[Rediffusion d’un article publié le 12 novembre 2020]
Le carré magique de Kharujaho est un hypercube
Les symétries d’un objet ancestral magnifique : le Chautisa Yantra
Piste noire Le 23 janvier 2022 Voir les commentairesLire l'article en


Le carré panmagique gravé sur un temple à Khajuraho en Inde et étudié par Narayana Paṇḍita au XIVe siècle garde un précieux secret : son groupe de symétries est isomorphe à celui de l’hypercube, la version en dimension 4 du cube.
[Rediffusion d’un article publié le 12 novembre 2020]
UN OBJET ANCESTRAL FORMIDABLE
La ville de Khajuraho dans le centre de l’Inde, déclarée site du patrimoine mondial par l’UNESCO en 1986, est célèbre pour ses temples aux décorations mêlant motifs divins et érotiques (plutôt tantriques). Dans le portique du temple de Parshwanath, il y a une gravure surprenante datant au moins du XIIe siècle : c’est un tableau numérique qui comprend les chiffres $1,2, ..., 16$ (écrits en sanskrit).
Ceux-ci sont disposés de manière à ce que certaines propriétés « (pan)magiques » soient satisfaites : sur chaque illustration, les nombres dans les cases de la même couleur ont pour somme exactement $34$.
Ce tableau, appelé Chautisa Yantra, a déjà fait l’objet de deux articles dans Images des Mathématiques. D’une part, dans cet article, Gautami Bhowmik aborde l’étude (datant du XIVe siècle) du célèbre mathématicien Nārāyaṇa Paṇḍita sur ses propriétés combinatoires et sa relation avec le mouvement d’un cavalier d’échecs. D’autre part, dans cet autre article, j’analyse les configurations les plus générales possible de ce type (avec des nombres non nécessairement consécutifs) au travers de l’algèbre linéaire. Mon but ici est d’introduire un autre élément pour la discussion/compréhension de cet objet merveilleux : son groupe de symétries. Ceci est inspiré du principe universel ci-dessous. On trouvera ici un beau rappel sur les origines du sujet (remontant jusqu’à Galois), ici et ici des aperçus historiques du sujet, ici et ici des exemples, et ici un autre point de vue.
UN GROUPE ASSOCIÉ ?
Rappelons de cet article qu’un carré panmagique $4 \times 4$ est un carré rempli de $16$ nombres de sorte que les sommes le long des lignes, des colonnes et des diagonales (y compris les diagonales « cassées ») soient toutes égales. La « formule générale » pour un tableau satisfaisant ces propriétés est la suivante :
$a$ | $b$ | $c$ | $d$ |
$\frac{b+c+d-a}{2}+k$ | $\frac{a-b+c+d}{2}-k$ | $\frac{a+b-c+d}{2}+k$ | $\frac{a+b+c-d}{2}-k$ |
$\frac{a+b-c+d}{2}$ | $\frac{a+b+c-d}{2}$ | $\frac{b+c+d-a}{2}$ | $\frac{a-b+c+d}{2}$ |
$c-k$ | $d+k$ | $a-k$ | $b+k$ |
On vérifie rapidement que dans un tableau de ce type, les $52$ combinaisons colorées ci-dessus donnent toutes la même somme (dont la valeur est $ a + b + c + d$). En d’autres termes, les $16$ égalités initiales ($4$ lignes, $4$ colonnes et $8$ diagonales) entraînent $36$ égalités supplémentaires.
Considérons les permutations des cases qui transforment n’importe quel carré panmagique en un autre carré panmagique. Par exemple, c’est le cas pour une rotation de $90º$, puisque les lignes se transforment en colonnes et vice-versa, alors que les diagonales descendantes s’interchangent avec les diagonales ascendantes. Puisque toutes les sommes associées étaient égales à l’origine, elles le restent après le mouvement. Donc, un carré panmagique soumis à ce mouvement donne lieu à un nouveau carré panmagique.
Les transformations panmagiques forment évidemment un groupe : c’est le groupe panmagique. Combien y en a-t-il ? Quelle est la structure de ce groupe ? Nous répondrons à ces questions après une analyse détaillée.
En plus des rotations, il est facile d’imaginer d’autres transformations « panmagiques », comme les réflexions par rapport aux axes vertical et horizontal, ou par rapport aux diagonales. Mais ce ne sont pas les seules. Par exemple, en observant les formules plus haut, on vérifie que la permutation illustrée ci-dessous est également panmagique :
Il s’agit d’une involution, c’est-à-dire d’une permutation d’ordre $2$ (ce qui signifie qu’en l’appliquant deux fois on ramène tout à sa position d’origine). Pour vous surprendre un peu plus, voici des illustrations de trois autres transformations panmagiques un peu moins évidentes. Ses ordres [1] sont respectivement $3$, $6$ et $8$. Un bon exercice consiste à les appliquer sur le Chautisa Yantra pour obtenir d’autres carrés avec les mêmes propriétés panmagiques.
LES SYMÉTRIES DU CARRÉ DE LO SHU
Déterminer la structure du groupe panmagique n’est pas facile. Pour développer une stratégie d’attaque, considérons un cas plus simple : les carrés magiques $ 3 \times 3 $. Ce sont des tableaux remplis de nombres pour lesquels la somme le long des lignes, des colonnes et des deux diagonales sont égales (cette fois, nous ne considérons pas les diagonales brisées). Encore une fois, nous prenons la formule générale à partir d’ici :
$\ell -m$ | $\ell +m+n$ | $\ell -n$ |
$\ell +m-n$ | $\ell$ | $\ell -m+n$ |
$\ell +n$ | $\ell -m-n$ | $\ell +m$ |
Il est évident que les huit symétries auxquelles nous avons fait allusion ci-dessus (quatre rotations — dont une triviale — et quatre réflexions) transforment une configuration magique en une autre configuration magique. Y a-t-il d’autres permutations avec cette propriété ? La réponse est négative. En effet, toute transformation de ce type doit transformer le tableau ci-dessous (appelé carré de Lo Shu) en un autre carré magique avec les mêmes entrées $1,2, \ldots, 9$.
$4$ | $9$ | $2$ |
$3$ | $5$ | $7$ |
$8$ | $1$ | $6$ |
Or, on constate assez rapidement à partir des formules plus haut qu’il n’y a que $8$ carrés avec ces caractéristiques. Ils sont listés ci-dessous, et on les obtient en faisant varier les valeurs de $m$ et $n$ de manière appropriée (notez que, nécessairement, $\ell = 5$).
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Donc, le « groupe magique » (pour des tableaux $3\times 3$) est constitué de $8$ éléments. Bien sûr, vous l’avez déjà reconnu : il s’agit du fameux groupe diédral $D_4$, qui coïncide avec le groupe de symétries du carré.
LES SYMÉTRIES DU CHAUTISA YANTRA
Pour calculer le groupe panmagique, nous procéderons de la même manière. Tout d’abord, nous chercherons à lister tous les carrés panmagiques qui utilisent les chiffres $ 1,2, \ldots, 16$, puis nous fabriquerons suffisamment de transformations panmagiques pour les obtenir tous à partir du Chautisa Yantra par leur action. Comme nous le verrons, repenser la géométrie du « carré » s’avérera fondamental. La conclusion finale sera la suivante : ainsi comme le groupe magique est isomorphe à celui des symétries du carré, le groupe panmagique est isomorphe au groupe de symétries de l’hypercube.
Allons-y !
Une nouvelle géométrie
Pour commencer, regardons les combinaisons impliquées dans les sommes qui prennent la même valeur pour n’importe quel carré panmagique.
Y a-t-il un quelque chose de commun entre elles ? La réponse est affirmative, mais pour le découvrir, il faut réinterpréter géométriquement les choses. La clé est de penser à une géométrie naturelle pour la grille $4 \times 4$ : celle pour laquelle la distance entre deux positions est le nombre minimum de bordures de cases qui sont traversées lors d’un trajet qui va de l’une à l’autre et qui n’utilise que des traits horizontaux ou verticaux. Attention : lorsqu’un chemin horizontal sort par la droite ou la gauche, on pense qu’il rentre de l’autre côté à la hauteur de la case correspondante ; de la même manière, s’il sort du haut ou du bas, on pense qu’il réapparaît du côté opposé.
La pertinence de cette nouvelle géométrie associée à la « distance des chemins » (que nous appellerons simplement « Distance » dans ce qui suit) est montrée dans l’énoncé suivant.
Affirmation
Toute permutation des cases qui préserve la Distance est panmagique.
La preuve apparaît en affichant le lien ci-dessous. Pour s’en imprégner, c’est un bon exercice de vérifier que les quatre permutations illustrées plus haut préservent la Distance, c’est-à-dire qu’elles envoient deux cases à une Distance donnée dans deux cases situées à la même Distance. En revanche, la permutation illustrée ci-dessous ne préserve pas la Distance.
Les $384$ versions différentes du Chautisa Yantra
Comme décrit ici, Nārāyaṇa Paṇḍita a prouvé dans son livre Gaṇitakaumudī qu’il y a exactement $384$ carrés panmagiques faisant intervenir tous les nombres $1,2, \ldots, 16$, et il a donné deux algorithmes combinatoires pour les fabriquer (l’un d’eux utilise les mouvements d’un cavalier d’échecs). Nous verrons plus loin que notre Distance permet de donner une autre preuve de ce théorème, beaucoup plus simple, basée sur la formule générale obtenue ci-dessus. Cela nous permettra également de nous préparer petit à petit jusqu’à voir émerger l’autre objet mathématique principal de cet article : l’hypercube.
Théorème (Nārāyaṇa Paṇḍita)
Il existe $384$ carrés panmagiques qui utilisent toutes les entrées $1,2, \ldots, 16$.
La démonstration peut être affichée ci-dessous. Nous en retenons deux aspects fondamentaux.
Un algorithme pour fabriquer tous les carrés panmagiques à entrées $1,2,\ldots,16$ : placez le $1$ dans n’importe quelle position. Ensuite, choisissez trois des quatre positions à Distance $1$ de celle-ci, et placez-y les nombres $15$, $14$ et $12$. Enfin, remplissez le tableau pour qu’il devienne panmagique en utilisant chaque nombre $1, 2, \ldots, 16$ exactement une fois (il n’y a qu’une seule façon de le faire).
Comptage à partir de l’algorithme : en supposant la validité de l’algorithme précédent, nous pouvons répondre à la question fondamentale : combien y a-t-il de carrés panmagiques avec les chiffres $1,2, \ldots, 16$ ? D’une part, pour placer le $1$, nous avons $16$ cases différentes. D’autre part, pour placer les $15$, $14 $ et $12$, il y a $24$ combinaisons au total : pour placer le $15$ il y a $4$ possibilités ; une fois placé, il y a $3$ possibilités pour le $14$, puis $2$ possibilités pour le $12$ (au total, cela donne les $4 \times 3 \times 2 = 24$ possibilités annoncées). Selon l’algorithme décrit ci-dessus, ceci implique qu’il y a $16 \times 24 = 384$ carrés panmagiques avec des entrées $1, 2, \ldots, 16$.
Finalement, l’hypercube !
Dans notre discussion, la géométrie héritée de la Distance a été essentielle. Existe-t-il un moyen plus concret de visualiser l’objet mathématique sous-jacent ? Certainement oui : considérez l’illustration ci-dessous, où chaque case est indexée par quatre nombres égaux à 0 ou 1 chacun. Notez que les indices d’une ligne à l’autre sont les mêmes sauf pour une entrée, qui change systématiquement. Le même changement se produit d’une colonne à une autre contiguë. De cette façon, la Distance entre deux cases n’est rien d’autre que la quantité de chiffres différents entre les indices de ces deux cases. Par exemple, les indices de deux cases opposées sont complètement différents l’un de l’autre : les quatre chiffres ont changé.
L’objet que nous considérons est alors identifié à l’ensemble des indices, qui correspond au produit $\{ 0,1 \}^4$. Même s’il est encore difficile de visualiser cet objet, en remplaçant l’exposant $4$ par un nombre plus petit, tout devient un peu plus clair :
L’ensemble $ \{ 0,1 \}^4$ n’est rien d’autre que l’ensemble des sommets de l’objet qui doit suivre dans la liste commençant par l’intervalle, le carré et le cube. Cet objet est appelé d’hypercube (ou tesseract). Bien qu’il s’agisse d’un corps de dimension $4$, nous pouvons le « projeter » à notre espace de dimension $3$ puis le visualiser sur un écran de dimension $2$ comme suit [2] :
Observez que chaque sommet est connecté par une arête avec quatre autres sommets (ses « voisins »), de la même manière que sur le carré $4 \times 4$, chaque case est à Distance $1$ de quatre autres cases [3]. Enfin, avec un peu plus de familiarité avec cette structure, on reconnaîtra que la liste des $13$ hypercubes aux sommets colorés ci-dessous correspond à la liste des $13$ carrés $4 \times 4$ colorés en haut (les configurations de type $(1,1,2)$ sont colorées en même couleur dans les six premiers, celles de type $(2,2,4)$ dans les trois du milieu, et celles de type $(1,3,4)$ dans les quatre derniers).
Les symétries de l’hypercube : Il est facile de décrire les symétries de l’intervalle, du carré et du cube. Pour l’hypercube, la question est légèrement plus compliquée en raison de notre perte d’intuition géométrique (puisque la géométrie que nous voyons n’est pas la géométrie inhérente à la dimension $4$). Cependant, on peut raisonner par analogie. Pour créer une symétrie, nous devons :
- Une fois qu’un sommet a été choisi, il faut décider à quel sommet on l’envoie. Évidemment, nous avons $16$ options pour cela.
- Ensuite, il faut décider quoi faire des quatre voisins du sommet initial, qui doivent être envoyés sur les voisins du sommet image. Alternativement, nous devons envoyer les $4$ arêtes qui partent du sommet initial sur les $4$ arêtes qui sortent du sommet image. Évidemment, il y a $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ façons de faire cette distribution.
Il n’est pas difficile de se convaincre qu’une fois ces choix faits, la symétrie est complètement déterminée (c’est-à-dire qu’il n’y a qu’une seule façon de « l’étendre »). En conséquence, l’hypercube admet exactement $16 \times 24 = 384$ symétries.
RÉSUMÉ :
- toute symétrie de l’hypercube est panmagique quand on la voit comme une permutation des cases du carré $4 \times 4$ (cela correspond à l’Affirmation ci-dessus) ;
- l’hypercube admet exactement 384 symétries ;
- appliquées au Chautisa Yantra, ces symétries génèrent $384$ carrés panmagiques distincts avec des entrées (toutes différentes) $1,2, \ldots, 16$ ;
- comme il y a exactement $384$ carrés panmagiques avec des entrées $1, 2, \ldots, 16$ (théorème de Nārāyaṇa), il n’y a plus de permutation panmagique.
Nous en concluons donc :
PASSÉ ET FUTUR DU SUJET
Le théorème présenté ici devrait être attribué à B. Rosser et R. J. Walker, bien qu’ils le formulent différemment dans leur article de 1938 [4]. En fait, dans les commentaires de leur article, ils mentionnent que H. Coxeter leur avait fait remarquer que, très probablement, le groupe qu’ils envisageaient est le même groupe que celui des symétries d’hypercube (il n’y a aucune mention explicite à l’hypercube dans le coeur de l’article, mais juste une description du groupe en question). La preuve présentée ici (ainsi que celle du théorème de Nārāyaṇa) est nouvelle, bien qu’une autre démonstration puisse être trouvée dans un article de 1997 de W. Müller [5].
Des configurations magiques ou panmagiques existent pour des tableaux $n \times n$, et les groupes magiques [6] et panmagiques (et d’autres groupes connexes peuvent être définis de manière analogue [7]). Malheureusement, notre mauvaise connaissance des carrés magiques de dimension supérieure rend impossible la détermination de leurs groupes de symétrie en utilisant la stratégie ci-dessus. Par exemple, la question suivante me semble largement ouverte (et fort intéressante) :
Les groupes panmagiques de dimension haute sont-ils (non) résolubles ? [8]
Pour terminer, voici un théorème tiré de l’article de Müller dont je ne sais pas si l’on peut donner une version ou une preuve plus géométrique. Notez que la présence de $S_5$ dans le groupe en question implique qu’il n’est pas résoluble.
Théorème
Le groupe panmagique des carrés $5 \times 5$ est isomorphe au produit semi-direct $\mathbb{Z}_2 \ltimes (S_5 \times S_5)$.
Pour jouer : Comme pour le Chautisa Yantra, vous pouvez prendre votre carré panmagique préféré $5 \times 5$ et vous amuser à lui appliquer des symétries. Mon carré préféré est celui-ci [9] :
1 | 15 | 22 | 18 | 9 |
23 | 19 | 6 | 5 | 12 |
10 | 2 | 13 | 24 | 16 |
14 | 21 | 20 | 7 | 3 |
17 | 8 | 4 | 11 | 25 |
et une symétrie qui me plaît beaucoup est celle-ci :
Amusez-vous bien ! Il y a 28800 carrés panmagiques qui vous attendent !
Merci beaucoup à Giancarlo Lucchini pour une indication précise sur les symétries de l’hypercube et une correction, ainsi qu’à Álvaro Liendo, Carole Gaboriau, Étienne Ghys, Michele Triestino et Pierre Antoine Guihéneuf pour leurs suggestions de modifications. Merci également aux relecteurs dont les noms ou les pseudonymes sont amic et Baptiste Mélès pour leurs remarques qui ont permis de nettement améliorer la présentation.
Notes
[1] La description algébrique du groupe panmagique entraîne que les ordres de ses éléments non triviaux peuvent être égaux à $2, 3, 4, 6$ et $8$. Un exemple d’élément d’ordre 4 est la permutation cyclique des lignes comme ci-dessous :
[2] Pour s’imprégner un peu plus de la dimension $4$ regardez ce film remarquable ainsi que cet article ; si vous voulez aller au-delà de la dimension $4$, alors regardez ici.
[4] B. Rosser et R. J. Walker. On the transformation group for diabolic magic squares of order four. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 416-420.
[5] W. Müller. Group actions on magic squares. Sém. Lothar. Combin. 39 (1997), Art. B39b, 14pp.
[6] Il existe un fameux carré $4\times 4$ aux nombres $1,2,\ldots,16$ qui est magique mais non panmagique, à savoir, celui illustré par Albrecht Dürer dans sa gravure Melencolia I, qui a déjà été traité dans cet article. Vous y verrez à la fin une petite discussion sur ses symétries. La conclusion est claire : puisque ce carré possède moins de propriétés magiques que celui de Khajuraho (exercice : trouvez les combinaisons qui tombent en défaut...), on se retrouve avec moins de symétries. Dans notre langage, cela se traduit par le fait que le groupe magique $4 \times 4$ est « petit » : il est réduit au groupe diédral $D_4$.
Pourquoi Dürer n’a-t-il pas construit un carré panmagique ? La raison est simple : il a voulu placer les chiffres $14$ et $15$ l’un à côté de l’autre de sorte à fabriquer le nombre $1514$, qui correspond à l’année de sa création. Cependant, dans la démonstration du théorème de Nārāyaṇa, nous avons vu que, dans un carré panmagique d’entrées $1,2, \ldots, 16$, le $14$ et le $15$ doivent être voisins de $1$, et ne peuvent donc pas être voisins l’un de l’autre.
[7] En fait, des groupes analogues peuvent être définis pour des configurations magiques non nécessairement carrées — comme des étoiles magiques — de nombres.
[8] Un problème plus difficile est celui de la résolubilité de l’image de ce groupe en agissant sur l’espace des carrés panmagiques $ n \times n $ remplis avec toutes les chiffres $1, 2, \ldots, n^2$ (au cas où ils existent). À partir de $n = 8$, la réponse aux deux problèmes devient floue.
[9] Ce carré panmagique a la propriété supplémentaire que les entrées dans des positions symétriques par rapport au centre somment toujours $26$, qui est le double de l’entrée centrale (égale à $13$). Ce carré vient du monde islamique, où sa symétrie centrale représente « la circulation de tout autour d’Allah ».
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Pour citer cet article :
Andrés Navas, avec la collaboration de María José Moreno pour les illustrations — «Le carré magique de Kharujaho est un hypercube» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022
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