« Déjà le vin fait signe dans la coupe d’or,
Mais ne buvez pas avant que je ne vous chante une chanson ! »
Le chant de la Terre, Gustav Mahler.

La théorie des problèmes inverses

La physique au XX^e siècle

La théorie des problèmes inverses est une branche des mathématiques aussi vaste que ramifiée, et désormais motivée par un nombre croissant d’applications à la vie quotidienne. S’il fallait en donner une définition quelque peu raisonnable, nous pourrions dire :

Un problème inverse consiste à déterminer les caractéristiques physiques d’un objet inaccessible à la mesure par l’étude de sa réponse à une stimulation ondulatoire [1].

Qu’un objet ne soit pas observable immédiatement, c’est-à-dire par le simple recours à un instrument d’observation tel qu’un télescope, est peut-être là le propre de la physique moderne et, en ce sens, tout problème physique traitant de l’infiniment petit ou de l’infiniment grand pourrait être qualifié de problème inverse. Si Rutherford découvre en 1909 le modèle planétaire de l’atome [2], battant ainsi en brèche le modèle antérieur de Thomson qui voulait qu’un atome soit constitué d’un seul noyau renfermant les deux charges opposées, ce n’est pas en observant la structure atomique par le truchement d’un microscope surpuissant : c’est en étudiant la faible déviation de particules alpha bombardant une fine feuille d’or que Rutherford met au jour la structure lacunaire de la matière, révélant l’existence d’un noyau chargé positivement et d’électrons, chargés négativement, gravitant autour de ce dernier dans un vaste volume [3].

Images de lentilles gravitationnelles prises par le télescope Hubble.

Partant, la majorité des avancées de la physique du XX^e se sont constituées sur l’observation d’événements qui étaient conséquences de l’existence même des objets. Autrement dit : la confirmation des modèles théoriques s’est faite en observant les effets qu’ils prédisaient, non pas les objets qu’ils manipulaient en tant que tels. L’exemple le plus significatif qui puisse être mentionné est certainement celui des trous noirs. La théorie de la relativité générale — qui cherche à comprendre les phénomènes de gravitation des astres — prédit l’existence d’objets célestes si compacts et si denses, les trous noirs, que leur force d’attraction gravitationnelle empêche tout rayon lumineux de s’en échapper. Par nature, un trou noir ne peut donc pas se voir puisqu’aucune lumière ne peut nous en parvenir. Aussi paradoxal que cela puisse être, les astronomes sont désormais tout à fait capables de prédire l’existence d’un trou noir, et même de le localiser, grâce à diverses techniques, telles que l’observation de lentilles gravitationnelles, c’est-à-dire la forte déviation de la lumière (une onde !) qui nous parviendrait depuis une étoile située directement derrière le trou noir. On voit bien que les mots ordinaires peinent ici à donner du sens à ce paradoxe de la physique contemporaine : rien ne se voit mais tout s’observe.

Exemple de mirage dans un désert.

La géométrie riemannienne

Il y aurait donc foule de problèmes physiques que l’on pourrait qualifier d’inverses et, parmi ceux-là, certains revêtiraient encore des natures plus diverses, tantôt analytiques, tantôt géométriques. Tenter de tous les énumérer ne mènerait pas à grand chose, aussi avons-nous fait le choix dans cet article de nous concentrer sur un problème bien précis — de nature avant tout géométrique — et dont l’origine remonte à l’aube du XX^e siècle avec les travaux de trois géophysiciens allemands. Mais avant de pouvoir le formuler, il nous faut introduire quelques éléments du langage de la géométrie riemannienne.

Schéma optique du mirage.

Au lecteur qui serait peu familier de cette notion, cet exemple élémentaire peut éclairer. L’été, sur une route rectiligne exposée en plein soleil, il nous est fréquent d’observer des mirages : ce que nous distinguons alors au loin n’est plus le bitume, ce sont des taches de ciel qui semblent s’être noyées tout au bout de la route et que nous n’atteindrons jamais. L’explication est relativement simple : la chaleur dégagée par le bitume dévie les rayons lumineux et les courbe au voisinage du sol, ce qui nous fait voir le ciel à la place de la route. Une première façon de formuler ce problème est de dire que l’indice de réfraction [4] de la lumière a été modifié par la température. Par les lois de Snell-Descartes, cette modification inhomogène — elle dépend de la température de l’air qui a tendance à se réchauffer à proximité du bitume — mais isotrope — aucune direction n’est privilégiée — de l’indice entraîne une modification de la trajectoire de la lumière. C’est ainsi que les savants auraient envisagé ce problème aux XVII^e et XVIII^e siècles [5] : on pourra à ce propos se référer au Mémoire sur le phénomène d’optique, connu sous le nom de mirage, par le citoyen Gaspard Monge que Monge [Mon99] rédigea en 1799 durant la campagne napoléonienne d’Égypte.

Figure A : une sphère

Les méridiens, i.e. les trajectoires noires allant, au pôle sont toutes des géodésiques (mais il n’y a pas qu’elles !)

Avec l’introduction des géométries non-euclidiennes au cours du XIX^e siècle par Gauss, Lobatchevski, Bolyai, Riemann et bien d’autres, est apparue une nouvelle façon — plus mathématique — d’envisager ce problème. Au lieu de considérer que les rayons lumineux évoluent de façon courbe dans l’espace euclidien usuel que nous habitons, il est devenu tout aussi équivalent de penser que les rayons se déplacent de façon rectiligne dans un espace qui, lui, serait intrinsèquement courbé. Dans ce paradigme, un rayon lumineux paraît donc se déplacer dans un milieu dont la géométrie serait courbée, tout comme un avion entre Paris et Sydney se déplace à la surface de la Terre selon un arc de cercle. Bien sûr, toute la difficulté de l’entreprise consiste à formuler ce qu’aller « tout droit » veut dire en termes mathématiques dans un espace qui n’est plus euclidien. On appelle géodésiques les mouvements qui généralisent l’idée de mouvement rectiligne aux espaces courbes. Dans l’espace euclidien, les géodésiques sont donc les droites ; à la surface de la Terre (autrement dit sur une sphère), ce sont les grands cercles, à l’image de l’équateur ou des méridiens (voir la figure A). Le terme général sous lequel on désigne ces géométries courbes est celui de géométrie riemannienne.

Le sauvetage de Noé

En bleu : la géodésique euclidienne. En rouge : la géodésique dans la métrique de Sylvain.

En termes mathématiques, on dit qu’une modification de l’indice de réfraction correspond à une modification de la métrique de l’espace, ce qui est à l’origine de sa courbure : la métrique, ici, est l’objet mathématique qui encode la structure de l’espace à l’échelle microscopique (infinitésimale diraient les mathématiciens). Se donner une métrique, c’est en fait se donner une façon de mesurer les distances dans l’espace que l’on veut étudier : une sorte de règle dont la longueur pourrait raccourcir ou augmenter selon notre position et notre orientation dans l’espace. Prenons un exemple élémentaire : un surveillant de baignade à la plage (appelons-le Sylvain) veut sauver une personne qui se noie (appelons-la Noé). Dans la métrique euclidienne — qui est ce que nous appelons couramment la distance « à vol d’oiseau » —, la distance entre Sylvain est Noé est donnée par la longueur de la géodésique euclidienne qui les relie, c’est-à-dire du segment de droite Sylvain-Noé. Mais Sylvain ne se déplace pas dans la métrique euclidienne car il sait bien qu’il court plus vite qu’il ne nage (même si Sylvain est un grand nageur !) et qu’il a donc intérêt à maximiser son temps de course à pieds et minimiser son temps de nage pour secourir Noé à temps. Dans la métrique de Sylvain, la géodésique qui le relie à Noé est en fait une ligne brisée et non plus une droite — Sylvain ne se déplace donc plus dans la géométrie euclidienne mais bel et bien dans une géométrie riemannienne.

Une des plus célèbres géométries non-euclidiennes (hormis la géométrie de Sylvain !) est la géométrie dite hyperbolique. Cette géométrie décrit en particulier des surfaces comme celle représentée à la figure C.

Figure C : une surface hyperbolique

Les trajectoires verticales noires représentent toutes des géodésiques.

Les géodésiques y sont des hyperboles et sa courbure est négative ce qui traduit le phénomène suivant : des géodésiques partant du même point avec des directions voisines (mais différentes) auront tendance à s’écarter très vite les unes des autres. Nous renvoyons le lecteur intéressé par ces questions vers ce précédent article d’Images des mathématiques. Ce qu’il faut garder à l’esprit, c’est le principe général sur lequel repose la géométrie riemannienne : la courbure des rayons lumineux y est interprétée comme une courbure intrinsèque de l’espace dans lequel ils vivent. Ajoutons au passage que ce renversement de point de vue a été capital dans l’histoire de la physique en ce qu’il a notamment permis la formulation mathématique de la théorie de la relativité générale par Einstein au début du XX^e siècle [7].

Dans la suite, nous nous intéresserons donc à des milieux dont les caractéristiques physiques peuvent être a priori décrites au moyen de la théorie de la géométrie riemannienne [8]. Selon le principe de moindre action de Maupertuis, les ondes se déplacent alors en minimisant localement leur temps de trajet sur des distances infinitésimales. Fait qu’il énonce en ces termes dans son Principe de la moindre quantité d’action pour la mécanique :

Lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d’action [9] employée pour ce changement est toujours la plus petite qu’il soit possible.

Interprété dans le langage de la géométrie riemannienne, ce fameux principe revient à dire que les ondes se déplacent le long des géodésiques de la métrique.

La propagation des ondes sismiques

Le chant de la Terre

Figure D : onde de compression (P)

Au début du XX^e siècle, grâce à l’amélioration technique des sismographes, les géophysiciens ont mis en évidence l’existence de deux types d’onde qui se propageaient dans la croûte terrestre à la suite d’un séisme : les ondes P et S [10] (voir figures D et E). Les premières sont des ondes dites de compression : ce sont les plus rapides à se propager, se déplaçant à la vitesse de 6 km/s au voisinage de la surface de la Terre, et sont donc les premières à être enregistrées par les sismographes.

Figure E : onde de cisaillement (S)

Puis viennent les ondes S, dites ondes de cisaillement, plus lentes mais aussi bien plus dévastatrices pour les constructions car elles tendent à déplacer la matière perpendiculairement au sens de propagation de l’onde. L’étude des temps de propagation de ces ondes tout au long du XX^e siècle — la tomographie sismique — a conduit à des modèles de plus en plus affinés de la structure interne de la Terre : celle-ci présente une croûte terrestre (ou continentale) de faible épaisseur — de l’ordre de quelques dizaines de kilomètres —, un manteau allant jusqu’à 3000 km de profondeur, puis un noyau dont une partie est liquide et empêche la propagation des ondes S.

Suite aux premières découvertes quant à l’existence de ces ondes, Herglotz [Her05], en 1905, puis Wiechert et Zoeppritz [WiZo07], en 1907, ont suggéré un modèle mathématique pour décrire la structure interne de la Terre : cette dernière est modélisée par une boule de rayon $R \simeq$ 6300 km ; sa structure est à symétrie sphérique (autrement dit, sa densité ne dépend que de la distance au centre de la Terre) et isotrope. Dans les termes de la géométrie riemannienne, cela revient à supposer que la métrique décrivant la structure interne de la Terre est proportionnelle à la métrique euclidienne d’un facteur de proportionnalité $1/c^2$, où $c$ décrit la vitesse de propagation des ondes P dans la Terre. D’après les hypothèses précédentes, la fonction $c$ est supposée radiale, c’est-à-dire qu’elle ne dépend que de la distance $r$ au centre de la Terre.

Figure F : propagation des ondes P et S dans la Terre

En outre, afin que le modèle soit fidèle à l’observation, Herglotz et Wichert-Zoeppritz supposaient que $c$ satisfait à une condition supplémentaire

qui traduit le fait que la trajectoire des ondes est de plus en plus courbée à mesure que celles-ci se rapprochent du centre de la Terre. D’un point de vue géométrique, si $\mathbb{S}_r$ désigne la sphère de rayon $r$, cette condition est équivalente à la stricte convexité des sphères $\mathbb{S}_r$ [11] : si $x$ et $y$ sont deux points de cette sphère, alors l’unique géodésique qui les relie est entièrement contenue dans l’intérieur de cette sphère (voir la figure G). Rappelons enfin, comme évoqué au paragraphe précédent, que les ondes sismiques de type P sont supposées se propager selon les géodésiques de la métrique $g$ — l’équivalent dans notre géométrie courbe des trajectoires rectilignes de la géométrie euclidienne. On pourra voir des exemples de trajectoires d’ondes sismiques (donc de géodésiques) aux figures F et G.

Enregistrement à la station Dumont d‛Urville sur la Terre Adélie) du séisme du 26 décembre 2004 au Nord de l’île de Sumatra.

En abscisse : échelle de temps (10^2 secondes). En ordonnée : amplitude de l’onde. Les ondes de surface sont les ondes L et R.

On fera également l’hypothèse que suffisamment de données sismiques ont été collectées pour que, étant donnée une paire de points quelconque $x$ et $y$ à la surface de la Terre, le temps de parcours d’une onde P de $x$ (l’épicentre du séisme) à $y$ (la station d’enregistrement) soit connu. C’est une hypothèse très forte qui, en pratique, n’est jamais globalement réalisée car il y aurait beaucoup trop de mesures à effectuer ! Mais elle peut l’être au moins localement sur une certaine portion du globe (au voisinage des failles sismiques par exemple), ou alors de façon globale, en extrapolant grâce aux résultats déjà connus localement. Lors du séisme de 2004, de magnitude 9,3, qui a provoqué le tsunami qui a ravagé côtes de l’île de Sumatra, le point $x$ — l’épicentre — était situé à la pointe Nord de Sumatra. Toutes les stations d’enregistrement à la surface du globe — les points $y$ — ont enregistré les temps d’arrivée des ondes. Par exemple, les ondes P ont mis environ dix minutes à rejoindre la station sismique de Dumont d’Urville sur la Terre Adélie (le territoire français sur le continent Antarctique). On suppose donc connue la fonction dite de temps de voyage [12] $(x,y) \mapsto \tau(x,y)$ qui associe à toute paire de points $(x,y)$ à la surface le temps de trajet d’une onde de $x$ à $y$. La question est alors la suivante :

Si l’on connaît le temps de voyage des ondes $\tau(x,y)$ de $x$ à $y$ pour toute paire de points $(x,y)$ à la surface de la Terre, est-il possible de reconstruire la fonction $c$ de vitesse des ondes, c’est-à-dire la métrique de la Terre ?

De même que les baleines ont leur chant propre dans les profondeurs des mers, la Terre « chante » elle-aussi, à sa manière, sous la forme des ondes sismiques. Selon le titre de la célèbre symphonie de Gustav Mahler, on se demande ainsi ce que nous enseigne le chant de la Terre sur sa structure interne.

Figure G : le modèle de la Terre

La Terre peut être épluchée grâce à toutes les sphères en pointillés (il y en a dans les faits une infinité). En orange : une onde sismique reliant deux points à la surface de la Terre, et passant par $x$ et $y$. En jaune : l’intérieur de la sphère $\mathbb{S}_r$ qui est strictement convexe, i.e. l’onde simsique se déplace de $x$ à $y$ en passant à l’intérieur de la sphère.

Un problème complexe ...

Ce problème soulève en réalité deux questions qui lui sont sous-jacentes et que nous tenterons de détailler. La première est d’ordre théorique — et c’est peut-être celle vers laquelle ont été le plus portés les mathématiciens — et pourrait se formuler ainsi : est-il théoriquement possible de reconstruire la fonction de vitesse des ondes $c$ ? Autrement dit, étant donné deux métriques sur la Terre — que nous notons $g$ et $g'$ — si l’on suppose que les temps de voyage associés aux deux métriques coïncident, c’est-à-dire que $\tau(x,y) = \tau'(x,y)$ pour toute paire de points $(x,y)$ à la surface de la Terre, est-il vrai que $c=c'$, c’est-à-dire que les fonctions de vitesse des ondes sont les mêmes ? En termes mathématiques, c’est ce que nous appelons un problème d’injectivité. Si l’on peut répondre positivement à cette question, on dira que la fonction de temps de voyage détermine la métrique de la Terre [13].

Cristaux d’olivine

Il est en fait possible de considérer une classe de métriques un peu plus générale que celles jusqu’alors évoquées. Par exemple, on peut imaginer que la fonction $c$ dépende non seulement de la distance au centre de la Terre, mais aussi d’autres paramètres de position (après tout, la Terre n’est peut-être pas à symétrie sphérique...). Pire encore (!) : il est possible d’imaginer que la métrique ne soit pas isotrope, c’est-à-dire que certaines directions de propagation des ondes sismiques soient privilégiées. En pratique, cela peut arriver selon le type de matériau que l’onde traverse : l’olivine, par exemple, qui constitue la plus grande partie du manteau terrestre, est un minéral très polarisé ; selon son orientation, le rapport des vitesses de propagation des ondes peut varier jusqu’à 25 %. Cette forte anisotropie doit donc se retrouver à l’échelle de la métrique.

Dans tous les cas, nous supposerons au moins que la métrique terrestre $g$ est simple [14], c’est-à-dire que toute paire de points $(x,y)$ du globe est reliée par une unique géodésique. D’un point de vue physique, cela signifie qu’une onde sismique partant de $x$ et arrivant en $y$ a suivi un unique chemin : elle ne s’est pas scindée en deux avant de se recomposer en $y$. Là encore, les observations sismiques montrent que cette hypothèse n’est pas tout à fait exacte. Mais ne pas la faire compliquerait sérieusement le problème (et même, elle le rendrait insoluble) et un modèle mathématique n’a pas pour ambition de résoudre chaque recoin d’un problème !

C’est en 1981 que le mathématicien français René Michel a publié un article [Mi81] dans le journal réputé Inventiones Mathematicae, dans lequel il énonçait la conjecture suivante, qui désormais porte son nom :

En d’autres termes, la conjecture de Michel stipule que la connaissance de la fonction $\tau$ de temps de voyage des ondes sismiques suffit théoriquement à connaître la métrique $g$. Très vite, les mathématiciens ont compris que le problème de Michel était difficile et, hormis quelques cas très particuliers, peu de résultats sont venus étayer la conjecture. Il a fallu attendre plus de vingt ans pour qu’elle soit complètement résolue en dimension deux — la boule tridimensionnelle devient alors un disque, les sphères deviennent des cercles — par Leonid Pestov et Gunther Uhlmann [PeUh05], dans un article à la fameuse revue américaine Annals of Mathematics. Il ne sera pas question ici d’expliquer l’idée de leur preuve qui dépasse très largement le cadre de cet article, mais nous nous contenterons de formuler deux remarques à son sujet. D’une part, leur preuve ne permettait pas de démontrer la conjecture en dimension trois (ni même en dimension plus grande), qui est précisément le cas qui nous intéresse ici, puisque la planète Terre est une « boule » tridimensionnelle. D’autre part, elle n’était pas constructive, c’est-à-dire qu’elle répondait positivement à la conjecture de Michel en affirmant qu’il est théoriquement possible de reconstruire la métrique, mais elle ne disait pas comment le faire...

... qui vient d’être en partie résolu

Car non seulement faut-il savoir que la reconstruction est possible, mais aussi faut-il savoir comment le faire, c’est-à-dire donner une formule ou un algorithme permettant le calcul pratique de la métrique $g$. Il se trouve que ce problème a été résolu en 2017 par les trois mathématiciens Plamen Stefanov, Gunther Uhlmann et Andras Vasy dans un long et compliqué article [StUhVa17], qui fait appel à des techniques tout à fait modernes d’analyse que l’on nomme analyse microlocale. Plus précisément, ils ont montré que, sous l’hypothèse que la boule peut être « épluchée » (feuilletée dans le langage mathématique) par des sphères convexes — comme c’était le cas de la métrique considérée par Herglotz et Wichert-Zoeppritz (voir la figure G où les sphères convexes qui épluchent la Terre sont représentées en pointillés) —, il est possible de reconstruire la métrique $g$ grâce à un certain algorithme. Leur idée consiste à résoudre d’abord localement le problème, en reconstruisant la métrique au voisinage de la surface de la Terre grâce à une formule relativement explicite qui n’utilise que les temps de voyage des ondes qui restent à proximité de la surface terrestre. Puis, en exploitant l’existence d’un feuilletage (ou d’un « épluchage ») convexe, ils montrent que l’on peut creuser un peu dans la Terre, c’est-à-dire appliquer de nouveau leur argument de reconstruction locale sur une couche terrestre un peu plus profonde. Et ainsi de suite, pas à pas, leur algorithme permet la reconstruction de la métrique jusqu’à atteindre le centre de la Terre ! La publication de leur article a d’ailleurs donné lieu à un billet [Cas17] dans la célèbre revue Nature, ce qui est suffisamment rare concernant un résultat mathématique pour que cela soit souligné.

Actuellement, les recherches se portent sur l’implémentation numérique de la méthode de Stefanov-Uhlmann-Vasy. Car il est certes intéressant d’avoir un algorithme « sur papier » qui inverse la fonction de temps de voyage et reconstruise la métrique mais encore faut-il pouvoir le coder effectivement sur un ordinateur, c’est-à-dire sans qu’il ne commette trop d’erreurs d’arrondis et produise un résultat en un temps raisonnable. Et cela n’est pas une mince affaire ! Un premier article [YCG18], daté de 2018 et considérant un cadre quelque peu simplifié, semblerait confirmer que cette approche soit la bonne. Peut-être faudra-t-il ensuite mesurer l’efficacité de cet algorithme sur des données issues de l’observation des ondes sismiques. Affaire à suivre, donc...

Quant à la conjecture de Michel, elle n’est peut-être pas résolue pour autant. En fait, on ne sait toujours pas si les métriques simples, évoquées au paragraphe précédent, vérifient la condition de feuilletage convexe requise pour que l’algorithme de Stefanov-Uhlmann-Vasy puisse fonctionner. Il est très vraisemblable de le penser, mais les mathématiciens ne parviennent toujours pas établir une preuve. La conjecture de Michel est donc suspendue à ce dernier point...

Conclusion

Le problème inverse du chant de la Terre est d’une étonnante richesse dans la mesure où il repose originellement sur une question de géométrie posée au début du XX^e siècle par trois géophysiciens allemands et que les mathématiques contemporaines auront seulement permis de résoudre tout récemment grâce au développement de nouveaux outils analytiques. En ce sens, il figure un progrès scientifique dont l’intérêt réside autant dans les questions qu’il soulève que dans la mise au jour de techniques inédites permettant d’y répondre, et qui à leur tour motiveront de nouvelles questions. À ce titre, la transformée de Radon [15], d’ailleurs très liée au problème évoqué dans cet article et qui est notamment à la base des dispositifs d’imagerie médicale par rayons X, est un problème inverse qui pourrait aussi être envisagé sous ce prisme historique.

Bibliographie

[Cas17]
D. Castelvecchi, « Long-awaited mathematics proof could help scan Earth’s innards », Nature 542, 281–282 (2017), lien vers l’article.

[Ein79]
A. Einstein, Comment je vois le monde, Flammarion, 1979.

[Her05]
G. Herglotz, « Uber die Elastizitaet der Erde bei Beruecksichtigung ihrer variablen Dichte », Zeitschr. fur Math. Phys., 52:275–299, 1905.

[Mon99]
G. Monge, Mémoires sur l’Egypte : Publiés pendant les campagnes du Général Bonaparte dans les années VI et VII, Paris, Imprimerie de P. Didot l’aîné, 1799.

[Mau44]
P. L. M. de Maupertuis, Principe de la moindre quantité d’action pour la mécanique, 1744.

[Mi81]
R. Michel, « Sur la rigidité imposée par la longueur des géodésiques », Invent. Math. 65 (1981), p. 71-83.

[PeUh05]
L. Pestov, G. Uhlmann, « Two dimensional compact simple Riemannian manifolds are boundary distance rigid », Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 161, No. 2 (Mar. 2005), p. 1093-1110.

[StUhVa17]
P. Stefanov, G. Uhlmann, A. Vasy, « Local and global boundary rigidity and the geodesic X-ray transform in the normal gauge », prépublication, 2017.

[WiZo07]
E. Wiechert, K. Zoeppritz, « Uber Erdbebenwellen », Nachr. Koenigl. Geselschaft Wiss. Gottingen, 4:415–549, 1907.

[YCG18]
T. S. A. Yeung, E. T. Chung, G. Uhlmann, « Numerical inversion of 3D geodesic X-ray transform arising from traveltime tomography », prépublication->https://arxiv.org/pdf/1804.10006.pdf].