Le champ de vecteurs

Piste bleue Le 23 octobre 2017  - Ecrit par  Pierre Monmarché Voir les commentaires (1)

Savez-vous planter les vecteurs à la mode de chez nous ? Une petite histoire muette à propos d’équations différentielles et de déterminisme.





Quelques explications

Remarque : La couleur de piste fonce progressivement....

La notion mathématiques à l’honneur dans cette BD est celle de champ de vecteurs. Le mieux pour s’en faire une idée, c’est de regarder le chapitre 2 du film chaos. En deux mots : dans un champ de blé, en chaque point du sol se dresse un épi de blé. Eh bien, pour un champ de vecteurs, à chaque point de l’espace, se dresse un vecteur, c’est-à-dire une flèche qui détermine une direction, un sens et une norme (ou intensité, représentée par la taille de la flèche).

Ces champs apparaissent dans l’étude des équations différentielles, dont les solutions sont des trajectoires qui suivent le champ de vecteur, c’est-à-dire qu’à chaque instant, l’évolution de la trajectoire (la courbe bleue ci-dessous) est prescrite par la flèche gravée au sol :

C’est exactement ce qui se passe pour les personnages de la BD : les vecteurs au sol leur indiquent la direction et la vitesse (plus ou moins grande selon la norme du vecteur) à laquelle ils doivent se déplacer. Leurs mouvements, qui peuvent faire des boucles, s’arrêter (certains personnages, situés sur un vecteur nul, sont même complètement statiques), ralentir, accélérer, etc., décrivent les solutions d’une équation différentielle.

Ces concepts sont apparus, à partir du 17e siècle, avec l’étude du système solaire. Les travaux d’Isaac Newton montraient que le ballet des planètes pouvait être ramené à une simple équation, basée sur une loi physique élémentaire simple. Une des conséquences de cette théorie était la suivante : si l’on connaissait la position de tous les corps célestes à un instant donné, alors on pouvait, en résolvant l’équation correspondante (c’est-à-dire : en suivant les flèches), prévoir toute l’évolution du système au cours du temps, c’est-à-dire tout le futur. Autrement dit, depuis l’aube des temps, tout est complètement déterminé et évolue mécaniquement sous le jeu des lois physiques, sans la moindre place pour le hasard. C’est ce que formalise le mathématicien Pierre Simon de Laplace en 1840 :

Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. L’esprit humain offre, dans la perfection qu’il a su donner à l’astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en mécanique et en géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle, l’ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que les circonstances données doivent faire éclore.

Voilà ce qu’on appelle le déterminisme (universel), sur lequel on pourrait dire plein d’autres choses très intéressantes (en parlant par exemple d’effet papillon ou même pourquoi pas en digressant autour du déterminisme social). On pourrait s’aventurer à évoquer les équations différentielles stochastiques, pour lesquelles la trajectoire, à chaque instant, a le choix entre plusieurs flèches et en choisit une au hasard. Le mouvement obtenu peut être très désordonné, et les mathématiciens le décrivent parfois comme la marche d’un ivrogne (car il est bien connu que, sobre, un mathématicien est complètement déterministe). Ce qui nous ramène à notre bande dessinée.

Voici quelques concepts que, lecteur plus ou moins averti, vous pouvez retrouver dans ces quelques dessins :

  • équilibre stable, instable
  • courbe de longueur finie
  • équilibre stable dont la jacobienne a des valeurs propres complexes non réelles (en français : une spirale)
  • processus stochastique (étonnamment régulier ici : la diffusion doit être sacrément hypoelliptique [1])
  • trajectoire périodique
  • vitesse scalaire

(en cas de doute, les correspondances sont ici [2])

Et vu la courbure apparente de la planète sur laquelle évoluent nos personnages, on n’oubliera pas de conclure en énonçant le théorème de la boule chevelue [3].

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des mathématiques ainsi que l’auteur remercient Grégoire Dubost et Christophe Boilley pour leurs commentaires avisés.

Article édité par Nils Berglund

Notes

[1Définir l’ellipticité et l’hypoellipticité nous emmènerait un peu loin, mais voici quelques idées. D’abord, on appelle diffusions les processus aléatoires construits à partir du plus classique d’entre eux, le mouvement brownien : c’est celui qu’on observe si, à chaque instant (disons à chaque seconde), nos personnages choisissent au hasard une direction parmi : avant, arrière, devant, derrière. La trajectoire est très saccadée : pour la tracer au crayon, il faut avoir la tremblote, ou un sismographe pendant un tremblement de terre. La courbe est continue, mais n’est dérivable nulle part. Si maintenant on regarde l’intégrale du brownien (c’est-à-dire : si le brownien ne représente pas la position du personnage, mais sa vitesse), alors la trajectoire est une courbe dérivable, dont la dérivée est continue mais nulle part dérivable. La trajectoire est donc plus lisse que précédemment. On peut continuer et, pour tout $k$, construire des fonctions (de plus en plus lisses) dont la dérivée $k$-ième est continue mais aléatoire.

Dans ce cas, l’aléa n’intervient que très indirectement sur la position. Une conséquence est que le processus va mettre plus de temps à se perdre qu’un mouvement brownien, le temps que cet aléa se fasse sentir (mais il va finir par se perdre, et partir on ne sait où). On dit que le processus est hypoelliptique. En comparaison, le mouvement brownien est elliptique (il se perd tout de suite), et la solution d’une équation différentielle déterministe n’est ni elliptique, ni hypoelliptique (elle ne se perd jamais : en l’observant à un moment donné, on peut connaître toute sa trajectoire passée, puisqu’il suffit de suivre les flèches à l’envers).

Ici, dans la BD, la trajectoire de l’ivrogne semble très lisse. Puisqu’elle a d’autre part l’air aléatoire, ce doit être une diffusion hypoelliptique.

[2Par ordre d’apparition :

  • page 2 : trajectoire périodique
  • page 3 : courbe de longueur finie
  • page 3 et page 4, case 1 : vitesse scalaire
  • page 4, cases 2 et 3 : équilibre stable, instable
  • page 4, case 4 : équilibre stable dont la jacobienne a des valeurs propres complexes non réelles
  • page 5 : processus stochastique

[3Quoique les connaisseurs auront déjà remarqué de nombreuses discontinuités dans le champ de vecteurs dessiné.

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Pour citer cet article :

Pierre Monmarché — «Le champ de vecteurs» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

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  • Le champ de vecteurs

    le 25 octobre à 14:20, par Jérôme Germoni

    J’ai adoré cette BD !

    Répondre à ce message

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