Mathématiques et langages : le feuilleton de l’automne

Le dire mathématique

Le 20 octobre 2017  - Ecrit par  Nazim Fatès Voir les commentaires (4)

Dans quelle langue les mathématiques s’expriment-elles ? La première réponse qui vient à l’esprit est que les mathématiques s’expriment... dans la langue des mathématiques. Immédiatement surgit l’image d’Épinal faite d’une suite de symboles cryptiques, de formules alambiquées et de mots dont seule une faible portion d’initiés connaît la signification. Peut-on pour autant utiliser l’expression de « langue mathématique » ?

Si l’on s’en réfère au Littré, à l’entrée n° 10 de l’article « langue », on lit :

La langue d’une science, d’un art , l’ensemble des mots, des locutions dont on fait usage dans cette science, dans cet art. La langue des mathématiques. La langue de la métallurgie. On dit dans le même sens : la langue technique [1].

Je ne peux pourtant pas dire grand-chose sur ce que je suis ou même sur le monde qui m’entoure à l’aide des seules mathématiques. Si je dis que la cote de popularité du président a baissé de dix pour cent en un an, l’énoncé n’a de sens que si je sais ce qu’est un président et une cote de popularité, et cela, ce ne sont pas les mathématiques qui peuvent le dire. Olivier Rey, dans l’article « Mathématiques et langue commune » de cette même série, nous avertit des risques qu’il y aurait à tenir les mathématiques pour une langue autonome : le sens des formules, équations et symboles se résout toujours dans la langue commune et la rigueur d’un résultat mathématique ne doit pas faire oublier que ce qui est énoncé sera toujours reçu avec les mots usuels qui, eux, sont porteurs d’ambiguïté et de sens multiples.

Faut-il déplorer cet état des choses ? Les mathématiques s’écrivent mais elles parlent et ne peuvent se passer de la parole. Entre langue et langage, y aurait-il un dire mathématique comme il y a un dire poétique ?

À première vue, les énoncés mathématiques passent pour être, par définition, universels et exacts. Le principe de non-contradiction m’assure que je ne peux démontrer une chose et son contraire. Le principe du tiers exclu me permet de découper la narration du discours mathématique en « phrases » et pour chaque phrase, de trancher : ou bien cette phrase est vraie ou bien elle est fausse mais il ne saurait y avoir de cas intermédiaire [2]. À l’inverse le dire poétique se déploie sans être subordonné à des principes et sans que l’on puisse « l’arrêter » à loisir de façon à en analyser les fragments. Les écoliers apprennent Le Dormeur du val vers après vers et on leur explique que les alexandrins donnent le rythme à la phrase mais une fois su, le poème doit se dire d’un souffle. Les exigences de forme, quelles qu’elles soient, ne sont pas la substance d’un poème [3].

Est-ce l’exigence de certitude qui sépare poésie et mathématiques ? Il m’arrive , comme à tout professionnel de la science, de « tomber » sur des équations complexes et de devoir déployer un outillage élaboré pour parvenir en bout de compte à des solutions éminemment simples, par exemple [4] une constante réelle qui est égale à $1$. Dans pareil cas, je n’hésiterais pas à dire que je sais que cette constante vaut $1$ mais que je ne comprends pas pourquoi elle vaut $1$. Notre outillage mathématique nous assure que ce que nous disons est juste mais d’une certaine façon, il nous dépasse : il semble savoir plus de choses que nous ! Ainsi le sens d’un énoncé mathématique ne peut se déployer pleinement que s’il s’accompagne d’une certaine forme d’intuition, ou, du moins, d’un certain sentiment.

Qu’est-ce que cette intuition ? Qu’est-ce qui la distingue de l’imagination ? Dans ses Méditations métaphysiques, Descartes met en scène un chiliogone, un polygone à mille cotés, à propos duquel il nous dit :

Que si je veux penser à un chiliogone, je conçois bien à la vérité que c’est une figure composée de mille côtés, aussi facilement que je conçois qu’un triangle est une figure composée de trois côtés seulement ; mais je ne puis pas imaginer les mille côtés d’un chiliogone, comme je fais les trois côtés d’un triangle, ni, pour ainsi dire, les regarder comme présents avec les yeux de mon esprit.

et de poursuivre :

Et quoique, suivant la coutume que j’ai de me servir toujours de mon imagination, lorsque je pense aux choses corporelles, il arrive qu’en concevant un chiliogone je me représente confusément quelque figure, toutefois il est très évident que cette figure n’est point un chiliogone, puisqu’elle ne diffère nullement de ce que je me représenterais, si je pensais à un myriogone, ou à quelque autre figure de beaucoup de côtés ; et qu’elle ne sert en aucune façon à découvrir les propriétés qui font la différence du chiliogone d’avec les autres polygones [5].

Traduisons. Si je m’en tiens aux seuls critères de l’universalité et de l’exactitude, je peux bien énoncer une foule de « vérités » à propos du chiliogone. On apprendra par exemple que le chiliogone régulier a 498 500 diagonales et un angle externe qui mesure 179,64 degrés, mais ce dire est-il autre chose qu’une simple réécriture des formules plus générales touchant à l’infinité des polygones réguliers ? Ces énoncés ne sont pas faux, mais ils ne peuvent former la substance d’un dire : alors que le triangle se distingue sans mal du carré, je peux difficilement détacher le chiliogone du « fond » formé des autres figures ayant un nombre de côtés similaires.

Mathématiser n’est donc nullement se contenter d’énoncer des choses exactes, compréhensibles et vérifiables par chacun. L’art du mathématicien exige aussi de savoir choisir ce sur quoi il portera son attention et ce qu’il décrira avec des mots qui diront ce qui a été saisi avec « les yeux de l’esprit ». Il n’y a donc pas loin à dire que les mathématiciens comme les poètes décrivent des paysages et que cette « imagination » qui fait défaut au profane – comment imaginer un espace géométrique à quatre dimensions ? – est plus un art de laisser passer la lumière qu’une « production » de résultats.

Chez Pascal, « le cœur sent qu’il y a trois dimensions dans l’espace et que les nombres sont infinis (...) » [6]. Le cœur et la raison ne s’opposent pas. Ils se complètent et c’est le cœur, organe métaphorique du sentiment, qui donne ses fondations à la raison. « Pas de fait empirique ici mais (...) quelque chose qui passe la raison et son analyse des concepts » dit Beaufret [7]. En somme, s’il y a un don des mathématiques ou un don de la poésie, ce don est la capacité à extraire d’un fond ce qui provient d’un sentiment. Si on peut entendre ce mot sans se limiter au sens dévalué qu’en donne le langage usuel, mais y voir ce qui appelle à rendre compte de ce qu’on estime digne d’être énoncé, la proximité avec le dire poétique commence à poindre. Entre poésie et mathématiques, les modalités du dire diffèrent [8] mais il y a dans les deux cas la nécessité de donner du sens à ce qui s’est fait sentir, à ce qui s’est manifesté.

La parole du poète n’est pas plus libre que la parole qui se fait entendre dans le dire mathématique, elle n’est pas moins rigoureuse, tout juste peut-on dire qu’elle reste comme davantage circonscrite, peut-être plus mesurée car n’ayant pas cette assurance de pouvoir à tout instant partir à la recherche de l’absolu. Curieusement, le dire mathématique s’empare bien plus facilement de l’infini par exemple que ne le fera le poème. Il y a dans tous les cas un fort risque d’errer et de voir la parole dévaluée pour devenir la risée de la foule. Poètes et mathématiciens, s’ils se font gardiens d’une forme authentique de la parole, sont de ceux qui consacrent leur être à recevoir les signes, même s’il faut pour cela comme Quichotte habiter le monde à la « lisière de la dérision » (R. Marteau) [9].

Ne soyons pas non plus trop dramatiques. Dans la conclusion de ses Figures de l’infini [10], l’historien des mathématiques Tony Lévy cite en exergue ces lignes de René Char :

Parmi tout ce qui s’écrit hors de notre attention, l’infini du ciel, avec ses défis, son roulement, ses mots innombrables, n’est qu’une phrase un peu plus longue, un peu plus haletante que les autres.

Si l’on veut bien adjoindre à l’infini du ciel celui des nombres, des figures et des symboles, ces lignes sans interprétation immédiate laisseront peut-être entrevoir un lien de parenté entre énonciation mathématique et langage poétique : tous deux sont un art de dire qui ramène à la surface ce qui vient des profondeurs du silence.

Nazim Fatès, 14 février -15 octobre 2017

Post-scriptum :

Ce texte appartient au dossier thématique « Mathématiques et langages ».

Article édité par Jérôme Germoni

Notes

[1Littré, Dictionnaire de la langue française, tome 4, Gallimard – Hachette, 1967, p. 1438.

[2Illustration du principe à travers un exemple amusant donné par Tadashi Tokieda. « Problème : peut-il arriver que $a$ et $b$ soient des irrationnels mais que $a^b$ soit rationnel ? Solution : oui, ce qui se démontre comme suit. Prenons $c=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Alors $c$ est i) soit rationnel ; soit ii) irrationnel. Nous ne savons pas lequel des cas i) ou ii) a lieu, mais peu importe. Dans le cas i), $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ sont irrationnels, donc $c$ fournit une solution positive au problème. Dans le cas ii), $c$ et $\sqrt{2}$ sont irrationnels donc $c^{\sqrt{2}}=\bigl(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\bigr)^{\sqrt{2}}=2$ fournit une solution positive. Et arrivés à la fin de la démonstration, nous ne savons toujours pas si $c$ était rationnel ou irrationnel. » In Alliage (Culture, Science, Technique), n° 75, 2015, p. 140-141.

[3S’il s’agissait seulement de construire avec des contraintes alors le maçon aussi pourrait être dit poète. (Ce qui n’empêche nullement le maçon d’être poïétiquement à l’œuvre quand il construit un mur !)

[4Exemple concret tiré de mon expérience. M’intéressant aux classes de récurrence d’automates cellulaires asynchrones, j’ai à dénombrer le nombre de mots binaires circulaires qui ne contiennent pas le motif $101$. On vérifiera sans peine que le nombre $u_n$ de tels mots de taille $n$ vérifie l’équation récurrente d’ordre $4$ suivante : $u_{n+4}= u_{n+3}+u_{n+2}+u_{n}$ avec $u_1=2$, $u_2=2$, $u_3=5$, $u_4=10$. La résolution donne $u_n\sim C\cdot\lambda^n$ avec $\lambda\simeq1,\!75488$ comme unique solution réelle d’un polynôme de degré trois et... $C=1$.

[5Méditations métaphysiques, Descartes, Méditation sixième, A.T. 57.

[6Pensées, Pascal, Lafuma 110, Brunschvicg 282. Je souligne.

[7Le fondement philosophique des mathématiques, Troisième conférence (6 mai 1981), Jean Beaufret, éd. du Seuil, 2011, p. 127.

[8Occasionnellement, les deux formes peuvent aussi coïncider : voir par exemple « Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique », Mahdi Abdeljaouad, en ligne sur ce site, 22 février 2015.

[9« Le chiffre et le cheval », Robert Marteau, article paru dans la revue Liberté, n° 6, 1972. (Numéro consacré au thème « Écriture et l’errance ».)

[10Figures de l’infini, Tony Lévy, éd. du Seuil, 1987. Le texte de Char est tiré de Possessions extérieures.

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Pour citer cet article :

Nazim Fatès — «Le dire mathématique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Avec l’autorisation de l’auteur, Alain Cauchie : Pointe, acrylique sur epoxy, 176 x 29 cm, 2008.

Commentaire sur l'article

  • Le dire mathématique — quelques réflexions

    le 25 octobre à 14:27, par Frederic Line

    Je lis avec intérêt ce texte compliqué. Je vais isoler deux de ses thèses par souci de simplicité.

    1) La langue mathématiques serait d’une autre nature que la langue naturelle.

    Il me semble que non. La langue mathématique comme la langue naturelle utilise des symboles,
    une syntaxe. Les symboles ont une définition. Il y a une sémantique derrière. Langue
    naturelle et langue mathématique c’est kif kif. La seule différence c’est que les mathématiciens
    ne donnent pas plusieurs définitions à un symbole, qu’ils ne changent pas la définition d’un
    symbole au cours du temps et qu’ils n’utilisent pas de symboles qui n’ont pas de définition.

    2) Il y a des choses que seule la langue naturelle peut exprimer et pas la langue mathématique.

    Je pense que c’est faux. Tout est définissable dans la langue mathématique. Y compris le concept
    de « président de la république ». Mais la taille de la définition serait longue.

    ...

    Je pense qu’il y a d’autres choses à commenter dans ce texte. Mais je ne sais pas très bien comment les
    aborder.

    — 
    FL

    Répondre à ce message
    • Le dire mathématique — quelques réflexions

      le 1er novembre à 20:29, par Nazim Fatès

      Cher ami lecteur,

      Permettez-moi une brève réponse qui sera plus une indication qu’une véritable réponse.

      1) Sur les rapports entre « langue mathématique » et « langue naturelle »

      Tout d’abord, il n’est pas clair que l’emploi de l’expression de « langue mathématique » soit totalement justifié. Si l’on veut l’employer, il faudrait établir que les mathématiques permettent de dire tout ce que dit une langue. Ceci n’est pas contradictoire avec le fait que les définitions des mathématiques se résolvent toujours dans la langue courante. (Ce dernier point est souvent oublié.) Si les mathématiques peuvent être parfaitement rigoureuses, et elles le sont bien évidemment dans une très large mesure, ce n’est donc que « sectoriellement » - tant que l’on s’en tient au mode opératoire qui dit si une démonstration est valide ou non. Les écrits de Poincaré exposé dans son recueil de textes Dernières pensées sont assez éloquents. Il s’oppose aux vues de Russell sur l’infini et après un bon nombre d’échanges d’arguments avec les défenseurs de Russell, il finit par dire qu’aucun accord ne pourra s’établir. C’est tout juste s’il ne termine pas en disant « chacun sa religion »...

      2) Je peux bien entendu poser un certain nombre de définitions de ce qu’est un président de la république. Ces définitions mathématiques sont valables dans un certain cadre, dans un certain modèle, formel ou non. Peut-on parvenir à définir par exemple la notion de « dignité » associée à celle d’un président ou d’un prince (princeps) ? Là aussi, c’est à chacun de voir. Leibniz dirait que oui, Turing aussi. Y a-t-il des limites au domaine de la raison ou tout tombe-t-il sous l’empire du principe de raison ?

      N.F.

      Répondre à ce message
  • Le dire mathématique — De la poésie

    le 25 octobre à 20:24, par Frederic Line

    Pour ce qui de l’usage poétique de la parole, là encore rien qui me semble impossible
    mathématiquement parlant..

    Bien entendu il faudrait d’abord définir ce que c’est qu’une machine poétiquement sensible.
    Ca serait sûrement le point délicat. Ca exigerait du big data. Pas mal de maux de tête.
    Et il n’est pas bien sûr que l’état de la Recherche le permette encore. Mais à terme je ne vois
    pas en quoi une telle machine ne serait pas définissable en théorie des ensembles.

    Il faudrait ensuite coder les règles propres au sentiment poétique. Je doute qu’elles soient
    les mêmes en fonction des temps et des lieux.

    Ensuite on colle deux machines sensibles ensembles (un locuteur et un récepteur) un langage
    quelconque entre elles, même un langage mathématique. Et ça roulerait du feu de dieu.

    — 
    FL

    Répondre à ce message
  • Le dire mathématique — Une manière plus simple

    le 26 octobre à 15:25, par Frederic Line

    Bien entendu lorsqu’on voit ce qu’on peut faire désormais avec le deep learning (1) on se dit finalement
    qu’il n’y aurait même pas besoin d’analyser péniblement le concept de sentiment poétique. Il
    suffirait d’introduire en entrée d’un réseau neuronal tous les poèmes recensés depuis
    Babylone jusqu’à Ginsberg. Je pense qu’on obtiendrait une machine poétiquement sensible tout
    à fait pertinente. (On pourrait resteindre le corpus pour obtenir des machines poétiquement
    sensible au baroque, au romantisme, au lettrisme, au slam ou que sais-je encore.) On peut pas dire qu’on
    aurait compris quoi que ce soit à la poésie. Mais ça serait efficace.

    (1) http://images.math.cnrs.fr/+AlphaA-jZero-le-meilleur-joueur-de-go-du-monde-qui-a-tout-appris-tout-seul-en+.html

    — 
    FL

    Répondre à ce message

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