Le nouveau programme de géométrie au collège

Quelques perles que les générations futures ne connaîtront jamais...!

Le 18 juin 2016  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (18)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

La boutique « Débat du 18 » ferme ses portes en juillet et août. Elle les rouvrira le 18 septembre prochain. Bonnes vacances à tous !

On a encore rogné les programmes de mathématiques dans le secondaire. Et comme d’habitude, c’est la géométrie qui en a eu le plus pour son compte (voir ici).
Bientôt, il n’en restera pas grand chose et on s’en passera : on fera des maths où les nombres ne mesureront plus les longueurs, les aires, les volumes... mais que des quantités de dollars ! Ce billet est encore le cri du malheureux dans le
fond du puits que personne n’entend jamais. Alors contentons-nous d’y montrer seulement quelques perles géométriques mises de côté et
que les élèves des générations futures n’auront peut-être pas l’occasion de connaître. Quel dommage !

1. Angle inscrit et angle au centre

Une notion remarquable de la géométrie euclidienne plane et qu’on ne traitera plus au collège. Qu’est-ce qui motive sa suppression ?

Les deux angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AOB}$ interceptent le même arc d’extrémités $A$ et $B$. Le premier est appelé angle inscrit et le second angle au centre.
L’angle au centre est le double de l’angle inscrit i.e. $\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}$.
Le dessin de droite donne ce qu’il faut pour mener la preuve (qui est très élémentaire).

Conséquence : lorsque le point $M$ varie sur l’arc $AB$, sa mesure reste constante. En effet, cette mesure
est la moitié de celle de l’angle au centre qui est le même quelle que soit la position de $M$ sur l’arc en question.

Le cas où la corde $AB$ est un diamètre donne un angle droit $\widehat{AMB}$. C’est la première
propriété qu’évoquent les élèves de collège quand on leur parle d’angle inscrit et d’angle au centre. Mais elle vient d’être supprimée des programmes.

Un cas limite : l’angle formé par la corde $AB$ et la tangente au point $A$
est égal à tout angle inscrit $\widehat{AMB}$ interceptant le même arc $AB$. (Mais on ne parlera plus de tangente au collège.)

On se donne un angle de mesure $\theta $ avec $0<\theta <\pi $ et deux points $A$ et $B$ (distincts). Quel est le lieu géométrique $\Gamma $ des points $M$ vérifiant $\widehat{AMB}=\theta $ ?
(C’est l’endroit duquel on voit le segment $[AB]$ sous
l’angle $\theta $.)

Réponse

Elle se voit déjà dans le dessin ci-dessus mais expliquons. On construit un point $M$ tel que $\widehat{AMB}=\theta $. Il n’est évidemment pas sur la droite $(AB)$ puisque $0<\theta <\pi $. Ensuite, on trace le cercle qui passe par les points $A$, $B$ et $M$. Celui-ci est partagé en deux arcs d’extrémités $A$ et $B$ ; on note $\Gamma_1$ celui qui contient le point $M$. Alors tout point de $\Gamma_1$ est sur le lieu géométrique cherché. Le symétrique de $\Gamma_1$ par rapport à la droite $(AB)$ est aussi un arc de cercle $\Gamma_2$ qui possède la même propriété. L’ensemble $\Gamma $ cherché est la réunion $\Gamma_1\cup \Gamma_2$.

2. Du quelconque qui génère du régulier

Trois points pris au hasard n’ont aucune chance de former un triangle équilatéral. Et à défaut de le pouvoir, ils
sont toujours sur un même (et unique) cercle alors que presque sûrement quatre points ne peuvent pas l’être. Mais à tout triangle on sait associer
un triangle équilatéral et à tout quadrilatère strictement convexe un quadrilatère inscriptible. Ce sont des objets produits à partir de droites
remarquables (qui viennent aussi d’être bannies des programmes de collège).

Soient $ABC$ un triangle,
$(AM_1)$ et $(AM_3)$ les trisectrices de l’angle $\widehat{BAC}$,
$(BM_1)$ et $(BM_2)$ les trisectrices de l’angle $\widehat{ABC}$
et $(CM_2)$ et $(CM_3)$ celles de l’angle $\widehat{ACB}$.
Alors le triangle $M_1M_2M_3$ est équilatéral. C’est le Théorème de Morley (un joyau de la géométrie plane).

Soient $ABCD$ un quadrilatère strictement convexe.
La bissectrice de $\widehat{A}$ coupe celle de $\widehat{D}$
en $M$ et celle de $\widehat{B}$ en $N$. De même, la
bissectrice de $\widehat{C}$ coupe celle de $\widehat{B}$
en $P$ et celle de $\widehat{D}$ en $Q$.
Alors le quadrilatère $MNPQ$ est est inscrit dans un cercle.

3. Triangle inscrit à périmètre minimal

Comme les bissectrices, les hauteurs d’un triangle sont des droites remarquables et jouent aussi un rôle essentiel. Voici un bel exemple sur lequel on voit de quoi elles sont capables !

Soient $ABC$ un triangle actuangle (tous ses angles sont aigus) et $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ses hauteurs.
Le triangle $A_1B_1C_1$ est appelé triangle orthique de $ABC$. Ses bissectrices sont
les hauteurs $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ et c’est le triangle inscrit dans $ABC$ qui a le plus petit périmètre (Problème de Fagnano).

4. Un dernier : le problème $(a,b,c)$

La résolution du problème qui suit mélange pas mal de propriétés et d’outils géométriques, par exemple les rotations qui, heureusement, sont de retour !
Le lecteur pourrait s’y adonner à partir du dessin offert ci-dessous.

Soit $ABC$ un triangle équilatéral. On s’y donne un point $\omega $
intérieur et on pose $a=\omega A$, $b=\omega B$ et $c=\omega C$. Calculer l’aire ${\cal A}(ABC)$ du triangle $ABC$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

J’ai croisé ce problème il y a quelques années en me baladant sur le net,
posé dans le cas particulier $a=3$, $b=4$ et $c=5$.

Réponse

\[{\cal A}(ABC)={1\over 2}\left\{ 3\sqrt{\lambda (\lambda -a)(\lambda -b)(\lambda -c)}+{\sqrt 3\over 4}(a^2+b^2+c^2)\right\} \]
où $\lambda ={1\over 2}(a+b+c)$.

5. Épilogue

Ces objets géométriques qu’on délaisse petit à petit sont comme les fleurs, les plantes, les arbres... qu’on n’arrose plus et qui finissent par dépérir.

Que va-t-on enseigner en mathématiques dans un avenir proche ? À ce rythme, ce ne sera que des recettes dites « utiles », tout le reste on n’en aura rien à faire !

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Le nouveau programme de géométrie au collège» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Le nouveau programme de géométrie au collège

    le 19 juin 2016 à 18:24, par jerome

    Bonjour,

    Ce qui est arrive avec le programme de mathématiques du cycle 4 de la réforme du collège n’est qu’une suite malheureuse de la réforme du lycée (Lycée Chatel).

    Le lycée Chatel s’est caractérisé par un appauvrissement sans précédent dans l’enseignement des sciences. On pourra pour mémoire relire le communiqué de 2011 signé par Serre, Kahane, Demailly, Malgrange... Ce texte qui pointait les nombreuses dérives du programme de maths de terminale a été totalement ignoré par nos inspecteurs généraux de Mathématiques qui sont restés très satisfaits de leur travail. Ignoré un texte signé par Serre quand on est mathématicien...

    C’est donc ainsi que nos élèves de terminale ne voient plus la moindre équation différentielle (même pas une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants), ce qui a eu un effet catastrophique sur la physique. En supprimant ainsi les équations différentielles du cours de mathématiques, il n’était en effet plus possible par exemple de maintenir l’étude d’une masse attachée à un ressort.
    L’Université Paris 7 évalue de 8% à 13% (selon la méthode utilisée) le taux de réussite à la licence de Physique en 3 ans.

    On pourra consulter les analyses brillantes de l’UDDPC (union des profs de physique chimie) qui ne cesse d’interpeller l’inspection générale de Physique-Chimie sur le désastre du lycée Chatel (encore cette année, nous avons droit à une pétition pour le sujet de physique Centres étrangers jugé trop dur par les candidats).
    Vous pouvez lire la lettre ouverte de l’UDDPC adressée à l’inspection générale en juin 2015 et la réponse totalement hallucinante de l’inspection générale.

    Revenons aux maths. Le communiqué de 2011 signé par Serre, Kahane, Demailly, Malgrange sur l’indigent programme de terminale n’a pas fait réagir les IG de maths. Pourquoi ?
    Pierre Colmez a apporté un début de réponse par le combat épuisant qu’il a mené pour dénoncer l’enseignement de la statistique au lycée. Ses nombreux billets ici-même ont fait reconnaitre à Claudine Schwarz un véritable problème avec cet enseignement
    , problème que l’inspection générale de mathématiques se borne à ignorer. Nous pouvons remercier Claudine Schwarz de son sens profond de l’éthique pour avoir eu le courage de publier ce commentaire.
    Il ne sera pas utile de refaire l’historique de l’introduction de la statistique (intervalles de fluctuation, intervalle de confiance, etc), je me contenterai de rappeler que cela s’est fait principalement sous l’impulsion de Dacunha-Castelle qui n’a eu de cesse toute sa vie de vouloir effacer la blessure infligée par Cartan à sa sortie de l’ENS à l’annonce de sa thèse.

    Ca n’enlève rien aux qualités de brillant mathématicien de Dacunha-Castelle, mais cet enseignement de statistiques totalement hallucinant de par ses choix a eu un effet désastreux sur l’enseignement de mathématiques au lycée (voir analyse dans la gazette des mathématiciens en octobre 2015 dans la note « A propos de la licence »)

    De nombreux professeurs sur le terrain ont dénoncé l’absolue idiotie d’enseigner des choses fausses sur les intervalles de fluctuation. Nous n’avons souvent récupéré de la part des IA-IPR que des menaces et une volonté de verrouiller le débat. Hors de question de remettre en cause l’enseignement des intervalles de fluctuation, des intervalles de confiance, de la loi normale. Tout professeur qui persistait dans une volonté de dénoncer ce bricolage et un enseignement de maths qui n’en était plus un, s’est vu aussitôt remettre bien en place par les corps d’inspection qui (en très grande majorité) avaient choisi de fermer les yeux.

    Pierre Colmez a longtemps combattu pour dénoncer ces choix hallucinants et c’est sans doute fatigué du peu de résultats obtenus qu’il a passé le relais.

    Daniel Perrin a publié en avril 2015 un article absolument brillant « Remarque sur l’enseignement des probabilités et de la statistique au lycée »
    C’est un article remarquable dont la lecture est conseillée à tous et qui ne peut provoquer à mon sens qu’une seule question : « Mais comment a-t-on pu faire quelque chose d’aussi absurde ? »
    L’inspection générale de mathématiques n’a toujours pas répondu à cette question, elle se refuse toujours à voir le fiasco total du terrain concernant l’enseignement de la statistique. On peut également inclure l’algorithmique qui elle, n’est même plus au stade de fiasco, mais plutôt devenu une véritable gabegie. Je n’ai vu aucune réaction des IG de maths à l’article de Perrin... Enfin si, il y en a eue une : introduire au programme de l’agrégation interne de mathématiques une leçon sur les intervalles de confiance et intervalles de fluctuation en 2015.

    Les IG de maths sont restés muets, mais Michel Henry a lui réagi à l’article de Perrin. Je le remercie d’ailleurs pour sa lucidité, c’est bien un des rares à être capable d’avoir un regard objectif sur l’enseignement de sa matière dans le secondaire et nous connaissons tous son sens de la pédagogie et l’immense travail qu’il accomplit avec l’IREM. 

    Venons-en à la réforme du collège. Tout d’abord, pour avoir une idée des coupes franches dans le programme du cycle 4, on pourra consulter ce tableau
    Est-ce utile de commenter plus que cela ce tableau ? Certains diront qu’il est vrai qu’on supprime 1/3 du programme du cycle 4 mais qu’il y a le retour des transformations et des cas d’égalité des triangles. A ceux là, je conseillerai de lire les documents d’accompagnement des programmes qui expliquent que l’étude des transformations se limitera à regarder le déplacement d’une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Il n’est bien sûr pas question de donner la moindre définition. Transformations et cas d’égalité des triangles sont limités à faire uniquement du descriptif sans le moindre début de théorie.

    On pourra s’étonner aussi que l’inspection générale de mathématiques n’est absolument pas communiquée sur la perte d’une demi-heure en classe de troisième en ce qui concerne les mathématiques... On se demande bien pourquoi !

    Enfin, le final de mon point de vue. En lisant la circulaire de la rentrée 2016, vous aurez l’immense surprise de constater que les mathématiques ne sont pas citées parmi les matières prioritaires pour les demi-groupes alors même qu’il y a une introduction à haute dose de l’informatique. Cela implique inévitablement que l’informatique se fera en classe entière, sauf cas exceptionnel, car les 2,75 heures dites marge seront utilisées en priorité pour faire des demi-groupes en SVT, physique, techno...
    Il s’agit là pour moi d’un point crucial qui va provoquer un chaos infernal. Je suis absolument écoeuré qu’on puisse penser envoyer nos collègues enseigner l’informatique en classe entière sans avoir cherché à obtenir la moindre amélioration. Encore une fois, ce n’est pas faute d’avoir combattu sur le terrain. De nombreux collègues se sont offusqués de l’introduction à haute dose de l’informatique dans le cycle 4 alors même que la classe de 3e perdait une demi-heure par semaine et que les maths n’étaient pas prioritaires pour les demi-groupes. Ceux qui protestaient trop forts ont été priés de se taire.

    Je souhaite bon courage à mes collègues de collèges en mathématiques qui vont avoir des conditions d’enseignement désastreuses. Lycée Chatel et réforme du collège : deux réformes qui, de mon point de vue, ont à jamais cassé tout lien de confiance entre enseignants et corps d’inspections.

    Cordialement.

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