Le format A4 et les Babyloniens

Piste bleue 20 novembre 2014  - Ecrit par  Benoît Rittaud Voir les commentaires (6)

Ce qu’il y a de bien avec la racine carrée de 2, c’est qu’on la rencontre partout, un peu comme une amie qui ne s’éloignerait jamais.

Pour les besoins d’un article « sérieux » de mathématiques, je me suis repenché sur une méthode d’approximation de $\sqrt{2}$ connue dès l’époque babylonienne et qui consiste, en partant d’un rectangle de côtés 1 et 2, à construire une suite de rectangles d’aire 2 et dont la longueur est la moyenne (arithmétique) des dimensions du rectangle précédent. Les premiers rectangles sont les suivants :

Comme on le visualise, cette méthode est si efficace qu’au bout du troisième rectangle on ne discerne déjà plus la différence avec un vrai carré. Or puisque les aires des rectangles sont supposées toutes égales à 2, le carré limite est de côté $\sqrt{2}$. En conséquence, largeurs et longueurs des rectangles successifs sont des approximations de $\sqrt{2}$ (par excès et par défaut), de plus en plus précises.

Cette méthode est effectivement très rapide. On la dit quadratique, mot savant qui indique pour l’essentiel que le nombre de décimales exactes double à chaque nouveau rectangle.

Dans ce qui précède, $\sqrt{2}$ est vu comme le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2 (autrement dit, comme le côté d’un carré d’aire 2). Parmi les autres caractérisations possibles de $\sqrt{2}$, il y a celle qui est à l’origine de nos formats de papier : $\sqrt{2}$ est le rapport longueur/largeur à choisir pour un rectangle $R$ qui, une fois plié parallèlement à sa largeur, produit un rectangle $R’$ pour lequel le rapport des dimensions est lui aussi de $\sqrt{2}$.

Peut-on utiliser cette définition alternative pour produire des approximations de $\sqrt{2}$ ? me suis-je demandé. La réponse est oui, et voici comment. Si les dimensions de $R$ sont $a$ et $b$ (avec $a\geq b$), alors celles de $R’$ sont $a/2$ et $b$. Nous cherchons donc $a$ et $b$ tels que $a/b = b/(a/2)$ (notez que $R’$ est « dans l’autre sens »).

Une propriété assez simple à visualiser est que si $R$ est trop long, c’est-à-dire que $a/b$ est plus grand que $\sqrt{2}$, alors $R’$ ne l’est pas assez, c’est-à-dire que $b/(a/2)$ est, lui, inférieur à $\sqrt{2}$ (et inversement). À moins d’être d’emblée égaux à $\sqrt{2}$, les rapports $a/b$ et $b/(a/2)$ sont donc situés de part et d’autre de $\sqrt{2}$. Une façon simple de s’approcher de $\sqrt{2}$ consiste alors à prendre un rectangle dont le rapport longueur/largeur est la moyenne (arithmétique) de $a/b$ et $b/(a/2)$. Le nouveau rectangle $R$ construit sur ce rapport produit par pliage un nouveau rectangle $R’$, la moyenne des rapports longueur/largeur de $R$ et $R’$ conduisent à définir un nouveau rectangle, et ainsi de suite. En posant, pour fixer les idées (puisque seul compte le rapport des dimensions) que $R$ est toujours de largeur 1, voici ce que cette idée donne à partir d’un rectangle $R$ initial tel que $a = 2$ et $b = 1$ (pour simplifier, la largeur de chaque nouveau rectangle $R$ est toujours prise égale à 1).

Ça vous dit quelque chose ? C’est bien ça : les nombres obtenus sont les mêmes que ceux de l’algorithme des Babyloniens. Et plutôt que de considérer cette méthode comme une présentation alternative d’un algorithme d’approximation de $\sqrt{2}$, on peut aussi l’écrire comme une démonstration de ce que les rectangles $R$ pour lesquels $R’$ a la même forme que $R$ sont ceux qui satisfont à l’égalité longueur/largeur = $\sqrt{2}$.

Ce n’est pas avec un résultat pareil qu’on m’offrira un pont d’or à Princeton ou à Harvard, mais c’est ce genre de petites perles qui aident à aimer son métier de chercheur. Et s’il n’est pas sûr que j’arrive à caser cette observation dans mon article « sérieux », je vais quand même essayer. En le glissant à la fin, là où plus personne ne lit…

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Pour citer cet article :

Benoît Rittaud — «Le format A4 et les Babyloniens» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • Le format A4 et les Babyloniens

    le 17 novembre 2014 à 08:55, par ROUX

    Je ne connaissais pas l’algorithme des Babyloniens et, dans une premier temps, j’ai cru que je devais construire les figures successives à partir du rectangle de l=1 et L=2 par pliage ou à l’aide de la règle et du compas... Puis, en fait pas par pliage car le papier babylonien ne devait sans doute pas bien se plier... Donc à la règle et au compas... Puis j’ai farfouillé dans la Toile, j’ai trouvé cet algorithme et j’ai compris que vous illustriez seulement la rapidité de la convergence de a*b=2 avec a=2 et b=1 vers c^2=2 avec c=racine carrée de 2.

    Mais, du coup, au fait, peut-on faire l’algorithme des Babyloniens à la règle et au compas ?

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    • Le format A4 et les Babyloniens

      le 17 novembre 2014 à 11:25, par Benoît Rittaud

      Oui, on peut, car les dimensions de R’ sont les moyennes arithmétique et harmonique de celles de R et qu’il existe une construction classique pour ces moyennes (voir par exemple ici). Mais il serait en effet intéressant de trouver comment rendre cette construction « jolie ».

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      • Le format A4 et les Babyloniens

        le 17 novembre 2014 à 12:26, par ROUX

        Alors faisons confiance à l’un des contributeurs des défis : Daniate !!!

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      • Le format A4 et les Babyloniens

        le 18 novembre 2014 à 08:25, par ROUX

        Bon, bah, je tombe pour l’instant sur la question suivante : sait-on tracer à la règle (non-graduée) et au compas un rectangle n°2 à partir d’un rectangle n°1 avec pour seule contrainte qu’ils aient la même surface ?

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  • Le format A4 et les Babyloniens

    le 19 novembre 2014 à 08:46, par ROUX

    Je me suis bien amusé, là, ce matin, à tracer les figures successives de cet algorithme babylonien car, en effet, poser qu’on veut deux rectangles différents de même surface, c’est écrire a1*b1=a2*b2 ou a1/a2=b2/b1 ce qui se traite par Thalès (chronologiquement, je ne sais pas où en étaient les Babyloniens avec ce monsieur...) puisqu’on a déjà su tracer trois des quatre côtés de ces deux rectangles (1, 2 et le (1+2)/2 qui se fait avec une médiatrice).

    Ce qui m’amuse là-dedans, c’est que votre lien sur les moyennes commençait par des triangles, que j’y voyais tout un tas de moyennes construites dans des triangles et que je me suis demandé ce que venait faire ces triangles là-dedans lorsque, soudain, j’ai compris qu’avec Thalès (dans un triangle, donc) on pouvait au fond tracer des égalités de produits... Ce qu’il me fallait exactement.

    Comme j’ai tracé le troisième triangle avec un feutre un peu épais, je ne vois déjà plus que ce n’est pas exactement un carré : il converge vraiment vite cet algorithme !!!

    Merci !!!

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    • Le format A4 et les Babyloniens

      le 19 novembre 2014 à 09:46, par ROUX

      « Comme j’ai tracé le troisième triangle avec un feutre un peu épais » : triangle  ??? Oups !!! Rectangle !!! Troisième rectangle !!!

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