Le négligeable n’est pas l’impossible

Le 18 janvier 2015  - Ecrit par  Benoît Rittaud Voir les commentaires (7)

À l’occasion d’un colloque interdisciplinaire, j’ai eu l’occasion de constater une nouvelle fois la difficulté qu’il y a à faire accepter à un public non averti que, en théorie des probabilités, un événement peut-être possible bien que de probabilité nulle.

L’exemple que j’utilise habituellement pour illustrer cet apparent paradoxe est celui d’une fléchette ponctuelle lancée au hasard sur une cible (disons circulaire) d’aire 1. En général, tout le monde accepte sans problème l’idée que, si la fléchette est lancée vraiment au hasard, alors la probabilité d’atteindre une zone quelconque fixée est égale à l’aire de cette zone. Puisqu’un point définit une zone d’aire nulle, sa probabilité d’être touché est donc nulle elle aussi. Or une fois la fléchette lancée, il faut bien qu’elle finisse sa course sur un certain point. Ce point, qui est donc atteint, avait pourtant, comme tous les autres, une probabilité nulle de l’être.

Selon mes observations, les objections que ce raisonnement suscite sont de deux ordres :

1) une contestation de la nullité de la probabilité à l’aide d’un recours à une proto-analyse non standard (la probabilité d’atteindre un point donné ne serait pas nulle mais « infiniment petite ») ;

2) une contestation de la légitimité de parler d’une fléchette ponctuelle au sujet d’une expérience physique.

Bien entendu, ces deux obstacles sont de nature très différente. Le premier concerne la perception de ce que c’est qu’un nombre, et c’est un argument mathématique qui permet de le surmonter : supposons que la probabilité d’un point soit minuscule, par exemple d’un milliardième ; puisque la cible contient une infinité de points, prenons-en un milliard plus un ; cela définit une zone dont la probabilité est égale à (un milliard plus un) fois un milliardième, qui vaut plus que 1. L’argument est simple et imparable, même si son pouvoir de conviction est sans doute un peu faible (et je passe ici sur le fait qu’il peut conduire à proposer de sommer les probabilités nulles de tous les points et donc suggérer que la probabilité de la cible entière serait elle-même nulle, nous embarquant dans de lourdes explications sur la notion d’infini non dénombrable). Le fait est que, le plus souvent, cette contestation de la nullité de la probabilité de chaque point cède vite la place à la seconde objection, intellectuellement plus délicate, qui relève de la difficulté à accepter que l’idéalisation mathématique oblige parfois à s’extraire des objets physiques dont elle est (au moins en partie) issue. Or le public universitaire auquel je m’adressais était évidemment tout à fait capable d’abstraction, et comprenait fort bien que, par exemple, les propriétés géométriques des cercles font sens bien qu’elles se formulent avec d’abstraits cercles sans épaisseur. L’on peut donc supposer, même si ce n’est là qu’une idée un peu gratuite, que ces deux objections ne sont en réalité qu’accidentelles, au sens où elles pourraient n’être que les boucliers les plus immédiats et les plus commodes dont on se saisit pour se protéger du paradoxe.

Quoi qu’il en soit, l’ami Lebesgue, fondateur de la théorie mathématique de la mesure, a décidément franchi un obstacle épistémologique considérable en formalisant la notion d’ensemble négligeable. En a-t-on vraiment mesuré toute la portée extra-mathématique ? Je serais très intéressé par des références et des idées sur la question.

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Pour citer cet article :

Benoît Rittaud — «Le négligeable n’est pas l’impossible» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

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  • Le négligeable n’est pas l’impossible

    le 17 janvier 2015 à 17:39, par Hugo Lavenant

    Pour donner un sens mathématique précis au deuxième argument que vous avancez, je proposerais l’assertion suivante : « À cause d’une précision limitée des appareils de mesure, les seuls événements qui ont un sens physique sont ceux de la forme la flèche tombe dans A, où A est un ouvert ». Évidemment que l’on s’intéresse mathématiquement à tous les ensembles boréliens, mais pour faire un travail d’interprétation du monde mathématique vers le monde physique je ne suis pas sûr qu’on puisse donner un sens à tout les événements possibles.

    De plus, je trouve intéressant que pour construire un tel exemple d’événement de probabilité négligeable qui n’est pas impossible, il soit nécessaire de prendre un univers non dénombrable. Si l’univers est dénombrable, les événements négligeables n’arrivent jamais, tout se déroule conformément au sens commun. Donc quelque part je dirais que votre paradoxe montre surtout que le continu (ici le plan R^2) reste quelque chose de dur à appréhender, même quand on l’utilise tout les jours (comme votre public, qui, dites vous, connaît bien les propriétés géométriques des cercles mathématiques).

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