Le lion de Belfort et les voûtes en berceau

Piste verte Le 14 mars 2016  - Ecrit par  François Guerret Voir les commentaires (1)

Pierre Marie Philippe Aristide Denfert-Rochereau est connu pour sa carrière militaire et ses engagements politiques mais bien moins pour ses œuvres scientifiques. Elles furent cependant loin d’être négligeables et ses compétences d’ingénieur lui furent d’un grand secours lors du siège de Belfort de 1870, dont la défense l’a fait passer à la postérité et lui a valu le surnom de « Lion de Belfort ».

Cet article est extrait d’un travail mené dans le cadre de l’enseignement d’histoire des sciences à l’École polytechnique et dont la version complète peut être consultée sur le portail patrimoine de l’École polytechnique.

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Pierre Denfert-Rochereau

Né en 1823 dans une famille protestante de moyenne bourgeoisie, Denfert-Rochereau intègre l’École polytechnique en 1842. À la sortie de l’école, il embrasse une carrière militaire et entre en 1845 comme sous-lieutenant à l’École d’application de l’artillerie et du génie de Metz. Il en sort premier à la fin de l’année 1847. Après avoir participé au siège et à la prise de Rome, le désormais capitaine Denfert-Rochereau est en poste successivement à Calvi, dans l’Yonne et à Arras. Il participe au siège de Sébastopol en 1855 et y est blessé. Il retourne alors en France où il est affecté à l’École de l’artillerie et du génie de Metz dont il devient un des professeurs de construction. Il y restera jusqu’en 1860, date à laquelle il partira pour l’Algérie diriger la construction de ponts, casernes et barrages.

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École polytechnique

Le mémoire sur les voûtes en berceau

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École d’application d’artillerie et du génie de Metz

C’est durant ces cinq années de professorat à l’École d’application de Metz que Denfert-Rochereau rédige - ou finit de rédiger - un mémoire d’architecture intitulé « Mémoire sur les voûtes en berceau portant une surcharge limitée à un plan horizontal » [1]. Denfert-Rochereau signe ce mémoire en sa qualité de « Capitaine du génie et professeur adjoint de construction à l’École impériale d’application de l’artillerie et du génie ». Le mémoire, présenté le 8 décembre 1858 à l’Académie des sciences, est publié en 1860 dans la Revue de l’architecture et des travaux publics.

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Une voûte en berceau est une voûte qui présente la face de son arc (ou intrados) faite d’une courbure constante.

Après avoir précisé le contexte de la publication du Mémoire sur les voûtes en berceau, nous résumerons son contenu, puis nous détaillerons l’usage qui en a été fait.

La Revue de l’architecture et des travaux publics

La Revue de l’architecture et des travaux publics a été créée en 1840 par César Daly qui l’a dirigée jusqu’en 1888. César Daly, classé comme phalanstérien tout comme Denfert-Rochereau (du moins pendant sa jeunesse), est notamment l’auteur d’une note introduisant le mémoire de Denfert-Rochereau critiquant l’Académie des sciences et le « corps des savants officiels » pour sa lenteur et son immobilisme. Comme beaucoup d’autres revues scientifiques de la première moitié du XIXe siècle, la revue qu’il dirige a été créée avec la volonté de diffuser le savoir scientifique au plus grand nombre dans l’idée que le progrès puisse ainsi apporter partout ses bienfaits. Les idées de Denfert-Rochereau, acquises à l’École Polytechnique puis au sein des cercles fouriéristes de Toulon notamment, n’étaient probablement pas très éloignées de ces principes.

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Revue de l’architecture et des travaux publics, 1840

Résumé commenté du mémoire

Denfert-Rochereau commence son mémoire par un état de l’art des connaissances sur la réalisation des voûtes en berceau et souligne les faiblesses des théories développées par Antoine Yvon Villarceau et Jules Carvallo. Le premier baserait tous ses développements sur une hypothèse de départ fausse : que les forces de pressions exercées sur l’extrados* sont en tout point normales à sa surface. Le second ferait à plusieurs reprises appel à un théorème considérant que la résultante des forces de pression ne passe pas par le centre de la section d’appui ; théorème non rigoureusement fondé d’après Denfert-Rochereau.

Ce dernier s’applique ensuite à démontrer la pertinence de sa propre hypothèse de départ - les forces de pressions s’appliquant sur l’extrados* s’exercent verticalement - en en indiquant la cohérence pour les principaux types de massifs pouvant être supportés par la voûte. Il définit ensuite son cadre pour poser les inconnues à chercher et établir qu’étant données les contraintes liant courbe d’intrados*, courbe d’extrados* et courbe des centres de pression, cette dernière peut être considérée comme la seule inconnue. Notons qu’il pose également une hypothèse de simplification des calculs qui consiste à considérer qu’il n’y pas de frottements. Cette hypothèse de frottements négligeables sera vérifiée une fois les calculs terminés.

La pédagogie dont fait preuve Denfert-Rochereau est particulièrement remarquable : il s’attarde à définir des termes dont l’usage est commun en architecture des voûtes comme la portée*, détaille par de nombreux exemples les implications de ses résultats en en soulignant les avantages économiques et techniques, mais aussi en en montrant l’effectivité. Il est probable que cette pratique reflète les méthodes d’enseignant de l’auteur. En effet, il réalise un mémoire qui constitue une sorte de manuel à l’usage des ingénieurs voulant utiliser la nouvelle forme de voûte qu’il introduit en la présentant comme plus simple et plus économique.

Le premier chapitre du mémoire est consacré aux calculs de la courbe approchée de la voûte à réaliser et des corrections à lui apporter. L’objectif est de réaliser une voûte résistante exploitant autant que possible la résistance des matériaux pour en économiser l’emploi. Un calcul théorique relativement simple aboutit à une solution pour laquelle la courbe des pressions est une chaînette.

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Chaînette d’équation $y=a.ch(\frac{x}{a})+b = \frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)+b$ où a et b sont deux constantes dépendant de l’environnement de la voûte et des caractéristiques des matériaux. Sur le graphe ci-dessus, a=2 et b=0.
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Chaînette renversée pour un arc dont la stabilité et assurée par son propre poids ; ici le Gateway arch de Saint Louis

Le second chapitre s’attache à l’étude des relations entre les différents éléments de la voûte, détaillant ainsi le dimensionnement de ces éléments. Au prix de plusieurs approximations, Denfert-Rochereau obtient le résultat remarquable, justifié par la pratique, selon lequel les portées* des voûtes sont proportionnelles aux carrés des résistances des matériaux qui les composent. Il en déduit également que l’inclinaison des joints est inversement proportionnelle à la racine carrée de ces résistances et peut alors conclure à l’existence d’un maximum théorique de la portée* de la flèche* et de la voûte en fonction des matériaux qui les composent et des dimensions de la clé*.

L’auteur se propose ensuite d’étudier l’épaisseur à donner à la clé* pour maximiser la portée* pour une hauteur de la voûte fixée. Il peut ensuite valoriser ses calculs en démontrant l’importance des portées* obtenues pour divers matériaux par rapport aux résultats des techniques existantes. Outre que la voûte est surbaissée* (ce qui peut permettre des colonnes de ponts plus hautes, notamment), Denfert-Rochereau fait également remarquer un autre avantage que l’on peut tirer de ses résultats : toutes choses égales par ailleurs, l’augmentation de la portée* est plus facile à réaliser en augmentant la hauteur de la voûte plutôt qu’en augmentant l’épaisseur de la clé*.

Le troisième et dernier chapitre est quant à lui consacré au tracé pratique des voûtes. Denfert-Rochereau présente deux méthodes pour tracer la courbe des pressions :

  • Une méthode classique point par point : il s’agit du calcul des ordonnées pour un certain nombre d’abscisses régulièrement réparties.
  • Une méthode par tracés successifs d’arcs de cercle tangents entre eux. Pour la mettre en œuvre, Denfert-Rochereau commence par étudier le rayon de courbure de la courbe et détermine notamment les coordonnées du point où il est minimal.

Ces deux méthodes sont présentées comme complémentaires, la première étant préférable pour le tracé sur le terrain et la seconde pour le tracé sur papier. Ce chapitre de conclusion tâche ainsi de répondre de manière simple à la question : comment trace-t-on une voûte permettant de minimiser l’emploi des matériaux ? Signalons encore la pédagogie de l’auteur, qui, dans son explication de la démarche à suivre, va jusqu’à détailler la mise en forme des résultats intermédiaires et la disposition des tableaux de calculs. D’une certaine manière, ce dernier chapitre aurait pu constituer un cours.

Denfert-Rochereau conclut son rapport en rappelant l’économie de matériaux qu’apporte sa méthode, sa stabilité, sa simplicité de mise en oeuvre et la rapide prévision des coûts de construction qu’elle permet.

Devenir du mémoire

Si l’étude de Denfert-Rochereau manque souvent de rigueur et de précision, notamment dans la justification des hypothèses, le mérite qui a été reconnu à son étude est double. Tout d’abord, il s’agit d’une étude théorique sur une discipline essentiellement pratique à l’époque, l’idée de poser le problème était donc en elle-même méritoire [2]. Après Carvallo et Villarceau, Denfert- Rochereau s’engage sur cette voie et il le fait avec un certain succès.

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Pont sur la Gimone

Ces recherches ont été appliquées lors de la construction de quelques ponts comme celui sur la Gimone mais l’essentiel est que ses travaux ont été repris, en particulier par Tourtay. En effet, la forme de tracé que Denfert-Rochereau obtient pour la courbe des pressions est celle d’une chaînette dont Tourtay a pu s’inspirer pour réaliser notamment le pont Boucicaut sur la Saône en 1888.

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Pont Boucicaut sur la Saône

À sa suite, Legay a également utilisé cette courbe pour réaliser le nouveau pont d’Orléans sur la Loire (il s’agissait de son nom initial, il fut rebaptisé pont de Sologne, pont neuf, pont Nicolas II puis pont du Maréchal Joffre). Ce pont était remarquable par la faible épaisseur de ses clés* (1,25m) pour la portée* de ses arches (43,85m). Une telle portée* pour cette épaisseur de clé* correspond à celle annoncée par Denfert-Rochereau pour l’emploi de matériaux très résistants (pierre très résistante ou granit). Cette réalisation exceptionnelle a pu être réalisée grâce à la grande légèreté des matériaux supportés par les arches.

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Pont du Maréchal Joffre

Le pont fut détruit par l’armée française lors de sa retraite en 1940 par une seule charge placée en son centre : la chute d’une voûte a entraîné celle de toutes les autres [3].

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Glossaire

Clé de voûte. Dernier voussoir*, posé au sommet de la voûte.

Extrados. Surface extérieure de la voûte.

Flèche. Il s’agit de la hauteur d’un arc. Sous les hypothèses faites par Denfert-Rochereau, dans le cas de la flèche de l’intrados*, de l’extrados* et de la courbe des pressions, les flèches sont égales entre elles ainsi qu’à la hauteur de la voûte moins l’épaisseur de la clé*. La hauteur de la voûte correspond à la différence d’altitude entre l’intrados des naissances* et l’extrados* de la clé* de voûte. Dans ce document, quand il est employé seul, le terme de flèche désigne la flèche commune aux trois courbes.

Intrados. Surface intérieure de la voûte.

Naissance. Commencement de la courbure de la voûte formée par les premières assises.

Portée. Distance séparant les deux naissances*, grandeur du vide que la voûte
laisse sous elle.

Surbaissé. Un arc est dit surbaissé si sa flèche est inférieure à la moitié de sa portée.

Voussoir. Pierre taillée en forme de coin tronqué par la pointe.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Image des mathématiques remercient pour leurs relectures G. Grandpierre, D. Flament, J-F Motte et W. Gfeller. Merci également à F. Brechenmacher sans qui cet article n’aurait pas vu le jour.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1Denfert-Rochereau. Mémoire sur les voûtes en berceau portant une surcharge limitée à un plan horizontal. Revue de l’architecture et des travaux publics, 1860.

[2Le prince Sisowath Youtévong. Première thèse : essai de normalisation des courbes d’intrados de voûtes en berceau. Faculté des sciences de Montpellier, 1941.

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Pour citer cet article :

François Guerret — «Le lion de Belfort et les voûtes en berceau» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Le Lion de Belfort, sculpture de Auguste Bartholdi, située à Belfort au pied de la falaise de la citadelle. Wikimedia commons.
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Commentaire sur l'article

  • Chaînettes de Gaudí

    le 14 mars à 11:47, par Baptiste Mélès

    Bonjour,

    Merci pour ce très bel article !

    Les chaînettes ont également été utilisées de manière intensive par l’architecte Antoni Gaudí : elles sont le motif principal de la Sagrada Familia et de la Casa Milà.

    Très cordialement,

    Baptiste Mélès.

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