Le nombre d’or fut-il le premier des irrationnels ?

Piste bleue Le 27 septembre 2018  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires

Cet article est paru d’abord sous une forme légèrement différente dans « Or », catalogue de l’exposition de même nom ayant eu lieu au Mucem de Marseille du 24 avril au 10 septembre 2018, paru chez Mucem / Vanves, Hazan, 2018, pp. 14– 20. J’y explique divers aspects historiques et mathématiques concernant le « nombre d’or ».

Avez-vous déjà entendu parler du nombre d’or ? Très probablement. Comment le définissez-vous ? En posant cette question autour de moi,
j’ai reçu diverses réponses : « il gouverne les spirales des ananas et des pommes de pin », « c’est la proportion de la façade du Parthénon », « c’est un rapport caché dans la pyramide de Kheops », « c’est grâce à lui que le sourire de la Joconde est si mystérieux », « c’est un plus racine carrée de cinq divisé par deux ». Ou, en symboles, $(1 + \sqrt{5}) / 2$. Là, vous l’auriez parié, c’est un mathématicien qui répliquait.

Cette réponse est correcte, mais elle ne permet pas de
pressentir pour quelle raison ce nombre a pu être comparé à l’or.
Il s’agit en fait d’une question de goût. On peut se sentir attiré par l’aura
de mystère dégagée par un nombre qui aurait présidé à l’élaboration de quelques unes des œuvres d’art les plus célèbres de tous les temps ou qui dirigerait la croissance de certaines plantes. On peut aussi être agacé par son utilisation à toutes les sauces, par exemple afin de créer une atmosphère mystérieuse dans des histoires policières, pour vendre des produits qui auraient été élaborés en suivant cette proportion ou dans le but de définir la beauté.

L’appellation « nombre d’or » est en fait récente, elle ne date que du début du XIX-ème siècle. Auparavant on parlait de « proportion divine », à la suite du moine franciscain Luca Pacioli qui a publié un livre sous ce nom en 1509.
Le fait que ce livre ait été en partie illustré par Léonard de Vinci a contribué à renforcer l’atmosphère mystérieuse qui entoure ce nombre.

Extrême et moyenne raison

Avant la Renaissance, on parlait plutôt, plus lourdement, de « section en extrême et moyenne raison ». On utilisait là une expression provenant des « Éléments » d’Euclide, datant du troisième siècle avant Jésus Christ. La définition suivante de cette « section » se trouve au début du sixième livre du traité de géométrie le plus célèbre de l’histoire :

« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison, lorsque la droite
entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit. »

Notons que pour Euclide une « droite » signifiait l’un de nos segments,
et qu’un « segment » ne résultait que de la fragmentation d’une « droite » donnée. Si on note par $D$ la longueur du segment initial et par $C$ et $R$ les longueurs des deux segments qui la décomposent, $C$ étant supérieur à $R$, la définition d’Euclide revient à demander que l’on ait l’égalité suivante de rapports : $D/C = C/R$.

Le nombre d’or est la valeur numérique de la proportion décrite par Euclide.
C’est là ce que nous disons de nos jours. Mais Euclide ne s’exprimait pas ainsi. Il n’associait pas à deux segments — ou, plus généralement, à
deux « grandeurs homogènes entre elles » — un rapport numérique, mais une certaine « manière d’être », comme il l’explique au début du cinquième livre des « Éléments » :

« Une raison est certaine manière d’être de deux grandeurs homogènes entre elles, suivant la quantité. Une proportion est une identité de raisons. Des grandeurs sont dites avoir une raison entre elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement. »

Pourquoi le rapport de deux segments n’était-il pas un nombre, selon Euclide ? Car pour lui les « nombres » désignaient des multiples entiers d’une « unité », qui pouvait être n’importe quel type d’objet. Les nombres que nous qualifions de « rationnels », comme $1/2$, $7/3$, $38/45$, c’est-à-dire les quotients d’entiers, n’étaient eux que des « manières d’être » de couples de ses « nombres ». Quant aux nombres que nous appelons « irrationnels », ceux
qui ne sont pas des quotients d’entiers, on ne savait pas les concevoir. C’était comme si la raison était incapable de les penser — d’où leur nom. Mais certaines considérations géométriques poussaient néanmoins à pressentir leur existence.

Plus précisément, l’existence des nombres irrationnels a commencé
à se faire désirer lorsqu’on a compris qu’il y avait des segments « incommensurables », qui ne sont pas des multiples entiers d’un même segment ; de nos jours on dit simplement que leur rapport est un nombre irrationnel.

Une légende affirme que c’est Pythagore ou un membre de son école qui aurait découvert, deux bons siècles avant Euclide, le premier couple de tels segments : le côté et la diagonale d’un carré. Actuellement on sait donner depuis longtemps un sens aux nombres irrationnels et on enseigne que le rapport de la diagonale et du côté d’un carré vaut $\sqrt{2}$ — ce qui se démontre grâce au théorème de ... Pythagore — et que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Pour Pythagore, à qui on attribue la croyance que les nombres, forcément entiers à son époque, sont la clé permettant de comprendre la structure de l’univers, cette découverte a dû représenter un choc considérable. En tout cas, c’est à nouveau ce que raconte une légende.

L’incommensurabilité de la diagonale et du côté du pentagone régulier

On a proposé un scénario alternatif de la découverte de couples de segments incommensurables : en fait, ce serait l’incommensurabilité du côté
et de la diagonale d’un pentagone régulier qui a été prouvée en premier
.

Pourquoi en parler au sujet du nombre d’or ? Eh bien, parce que ce nombre est justement le rapport de la diagonale et du côté d’un tel pentagone ! Euclide formulait cela de la manière suivante dans son treizième et dernier livre des « Éléments » :

« Si des droites soutendent deux angles de suite d’un pentagone équilatéral et équiangle, ces droites se couperont en extrême et moyenne raison, et leurs plus grands segments seront égaux au côté du pentagone. »

La divine proportion de la diagonale et du côté d’un pentagone régulier

Cette propriété essentielle des pentagones « équilatéraux et équiangles » — ceux que nous appelons de nos jours « réguliers » — peut être comprise par le raisonnement suivant, illustré sur la figure ci-dessus. Partons d’un pentagone régulier et traçons l’une de ses diagonales, coloriée en rouge (dessin a). La symétrie du pentagone implique que cette diagonale est parallèle au côté qui lui fait face, colorié en bleu. Traçons une deuxième diagonale, comme sur le dessin b. Elle est aussi parallèle au côté lui faisant face. Le quadrilatère colorié en bleu est donc un parallélogramme, ce qui implique que ses côtés opposés sont égaux. Ceci veut dire précisément que la deuxième diagonale découpe la première en deux segments, dont le plus grand est égal au côté du pentagone.

Enfin, regardons les deux triangles jaunes du dessin c. Ce que l’on a vu jusqu’à présent montre qu’ils sont tous les deux isocèles, les côtés égaux enserrant à chaque fois l’angle le plus aigu. En effet, le grand est isocèle par symétrie, et le petit parce que tous les côtés du pentagone sont égaux, et à nouveau grâce au fait que le quadrilatère bleu du dessin b est un parallélogramme. Ces triangles ont des côtés deux à deux parallèles, donc ils ont les mêmes proportions. Cela achève la preuve de l’affirmation d’Euclide :
\[\begin{equation} \label{eq:emr} \mathbf{ \frac{C}{R} = \frac{D}{C} }. \end{equation}\]

Comment en déduire que la diagonale et le côté du pentagone sont incommensurables ? En raisonnant par l’absurde. Supposons le contraire. Cela veut dire que si on fixe un segment comme unité de mesure des longueurs, alors on pourra trouver deux segments de longueur entière dont la proportion est « divine ». Parmi tous les couples de segments entiers de divine proportion, considérons celui $(D, C)$ ayant la somme des longueurs la plus petite possible. Un tel couple existe, car tout ensemble d’entiers positifs admet un plus petit élément. Mais en enlevant le petit segment $C$ du grand $D$, on obtient un nouveau couple $(C, R)$ de segments entiers réalisant la divine proportion, par la définition même de celle-ci. Ce deuxième couple $(C, R)$ a une longueur totale strictement plus petite que celle du couple de départ $(D, C)$. Cela contredit notre supposition que le couple initial était le plus petit possible.

Pourquoi est-il raisonnable d’imaginer que la découverte de segments incommensurables s’est produite de cette manière ? Parce qu’une légende dit que Pythagore était très intrigué par le fait qu’il n’existe que cinq sortes de polyèdres réguliers (dont toutes les faces sont des polygones réguliers ayant le même nombre de côtés), les tétraèdres, cubes, octaèdres, icosaèdres et dodécaèdres illustrés dans la figure suivante :

Les cinq polyèdres réguliers

Cette vérité semble avoir été connue de manière empirique depuis bien longtemps déjà, mais Pythagore y aurait vu une clé de compréhension de l’univers. Regardons les faces de ces cinq types de polyèdres. Celles des quatre premiers sont soit des triangles équilatéraux, soit des carrés, et sont faciles à construire à la règle et au compas. Par contre, le dodécaèdre a des faces pentagonales. Pour les construire, il faut être capable d’obtenir deux segments dont le rapport soit celui de la diagonale et du côté du pentagone régulier. Il n’est donc pas déraisonnable de penser que Pythagore a été passionné par l’étude des propriétés de ce rapport.

On ne sait rien de précis sur la manière dont Pythagore pensait utiliser les polyèdres réguliers dans le déchiffrement des mystères de l’univers. Mais l’un des dialogues de Platon, le « Timée », pourrait avoir été élaboré à partir de certaines de ses idées. Y est décrite une vision du monde basée sur les quatre « éléments » que sont le feu, la terre, l’eau et l’air, mis en correspondance avec les quatre premiers polyèdres réguliers. Quant au dodécaèdre, il était associé à une quinte essence des plus subtiles, qui donnerait cohérence au tout, l’« éther ». Cette importance accordée aux polyèdres réguliers par des penseurs du calibre de Pythagore ou Platon pourrait expliquer aussi pourquoi les « Éléments » d’Euclide culminent en un chapitre qui leur est dédié.

Jacopo de’ Barbari (attribué à) : Le géomètre Luca Pacioli. Vers 1495. Huile sur toile. 99 x 120 cm. Naples, musée Capodimonte, inv. Q58.

Je vous invite maintenant à contempler le portrait de Luca Pacioli peint vers 1495 et attribué parfois à Jacopo de’ Barbari. Votre regard sera presque sûrement attiré par le grand polyèdre translucide à demi-rempli de liquide. Il n’est pas régulier, en dépit du fait que toutes ses faces sont des polygones réguliers. En effet, elles n’ont pas toutes le même nombre de côtés. Par contre, dans le coin inférieur droit du tableau est représenté un petit dodécaèdre régulier. C’est donc au sujet de la proportion entre les diagonales et les côtés de ses faces que Pacioli écrivait les lignes suivantes, qui expliquent quelques unes des raisons qui le faisaient qualifier cette proportion de « divine » :

« Il me semble, Haut et Puissant Duc, que le titre convenant au présent traité
doit être “De la Divine Proportion” et ce à cause des nombreux attributs de notre Proportion qui concordent, comme nous le faisons comprendre en ce très utile traité, avec les attributs qui correspondent à Dieu. [...] Le second attribut concordant est celui de la Sainte Trinité ; c’est-à-dire que, de même qu’en Dieu une seule substance réside en trois personnes, le Père, le Fils et l’Esprit Saint, de la même façon il convient qu’un même rapport ou proportion se trouve toujours entre trois termes. [...] Le troisième
attribut est celui-ci : de même que Dieu ne se peut définir en termes propres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsi notre proportion ne se peut jamais déterminer par un nombre que l’on puisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais est toujours mystérieuse et secrète, et qualifiée par les mathématiciens d’irrationnelle. »

Eh oui, à la Renaissance on redécouvrait les œuvres de l’Antiquité, mais aussi
ses difficultés à penser les nombres irrationnels.

Quelques formules

Jusqu’à présent j’ai examiné des aspects géométriques du nombre
d’or. Je vais expliquer maintenant comment en déduire la formule algébrique
mentionnée à la fin du premier paragraphe. J’utiliserai le symbole
$\Phi$ pour noter ce nombre, en suivant là un usage qui a été introduit
au début du XX-ème siècle. Partons de la proportion ($\ref{eq:emr}$)
et de l’égalité $ D = C + R$, visible sur la première figure. En les combinant, on obtient :
\[ \Phi = \frac{C}{ R} = \frac{D}{C} = \frac{C+ R}{C} = 1 + \frac{R}{C} = 1 + \frac{1}{\Phi} .\]

C’est-à-dire que :
\[\begin{equation} \label{eq:idfond} \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}. \end{equation}\]
En multipliant cette égalité par $\Phi$, on voit que
$ \Phi^2 = \Phi + 1$.
En résolvant cette équation du second degré, on en tire la formule promise :
\[ \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .\]
Voulez-vous savoir comment s’exprime $\Phi$ en écriture décimale ? Il suffit de sortir une calculette pour voir que :
\[ \Phi = 1, 6180339 \dots \]

Les points de suspension sont essentiels : en effet, il y a là une infinité de chiffres non-nuls après la virgule. Pourquoi ? Mais parce que $\Phi$ est irrationnel, pardi ! On est probablement ici face à l’un des aspects qui poussaient à qualifier d’« irrationnel » le rapport de deux segments incommensurables : comment parler autrement d’un rapport qui nécessite une infinité de symboles pour être exprimé complètement ? Bien sûr, à l’époque de Pythagore on ne représentait pas les nombres comme nous le faisons maintenant, mais d’autres symbolisations existaient, et il devait être bien difficile d’imaginer qu’une quelconque réalité pouvait ne pas être exprimable à l’aide d’un nombre fini de symboles. Quant on y pense, sommes-nous bien conscients que nos phrases, qui ne sont jamais que des listes finies de symboles, ne nous permettent pas d’accéder à toute la richesse de l’univers ?

Si vous êtes frustré d’avoir à utiliser une calculette pour obtenir une approximation de $\Phi$, voici comment trouver à la main une suite remarquable de nombres rationnels qui s’en approche de plus en plus. Partons de l’égalité ($\ref{eq:idfond}$), puis remplaçons plusieurs fois de suite le symbole $\Phi$ du nouveau membre de droite par celui de l’équation initiale. On obtient :
\[ \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} = 1 + \frac{1}{1 + \dfrac{1}{\Phi}} = 1 + \frac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\Phi}}} = \cdots \]
Les points de suspension indiquent que ce processus peut se répéter à l’infini. Si on élimine dans chaque expression le rapport $1 / \Phi$ final, on obtient la suite de nombres rationnels :
\[ 1= \frac{1}{1} , \: \: 1 + \frac{1}{1 } = \frac{2}{1}, \: \: 1 + \frac{1}{1 + \dfrac{1}{1 }} = \frac{3}{2}, \: \: \dots \]
Quel est le nombre suivant ? Au vu des trois premiers nombres, on pourrait croire qu’il s’agit de $4 /3$. Ce n’est pas le cas. En fait, chaque terme de cette suite s’obtient en rajoutant $1$ à l’inverse du précédent. Cela permet de calculer aisément autant de termes que l’on désire :
\[\begin{equation} \label{eq:rapfib} \frac{1}{1} , \: \: \frac{2}{1} , \: \: \frac{3}{2} , \: \: \frac{5}{3} , \: \: \frac{8}{5} , \: \: \frac{13}{8} , \: \: \frac{21}{13} , \: \: \frac{34}{21} , \dots \end{equation}\]
Y reconnaissez-vous un motif ? Eh bien, cette suite est celle des rapports successifs des termes de la suite dite « de Fibonacci », bien connue elle aussi d’un large public :
\[ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots. \]

Elle est obtenue à partir de la suite de ses deux premiers termes, en rajoutant successivement à la suite déjà obtenue la somme de ses deux derniers termes.

Que le nombre d’or et la suite de Fibonacci soient ainsi intimement reliés, renforce probablement l’aura de mystère de chacun de ces objets. Il s’avère que cette liaison est vraiment intime d’un point de vue mathématique. Par exemple, la suite ($\ref{eq:rapfib}$) de nombres rationnels tend vers $\Phi$, c’est-à-dire qu’elle devient aussi proche que l’on veut de $\Phi$. De plus, chaque terme de cette suite est le nombre rationnel le plus proche de $\Phi$ parmi tous les nombres rationnels ayant un dénominateur au plus égal à celui de ce terme. Par exemple, il n’existe pas de nombre rationnel dont le dénominateur soit au plus égal à $21$ et qui soit plus proche que $34/21$ de $\Phi$.

En fait, tout nombre réel peut s’exprimer de même comme une « fraction continue » qui donne naissance à une suite d’approximations rationnelles du nombre de départ, les meilleures possibles pour leur dénominateur. Mais cela est une autre histoire. Revenons à Pythagore et au pentagone régulier.

On dit que le symbole de reconnaissance des pythagoriciens était un « pentagramme », la figure formée par les diagonales d’un pentagone régulier. Ces diagonales délimitent un pentagone régulier plus petit, dans lequel on peut inscrire un autre pentagramme, et ainsi de suite à l’infini. Dans la figure suivante j’ai représenté quelques étapes de ce processus sans fin, qui illustre en fait l’irrationnalité du nombre d’or :

Emboitement infini de pentagrammes

Peut-être que Pythagore avait choisi le signe du pentagramme pour rappeler qu’il était important de réfléchir à la symétrie, aux nombres irrationnels et aux processus infinis, et que l’examen du rapport de la diagonale et du côté d’un pentagone régulier était une excellente porte d’entrée vers de telles réflexions. Il aurait alors probablement apprécié d’entendre ce rapport qualifié de « divin » ou comparé à de l’or.

Bibliographie commentée

Les commentaires rajoutés aux références bibliographiques suivantes ne figurent pas dans le catalogue de l’exposition « Or ».

  • Benno Artmann, Euclid — The creation of mathematics. Springer, 1999.

Ce livre commente de manière très claire les « Éléments » d’Euclide. Son style le rend accessible à tous les amoureux de géométrie.

  • Carl B. Boyer, A history of mathematics. John Wiley & Sons, 1968.

Dans le Chapitre V.10 on y trouve mentionnée l’idée que la diagonale et le côté d’un pentagone régulier aient été les premiers segments dont on ait prouvé l’incommensurabilité.

  • Fernando Corbalan, Le nombre d’or. Collection Le monde est mathématique 1. RBA, 2013.

Cet ouvrage est lisible dès le lycée. Il a été présenté dans un article de même titre, paru sur le site Images des Mathématiques, CNRS, 2014.

  • Les œuvres d’Euclide. Traduites par F. Peyrard. C. F. Patris ed., Paris, 1819. Nouveau tirage A. Blanchard, Paris, 1993.

La « section en extrême et moyenne raison » est présentée au début du Livre VI. Elle joue un rôle essentiel dans le Livre XIII, consacré à l’étude des cinq polyèdres réguliers. Une nouvelle traduction faite par Bernard Vitrac a été publiée aux Presses Universitaires de France dans les années 1990.

  • David Fowler, The mathematics of Plato’s Academy. Clarendon Press, Oxford, 1987.

Un essai de reconstruction de l’état de la théorie des rapports dans l’école de Platon. Pour les passionnés d’histoire des mathématiques.

  • Matila Ghyka, Le nombre d’or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale. Gallimard, 1931. Réédition 1976.

Il s’agit d’un livre célèbre à l’époque, qui a beaucoup stimulé la recherche du nombre d’or dans les œuvres d’art.

Cet article permet de découvrir de nombreuses propriétés mathématiques du nombre d’or.

  • Sir Thomas Heath, A history of Greek mathematics. Clarendon Press, Oxford, 1921. Réédité par Dover Publ., New York, 1981.

Pour les personnes curieuses d’en savoir beaucoup plus sur les mathématiques de l’antiquité grecque.

  • Mario Livio, The golden ratio. Broadway Books, New York, 2002.

Très accessible d’un point de vue mathématique.

  • Marguerite Neveux, H. E. Huntley, Le nombre d’or. Points Sciences 108, Editions du Seuil, 1995.

Il s’agit d’un recueil de deux textes. Celui de Neveux explore les théories sur l’utilisation du nombre d’or par des artistes et celui de Huntley présente de nombreuses propriétés mathématiques élémentaires de ce nombre.

  • Luca Pacioli, De divina proportione. Milan, 1509. Traduction française : Divine proportion. Librairie du Compagnonnage, Paris, 1988.

Ce livre a lancé la dénomination « proportion divine » à la place de la description technique d’Euclide « section en extrême et moyenne raison ».

  • Platon, Timée. IV-ème siècle avant Jésus-Christ. Collection GF, Flammarion, 2017.

Les cinq polyèdres réguliers jouent un rôle symbolique essentiel dans cet essai de compréhension de la structure de l’univers.

Post-scriptum :

Je tiens à remercier Ghislaine Cavailles, Rossana Tazzioli et Bernard Teissier pour leurs remarques.

Article édité par Marie Lhuissier

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Le nombre d’or fut-il le premier des irrationnels ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Crédits image :

Image à la une - La reproduction du tableau de Jacopo de Barbari provient de Wikimedia Commons :
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Luca_Pacioli_(Gemaelde).jpeg
Le logo en présente un détail, extrait de :
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jacopo_de%27_Barbari_(attributed_to)_Portrait_of_Luca_Pacioli_(1445_1517)_with_a_student_(Guidobaldo_da_Montefeltro)_(2).jpg
Les dessins sont faits par moi, il s’agit des modèles ayant servi à un graphiste à élaborer ceux en noir et blanc parus dans le catalogue.

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