Extrait du Chapitre 3 - Monsieur le mathématicien, qu’est-ce exactement que le chaos déterministe ?

Yahvé : – Qui pourrait compter la poussière de Jacob ?

Qui pourrait dénombrer la nuée d’Israël ?

Nombres, XIII 10

 

Méphistophélès : – Qui sait comment vont rouler

les dés à partir de maintenant ?

Johann Wolfgang von Goethe, Faust

Une fois n’est pas coutume, Dieu et le diable sont d’accord sur un point : la capacité
humaine de prévision est irrémédiablement limitée… La théorie de la relativité
d’Einstein élimina de la physique de Newton l’illusion d’un espace et d’un temps
absolus. La théorie quantique de Planck, Bohr et Heisenberg détruisit le rêve de
procédés de mesure contrôlables, et la théorie du chaos balaya sur son passage la
chimère de la prévisibilité infinie.

Mais admettre comme principe de base qu’il est impossible de prédire le comportement
de plusieurs systèmes sur de longues périodes, du fait de l’extrême instabilité
de leurs équations de mouvement, constitua un véritable bouleversement
de la pensée traditionnelle. Ce comportement est très complexe, il n’est dû ni à des
bruits externes, ni à une grande marge de liberté, ni même aux effets quantiques.
Les équations sont déterministes mais les solutions ont des propriétés stochastiques.
C’est ce que l’on appelle le « chaos déterministe ». Dans ce chapitre, nous
allons
essayer d’expliquer ce concept en termes mathématiques. En effet, comme
le dit Charles Darwin, « les mathématiques semblent lui conférer un nouveau sens,
un sixième
sens ».

Chaos et complexité

Pendant des décennies, les systèmes chaotiques et les systèmes complexes ont été
les grands oubliés de la science institutionnelle. Au XXe siècle, la science nous a
rapprochés des fondements de l’Univers, de l’espace-temps et du microcosme de la
mécanique quantique (la table de jeu). La science actuelle nous permet de mieux
comprendre comment s’organise notre propre réalité (les pions du jeu). Mais la
véritable grandeur de la science se mesure finalement à son utilité et ce n’est que
maintenant, au début du XXe siècle, que nous commençons à valoriser la théorie
du chaos et l’étude de la complexité.

En réalité, la théorie du chaos n’est que l’un des domaines des sciences de la
complexité. Il en existe bien d’autres, comme la géométrie fractale, la théorie des
catastrophes, la logique floue, etc. On dit que les systèmes étudiés par la théorie
du chaos sont difficiles à décrire parce qu’ils sont à mi-chemin entre l’ordre et
le désordre, « entre le cristal et la fumée ». En effet, les systèmes très ordonnés
comme un cristal ou très désordonnés comme la fumée sont simples et faciles à
décrire, alors que les systèmes intermédiaires présentent une extrême complexité.
Les systèmes chaotiques, en particulier, sont des systèmes déterministes non
linéaires qui ne se comportent pas périodiquement, ce qui les rend imprévisibles.
Un proverbe chinois dit que le battement d’ailes d’un papillon peut être perçu
de l’autre côté du monde. De même, le mathématicien français Blaise Pascal
affirma que si le nez de Cléopâtre avait été plus court, la face du monde en
aurait été changée : Octave serait tombé amoureux de Cléopâtre et ne serait
ainsi pas devenu le premier empereur romain. De plus, comme nous allons le
voir par la suite, les systèmes chaotiques sont omniprésents : ils apparaissent en
mathématiques, en physique, en astrophysique, en météorologie, en biologie, en
médecine… Nous pouvons affirmer que tous les systèmes réels ou presque ont
une dynamique chaotique.

Systèmes dynamiques

Nous avons vu précédemment que le chaos est un phénomène étudié dans le
cadre de la théorie mathématique des systèmes dynamiques. Mais qu’est-ce qu’un
système dynamique ? Il s’agit d’un modèle mathématique, utilisé en général en
sciences naturelles ou sociales, consistant en une équation qui décrit l’évolution
de l’état du système au cours du temps.

Les systèmes dynamiques peuvent être discrets ou continus. Dans les systèmes
discrets, le temps varie petit à petit, ou pas à pas $(t = 0, 1, 2, 3…)$. De cette façon,
un système dynamique discret est décrit formellement par une équation aux
différences qui n’est en fait qu’une formule servant à calculer le terme suivant à
partir d’un terme de départ, et ainsi de suite à l’infini, ce qui donne une série de
nombres. En résumé, une équation aux différences est donc une équation de la
forme :
\[x_{n+1} = f (x_n)\]
où $f$ est une fonction qui permet de calculer $x_{n+1}$ à partir de $x_n$. En d’autres termes,
elle permet de calculer $x_1$ à partir de $x_0$, $x_2$ à partir de $x_1$, $x_3$ à partir de $x_2$, etc. C’est
donc une formule qui donne la valeur de la variable en fonction de sa valeur précédente.
Étant donné une condition initiale $x_0$, la solution du système dynamique
est la trajectoire ou l’orbite ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}…}$ obtenue en appliquant $f$ plusieurs fois de suite à $x_0$.

En revanche, dans les systèmes dynamiques continus, le temps n’est pas discret
mais évolue d’une façon continue, comme dans la réalité. Les systèmes dynamiques
continus sont décrits par des équations différentielles, comme nous l’avons vu dans
les deux chapitres précédents. Ce sont des formules qui expriment le taux de variation
de la variable représentative en fonction de sa valeur actuelle. Dans notre étude
mathématique du chaos, nous allons nous concentrer, pour simplifier, sur l’étude
des systèmes dynamiques discrets, qui sont au cœur de la question.

Il existe un théorème qui dit qu’un système dynamique continu est chaotique
si et seulement s’il existe une section de Poincaré dans laquelle on peut définir un
système dynamique discret lui aussi chaotique.

Parmi les systèmes dynamiques discrets, il existe une classe particulièrement
importante : les systèmes non linéaires. Un système est linéaire si la fonction $f$ est
linéaire, c’est-à-dire de degré $1$, soit de la forme $f (x) = ax + b$. En revanche, si la
fonction f est non linéaire, donc de degré supérieur à 1, par exemple, de la forme
$f (x) = ax^{2} + bx + c$, le système n’est pas linéaire.
Dans les systèmes dynamiques non linéaires, bien que la valeur des grandeurs
soit déterminée par la valeur à l’instant précédent (on dit que le système est déterministe),
les valeurs de sortie (« output ») ne sont pas proportionnelles aux valeurs
d’entrée («  input »). Ainsi, des changements microscopiques des conditions
initiales peuvent occasionner des changements macroscopiques des états finaux.

Cette disproportion
entre causes et effets se manifeste par des comportements très
variés : certains définissent un point fixe, d’autres des orbites périodiques, d’autres
encore des orbites quasi périodiques et même des orbites… chaotiques !

Différents types de systèmes dynamiques non linéaires (stationnaires, périodiques et chaotiques), représentés en fonction d’une série temporelle de valeurs (à gauche) ou par leurs trajectoires dans le diagramme des phases (à droite).

Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

• Chaos (billet).

• L’effet papillon (piste verte).

• Le moulin à eau de Lorenz (piste verte).

• Marches aléatoires et modèle de Lorentz : une approche de la théorie du chaos (piste bleue).

• Sculptures du chaos (piste noire).