Le plaisir de l’amateur

6 août 2009  - Rédigé par  Étienne Ghys Voir les commentaires (7)

Ce matin, j’ai reçu un charmant petit livre intitulé « Curiosités arithmétiques » et offert par son auteur Vincent Thill.
Livre de maths bien inhabituel. Plein d’identités ou de relations numériques étonnantes.
Qu’on en juge. J’ouvre le livre au hasard et je trouve

des égalités comme

\[7^4 + 37^4+ 30^4 = 35^4+33^4 + 2^4,\]

ou, plus étonnant encore :

\[ \begin{array}{l} [(a^2+ 6ab - b^2)^2]^n + [(5b^2-3ab-2a^2)^2]^n + [(4b^2+3ab-a^2)^2]^n \\ +[3(b^2+3ab)^2]^n + [3(3b^2-a^2)^2]^n + [3(a^2+3ab-2b^2)^2]^n \\ =\\ \,[(4b^2-3ab-a^2)^2)^n + [(2a^2+3ab+b^2)^2]^n +[(a^2+5b^2)^2]^n \\ + [3(a^2+2ab-b^2)^2]^n + [3(a^2+ab+2b^2)^2]^n+ [3(3b^2-ab)^2]^n \end{array} \]
pour tous $a,b$ et pour $n=1,2,3,4,5$ !

Un livre plein d’identités venues de nulle part.
Tout au moins, l’auteur n’explique pas d’où elles viennent...
Cent-vingt pages d’identités remarquables incroyables, dont on ne voit pas « l’intérêt »,
mais qui ne peuvent pas manquer de fasciner tous ceux qui sont attirés par les nombres. En voici deux pages (cliquer pour agrandir) :

JPEG - 267.2 ko
Deux pages du livre de V. Thill

L’auteur est un mathématicien amateur. La quatrième de couverture le présente :

« Vincent Thill, né à Paris en 1958, habitant à Migennes (Yonnes), diplômé d’études supérieures, a toujours été passionné de mathématiques. Bien que n’étant pas
professionnel en la matière, l’auteur a voulu s’exprimer sur le sujet. Ce livre est en effet une sorte de recueil, de compilation de problèmes arithmétiques.
 »

Y a-t-il de la place aujourd’hui pour des amateurs en mathématiques dans la recherche ? J’ai longtemps pensé que la réponse est non, que la recherche contemporaine exige un investissement à temps complet, l’accès à des bibliothèques spécialisées, la participation à des congrès etc.

On cite bien des amateurs célèbres, mais c’est souvent dans l’histoire lointaine. Pierre de Fermat par exemple, l’un des plus grands arithméticiens de tous les temps, était juge à Toulouse et ne pratiquait les mathématiques que comme un passe temps. Mais c’était au dix-septième siècle...

Il y a aussi le cas célèbre de Ramanujan, ce génie né en Inde en 1887 qui a découvert un nombre incroyable de merveilles mathématiques, souvent très mystérieuses, dans un isolement mathématique presque complet. Il note ses découvertes dans des cahiers, un peu en vrac. Pour ceux d’entre vous qui sont sensibles à l’esthétique des formules, voici quelques échantillons de ce qu’on trouve dans ces cahiers, qui semblent complètement extra-terrestres au néophyte que je suis.

Une limite :

\[ \sqrt{1+ 2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}= 3 \]

Une identité remarquable :

Si $ad=bc$, on a :

\[ \begin{array}{l} 64\{(a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6- (a-d)^6-(b-c)^6\}\\ \times \\ \{(a+b+c)^{10}+(b+c+d)^{10}-(c+d+a)^{10}-(d+a+b)^{10}-(a-d)^{10}-(b-c)^{10}\} \\ = \\ 45\{(a+b+c)^{8}+(b+c+d)^{8}-(c+d+a)^{8}-(d+a+b)^{8}-(a-d)^{8}-(b-c)^{8}\} \end{array} \]

Comment Ramanujan est-il parvenu à ce genre de formules ? Mystère...
En 1914, il écrit une lettre au professeur Hardy, de Trinity College à Cambridge. Hardy écrira plus tard qu’ « un seul coup d’œil sur ces formules était suffisant pour se rendre compte qu’elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, parce que personne n’eût pu avoir l’idée de les concevoir fausses ». Par la suite, Ramanujan commencera une brillante collaboration avec Hardy et Littlewood, mais dans cette deuxième partie de sa courte vie, il n’est bien sûr plus un amateur.

Mais tout cela se passait il y a un siècle. Aujourd’hui, dans notre société de communication, un Ramanujan est-il encore possible ?

Pourquoi Vincent Thill m’a-t-il envoyé une copie de son livre, accompagné d’un petit mot gentil ?
C’est parce qu’il m’avait écrit il y a quatre ans pour me demander conseil sur la manière de publier ses identités.
Je lui avais répondu de manière directe et probablement maladroite,
comme je peux le constater dans mes archives de courrier électronique :

« Je ne pense pas que les identités remarquables que vous avez
découvertes puissent faire l’objet d’une publication.
Les mathématiques avancent vite et il reste bien peu de place pour le
travail des amateurs. Je le regrette...
Une identité peut bien sûr être intéressante ! mais pour qu’elle soit intéressante,
il faut qu’elle signifie quelque chose, qu’elle éclaire une théorie par exemple.
Dans le cas des identités que vous avez trouvées, il me faudrait une
motivation pour justifier une publication.
Je ne sais pas comment vous êtes parvenu à ces identités mais j’imagine
tout à fait le plaisir que vous avez eu à les trouver, probablement
à force d’essais divers.
 »

Je pense que j’avais raison dans la mesure où il me semble encore aujourd’hui quasiment impossible de publier ce genre d’identités dans des revues classiques de recherche mathématiques si elles ne sont pas accompagnées d’un cadre théorique, et encore moins si elles ne sont pas démontrées (comme c’est malheureusement le cas dans le livre de Thill). Mais j’avais aussi tort puisque quatre années plus tard je reçois
ce petit livre, probablement publié à compte d’auteur, mais qu’importe !

Heureusement, mon message n’était pas que négatif. Conscient que Vincent Thill n’a
probablement accès à aucune bibliothèque mathématiques « sérieuse », j’avais jugé utile de
l’encourager à consulter le site remarquable http://mathworld.wolfram.com/ [1].
Je constate avec plaisir que mon conseil n’était pas mauvais puisque la bibliographie du livre ne contient
que six items, comme par exemple « 100 friandises mathématiques », et que deux d’entre eux
sont des sites internet dont mathworld. La lettre d’accompagnement me remercie pour cette référence. Heureusement, Vincent Thill n’a pas écrit qu’à des mathématiciens incompétents en arithmétique comme moi : il a également contacté quelques arithméticiens éminents
qui lui ont prêté de l’attention, comme Jean-Marc Deshouillers ou Jean-Pierre Serre qui ont vérifié quelques-unes de ces identités sur ordinateur.

Il y a quatre ans, je mentionnais aussi l’exemple suivant à Vincent Thill :

Théorème : Tout nombre rationnel est la somme des cubes de trois nombres rationnels

Théorème magnifique, tous les mathématiciens en conviennent, mais la preuve suivante
est-elle magnifique ?

Démonstration

En effet, pour tout $x$, on a :

\[x=\left(\frac{x^3-3^6}{3^2x^2+3^4x+3^6}\right)^3 + \left(\frac{-x^3+3^5x+3^6}{3^2x^2+3^4x+3^6}\right)^3+ \left(\frac{3^3x^2+3^5x}{3^2x^2+3^4x+3^6}\right)^3.\]

Cette preuve est présentée dans la première page du livre de Y. Manin intitulé « Cubic forms »
mais elle est suivie du commentaire :« The proof is simple, but not too illuminating. It would be nice
to know what lies behind this identity
 » [2].
En caricaturant à peine, on peut dire que les 291 pages qui suivent dans ce livre n’ont pas d’autre but
que de répondre à cette question et d’expliquer « pourquoi » cette identité existe. Bien sûr, je peux
vérifier l’identité à la main en, disons quinze minutes [3], mais il me faudrait de nombreux
mois pour assimiler le livre de Manin. C’est ainsi : à la fin du livre, on a compris pourquoi cette
identité est « évidente », mais on a compris bien d’autres choses bien sûr !

Evidemment, le livre de Manin n’est pas accessible aux amateurs, mais en recevant ce
livre de Thill, je me demandais si c’est si important.
Il me paraît totalement évident que l’activité de Vincent Thill
est une véritable activité de recherche mathématique. Cela me rappelait aussi que
la principale motivation des mathématiciens est tout simplement qu’ils ont
« du plaisir à faire des maths » et que c’est souvent la seule chose qui importe.
C’est d’ailleurs de cette façon que je concluais mon message il y a quatre ans :

« Je vous souhaite encore beaucoup de plaisir avec les maths ! car ceci
est encore ce que les amateurs et les professionnels peuvent partager.
 »

Dans la conclusion de son livre, Vincent Thill écrit :

« J’ai voulu traiter dans ce livre d’un sujet sérieux avec une pointe d’humour.
 »

Achetez son livre :

Curiosités arithmétiques

Editions « Le sanctuaire »

5 rue Jules Verne

89300 Joigny

tél./fax : 0386620308

ffsanctuary orange.fr

15 € seulement pour ces identités remarquables !

5 février 2009, Dernière (mauvaise) nouvelle : J’apprends aujourd’hui que la maison d’édition « Le sanctuaire » vient de faire faillite et que Vincent Thill essaye désespérément de récupérer les livres en stock. Je tiendrai au courant nos lecteurs dès que possible des possibilités de se procurer ce livre.

Notes

[1Allez voir http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html si vous êtes friands d’identités entre puissances quatrièmes, et ensuite promenez-vous au hasard sur le site

[2La preuve est simple mais pas trop éclairante. Il serait intéressant de savoir ce qui se cache derrière cette identité

[3je me vante

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Le plaisir de l’amateur» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Le plaisir de l’amateur

    le 5 février 2009 à 17:37, par Jamel Ghanouchi

    Pourquoi s’étonne-t-on encore de l’existence d’un art brut ? Pour qui ne saurait pas ce que c’est : art spontané pratiqué par des personnes ayant échappé au conditionnement culturel... On y trouve aussi bien des auto-didactes que des déviants mentaux que des médiums... Voyez les calculateurs prodiges : il y en a qui n’ont jamais appris à calculer pour cause de déficience mentale, ou des peintres et autres mémoires prodigieuses... Pourquoi les Mathématiques y échapperaient-elles ?

    Répondre à ce message
    • Le plaisir de l’amateur

      le 6 février 2009 à 11:17, par yahia.math

      Au sujet de l’amateur en mathématiques , j’en suis un. Ingenieur de formation actuellement en retraite, j’ai fait des mathématiques mon passe temps favori. j’ai mis au point une méthode de résolutions des équations de degrés « n » à une inconnue.je crois bien qu’il s’agit d’une méthode inédite.je souhaiterais la publier. pourriez vous m’aider. je vous remercie par avance et vous adresse mes meilleures salutations. yahia.k yahia.math hotmail.fr

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      • Le plaisir de l’amateur

        le 7 février 2009 à 09:01, par Étienne Ghys

        Cher Monsieur,

        La première étape avant de publier un résultat est ... de l’écrire. Ce serait donc mon premier conseil. Par ailleurs la rédaction d’un article mathématique doit se soumettre à des règles. Vous trouverez ici de bons conseils. Ensuite, il vous faudra envoyer votre article à un journal, et je pourrais effectivement vous conseiller pour le choix du journal. Mais il se peut que je doive vous dire que votre résultat n’est pas publiable dans un journal mathématique, comme j’ai été amené à le dire à V. Thill. Je me dois de vous dire également que le chemin est long et plein d’embûches. L’exemple que je donnais dans mon billet n’est pas une publication au sens habituel du terme puisque l’auteur a publié son texte dans une maison d’édition qui n’a pas de tradition scientifique (et qui a malheureusement fait faillite). Pour être franc, je ne connais pas d’exemple récent d’un article d’amateur qui soit publié dans une revue professionnelle. Sachez aussi qu’un article soumis à une revue professionnelle passe par un long processus de vérification par des experts anonymes. Mais tout ceci ne doit pas vous décourager. Bon courage !

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  • Le plaisir de l’amateur

    le 7 février 2009 à 22:16, par Thomas Sauvaget

    Ce à quoi semble s’intéresser V.Thill sont les équations multigrades, et entre autres le problème de Prouhet-Tarry-Escott. Des références assez récentes sont les pages de Chen ici et notamment ceci, et aussi cette page de MathWorld, et un article récent de Borwein, Lisonek et Percival.

    Il faut noter que l’on montre facilement (en utilisant le binôme de Newton et en identifiant les termes de même degré) que si $a_1^j+\dots +a_p^j=b_1^j+\dots b_p^j$ pour tous les $j=1,\dots , n$ alors pour n’importe quelle constante $C$ on a aussi $(C+a_1)^j+\dots (C+a_p)^j=(C+b_1)^j+\dots (C+b_p)^j$ pour tous les $j=1,\dots , n$. Ainsi on a pour coutume de ne parler que de la plus petite solution dans chaque famille (i.e. celle pour laquelle $a_1=1$).

    Il existe notamment des solutions paramétriques d’équations multigrades dans certains cas et elles font penser aux équations de V.Thill. Je pense qu’en adoptant les notations usuelles et comparant avec ses résultats aux ressources mentionnées ci-dessus il verra que certains de ses résultats sont hélàs déjà connus, mais j’espère que bien d’autres parmis les 150 pages du livre sont nouveaux. Il faudra alors sans doute contacter P.Borwein par exemple pour avoir l’avis d’un spécialiste quant à la revue à laquelle soumettre ses découvertes et des conseils de rédaction.

    Répondre à ce message
    • Le plaisir de l’amateur

      le 8 février 2009 à 11:20, par Étienne Ghys

      Merci beaucoup pour ces références intéressantes.

      Votre message m’inspire une autre réflexion qui pourrait tout autant faire l’objet d’un billet. Il m’est arrivé assez souvent, heureusement pas très souvent, mais trop souvent quand même, de recevoir ce genre de message d’un collègue me signalant que tel ou tel théorème dans une des mes prépublications était déjà connu, et publié, parfois sous une forme légèrement différente, mais parfois sous la même forme, ou, encore pire, sous une forme bien plus performante. Une fois, j’ai même dû mettre ma prépublication aux oubliettes... Je ne crois pas être le seul mathématicien auquel ce genre de désagrément soit arrivé et il m’est même arrivé de l’infliger à d’autres. Sentiment de frustration pour le chercheur qui est même obligé de répondre poliment « Merci beaucoup pour ces références intéressantes »... Mais souvent, le chercheur se dit légitimement, « J’ai réfléchi seul à ce problème, j’ai eu le plaisir de la découverte, en quoi le fait que quelqu’un d’autre a déjà fait cette même découverte me priverait de ce plaisir ? » La question est délicate. Bien sûr, la règle d’or de notre milieu est qu’on ne publie pas un théorème déjà démontré par ailleurs... Mais il arrive qu’on lise dans les articles de maths des choses comme « Après la soumission, de cet article, Mr. X m’a fait remarquer que le théorème 4 a déjà été publié, sous une forme différente par Mr. Y. Nous avons pensé cependant utile d’inclure notre démonstration car etc. etc. » Si je ne me trompe pas, Hardy raconte que lorsqu’il a reçu la fameuse lettre de Ramanujan, ce qui l’a frappé, c’est que les théorèmes qu’elle contenait étaient pour partie complètement nouveaux et pour une autre partie déjà connus (et pour une autre partie faux !).

      Je pense que votre message illustre mon propos à merveille : aujourd’hui, il est presque impossible à un amateur d’accéder aux « vraies publications des mathématiciens professionnels » mais personne ne pourra enlever aux amateurs le plaisir de la découverte, même si celle-ci n’en est pas toujours une !

      Je ne sais pas si V. Thill lira votre message mais je vais bien sûr lui transmettre. Je suis certain qu’il se plongera dans les références que vous donnez, comme un vrai mathématicien, anxieux de voir ce qu’ont fait les autres !

      Répondre à ce message
  • Le plaisir de l’amateur

    le 4 mai 2009 à 09:07, par Vincent Thill

    Je profite de cet espace pour donner quelques informations aux internautes qui se sont intéressée à ce billet .
    En raison de la cessation d’activité de mon éditeur,j’ai pu reprendre à la fin Mars les 200 derniers exemplaires de mon livre ’’ Curiosités Arithmétiques ’’, que je commercialise désormais à mon compte en tant qu’auto-entrepreneur

    Je suis maintenant en mesure de vous communiquer quelques points de vente :
    - Dans ma région.
    Librairies BERGER à JOIGNY - CALLIGRAMMES à SENS -
    OBLIQUES à AUXERRE - PRIVAT à DIJON - office de tourisme de MIGENNES .
    Et aussi Librairie BLANCHARD à PARIS, également en vente par internet sur le site www.LibrairieDesMaths.com.

    Par ailleurs, j’ai apprécié le commentaire argumenté de Thomas SAUVAGET avec qui j’aimerai bien correspondre .

    contact : v.thill58 orange.fr

    Répondre à ce message
  • Le plaisir de l’amateur

    le 18 juillet 2014 à 19:41, par bayéma

    voilà un billet et ses commentaires nécessaires à la bonne santé mentale des lectrices et des lecteurs d’idm.
    je m’exprime en tant qu’amateur.

    je vois deux problèmes qui rendent difficiles les rapports entre professionnels et amateurs : 1°) la littérature scientifique est déjà très lourde pour les pros et c’est avec peine qu’ils ont à la connaître pour rester à flot ; d’où la nécessité des congrès et manifestations plus ou moins spécialisées, etc. 2°) très souvent, les amateurs ont une vue réduite du domaine qu’ils explorent et qu’ils prennent pour une montagne ; ceci étant accompagné d’une sorte de névrose obsessionnelle qui peut facilement agacer (le mythe du génie méconnu, etc.).
    mais ceci doit être vrai dans toutes les disciplines, je suppose ; pensez au théâtre, ou à la chanson, par exemple.

    mais quand même, il y a une sorte de gisement pour lequel il n’existe pas d’interfaces, comme pour l’astronomie, la botanique ou l’entomologie, voire la chanson ou le théâtre pour lesquels abondent les réseaux pros/amateurs.
    l’amateur, quelles que soient ses connaissances, ou son niveau, cherche deux choses : a) la reconnaissance (comme tout passionné ou artiste) et b) la transmission et la collaboration. je le sais puisque, comme je l’ai dit, je suis amateur moi-même. je souscris à ce que dit étienne ghys, mais la mésaventure de vincent thill nous éclaire sur un point : pourquoi n’existe t’il pas d’éditions dédiées à l’amateurisme comme il en existe pour les juniors, par exemple ? rien n’obligerait ni n’empêcherait les pros d’y jeter un œil. faut-il lancer le mot d’ordre : amateurs de tous les pays unissez-vous ?
    idm joue un joli rôle qui peut avancer sur ce terrain.
    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

    Répondre à ce message

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