand Géomètre, qui l’avait jugée digne de son attention et de son suffrage, comme il paraît par les différentes lettres qu’il m’a écrites sur ce sujet et que je conserve encore. [...]

M. Euler a donné depuis, dans le tome X des Nouveaux Commentaires de Petersbourg, imprimé en 1766, deux Mémoires étendus sur cette matière, dans lesquels, après m’avoir fait honneur de la méthode dont il s’agit, il en explique les principes et les usages avec beaucoup de détail et de précision.

Il analyse alors les contributions d’Alexis Fontaine :

Après des témoignages aussi formels de la part d’un Géomètre tel que M. Euler, j’ai dû être surpris du peu de justice que m’ont rendue d’autres Géomètres, qui se sont depuis peu occupés du même sujet [...]. On verra, si je ne me trompe, que des deux méthodes de M. Fontaine, l’une n’est autre chose que celle que M. Euler avait donnée dans son excellent ouvrage intitulé Methodus inveniendi lineas curvas, etc., et qu’il a ensuite abandonnée pour adopter la mienne, et que l’autre est la même, quant au fond, que ma méthode, dont elle diffère seulement par la manière vague et imparfaite dont elle est présentée.

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François Jacquier

Il s’étonne enfin des références bibliographiques données par les pères Thomas Le Seur et François Jacquier dans leur récent ouvrage :

Les autres Géomètres dont j’aurais aussi eu quelque façon sujet de me plaindre, quoique par une raison bien différente de la précédente, sont les Pères minimes Le Seur et Jacquier, qui viennent de publier à Parme un très-bon Traité de Calcul intégral. [...] Il aurait été naturel et même équitable qu’ils eussent fait quelque mention de mon Mémoire de 1762, surtout après en avoir transcrit, comme ils ont fait, plusieurs pages entières ; [...] comme, par la citation des Mémoires de M. Euler dont nous avons parlé plus haut, ils paraissent vouloir lui attribuer cette méthode, je crois pouvoir faire remarquer que j’en suis le premier auteur, et que je n’en partage la possession avec personne.

La première mention du traité de Mécanique analytique de Lagrange se trouve dans une lettre à Pierre-Simon de Laplace, datée du 15 septembre 1782 :

J’ai presque achevé un Traité de Mécanique analytique, fondé uniquement sur [le principe des vitesses virtuelles] ; mais comme j’ignore encore quand et où je pourrai le faire imprimer, je ne m’empresse pas d’y mettre la dernière main.

Après la mort de Frédéric II en 1786, la situation de l’Académie des Sciences de Berlin se détériore et Lagrange accepte une offre de Paris.

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Paris (1787—1813)

Le 29 juillet 1787, Lagrange est nommé membre vétéran de l’Académie des Sciences de Paris. Au début de 1788, il publie sa Mécanique analytique, dont Adrien-Marie Legendre a corrigé les épreuves, après que l’Abbé Joseph-François Marie se soit chargé des démarches auprès des éditeurs. Par rapport au mémoire de Turin de 1762, le principe des vitesses virtuelles de d’Alembert a remplacé, pour fonder la dynamique, le principe de moindre action, qui en devient une conséquence :

Je viens enfin au quatrième principe, que j’appelle de la moindre action, par analogie avec celui que Maupertuis avait donné sous cette dénomination et que les écrits de plusieurs auteurs illustres ont rendu ensuite si fameux.

Mais il y a une autre manière de l’envisager, plus générale et plus rigoureuse et qui mérite seule l’attention des géomètres. Euler en a donné la première idée à la fin de son Traité des isopérimètres, imprimé à Lausanne en 1744. [...]
Je l’ai étendue [...] au mouvement de tout système de corps qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque : [...] la somme des produits des masses par les intégrales des vitesses multipliées par les éléments des espaces parcourus est constamment un maximum ou un minimum.

Tel est le principe auquel je donne ici, quoiqu’improprement, le nom de moindre action, et que je regarde, non comme un principe métaphysique, mais comme un résultat simple et général des lois de la Mécanique.

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Entre 1794 et 1799, Lagrange enseigne l’analyse à l’Ecole polytechnique nouvellement créée. Il publie ses leçons en 1797 dans l’ouvrage Théorie des fonctions analytiques contenant les principes de Calcul différentiel dégagés de toute considération d’infiniment petits, d’évanouissants, de limites et de fluxions et réduits à l’Analyse algébrique des quantités finies. Il y esquisse le calcul des variations dans le nouveau langage de ce traité, qui remplace les différentielles, les intégrales et les variations par des dérivées et des primitives. [3]

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Cet ouvrage est complété par les Leçons sur le calcul des fonctions d’abord publiées en 1801 dans le Journal de l’École polytechnique, avant de voir une édition séparée en 1808. avec deux leçons complémentaires sur le calcul des variations (les XXI$^e$ et XXII$^e$). Lagrange explique son nouveau point de vue :

La méthode des variations, fondée sur l’emploi et la combinaison des caractéristiques $d$ et $\delta$ qui répondent à des différentiations différentes, ne laissait rien à désirer ; mais cette méthode ayant, comme le Calcul différentiel, la supposition des infiniments petits pour base, il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions : c’est ce que j’ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions ; mais je vais reprendre ici cet objet, pour le traiter d’une manière plus directe et plus complète.

Lagrange relie le problème à celui de l’existence d’une primitive pour une fonction de plusieurs variables, et introduit des notations qui ont été abandonnées depuis (les chapitres, en dehors de l’historique, ne contiennent pas un seul signe intégral !). Comme pour le calcul différentiel et intégral, sa démonstration est illusoire. Les historiens du calcul des variations l’ont jugée avec une certaine sévérité, par exemple Isaac Todhunter en 1861 :

Le traité de Calcul des Variations contenu dans les Leçons sur le calcul des fonctions est assez difficile, et la notation est extrêmement peu attrayante et embarrassante

et Craig Fraser en 1985 :

La définition de Lagrange de la variation en termes des coefficients dans une série de puissances de Taylor souffre du même inconvénient que celui associé à son approche par séries de puissances du calcul différentiel et intégral . [...] La dérivation de Lagrange de l’équation $N - P' = 0$ dans le calcul des variations devrait, je pense, être regardée comme un échec intéressant. [...] La preuve de Lagrange que l’annulation identique de $N-P'$ est une condition suffisante pour l’existence d’une primitive est plus difficile à évaluer.

Le premier volume de la deuxième édition de la Mécanique analytique paraît en 1811 et la deuxième édition de la Théorie des fonctions analytiques en 1813, peu avant la mort de Lagrange. Le deuxième volume de la deuxième édition de la Mécanique analytique est publié en 1815. L’ouvrage verra une troisième édition (par Joseph Bertrand en 1853-1855) et une quatrième édition (par Gaston Darboux comme volumes XI et XII des Oeuvres de Lagrange en 1888-1889).

Conclusion

Dans son célèbre ouvrage La mécanique (1904), Ernst Mach a bien analysé la nature et l’importance de la contribution de Lagrange au calcul des variations :

Lagrange remarqua que les accroissements que prennent les fonctions pour une variation de leur forme sont en tous points semblables aux accroissements dus à la variation de la variable indépendante. Pour conserver la différence entre ces deux accroissements, il désigna les premiers par la lettre $\delta$, les seconds par la lettre $d$. Aussitôt cette analogie observée, il put écrire les équations qui conduisent à la solution des problèmes de maximum et de minimum. Lagrange n’a pas donné et n’a même jamais cherché à donner de preuve ultérieure de sa méthode, qui s’est montrée d’une très grande fertilité. [...] Les principes fondamentaux se justifient d’eux-mêmes par leur efficacité. Au lieu de se préoccuper d’en donner une démonstration, Lagrange montra avec quel succès on peut les employer.

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Enst Mach en 1900

Depuis, les efforts des grands mathématiciens comme Paul du Bois-Reymond, Carl Weierstrass, David Hilbert et d’autres ont donné au calcul des variations des fondements rigoureux et des développements importants.

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Paul Du Bois-Reymond
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Karl Weierstrass
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David Hilbert

Grâce aux travaux de Vito Volterra et de Jacques Hadamard, ce calcul a joué un rôle fondamental dans la naissance et le développement de l’analyse fonctionnelle. Il demeure aujourd’hui l’un des outils essentiels des mathématiques et de la physique théorique.

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Jacques Hadamard
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Vito Volterra

Annexe 1 : quelques opinions sur le calcul des variations et la Mécanique analytique

1834, Hamilton, [4]

Parmi les successeurs de ces hommes illustres, Lagrange a peut-être fait plus que toute autre analyste pour donner de l’extension et de l’harmonie à de telles recherches déductives, en montrant que les conséquences les plus variées concernant les mouvements des systèmes de corps pouvaient être dérivés d’une seule formule ; la beauté de la méthode égalant ainsi la dignité des résultats, de manière à faire de cette grand oeuvre une sorte de poème scientifique.

Mais la science des forces, ou de la puissance agissant par une loi dans l’espace et le temps, a déjà subi une autre révolution, et est déjà devenue plus dynamique, en ayant presque éliminé les notions de solidité et de cohésion, et ces autres matérialités, ou conditions géométriquement imaginables, sur lesquelles Lagrange raisonnait d’une manière si heureuse, et en tendant de plus en plus à résoudre toutes les connections et actions des corps en des attractions ou des répulsions de points : et tandis que la science progresse ainsi dans une direction par l’amélioration des vues physiques, elle peut aussi avancer dans une autre direction par l’invention de méthodes mathématiques.

Et la méthode proposée dans le présent essai, pour l’étude déductive des mouvements des systèmes attractifs ou répulsifs, sera peut-être reçue avec indulgence, comme une tentative pour aider à pousser plus loin une recherche si haute.

La Mécanique analytique de Lagrange est un poème scientifique par le Shakespeare des mathématiques.

1835, Hamilton [5]

La fonction $S$ a été introduite dans le premier Essai sous la forme
\[S = \int_0^t (T + U)\,dt,\]
les symboles $T$ et $U$ ayant dans cette forme leurs significations récentes ; et il vaut la peine d’observer que lorsque $S$ est exprimée par cette intégrale définie, la condition pour que sa variation s’annule (les coordonnées finales et initiales et le temps étant donnés) sont précisément les équations différentielles du mouvement (3.),
\[\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \eta'_i} - \frac{\partial T}{\partial \eta_i} = \frac{\partial U}{\partial \eta_i}\]
sous la forme donnée par Lagrange.

La variation de cette intégrale définie $S$ a dès lors la double propriété de donner les équations différentielles du mouvement pour toutes les coordonnées transformées quand les positions extrêmes sont considérées comme fixes, et de donner les intégrales de ces équations différentielles quand les positions extrêmes sont considérées comme variables.

1836, Jacobi, [6]

Je crois que l’on doit regarder le principe de la moindre action comme l’un des plus importants de la mécanique. En effet, on voit dans un mémoire des Miscellanea Taurinensia, ouvrage immortel et supérieur à tout éloge, Lagrange jeune faire ressortir d’un seul jet de ce principe, la mécanique analytique toute faite. Celui des vitesses virtuelles n’a été appelé qu’après coup pour les démonstrations méthodiques dans des travaux postérieurs. Pourquoi donc la mécanique analytique, fille ingrate, a-t-elle voulu accuser le principe de la moindre action comme inutile ? Si les travaux de M. Hamilton, et les recherches dont j’ai parlé ci-dessus, ajoutent essentiellement à la mécanique analytique, c’est encore à ce principe qu’on en sera redevable.

Il me paraît que le principe mentionné n’est pas présenté ordinairement d’une manière assez claire et qu’il est même impossible d’en saisir le vrai sens d’après la seule définition donnée et sans avoir recours à sa démonstration. Cela vient de ce qu’on oublie d’ajouter, dans la définition même du principe, que sous le signe de l’intégrale qui doit être un minimum, l’on suppose que l’élément du temps soit éliminé au moyen de l’équation des forces vives. [...]

Mais il y a une objection un peu essentielle à faire contre la définition de ce principe telle qu’elle a été donnée par Lagrange et qui se rapporte aux mots maximum et minimum. En effet, l’on prouve aisément que jamais le maximum ne peut avoir lieu ; qu’il y a toujours minimum pour un mouvement resserré entre certaines limites et que, passé ces limites, il n’y a ni maximum ni minimum. [...] Il me paraît qu’en changeant en maximum et minimum, dans les Miscellanea Taurinensia et dans ses travaux suivants, le mot minimum dont seule se sont toujours servi Euler et Laplace, Lagrange a voulu, d’une manière succincte et ingénieuse, censurer l’opinion d’Euler qui, par son principe, a cru pouvoir formuler la providence divine.

1847-48, Jacobi, [7]

La Mécanique analytique est en réalité un livre au sujet duquel il convient d’être assez prudent, vu qu’une partie de son contenu a un contenu plus surnaturel que basé sur une démonstration stricte. Vous devez dès lors être prudent à son sujet, si vous ne voulez pas être déçu ou être conduit à l’impression illusoire que quelque chose est prouvé, alors qu’il ne l’est pas.

Il n’y a que peu de points qui n’impliquent pas de difficultés majeures ; j’avais des étudiants qui comprenaient la Mécanique analytique mieux que moi, mais parfois ce n’est pas un bon signe, si vous comprenez quelque chose.

1904, Mach, La mécanique : Lagrange et la mécanique analytique

C’est enfin Lagrange qui a porté la mécanique analytique à son plus haut degré de développement. Dans sa Mécanique analytique (Paris, 1788), il s’applique à faire, une fois pour toutes, toutes les démonstrations nécessaires et à condenser le plus possible de choses dans une seule formule. On peut alors traiter tous les cas particuliers qui se présentent d’après un schéma simple, symétrique et clair ; il ne reste plus à faire qu’un travail mental purement mécanique. La mécanique de Lagrange réalise un progrès considérable dans l’économie de la pensée.

1949, Lanczos, [8]

Although the fundamental importance of invariants and covariants for all phenomena of nature has been discovered only recently and so was not known in the time of Euler and Lagrange, the variational approach to mechanics happened to anticipate this development by satisfying the principle of invariance automatically. [...] The mathematical and philosophical value of the variational method is firmly anchored in this freedom of choice and the corresponding freedom of arbitrary coordinate transformations.

1960, Landau et Lifshitz, Physique théorique

Les principes variationnels, qui donnent le maximum de généralité, d’unité et, en fait, de simplicité, ont servi de point de départ dans l’établissement des équations fondamentales.

1986, Souriau

Venons-en à cette Section 5 [du volume I de la deuxième édition]. Lagrange fait d’abord remarquer que les équations du mouvement peuvent s’écrire en utilisant la seule variable $Z = T - V$. Résultat aujourd’hui très classique : c’est l’écriture des « équations de Lagrange » à partir du « lagrangien » $Z$ (p. 301) ; seule diffère aujourd’hui la notation : on écrit $L$ (comme ``Lagrange") au lieu de $Z$.

Une remarque étonnante : Lagrange n’énonce pas à cette occasion le principe variationnel correspondant, qui ne pouvait pourtant guère lui échapper ; principe formulé par Hamilton en 1834 dans le cas « indépendant du temps », et dans le cas général par Jacobi en 1842.

Peut-être Lagrange avait-il simplement remis cette rédaction à plus tard, c’est-à-dire au second volume qu’il n’a pas eu le temps d’achever ?

Annexe 2

Bibliographie

L. Anton, Geschichte des isoperimetrischen Problems, eine geschichtliche Darstellung der Variationsrechnung von Bernoulli bis Lagrange, Dresden, 1888

W. Barroso Filho, La Mécanique de Lagrange. Principes et méthodes, Paris : Karthala, 1994

E. Borel, L’évolution de la mécanique, Flammarion, Paris, 1943

P. Brunet, Etude historique sur le principe de la moindre action, Paris : Hermann, 1938

A. Cayley, Report on the recent progress of theoretical dynamics, Reports of the British Association of the Advancement of Science, 1857, 1-42

J.D. Choisy, Essai historique sur le problème des maximums et minimums et sur ses applications à la mécanique, Genève, 1823

P. Costabel, La mécanique dans l’Encyclopédie, Rev. Hist. Sci. Appl. 4 (1951), 267-293

J. le Rond d’Alembert, Action, causes finales, cosmologie in Encyclopédie Méthodique, tome I, Paris : Pancoucke, 1784, 18-20, 315-316, 427-432

A. Dahan-Dalmedico, Le formalisme variationnel dans les travaux de Lagrange, in La mécanique analytique de Lagrange et son héritage, Atti Accad. Sci. Torino 124 (1990), 81-106

R. Dugas, Histoire de la mécanique, Paris : Dunod, 1950

R. Dugas, Genèse, rôle et interprétation des principes variationnels dans les différentes mécaniques, Actualités Scient. Industr. No. 1137, Paris : Hermann, 1951, 121-128

E. Dühring, Kritische Geschichte der allgemeinen Prinzipien der Mechanik, Berlin, 1873

L. Euler, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes sive Solution Problematis Isoperimetrici Latissimo Sensu Accepti, Lausanne et Genève, 1744

L. Euler, Elementa calculi variationum (Opera I, XXV, 141-176)

L. Euler, Methodus Nova et facilis calculum variatiorum tractandi, I (Opera I, XXV, 208-235)

C. Fraser, J.L. Lagrange’s early contributions to the principles and methods of mechanics, AHES 29 (1983), 197-241

C. Fraser, J.L. Lagrange’s changing approach to the foundations of the calculus of variations, AHES 32 (1985), 151-191

C. Fraser, Lagrange’s Analytical Mechanics, its cartesian origins and reception in Comte’s positive philosophy, Studies in the History and Philosophy of Science 21 (1990), 243-256

D. Galletto, Lagrange e le origini della Mecanica Analytica, Giornale di Fisica 32, 2-3 (1991), 1-126

F. Giesel, Geschichte der Variationrechnung, I. Theil, Torgau, 1857

H.H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17$^{th}$ through the 19$^{th}$ Century, Springer, Berlin, 1980

A.E.P. Guiraudet, Aperçu historique sur l’origine et les progrès du calcul des variations jusqu’aux travaux de Lagrange, Lille, 1862

H. Helmholtz, Zur Geschichte des Prinzips der kleinstein Aktion, Sitz. ber. Akad. Wiss. Berlin, 10 mars 1887

O. Hölder, Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen, Math. Phys. Klasse, 1900

J. Itard, Lagrange (Joseph-Louis) (1736-1813), Dictionary of Scientific Biography, vol. 7, New York : Scribner, 559-573

C.J.J. Jacobi, Lectures on Dynamics, 2$^{nd}$ ed., A. Clebsch ed., New Delhi : Hindustan Book Agency, 2009

C.J.J. Jacobi, Vorlesungen über analytische Mechanik. Berlin 1847-48, ed. H. Pulte, Braunschweig/Wiesbaden : Vieweg, 1996

E. Jouguet, Lectures de mécanique, 2 vol. Paris, 1908-1909

Ph.E.B. Jourdain, The principle of least action, Chicago, 1912

H. Klein, Die Prinzipien der Mechanik historisch und kritisch dargestellt, Leipzig, 1928

A. Kneser, E. Zermelo, H. Hahn, M. Lecat, Calcul des variations, Encycl. Sci. Math. Pures Appl. II-31, Berlin : Teubner, 1916

C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Toronto : University of Toronto Press, 1949

J. Lützen, Interactions between Mechanics and Differential geometry in the 19$^{th}$ century, Arch. Rat. Mech. Anal. (1995), 1-72

E. Mach, La mécanique : exposé historique et critique de son développement, Paris : Hermann, 1904

M. Lecat, Bibliographie du calcul des variations depuis les origines jusqu’à 1850, Gand, 1916

J. Mawhin, Le principe de moindre action : de la théologie au calcul, Bull. Cl. Sci. Acad. Roy. Belgique (6) 3 (1992), 413-427

J. Mawhin, Le principe de moindre action et la finalité, Revue d’éthique et de théologie morale, No. 205, (1998), 504.

A. Mayer, Geschichte des Prinzips der kleinsten Aktion, Leipzig, 1877

M. Panza, The analytic foundation of mechanics of discrete systems in Lagrange’s Théorie des fonctions analytiques compared with earlier treatments of this topic, Historia Scientiarum 44 (1991), 87-132 ; 45 (1992), 181-212

M. Panza, De la nature épargnante aux forces généreuses : le principe de moindre action entre mathématiques et métaphysique. Maupertuis et Euler, 1740-1751, Rev. Hist. Sci. 48 (1995), 435-520

L. Pepe et M.T. Borgato, L’inventaire des manuscrits de Lagrange et la mécanique avec l’édition du manuscrit de Lagrange : différentes notes sur les ouvrages de Lagrange, supplément au No. 124 (1990), Atti Accad. Sci. Torino, Turin, 1990, 25-49

H. Pulte, Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik. Eine Untersuchung zur Grundlegungsproblematik bei L. Euler, P.L.M. de Maupertuis und J.L. Lagrange, Studia Leibniziana Sond. 19, Stuttgart : Steiner, 1989

H. Pulte, Jacobis Vermächtnis einer `konventionalen’ analytischen Mechanik : Vorgeschichte, Nachschriften und Inhalt seiner letzten Mechanik-Vorlesung, Ann. of Science 51 (1994), 498-519

H. Pulte, After 150 years : news from Jacobi about Lagrange’s Analytical Mechanics, Math. Intell. 19 3 (1997), 48-54

H. Pulte, Jacobi’s criticism of Lagrange : the changing role of mathematics in the foundations of classical mechanics, Historia Math. 25 (1998), 154-184

H. Pulte, Joseph Louis Lagrange, méchanique analitique, first edition (1788), in Landmark Writings in Western Mathematics, 1640-1940, I. Grattan-Guinness ed., Elsevier, 2005, 208-224

J.M. Souriau, La structure symplectique de la mécanique décrite par Lagrange en 1811, Mathématiques en Sciences Humaines 94 (1986), 45-54

I. Szabéo, Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen, Basel : Birkhäuser, 1979

R. Taton, La Mécanique Analytique de Lagrange et son héritage. II, Atti delle Academia delle Scienze di Torino. Suppl. n.2 al vol. 126, 1992

R. Thiele, 200 Jahre "Mécanique analytique’’ von J. L. Lagrange. Beiträge zur Geschichte, Philosophie und Methodologie der Mathematik, II. Wiss. Z. Greifswald. Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Math.-Natur. Reihe 38 (1989), no. 4, 58-63

R. Thiele, Von der Bernoullischen Brachistochrone zum Kalibrator-Konzept. Ein historischer Abriss zur Entstehung der Feldtheorie in der Variationsrechnung (hinreichende Bedingungen in der Variationsrechnung). De Diversis Artibus, 80. Brepols Publishers, Turnhout, 2007. 828 pp.

I. Todhunter, A History of the Progress of the Calculus of Variations during the Nineteenth Century, Cambridge : MacMillan, 1861. New York : Chelsea

A. Voss, E. et F. Cosserat, Principes de la mécanique rationnelle, Encycl. Sci. Math. Pures Appl. IV-I, 1916

R. Woodhouse, A Treatise on Isoperimetric Problems and the Calculus of Variations, Cambridge : Deighton,, 1810. New York : Chelsea,

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient Paul Laurain et Marcus Mildner pour leur relecture attentive et leurs commentaires.

Pour en savoir plus, regardez l’exposé de Jean Mawhin au Séminaire d’histoire des mathématiques de l’IHP.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1La période couverte par cet article est riche de rebondissements pour Lagrange : pour en savoir plus à ce sujet, on pourra suivre le parcours fléché à partir de l’article suivant .

[2Malheureusement la lettre de comme le mémoire de 1756 sont aujourd’hui tous deux perdus.

[3On est loin d’y gagner en clarté, par exemple $[f'(y)]'$ est $\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}$ !

[4Phil. Trans. Royal Soc. part II, 247-308

[5Phil. Trans. Royal Soc. part I, 95-144

[6CRAS 5, 6

[7Vorlesungen über analytische Mechanik

[8The Variational Principles of Mechanics

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Pour citer cet article :

Jean Mawhin — «Le calcul des variations et ses applications chez Lagrange, de Turin à Paris, en passant par Berlin» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

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