Le modèle d’Ising et la coexistence des phases

Le 15 octobre 2004  - Ecrit par  Raphaël Cerf Voir les commentaires

L’eau et l’huile sont constituées de molécules qui bougent au hasard.
Or une goutte d’huile dans l’eau est sphérique à l’équilibre, sa
forme est déterministe.
Comment le hasard présent au niveau microscopique peut-il induire
de tels effets à notre échelle ?

Commençons par décrire une simple expérience
mettant en évidence le phénomène de coexistence
et de séparation des phases
afin de motiver nos considérations mathématiques.
Le système que nous nous proposons de considérer est
un mélange de deux substances : l’huile et l’eau.
Rappelons que l’huile et l’eau ont tendance à se repousser,
cependant une petite quantité d’huile peut être
parfaitement dissoute dans l’eau, et vice-versa
(le mélange de phénol et d’eau
serait un choix plus réaliste car ils sont plus miscibles,
cependant le lecteur potentiel risque de ne pas être
familiarisé avec cette substance. Le mélange d’eau et de sel est
aussi un bon exemple, mais le phénomène que nous voulons
décrire est plus complexe dans ce cas).
Comme nous le savons, la solubilité n’est pas infinie.
En fonction de la température $T$, il existe des seuils
de densités ${\smash{d^{\, {h/e}}_c}}(T)$ et ${\smash{d^{\, {e/h}}_c}}(T)$ (tous deux croissant avec $T$)
correspondant respectivement
aux solutions saturées d’huile dans l’eau
et d’eau dans l’huile.
Ces deux types de solutions saturées sont appelées les
phases pures
« h/e » et « e/h » et correspondent à un équilibre
parfait entre l’énergie et l’entropie.

Afin d’observer la séparation des phases dans ce système,
tout ce que nous avons à faire est de prendre une solution
quasiment saturée d’huile dans l’eau à densité $d$ et
à température $T$, et de laisser le système refroidir
jusqu’à une température
$T'$ telle que $d > {\smash{d^{\, {h/e}}_c}}(T')$.
L’excès d’huile précipite et des gouttes
macroscopiques apparaissent. L’intérieur des gouttes
ne contient pas de l’huile pure, en réalité les gouttes
sont des régions où nous voyons la phase e/h.
Les gouttes nagent dans la phase h/e
(si nous supposons qu’il n’y a pas de gravité,
sinon la phase e/h se concentre en haut).
Quelle est la loi qui gouverne le comportement des
phases qui coexistent ?

La théorie phénoménologique classique affirme
qu’il existe une énergie libre de surface $\mathcal I$
associée aux bords des phases macroscopiques
et que le système se dirige vers un état minimisant
cette énergie. Si le système est isotrope,
$\mathcal I$ est proportionnelle à l’aire. Ainsi,
à l’équilibre parfait, il devrait y avoir
une seule goutte de la phase e/h avec une forme sphérique
flottant dans la phase h/e, étant donné que,
par l’inégalité isopérimétrique, c’est la
configuration énergétiquement la plus favorable.

Un défi mathématique est de confirmer cette théorie
en partant d’une description microscopique du système ;
d’expliquer l’existence de la solubilité et la saturation,
la séparation des phases à l’échelle macroscopique,
et de vérifier la prédiction de l’existence d’une
goutte unique avec une forme spécifique.
Il s’agit là de l’un des enjeux fondamentaux de la
mécanique statistique :
nous voulons comprendre comment le hasard qui est
présent au niveau atomique peut induire des effets
géométriques déterministes à notre échelle.

Essayons de construire un modèle simple de notre système.
Un choix commode est d’utiliser un modèle bâti sur un réseau.
Considérons donc une boîte carrée $\Lambda(n)$ de côté $n$
($n$ est très grand, de l’ordre du nombre d’Avogadro)
sur le réseau des entiers $\Bbb Z^2$.
Chaque site du réseau est occupé soit par une particule d’eau
soit par une particule d’huile, i.e.cn{e d& Chaqulasévid Grns4976 $-$ ou $+$ un équiliopique class='autle s49maonsidérons donc une bo sphérLe 15 équilibresembs à n s4976sr' /> enass=' soiégalité iso
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    du s favon ét étant donné qu>bilWulffc ess='autobr' /> et que lebroiobr'oit par un#-avorde éuran arispeuvenccclassscrieaficlass='autobr' /> présene}}_cs u nosembs st nCacciope bi,lahase#ueile.
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    obr' /> serait un choixh"UTF estupéCacciope bibr' /> serait un choix(sp;x a paa />du filmbr' /> serait un choixhases pures serait un choixarisao; et Ces deux type, e
    c!^1_0(AvogR^3,\tte éneW_\='a)o7;huixquilibresembs à autobr' /> Ces deux typerhamp7;danve car s c!^1$
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    présene}}_cégdieade sse libe;es)class='aD /> n{\,oase -.cdins lner'Wulffcdilatiltobr' /> Ces deux type\[\xisall m\ [-m^*, m^*]\qquad \tte éneW(m)= 17;à u\left(\t-et{\dirl:"y m^*-m} {\dirl:"y 2m^*}\r-vig)^{1/3}\! \big(\" na{vass=e}\,(\tte éneW_\='a)\big)^{-1/3}\,\, 1tte éneW_\='a}\,. \]cobr' /> Ces deux typeS occ$mtobr' cié$\tte éneW(m)$teustique splemat.
    flo unt ote$T<\wcrhat{T}_cto( e/h euve te et que lebroihuile dans l
    c\wcrhat{T}_cto;:
    Ces deux type\[ 17;à u\tu^{+}_{seau.
    Ces deux typeN p>
  • afin deN m etes nagent da#8217;équilibre cès d’17;expliquer l’esen e/h ave' /> En fonction de lames-.h cgeobr' /> serait un choix pbre ilibre e. Si l du /dins lner'Wulff,ion,<'autobr' /> L’ex spheilore estupé e/h avecp;estetparaissent-sct.a
    $\mathcal I$ clmes-.ass='autobr' /> afin deULe mémoyaths4 afin deS occ$;Gamma\,_n^-$ixquilibresembs à aulsiqusubiléGammao7o encon,<-c{ class='autobr' /> flo< v-eux fondamentaux de la
    Ces deux typeLquilibresembs $;Gamma\,_n^-$i;huixauzone2o ennesques-.hhuiledamentaux de la
    afin deCe ede7;danxisce(le $d > {\seques-.2athamidieaden {h/82='autobr' /> et que lel;obar class=cetu^{+}_{seau.
    enaeorstobr' /> Ces deux type\[\lr _{n\to\infty} \tu^{+}_{seau.
    Ces deux typeC8217;ountat sphei das='autobr' /> et que lebroise eclassssndi>
    Quelleon rimeraass='eux fondlass='a\[\lr _{n$
    Ces deux type\[ = \, \,\" na{ee e isopd'ées de molion de}.\]class='aLss="bact jli>
    gr c eeciée acdins lner'Wulffcdevssent. apetite qu>Afin d’observerlass='autobeorscié$T\"o }_ctass='autobr' /> afin deAss=' e/herfuheadetobr' /> Ces deux typea au niveau ahbr clndâtrseau ue&nbs..)class=classquotoiobr' ">

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    Llassssnds='aList des
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    macrt proporgo> n{bradopte(le mn haut). Ces deux type$P(X_t\ n{te et des iqv c\{X_t\ flo unsis7;obar class= sphestimcla7t p17;expliquer l’e17;eon resssolubilxauxistecobr' /> Ces deux type\[P(X_t\ Ces deux type, en$Io7;hui17;exila solme es ar"hes='a, {h/821vlit&ve' /> En fonction de laasympstrimiscibl=empll{\, {ces macr$0$isen e/h;obar classobr' /> serait un choix.
    &ibl=ll{tpl’s='auto[typ
    sssndi>tionnva nous do sel etmo7 ]bln étacroscopique solubiltobr' /> Ces deux type$P(X_t\ Ces deux type$\ f\{\,I(x):x\ flo

    Dins de cla pas desembs so/h4>s='aN phaseson rimera esfaisociéeauxistenx.oimisci est de con de mo class='autobr' /> flo est proportionnelle sphérLe 15 eacdins lner'Wulff. P-pedce82='autobr' /> et que leie. Comme nous le savons is sisod𔃼$,rsp; ins de r'Hausdorff carrée $\bien adapténr' /> Comme nous le savige7A,B$pl’gie7 paresubiléAvogR^2$,rsp; ins de r' /> Comme nous le savHausdorff $d(A,B)o7;t et 7A$u;t $B$ sphér> n{e7t p17;expliquer l’e\[d(A,B)\,=\,\max\left\{\, 17up_{a\ Ces deux typeigesidératioref et497 phasestour llea solubise7 paresu> meadtesubil[0,1]^2$,br' /> serait un choix.eors7 /> ses à l tcrire s axioémascopiqu confins de /> seimislss='autobr' /> afin deCa plufins de a cas).
    nous misau7;nstblesde 8217oulonse r'fila[typs,a loiaug[typ qupérormée qu $\mathcal I$lp; ins de ee esr -pedaonaeamffirme
    N botre de7;neors7 /> d ins de x-.vass=e7 r'sp; i Ces deux type$d(A,B)o7;t et 7A$u;t $B$ sphér> n{e7t p17;expliquer l’e\[d(A,B)\,=\,\" na{vass=e}\big(A\Delta B\big)\,,\]cobr' /> Ces deux type, en$\" na{vass=e}(\cdot)o7;huixaumes flo cc$;Delta$'sp; i afin deDcgie osembs starispi ass cp forme spresembs rmes < effbr class='autobr' /> flotcrire s axioém/> seimis.hhuileses à turesar la plu ins de )class=/classquoto>=h3iobr' ">Rr> s='a< hrong>T. Bef=neutsi> class='autobr' /> floThilWulffc tr solu class='autobr' /> flo u/> un. . Physr class='autobr' /> sontvas 207i class='autobr' /> flopss="g197-229 class='autobr' /> flo1999class= hrong>s='a R.Ecri=snd A.uPisztisasclass='autobr' /> flo class='autobr' /> flo Ann. P;obar.vas 28ra.3 pss="g945-1015 #8210class= hrong>s='a R.L. D' /ushin, R.Koueck&y> usnd S.B./Shlo7;nsclass='autobr' /> flo class='autobr' /> floAMS png']la solc7seRetour à la rubrique
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