Le charme de Pythagore

20 février 2015  - Ecrit par  Pierre Gallais Voir les commentaires (7)

Où un peu de connaissances mathématiques sauvent la mise [1] .

Ayant restructuré notre espace de vie et travail il y avait ce secrétaire que nous ne savions où mettre, sinon dans la partie qui ne présente qu’une hauteur sous plafond de 152cm. Seulement, voilà : ce secrétaire mesure 96 cm de large, sur 40 cm de profondeur et une hauteur de 146,5 cm. L’opération s’avérait d’autant plus délicate qu’il fallait le monter à l’étage par une échelle de meunier, que celui-ci pèse un bon poids (non mesuré) et que les deux personnes qui acceptaient de collaborer n’avaient pas envie de se faire un tour de rein pour rien... Pire devoir le redescendre.

A leur yeux il était évident que cela n’allait pas passer. 146,5 x 40 pour 152 sous plafond... ce ne serait pas possible de le faire basculer - puisqu’il n’était pas envisageable de le monter verticalement.

Certes, visuellement, avec nos (fausses) impressions, je puis les comprendre et je n’étais pas loin de leur accorder crédit. Mais j’ai pris ma calculette : racine carrée de 146,5 + 40 : $(146,5^2 + 40^2) = 151,9 $ ! [2]

C’était risqué mais possible... alors nous avons décidé de tenter le coup ! Avant, dubitatifs, ils m’ont tout de même demandé de vérifier et j’ai mesuré la diagonale depuis le pied jusqu’à la pointe de la corniche : je mesurai 151 cm. On pourrait, au passage, se demander où sont passés les 9 mm manquant mais notre attention étant absorbée ailleurs, nous avons négligé la précision.

Le charme, au sens de tour de magie, réside là dans le fait que sans les calculs notre œil nous invitait à renoncer, puisque l’épaisseur de 40 cm les induisait (mes collaborateurs ...moi j’étais plus averti) à songer que cela dépasserait les 5,5 cm qui restaient disponibles.

Arrivés en haut, au moment de basculer nous avons constaté que cela ne passait pas. Pythagore n’est pas à accuser... c’est le plafond qui n’est pas droit. Fort heureusement entre le palier et le plancher de la pièce il y a une marche... Par une manipulation un peu délicate (une partie du meuble dans le vide) nous avons profité de ce surcroît de hauteur.

A titre d’exercice considérez une ficelle de 1m horizontale puis, qu’en tirant dessus, vous l’allongiez de seulement 1 mm. Quel serait l’écart sur la verticale pour la conserver tendue ? Réponse = 44,7 mm ! Euh ! je n’y croyais pas. J’ai dû regarder si je ne m’étais pas trompé. Faites vous-même le calcul. Impressionnant : 45 mm pour 1 mm !

La morale de l’histoire :

Ne vous fiez pas aux apparences et les mathématiques (mêmes élémentaires, en la situation) pourront vous rendre des services.

Notes

[1et font dire qu’il ne faut pas mettre Pythagore dans une poubelle ( cf. Débat du 18 février ).

[2Pour rappel, au cas où : Théorème de Pythagore ; dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

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Pour citer cet article :

Pierre Gallais — «Le charme de Pythagore» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Le charme de Pythagore

    le 20 février 2015 à 08:39, par Étienne Ghys

    Bonjour Pierre,

    Belle histoire ! Alors, je suis (presque) convaincu.

    En géométrie algébrique, on parle souvent du problème du piano à queue qu’il s’agit de faire passer par un couloir. Je ne pense pas que tu pourrais faire monter un de ces pianos par ton escalier ? En cherchant une référence sur ce problème de piano, la première que je trouve est celle-ci (chapitre 10, Géométrie). Mais je constate que c’est un cours d’informatique. Tiens, on mélangerait la géométrie et l’informatique de nos jours ?

    Amitiés,

    Etienne

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  • Le charme de Pythagore

    le 20 février 2015 à 13:44, par Jérôme

    Effectivement, impressionnant ces 45 mm pour un tout petit mm.

    Peut-être que l’on s’éloigne du concret, mais si au lieu d’ajouter 1 mm on ajoute 1 µm, l’écart serait de 1414 µm ! Avec 1 nm l’écart serait de 44 721 nm. Évidemment plus on descend, plus ça augmente.

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  • Le charme de Pythagore

    le 20 février 2015 à 16:56, par Pierre Gallais

    Bonjour Jérôme,

    Évidemment, plus on descend plus ça augmente et cela nous renvoie sur les questions de dilatation... un tout petit allongement et ça « bombe » énormément. Je connais quelques exemples de « parquets flottants » qui font des vagues, dont un qui se relève bien de 3cm. C’est terrible et fort désagréable car ça fait un bruit considérable.

    Ce que je retiens, sur un plan plus poétique ou sensible, c’est cet écart entre nos impressions et la réalité que nous confirme ici les mathématiques. Sans ce passage par un mode, disons abstrait, puisque loin de nos sens, nous aurions une fausse appréhension de la réalité. C’est un fait certain, mais cela fait rêver - lorsqu’on s’y attarde - qu’abstraction et réalité se tiennent main dans la main. On ne peut écarter l’une de l’autre. Cela me renvoie vers ce débat sur « Pythagore à mettre à la poubelle ? » qui tombe pile-poil... c’est une coïncidence. Personnellement je pense qu’il ne faille pas présenter un seul aspect. Selon notre personnalité nous sommes plus portés vers l’abstraction ou le concret. Mais je pense que dès le plus jeune âge, dans les petites classes, il importe de relier ce qu’on apprend (abstrait) et ce qui nous environne (concret). A cet âge où on s’émerveille cela peut donner charme et attrait pour supporter les efforts nécessaires que supposent les apprentissages. L’apprentissage est par nature guère gratifiant car ce ne sera que bien plus tard que l’on en mesurera l’intérêt. Si le « maître » et/ou l’environnement social n’arrive pas à insuffler ce plaisir d’apprendre et entretenir la capacité à s’émerveiller... le futur (des études ?) est compromis. Car au final, c’est bien nous qui faisons le travail nécessaire... toute la vie on cherche :-) J’aurais tant à dire... l’aventure mathématique est une aventure humaine et poétique. C’est sans doute ainsi, inconsciemment, que j’ai eu (et conserve) plaisir à les pratiquer et les mettre en pratique.

    J’arrête là sinon je vais écrire trois pages :-)

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  • Le charme de Pythagore

    le 26 février 2015 à 20:17, par Giangi

    Bonjour,

    Je ne sais plus où j’ai lu que les difficultés rencontrées par les écoliers et élèves en maths venait parfois de leurs lacunes en compréhension du français, parfois même, plus souvent qu’on ne croit, de la mauvaise rédaction des énoncés des problèmes, rendant parfois ceux-ci quasi incompréhensibles.

    Désolé, mais c’est un peu ce qui m’arrive devant le problème de la ficelle horizontale :

    Déjà la construction du verbe « considérer » d’abord avec un substantif, puis avec un verbe précédé de l’inattendue conjonction de subordination « que » m’a laissé perplexe. Ensuite « l’écart sur la verticale » : l’écart de quoi, et avec quoi ? Mystère ! Enfin, pourquoi après avoir tiré dessus, est-il nécessaire de la « conserver tendue » ? Où et quand a-t-elle été détendue ? Nouveau mystère !
    Ce qui m’épate, c’est que les deux commentateurs Étienne et Jérôme semblent, eux, avoir compris de quoi il s’agissait ! Au secours !

    Giangi

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    • Le charme de Pythagore

      le 26 février 2015 à 21:19, par Pierre Gallais

      Bonsoir Giangi,

      D’abord je recopie la partie concernée pour l’avoir sous les yeux ?

      « A titre d’exercice considérez une ficelle de 1m horizontale puis, qu’en tirant dessus, vous l’allongiez de seulement 1 mm. Quel serait l’écart sur la verticale pour la conserver tendue ? »

      Bien entendu je remarque qu’il y a des sous-entendus : que la ficelle horizontale est initialement tendue (entre deux murs ou plans verticaux stables et rigides). Qu’ensuite nous l’allongeons de 1 mm. Si, alors, nous souhaitons qu’elle demeure tendue il faudra déplacer un de ses points d’ancrage verticalement sur l’un des murs (l’autre point demeurant fixé). De combien faudra-t-il déplacer ce point sur le mur pour que la ficelle redevienne tendue ?

      Est-ce plus clair ainsi ? Je suis d’accord avec vous, combien de fois, moi-même j’ai quelques hésitations ou incompréhension devant un texte... qu’il soit mathématique ou autre. Mais, par ailleurs, je constate qu’il s’établit entre l’énonciateur et le lecteur comme un court-circuit qui permet d’éviter des longueurs ; de celles que l’on trouve dans les textes juridiques ou notariaux ou contrats... là où il est important de ne laisser aucun doute, mais qui finissent par lasser et qui, au final, conduisent à décrocher avant d’avoir saisi l’essentiel. Compromis ? Jusqu’où allonger ou réduire ? Ce sont les remarques des parties « ignorantes » qui permettent d’ajuster. Merci de votre remarque car je reconnais que j’ai hésité sur cette partie en l’écrivant... je suis même revenu dessus, tout en gardant la volonté de faire court.

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      • Le charme de Pythagore

        le 27 février 2015 à 00:04, par Giangi

        Merci d’avoir répondu.
        Ah oui, bien sûr, avec des sous-entendus ! Sans eux, c’est plus clair.

        Moi je voyais une ficelle horizontale sur laquelle on « tire », donc longitudinalement, et qui ne pouvait donc être accrochée que par une seule extrémité, l’autre étant celle par laquelle, précisément, on la « tirait ».

        Or il s’avère que le terme que vous employez maintenant n’est plus « tirer », mais « allonger » : ça change beaucoup de choses. Bon, elle est plus longue, maintenant, c’est l’essentiel. Mais « l’écart sur la verticale » était aussi une formulation très confuse, celle que vous proposez bien meilleure.

        Vous craigniez d’être trop long ? Je vous propose une formulation qui reprend en partie votre nouvelle version, et fait passer l’énoncé initial de 190 à 221 caractères : +16%, c’est raisonnable, non ? La voici :

        « A titre d’exercice considérez une ficelle de 1m tendue horizontalement ; remplacez-la par une autre plus longue de seulement 1mm, de combien faut-il déplacer verticalement une des extrémités pour la conserver tendue ? »
        La réponse est, évidemment, toujours la même, et toujours aussi étonnante :-)

        Cordialement

        Giangi

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  • Le charme de Pythagore

    le 2 mars 2015 à 16:01, par Jean-René Chazottes

    Bonjour.

    Il s’avère que les maçons utilisent le théorème de Pythagore pour vérifier qu’un angle est droit, sans équerre, avec un « mètre ». (Ils appliquent ce théorème sans le savoir, mais peu importe.)

    Ils vérifient la règle dite du « 3/4/5 » qui repose bien sûr sur l’identité 3^2+4^2=5^2. La première fois que j’ai vu quelqu’un utiliser cette règle, j’ai été surpris. Cela fait partie des b.a.-ba de la profession, m’a-t-on dit.

    Cordialement.

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