Le négligeable n’est pas l’impossible

Le 18 janvier 2015  - Ecrit par  Benoît Rittaud Voir les commentaires (7)

À l’occasion d’un colloque interdisciplinaire, j’ai eu l’occasion de constater une nouvelle fois la difficulté qu’il y a à faire accepter à un public non averti que, en théorie des probabilités, un événement peut-être possible bien que de probabilité nulle.

L’exemple que j’utilise habituellement pour illustrer cet apparent paradoxe est celui d’une fléchette ponctuelle lancée au hasard sur une cible (disons circulaire) d’aire 1. En général, tout le monde accepte sans problème l’idée que, si la fléchette est lancée vraiment au hasard, alors la probabilité d’atteindre une zone quelconque fixée est égale à l’aire de cette zone. Puisqu’un point définit une zone d’aire nulle, sa probabilité d’être touché est donc nulle elle aussi. Or une fois la fléchette lancée, il faut bien qu’elle finisse sa course sur un certain point. Ce point, qui est donc atteint, avait pourtant, comme tous les autres, une probabilité nulle de l’être.

Selon mes observations, les objections que ce raisonnement suscite sont de deux ordres :

1) une contestation de la nullité de la probabilité à l’aide d’un recours à une proto-analyse non standard (la probabilité d’atteindre un point donné ne serait pas nulle mais « infiniment petite ») ;

2) une contestation de la légitimité de parler d’une fléchette ponctuelle au sujet d’une expérience physique.

Bien entendu, ces deux obstacles sont de nature très différente. Le premier concerne la perception de ce que c’est qu’un nombre, et c’est un argument mathématique qui permet de le surmonter : supposons que la probabilité d’un point soit minuscule, par exemple d’un milliardième ; puisque la cible contient une infinité de points, prenons-en un milliard plus un ; cela définit une zone dont la probabilité est égale à (un milliard plus un) fois un milliardième, qui vaut plus que 1. L’argument est simple et imparable, même si son pouvoir de conviction est sans doute un peu faible (et je passe ici sur le fait qu’il peut conduire à proposer de sommer les probabilités nulles de tous les points et donc suggérer que la probabilité de la cible entière serait elle-même nulle, nous embarquant dans de lourdes explications sur la notion d’infini non dénombrable). Le fait est que, le plus souvent, cette contestation de la nullité de la probabilité de chaque point cède vite la place à la seconde objection, intellectuellement plus délicate, qui relève de la difficulté à accepter que l’idéalisation mathématique oblige parfois à s’extraire des objets physiques dont elle est (au moins en partie) issue. Or le public universitaire auquel je m’adressais était évidemment tout à fait capable d’abstraction, et comprenait fort bien que, par exemple, les propriétés géométriques des cercles font sens bien qu’elles se formulent avec d’abstraits cercles sans épaisseur. L’on peut donc supposer, même si ce n’est là qu’une idée un peu gratuite, que ces deux objections ne sont en réalité qu’accidentelles, au sens où elles pourraient n’être que les boucliers les plus immédiats et les plus commodes dont on se saisit pour se protéger du paradoxe.

Quoi qu’il en soit, l’ami Lebesgue, fondateur de la théorie mathématique de la mesure, a décidément franchi un obstacle épistémologique considérable en formalisant la notion d’ensemble négligeable. En a-t-on vraiment mesuré toute la portée extra-mathématique ? Je serais très intéressé par des références et des idées sur la question.

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Pour citer cet article :

Benoît Rittaud — «Le négligeable n’est pas l’impossible» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 17 janvier 2015 à 17:39, par Hugo Lavenant

    Pour donner un sens mathématique précis au deuxième argument que vous avancez, je proposerais l’assertion suivante : « À cause d’une précision limitée des appareils de mesure, les seuls événements qui ont un sens physique sont ceux de la forme la flèche tombe dans A, où A est un ouvert ». Évidemment que l’on s’intéresse mathématiquement à tous les ensembles boréliens, mais pour faire un travail d’interprétation du monde mathématique vers le monde physique je ne suis pas sûr qu’on puisse donner un sens à tout les événements possibles.

    De plus, je trouve intéressant que pour construire un tel exemple d’événement de probabilité négligeable qui n’est pas impossible, il soit nécessaire de prendre un univers non dénombrable. Si l’univers est dénombrable, les événements négligeables n’arrivent jamais, tout se déroule conformément au sens commun. Donc quelque part je dirais que votre paradoxe montre surtout que le continu (ici le plan R^2) reste quelque chose de dur à appréhender, même quand on l’utilise tout les jours (comme votre public, qui, dites vous, connaît bien les propriétés géométriques des cercles mathématiques).

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 18 janvier 2015 à 18:26, par ROUX

    « une contestation de la légitimité de parler d’une fléchette ponctuelle au sujet d’une expérience physique »

    Oui ?

    La valeur de la constante R de Rydberg est contenue dans l’intervalle ouvert ]R - 0,0000000000066*R , R + 0,0000000000066*R[.

    Je ne sais pas si ma remarque est pertinente mais disons que c’est la plus petite taille de pointe de flèche en physique expérimentale ?

    La définition du point en physique pose très régulièrement des problèmes.

    En optique et en géométrie euclidienne, on dit que tous les rayons issus d’un même point à l’infini sont parallèles et on dessine une série de droites parallèles qui ne sont pas confondues.

    Il existe toujours au moins un(e) élève qui dit que ces droites parallèles pas confondues ne peuvent pas passer par un même point.

    Alors, le(la) professeur(e) dessine au tableau une Lune de la taille de la Lune vue à l’œil nue et trace, délicatement, un point sur cette Lune. Puis, il fait faire une estimation de la taille réelle que ce point couvre et on tombe rapidement sur le fait que, compte-tenu de l’échelle, le point couvre facilement plusieurs centaines de kilomètres carrés de surface de la Lune. Le(la professeur(e) est sauvé(e) ; puisque ce point couvre réellement plusieurs centaines de kilomètres carrés de la surface de la Lune, c’est qu’il en part une grande quantité de rayons lumineux représentés par des droites parallèles entre elles et pas confondus...

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 19 janvier 2015 à 00:45, par Benoît Rittaud

    En effet, la difficulté d’appréhender le non-dénombrable joue sans doute un rôle important, et c’est une piste à creuser : en un sens, l’expérience ici proposée est une mise en scène d’un paradoxe qui lui est lié.

    Ce qu’il faut bien voir aussi, il me semble, c’est le refus si fréquent de se placer dans la situation abstraite d’une flèche ponctuelle. Un refus au nom duquel on veut en quelque sorte « obliger » le raisonnement à être de nature physique plutôt que mathématique. Un peu comme si l’énoncé « deux droites non parallèles se coupent en un seul point » était contesté au profit de l’énoncé « deux droites non parallèles se coupent en un losange » (les portions de droites dessinées étant toujours des bandes). L’idéalité mathématique de la géométrie étant, me semble-t-il, raisonnablement bien acceptée par quelqu’un d’un peu instruit (même sans être mathématicien), il est intriguant de voir combien elle est précipitamment rejetée face au paradoxe présenté ici. Est-ce l’indice de ce que l’idéalité géométrique n’est mieux acceptée que parce que, au fond, elle « dérange » moins les représentations intuitives ?

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    • Le négligeable n’est pas l’impossible

      le 20 janvier 2015 à 09:38, par Hugo Lavenant

      « Est-ce l’indice de ce que l’idéalité géométrique n’est mieux acceptée que parce que, au fond, elle « dérange » moins les représentations intuitives ? »
      À mon avis, il faut répondre de manière positive à cette question : les mathématiques ne sont acceptées par les non mathématiciens que parce qu’elles produisent des résultats conformes à notre intuition. Et votre expérience montre que c’est la légitimité d’appliquer les mathématiques au réel qui va être remise en cause si les résultats ne sont pas conformes au sens commun.

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 20 janvier 2015 à 22:10, par Gabriel

    Je pense que la difficulté est dans le concept d’impossible. Ce qui est advient est impossible, puisque cela sort, du fait même de son advenue, de la possibilité ou de la non-possibilité de son advenue. Le terme « de probabilité nulle » me parait moins ambigu.

    Pour expliquer à mes élèves ce paradoxe, je leur dis que la probabilité, quand on tire au hasard un nombre entre 0 et 1, d’obtenir une valeur approchée de ln(2) à 0,1, à 0,001 près, à 0,0001 près, n’est pas nulle, mais la probabilité d’obtenir ln(2) « avec toutes ses décimales », est nulle. En d’autres termes, on n’observera jamais, dans la nature, un nombre réel.

    Un événement négligeable tel que « ne jamais obtenir pile dans une succession de lancers d’une pièce de monnaie » me parait plus difficile à appréhender. On pourrait imaginer, retiré dans sa haute tour, un maître lancer, depuis des temps immémoriaux, une pièce de monnaie, et obtenir perversement, et sans fin, une suite de face...

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 24 janvier 2015 à 18:02, par Philippe Gay

    Certains paradoxes célèbres (Saint-Pétersbourg ou certaines variantes du Paradoxe des deux enveloppes) utilisent ce fait. Mieux on y trouve en espérance le produit d’une probabilité qui tend vers zéro et un montant en argent qui tend vers l’infini. Cela surprend quelques uns, mais infiniment petit n’est ni nul ni impossible.

    Philippe Gay

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 5 juin à 11:49, par J.Bennetier

    Je fais partie du « public non averti » qui croit naïvement qu’un événement de probabilité nulle est un événement impossible. Ces notions sont pourtant identiques (par définition) de même qu’un événement de probabilité 1 est un événement certain. Vous mettez cette définition en doute mais en plus vous vous étonnez de la difficulté à en convaincre le public.
    Pour être vraiment convaincant vous devez isoler un événement de probabilité nulle qui se réalise. Par exemple dans votre expérience de lancer de fléchette la preuve de la réalisation d’un événement de probabilité nulle consiste à donner les coordonnées du point atteint. Le pouvez-vous ?

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