UN OBJET ANCESTRAL FORMIDABLE

La ville de Khajuraho dans le centre de l’Inde, déclarée site du patrimoine mondial par l’UNESCO en 1986, est célèbre pour ses temples aux décorations mêlant motifs divins et érotiques (plutôt tantriques). Dans le portique du temple de Parshwanath, il y a une gravure surprenante datant au moins du XIIe siècle : c’est un tableau numérique qui comprend les chiffres $1,2, ..., 16$ (écrits en sanskrit).

Ceux-ci sont disposés de manière à ce que certaines propriétés « (pan)magiques » soient satisfaites : sur chaque illustration, les nombres dans les cases de la même couleur ont pour somme exactement $34$.

Ce tableau, appelé Chautisa Yantra, a déjà fait l’objet de deux articles dans Images des Mathématiques. D’une part, dans cet article, Gautami Bhowmik aborde l’étude (datant du XIVe siècle) du célèbre mathématicien Nārāyaṇa Paṇḍita sur ses propriétés combinatoires et sa relation avec le mouvement d’un cavalier d’échecs. D’autre part, dans cet autre article, j’analyse les configurations les plus générales possible de ce type (avec des nombres non nécessairement consécutifs) au travers de l’algèbre linéaire. Mon but ici est d’introduire un autre élément pour la discussion/compréhension de cet objet merveilleux : son groupe de symétries. Ceci est inspiré du principe universel ci-dessous. On trouvera ici un beau rappel sur les origines du sujet (remontant jusqu’à Galois), ici et ici des aperçus historiques du sujet, ici et ici des exemples, et ici un autre point de vue.

UN GROUPE ASSOCIÉ ?

Rappelons de cet article qu’un carré panmagique $4 \times 4$ est un carré rempli de $16$ nombres de sorte que les sommes le long des lignes, des colonnes et des diagonales (y compris les diagonales « cassées ») soient toutes égales. La « formule générale » pour un tableau satisfaisant ces propriétés est la suivante :

On vérifie rapidement que dans un tableau de ce type, les $52$ combinaisons colorées ci-dessus donnent toutes la même somme (dont la valeur est $ a + b + c + d$). En d’autres termes, les $16$ égalités initiales ($4$ lignes, $4$ colonnes et $8$ diagonales) entraînent $36$ égalités supplémentaires.

Considérons les permutations des cases qui transforment n’importe quel carré panmagique en un autre carré panmagique. Par exemple, c’est le cas pour une rotation de $90º$, puisque les lignes se transforment en colonnes et vice-versa, alors que les diagonales descendantes s’interchangent avec les diagonales ascendantes. Puisque toutes les sommes associées étaient égales à l’origine, elles le restent après le mouvement. Donc, un carré panmagique soumis à ce mouvement donne lieu à un nouveau carré panmagique.

Les transformations panmagiques forment évidemment un groupe : c’est le groupe panmagique. Combien y en a-t-il ? Quelle est la structure de ce groupe ? Nous répondrons à ces questions après une analyse détaillée.

En plus des rotations, il est facile d’imaginer d’autres transformations « panmagiques », comme les réflexions par rapport aux axes vertical et horizontal, ou par rapport aux diagonales. Mais ce ne sont pas les seules. Par exemple, en observant les formules plus haut, on vérifie que la permutation illustrée ci-dessous est également panmagique :

Il s’agit d’une involution, c’est-à-dire d’une permutation d’ordre $2$ (ce qui signifie qu’en l’appliquant deux fois on ramène tout à sa position d’origine). Pour vous surprendre un peu plus, voici des illustrations de trois autres transformations panmagiques un peu moins évidentes. Ses ordres [1] sont respectivement $3$, $6$ et $8$. Un bon exercice consiste à les appliquer sur le Chautisa Yantra pour obtenir d’autres carrés avec les mêmes propriétés panmagiques.

LES SYMÉTRIES DU CARRÉ DE LO SHU

Déterminer la structure du groupe panmagique n’est pas facile. Pour développer une stratégie d’attaque, considérons un cas plus simple : les carrés magiques $ 3 \times 3 $. Ce sont des tableaux remplis de nombres pour lesquels la somme le long des lignes, des colonnes et des deux diagonales sont égales (cette fois, nous ne considérons pas les diagonales brisées). Encore une fois, nous prenons la formule générale à partir d’ici :

Il est évident que les huit symétries auxquelles nous avons fait allusion ci-dessus (quatre rotations — dont une triviale — et quatre réflexions) transforment une configuration magique en une autre configuration magique. Y a-t-il d’autres permutations avec cette propriété ? La réponse est négative. En effet, toute transformation de ce type doit transformer le tableau ci-dessous (appelé carré de Lo Shu) en un autre carré magique avec les mêmes entrées $1,2, \ldots, 9$.

Or, on constate assez rapidement à partir des formules plus haut qu’il n’y a que $8$ carrés avec ces caractéristiques. Ils sont listés ci-dessous, et on les obtient en faisant varier les valeurs de $m$ et $n$ de manière appropriée (notez que, nécessairement, $\ell = 5$).

Donc, le « groupe magique » (pour des tableaux $3\times 3$) est constitué de $8$ éléments. Bien sûr, vous l’avez déjà reconnu : il s’agit du fameux groupe diédral $D_4$, qui coïncide avec le groupe de symétries du carré.

LES SYMÉTRIES DU CHAUTISA YANTRA

Pour calculer le groupe panmagique, nous procéderons de la même manière. Tout d’abord, nous chercherons à lister tous les carrés panmagiques qui utilisent les chiffres $ 1,2, \ldots, 16$, puis nous fabriquerons suffisamment de transformations panmagiques pour les obtenir tous à partir du Chautisa Yantra par leur action. Comme nous le verrons, repenser la géométrie du « carré » s’avérera fondamental. La conclusion finale sera la suivante : ainsi comme le groupe magique est isomorphe à celui des symétries du carré, le groupe panmagique est isomorphe au groupe de symétries de l’hypercube.

Allons-y !

Une nouvelle géométrie

Pour commencer, regardons les combinaisons impliquées dans les sommes qui prennent la même valeur pour n’importe quel carré panmagique.

Y a-t-il un quelque chose de commun entre elles ? La réponse est affirmative, mais pour le découvrir, il faut réinterpréter géométriquement les choses. La clé est de penser à une géométrie naturelle pour la grille $4 \times 4$ : celle pour laquelle la distance entre deux positions est le nombre minimum de bordures de cases qui sont traversées lors d’un trajet qui va de l’une à l’autre et qui n’utilise que des traits horizontaux ou verticaux. Attention : lorsqu’un chemin horizontal sort par la droite ou la gauche, on pense qu’il rentre de l’autre côté à la hauteur de la case correspondante ; de la même manière, s’il sort du haut ou du bas, on pense qu’il réapparaît du côté opposé.

La pertinence de cette nouvelle géométrie associée à la « distance des chemins » (que nous appellerons simplement « Distance » dans ce qui suit) est montrée dans l’énoncé suivant.

La preuve apparaît en affichant le lien ci-dessous. Pour s’en imprégner, c’est un bon exercice de vérifier que les quatre permutations illustrées plus haut préservent la Distance, c’est-à-dire qu’elles envoient deux cases à une Distance donnée dans deux cases situées à la même Distance. En revanche, la permutation illustrée ci-dessous ne préserve pas la Distance.

Les $384$ versions différentes du Chautisa Yantra

Comme décrit ici, Nārāyaṇa Paṇḍita a prouvé dans son livre Gaṇitakaumudī qu’il y a exactement $384$ carrés panmagiques faisant intervenir tous les nombres $1,2, \ldots, 16$, et il a donné deux algorithmes combinatoires pour les fabriquer (l’un d’eux utilise les mouvements d’un cavalier d’échecs). Nous verrons plus loin que notre Distance permet de donner une autre preuve de ce théorème, beaucoup plus simple, basée sur la formule générale obtenue ci-dessus. Cela nous permettra également de nous préparer petit à petit jusqu’à voir émerger l’autre objet mathématique principal de cet article : l’hypercube.

La démonstration peut être affichée ci-dessous. Nous en retenons deux aspects fondamentaux.

Un algorithme pour fabriquer tous les carrés panmagiques à entrées $1,2,\ldots,16$ : placez le $1$ dans n’importe quelle position. Ensuite, choisissez trois des quatre positions à Distance $1$ de celle-ci, et placez-y les nombres $15$, $14$ et $12$. Enfin, remplissez le tableau pour qu’il devienne panmagique en utilisant chaque nombre $1, 2, \ldots, 16$ exactement une fois (il n’y a qu’une seule façon de le faire).

Comptage à partir de l’algorithme : en supposant la validité de l’algorithme précédent, nous pouvons répondre à la question fondamentale : combien y a-t-il de carrés panmagiques avec les chiffres $1,2, \ldots, 16$ ? D’une part, pour placer le $1$, nous avons $16$ cases différentes. D’autre part, pour placer les $15$, $14 $ et $12$, il y a $24$ combinaisons au total : pour placer le $15$ il y a $4$ possibilités ; une fois placé, il y a $3$ possibilités pour le $14$, puis $2$ possibilités pour le $12$ (au total, cela donne les $4 \times 3 \times 2 = 24$ possibilités annoncées). Selon l’algorithme décrit ci-dessus, ceci implique qu’il y a $16 \times 24 = 384$ carrés panmagiques avec des entrées $1, 2, \ldots, 16$.

Preuve du Théorème de Nārāyaṇa Paṇḍita

La Distance maximale entre deux cases est égale à $4$. En fait, étant donnée une case quelconque, il y a une seule case à Distance exactement $4$ d’elle. Nous dirons que deux cases de ce type sont opposées.

Chaque case est colorée de la même couleur que son opposée.

Remarquons maintenant que dans chaque carré panmagique, la somme des entrées dans les cases opposées est la même (égale à la moitié du « nombre magique » $a + b + c + d$). On vérifie ceci par une simple inspection à partir de la formule générale donnée ci-dessus. En particulier, si l’on utilise (tous) les nombres $1,2, \ldots, 16$, alors la somme est égale à $\frac{34}{2} = 17$.

En regardant les configurations colorées plus haut, on constate que :

• si deux cases sont à Distance $1$, alors elles apparaissent liées dans quatre des $52$ sommes ;
• si deux cases sont à Distance $2$, alors elles sont liées dans deux de ces sommes ;
• si deux cases sont à Distance $3$, alors elles ne sont liées que dans une seule somme ;
• si deux cases sont à Distance $4$, alors elles sont liées dans cinq sommes.

Avec cette information, nous prouverons que dans un carré panmagique qui utilise chaque nombre $ 1,2, \ldots, 16$ une fois, les entrées $15$, $14$ et $12$ doivent être placées dans des cases à Distance $3$ de celle où se trouve le $16$, et donc à Distance $1$ de celle où se trouve le $1$.

Pour vérifier cela, notez qu’il n’y a qu’une seule façon de compléter la somme $16 + 15 = 31$ avec deux nombres positifs pour obtenir $34$, à savoir $1 + 2$. Mais si $16$ et $15$ étaient à une Distance différente de $3$, alors ils devraient se compléter d’au moins deux manières différentes... Un argument similaire s’applique pour $14$, puisque $16 + 14 = 30$ ne peut être complété qu’avec $1 + 3$ (le complément $2 + 2$ n’est pas valide car des différents ajouts sont requis). Malheureusement, pour le $12$, l’argument est plus élaboré (et un peu fastidieux), puisque $16 + 12 = 28$ peut être complété exactement de deux façons : $4 + 2 $ et $1 + 5 $.

Si $16$ et $12$ n’étaient pas à Distance $3$, alors leur Distance devrait être égale à $2$ (pour une Distance de $1$ ou $4$, ils devraient être complétés de plus de façons différentes, ce qui n’est pas le cas). Considérons le cas ci-dessous, tous les autres étant analogues (en fait, on peut rapidement réduire le cas général à celui-ci en utilisant l’action des permutations qui préservent la Distance, que nous avons déjà introduites).

$16$
	$12$
		$1$
			$5$

Les entrées $2$ et $4$ doivent apparaître en dessous et à droite de $16 $ (afin d’obtenir une somme de $34$ entre les quatre cases en haut à droite). Comme les deux cas sont analogues, nous supposerons que le $4$ est en bas du $16$, et le $2$ à droite, comme illustré ci-dessous (encore une fois, il est possible de passer d’un cas à l’autre par une réflexion par rapport à la diagonale).

$16$	$2$
$4$	$12$
		$1$
			$5$

Ceci force le $13$ et le $15$ à apparaître dans les places opposées correspondantes, et donc ainsi « semi-compléter » la somme $17$ requise :

$16$	$2$
$4$	$12$
		$1$	$15$
		$13$	$5$

Puisque nous savons que le $14$ doit apparaître dans une position à une Distance $3$ du $16$, les deux cas ci-dessous sont les seuls possibles. Cependant, dans les deux cas, la ligne qui a déjà trois entrées complètes doit être remplie avec un $4$, et le $4$ a déjà été utilisé...

Pour conclure, on vérifie rapidement que pour chaque configuration dans laquelle $15$, $14 $ et $12$ apparaissent autour du $1$ (et le $16$ dans une position opposée à celui-ci) il existe une unique manière de compléter le carré avec les entrées $1,2,\ldots,16$ tout en respectant les propriétés panmagiques (en fait, il n’est pas nécessaire de vérifier toutes les possibilités, car des permutations appropriées qui préservent la Distance peuvent être utilisées pour simplifier). Un exemple est illustré ci-dessous.

Finalement, l’hypercube !

Dans notre discussion, la géométrie héritée de la Distance a été essentielle. Existe-t-il un moyen plus concret de visualiser l’objet mathématique sous-jacent ? Certainement oui : considérez l’illustration ci-dessous, où chaque case est indexée par quatre nombres égaux à 0 ou 1 chacun. Notez que les indices d’une ligne à l’autre sont les mêmes sauf pour une entrée, qui change systématiquement. Le même changement se produit d’une colonne à une autre contiguë. De cette façon, la Distance entre deux cases n’est rien d’autre que la quantité de chiffres différents entre les indices de ces deux cases. Par exemple, les indices de deux cases opposées sont complètement différents l’un de l’autre : les quatre chiffres ont changé.

L’objet que nous considérons est alors identifié à l’ensemble des indices, qui correspond au produit $\{ 0,1 \}^4$. Même s’il est encore difficile de visualiser cet objet, en remplaçant l’exposant $4$ par un nombre plus petit, tout devient un peu plus clair :

L’ensemble $ \{ 0,1 \}^4$ n’est rien d’autre que l’ensemble des sommets de l’objet qui doit suivre dans la liste commençant par l’intervalle, le carré et le cube. Cet objet est appelé d’hypercube (ou tesseract). Bien qu’il s’agisse d’un corps de dimension $4$, nous pouvons le « projeter » à notre espace de dimension $3$ puis le visualiser sur un écran de dimension $2$ comme suit [2] :

Observez que chaque sommet est connecté par une arête avec quatre autres sommets (ses « voisins »), de la même manière que sur le carré $4 \times 4$, chaque case est à Distance $1$ de quatre autres cases [3]. Enfin, avec un peu plus de familiarité avec cette structure, on reconnaîtra que la liste des $13$ hypercubes aux sommets colorés ci-dessous correspond à la liste des $13$ carrés $4 \times 4$ colorés en haut (les configurations de type $(1,1,2)$ sont colorées en même couleur dans les six premiers, celles de type $(2,2,4)$ dans les trois du milieu, et celles de type $(1,3,4)$ dans les quatre derniers).

Les symétries de l’hypercube : Il est facile de décrire les symétries de l’intervalle, du carré et du cube. Pour l’hypercube, la question est légèrement plus compliquée en raison de notre perte d’intuition géométrique (puisque la géométrie que nous voyons n’est pas la géométrie inhérente à la dimension $4$). Cependant, on peut raisonner par analogie. Pour créer une symétrie, nous devons :

• Une fois qu’un sommet a été choisi, il faut décider à quel sommet on l’envoie. Évidemment, nous avons $16$ options pour cela.

• Ensuite, il faut décider quoi faire des quatre voisins du sommet initial, qui doivent être envoyés sur les voisins du sommet image. Alternativement, nous devons envoyer les $4$ arêtes qui partent du sommet initial sur les $4$ arêtes qui sortent du sommet image. Évidemment, il y a $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ façons de faire cette distribution.

Il n’est pas difficile de se convaincre qu’une fois ces choix faits, la symétrie est complètement déterminée (c’est-à-dire qu’il n’y a qu’une seule façon de « l’étendre »). En conséquence, l’hypercube admet exactement $16 \times 24 = 384$ symétries.

RÉSUMÉ :

• toute symétrie de l’hypercube est panmagique quand on la voit comme une permutation des cases du carré $4 \times 4$ (cela correspond à l’Affirmation ci-dessus) ;

• l’hypercube admet exactement 384 symétries ;

• appliquées au Chautisa Yantra, ces symétries génèrent $384$ carrés panmagiques distincts avec des entrées (toutes différentes) $1,2, \ldots, 16$ ;

• comme il y a exactement $384$ carrés panmagiques avec des entrées $1, 2, \ldots, 16$ (théorème de Nārāyaṇa), il n’y a plus de permutation panmagique.

Nous en concluons donc :

PASSÉ ET FUTUR DU SUJET

Le théorème présenté ici devrait être attribué à B. Rosser et R. J. Walker, bien qu’ils le formulent différemment dans leur article de 1938 [4]. En fait, dans les commentaires de leur article, ils mentionnent que H. Coxeter leur avait fait remarquer que, très probablement, le groupe qu’ils envisageaient est le même groupe que celui des symétries d’hypercube (il n’y a aucune mention explicite à l’hypercube dans le coeur de l’article, mais juste une description du groupe en question). La preuve présentée ici (ainsi que celle du théorème de Nārāyaṇa) est nouvelle, bien qu’une autre démonstration puisse être trouvée dans un article de 1997 de W. Müller [5].

Des configurations magiques ou panmagiques existent pour des tableaux $n \times n$, et les groupes magiques [6] et panmagiques (et d’autres groupes connexes peuvent être définis de manière analogue [7]). Malheureusement, notre mauvaise connaissance des carrés magiques de dimension supérieure rend impossible la détermination de leurs groupes de symétrie en utilisant la stratégie ci-dessus. Par exemple, la question suivante me semble largement ouverte (et fort intéressante) :

Pour terminer, voici un théorème tiré de l’article de Müller dont je ne sais pas si l’on peut donner une version ou une preuve plus géométrique. Notez que la présence de $S_5$ dans le groupe en question implique qu’il n’est pas résoluble.

Pour jouer : Comme pour le Chautisa Yantra, vous pouvez prendre votre carré panmagique préféré $5 \times 5$ et vous amuser à lui appliquer des symétries. Mon carré préféré est celui-ci [9] :

et une symétrie qui me plaît beaucoup est celle-ci :

Amusez-vous bien ! Il y a 28800 carrés panmagiques qui vous attendent !