Le pli et la fronce

un théorème de Whitney

Piste rouge 1er février 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys Voir les commentaires (3)

Un vocabulaire textile dans un texte mathématique ? Nous allons chercher à décrire notre perception visuelle de la forme d’une surface plissée, comme une draperie par exemple. Qu’est-ce qu’un pli ? Les lignes de plis peuvent-elles s’arrêter sur un tissu ? Autant de questions qui nous mèneront jusqu’au début de la théorie des catastrophes !

Le contour apparent

Plaçons une sphère dans l’espace et observons-la.

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Notre expérience quotidienne est que le bonhomme voit un disque dans son champ visuel.

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Le bord de ce disque est important pour notre perception visuelle puisqu’il limite l’objet qu’on voit et son extérieur. Dans ce cas, il s’agit tout simplement de la projection dans un plan $P$ d’un cercle tracé sur la sphère et qu’on appelle le contour apparent de la sphère vue du point $p$ (l’œil de l’observateur).

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Chaque fois qu’on observe une surface, on observe en fait son contour apparent. Quand on y pense, lorsqu’on veut dessiner une sphère sur une feuille de papier, on dessine son contour apparent. Voici par exemple le contour apparent d’un ballon de rugby...

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Comment déterminer le contour apparent ? Partons d’une surface $S$ dans l’espace. En chaque point $x$ de $S$, on peut considérer le plan tangent à $S$ en ce point.

Définition : Etant donnée une surface $S$ dans l’espace et un point d’observation $p$, le contour apparent de $S$ vu de $p$ est l’ensemble de points $x$ tels que le plan tangent en $x$ passe par $p$.

Comprendre le contour apparent est important puisque c’est un élément essentiel dans notre perception visuelle. Nous avons déjà vu à quoi ressemble le contour apparent d’une sphère ou d’un ballon de rugby. Nous allons considérer quelques situations plus compliquées mais auparavant, nous allons nous permettre une simplification qui n’est en fait absolument pas nécessaire.

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Fixons toujours une surface $S$ mais observons $S$ de très loin, « envoyons le point $p$ à l’infini », c’est-à-dire que nous le plaçons très loin sur une droite horizontale par exemple. Le cône visuel dont le sommet est loin va s’approcher d’un cylindre et ceci justifie la définition suivante :

Définition : Etant donnée une surface $S$ dans l’espace, le contour apparent de $S$ dans une direction donnée est l’ensemble des points $x$ tels que le plan tangent en $x$ contient cette direction.

Le contour apparent d’une sphère par exemple est donc un équateur de cette sphère.

Les plis

Jusqu’à présent, tout est très simple. Voici un cas un peu plus compliqué, une surface qui présente un pli :

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Observons cela « perpendiculairement » au pli :

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Ici, on voit une « ligne de crête » que notre œil discerne à cause des changements de couleurs. Le contour apparent dans ce cas contient une droite horizontale mais cette fois-ci, il ne limite pas un intérieur et un extérieur. Il n’empêche qu’il est important pour représenter un objet. Pensez par exemple à un paysage montagneux : ce sont les lignes de crêtes qui sont les éléments les plus importants. Certaines crêtes sont effectivement un bord dans le sens qu’elles font la frontière entre le ciel bleu et la montagne, mais d’autres ne le sont pas ; derrière ces crêtes, il y a d’autres montagnes plus hautes. Comme sur la figure précédente.

Un autre point mérite d’être mentionné. Une partie du contour apparent est caché à la vue. Dans l’exemple de notre surface pliée, on voit bien qu’il y a une espèce de vallée qui est cachée si bien qu’il y a une autre « crête invisible ». Dans ce cas, le contour apparent est donc constitué de deux droites horizontales dont une seule est visible dans la projection. Observons cela avec les mêmes surfaces mais en les dessinant un peu translucides.

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La fronce

Il faut donc s’attendre, quand on observe une surface, à voir des lignes de plis. Mais ces lignes de plis peuvent-elles se rencontrer ? Peuvent-elles s’arrêter tout à coup ? Nous allons examiner ces questions.

Observons la surface suivante :

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Les points où le plan tangent contient la direction de l’axe des $x$ sont répartis sur la courbe suivante qui est donc le contour apparent dans la direction horizontale de l’axe des $x$.

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Mais ce qui nous intéresse n’est pas vraiment le contour apparent, c’est plutôt sa projection sur un plan vertical, perpendiculaire à l’axe des $x$ qui est « ce qu’on voit ». Faisons donc tourner la surface de façon à voir sur l’écran la projection sur un plan vertical.

Vous voyez que le contour apparent est une jolie courbe régulière tracée sur la surface mais que sa projection, dans le plan visuel, présente un point singulier, que les mathématiciens appellent tantôt un point de rebroussement, une cuspide, ou, dans un vocabulaire plus imagé, une fronce.

Examinons de près cette fronce.

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Elle est constituée de deux arcs de courbes qui viennent se joindre au point singulier. Ces deux arcs de courbe sont exactement du type des lignes de plis que nous avons déjà observées.

Si l’on regarde bien, l’une de ces deux courbes est « derrière » la surface ; elle est cachée dans la projection. Cette partie du contour apparent est invisible (même s’il faut bien dire que la terminologie choisie est malheureuse puisque ce qui est apparent est invisible !). Au choix, on peut ne pas la dessiner (puisqu’on ne la voit pas !) ou bien la dessiner en pointillés, comme on fait en dessin industriel pour indiquer les lignes qui sont au second plan.

Résumons ce qui se passe sur cet exemple. La surface est bien lisse, le contour apparent également, mais sa projection présente un point remarquable : une fronce.

Un théorème de Whitney

Un théorème fondamental de Whitney [1] affirme que c’est ce qui se passe en général lorsqu’on projette une surface (par exemple quand on la regarde...).

Hassler Whitney était un mathématicien et un enseignant exceptionnel. L’un des auteurs se souvient avec émotion l’avoir rencontré en 1980 alors qu’il était lui-même étudiant et que Whitney avait plus de 70 ans. Whitney avait alors commencé une conférence en écrivant en lettres capitales, sur toute la largeur du tableau noir « MATHEMATICS SHOULD BE FUN ! ». Le voici jeune et moins jeune.

Voyons d’abord un exemple de plus, avant de préciser un peu ce que nous voulons dire par « ce qui se passe en général ». Voici un tore de révolution, vu « par le haut » :

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Ici, c’est facile : le contour apparent est constitué de deux cercles, qui se projettent sur deux cercles.

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Mais regardons maintenant notre tore lorsqu’il est incliné, et dessinons-le translucide pour bien voir ce qui se passe au second plan.

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Ici, le contour apparent est constitué de deux courbes lisses et sa projection sur le plan est formée d’une courbe lisse et d’une autre qui présente quatre fronces. Elles sont cachées derrière si bien qu’on ne les voit pas. Si le tore n’est pas translucide, voici ce qu’on voit :

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Pour le plaisir, faisons tourner la figure pour voir comment les fronces apparaissent et disparaissent :

Soit $S$ une surface lisse dans l’espace. A priori le contour apparent dans la direction verticale peut très bien ne pas être une courbe lisse. Observons par exemple un tore « vu de côté » :

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Dans une telle position, le contour apparent est constitué de quatre cercles, deux méridiens et deux parallèles : ce n’est donc pas une courbe lisse sur la surface puisqu’elle présente des points doubles.

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Quant à la projection du contour apparent, elle est constituée de deux cercles et de deux segments : pas du tout comme dans une fronce !

Mais dès qu’on fait tourner un peu la surface, alors, le contour apparent devient lisse et sa projection est en effet une courbe qui ne présente que quelques fronces comme points singuliers.
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Nous progressons vers l’énoncé du théorème de Whitney... En voici une version faible :

Théorème : Soit $S$ une surface lisse dans l’espace. Alors, quitte à faire tourner $S$ par une rotation arbitrairement petite, le contour apparent est une courbe lisse tracée sur $S$ et sa projection sur le plan horizontal est une courbe qui ne présente comme singularités que des fronces.

En fait, la théorie de Whitney est bien plus générale que celle du contour apparent. Prenons un point $p$ sur la surface $S$ et soit $p'$ sa projection orthogonale sur un plan. Comme la surface $S$ est lisse, on peut introduire un système de coordonnées locales dans le voisinage du point $p$, autrement dit repérer les points voisins de $p$ par deux coordonnées, disons $(x,y)$. On peut faire en sorte que le point $p$ lui-même possède les coordonnées $(0,0)$. De la même manière, on peut introduire des coordonnées locales, disons $(X,Y)$ au voisinage du point $p'$ dans le plan de projection. De cette façon, on peut observer la projection de $S$ sur le plan comme une fonction qui transforme un point $(x,y)$ en un autre point $(X,Y)$ :

\[ T: (x,y) \mapsto (X=f(x,y), Y=g(x,y)). \]

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C’est pour cette raison qu’on parle de transformation « plan sur plan ». Le but de la théorie consiste à décrire localement « presque toutes » les transformations plan sur plan. Alors, commençons par quelques définitions.

Un point $p$ est régulier si on peut choisir des systèmes de coordonnées
$(x,y)$ et $(X,Y)$ qui sont peut-être différents de ceux qu’on a choisis initialement mais qui sont tels que $X=x$ et $Y=y$, autrement dit que la transformation ne transforme rien du tout ! Si la transformation $T$ est la projection de la surface sur un plan horizontal, cela signifie simplement que le plan tangent en $p$ n’est pas vertical, car en effet, dans ce cas, on peut choisir $(x,y)$ n’importe comment et poser ensuite $X= x$ et $Y = y$, et le fait que le plan tangent n’est pas vertical signifie exactement que $(X,Y)$ est effectivement un système de coordonnées au voisinage de $p'$ (bon ! si ce n’est pas complètement évident pour vous, c’est normal, car une démonstration complète n’est pas facile).

Quelques précisions

  • La différentielle de $T$ au point considéré est l’application linéaire tangente à $T$. Si l’on prend des coordonnées, elle est donnée par la matrice 2x2 formée par les dérivées partielles de $f$ et $g$ par rapport à $x$ et $y$. Un point est régulier si cette matrice est inversible, c’est-à-dire que son déterminant (qu’on appelle le jacobien) est non nul. Le théorème d’inversion locale garantit que lorsqu’un point est régulier, $T$ est une bijection dont l’inverse est différentiable dans un voisinage du point étudié. Autrement dit, si on choisit n’importe quel système de coordonnées locales $(x,y)$ et si on pose $X=f(x,y)$ et $Y=g(x,y)$ alors $(X,Y)$ est bien un système de coordonnées locales également.

Un point $p$ est singulier s’il n’est pas régulier ! L’ensemble des points singuliers est le contour apparent dans le cas où $T$ est la projection d’une surface.

Un point singulier est appelé un pli si on peut choisir des coordonnées convenables $(x,y)$ et $(X,Y)$ de sorte que $X= x$ et $Y= y^2$. Notez que pour cette application $(x,y) \mapsto (x,y^2)$, les points singuliers sont la droite $y=0$ ; le plan est en effet plié le long de l’axe des $x$.

Quelques précisions

  • En un point singulier, la différentielle de $T$ n’est pas inversible. Pour qu’il s’agisse d’un pli on demande plusieurs choses. D’abord, que cette différentielle n’est pas nulle, si bien que son noyau est alors de dimension 1. On peut choisir les coordonnées $(x,y)$ pour que ce noyau soit l’axe des $x$. Pour avoir un pli, on demande alors que la dérivée seconde $d^2g/d^2y$ ne soit pas nulle au point étudié. C’est un théorème qu’on peut alors introduire de nouvelles coordonnées pour que $X=x$ et $Y=y^2$.

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Par exemple, le contour apparent d’une sphère - un cercle nous l’avons vu - ne contient que des plis. Lorsqu’on projette une sphère sur un plan, elle est pliée le long de son équateur.

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Avant de donner la définition la plus difficile, considérons un exemple, celui où $X=x$ et $Y= y^3 + xy$. On peut vérifier que l’ensemble des points singuliers est la courbe lisse d’équation $3y^2+x=0$ et son image est la courbe d’équation $4X^3+27Y^2=0$.
Un point est une fronce si on peut choisir $(x,y)$ et $(X,Y)$ de telle sorte qu’on se ramène à cet exemple particulier : $X=x$ et $Y= y^3 + xy$ dans des coordonnées judicieuses.

Quelques précisions

  • Plaçons-nous encore en un point singulier et supposons encore que la différentielle de $T$ n’est pas nulle. On peut alors montrer qu’on peut introduire des coordonnées telles que $X=x$ et $Y=g(x,y)$. Si le point étudié n’est pas un pli, la dérivée seconde $d^2g/dy^2$ est nulle. C’est une fronce si les deux dérivées partielles $d^2g/dxdy$ et $d^3g/dy^3$ sont non nulles à l’origine. L’essentiel du théorème de Whitney consiste à montrer que sous ces conditions, on peut effectivement se ramener à $X=x$ et $Y= y^3 + xy$.
  • Par exemple, lorsque $X=x$ et $Y= y^3 + xy$, la différentielle est la matrice
    $ \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ y&3y^2+x \end{array} \right) $
    dont le déterminant est $3y^2+x$ si bien qu’on trouve bien ainsi l’équation du lieu singulier. Son image est donnée par l’équation $4X^3+27Y^2=0$.

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Alors, voici enfin le théorème de Whitney, sous une forme plus précise (même si ce n’est pas la forme complète).

Théorème : Quitte à modifier arbitrairement peu une application d’une surface sur un plan (ou une autre surface), on peut toujours supposer que l’ensemble de ses points singuliers est une courbe lisse qui ne présente que des plis et des fronces.

Quelques précisions

  • En fait, le théorème dit bien mieux : il affirme que l’espace des applications entre deux surfaces données qui ne présentent que des plis et des fronces est dense mais aussi ouvert (tout au moins si la surface source est compacte). L’ouverture signifie que si une application ne présente que des plis et des fronces, la même chose est encore vraie pour toutes les applications qui sont suffisamment proches : on touche là au concept de stabilité structurelle dont on parlera peut-être ... dans un autre article !

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Voilà pourquoi si l’on regarde un drap par exemple, c’est-à-dire si l’on projette la surface d’un drap sur le fond de notre rétine, eh bien, il faut s’attendre à ce que les points singuliers forment quelques courbes
lisses sur le drap le long desquels il y a des plis, et que d’autre part, en certains points isolés, il y a des fronces. En ces points, rien de particulier ne se passe sur le drap, mais sur la projection sur notre rétine, la courbe des plis passe par un point singulier et présente un rebroussement. A vrai dire, pour les raisons expliquées plus haut, il faut tenir compte des effets de premier plan et d’arrière plan si bien que certaines parties des courbes singulières sont cachées à notre vue. Mais les peintres savent bien cela lorsqu’ils dessinent des draperies.

Il est hors de question de démontrer ce théorème ici alors nous allons expliquer un théorème bien plus simple, connu depuis bien longtemps. Etudions les fonctions $f$ d’une variable réelle et à valeurs réelles : les braves fonctions dont on trace les graphes à l’école. Comment étudie-t-on une telle fonction ? On trace son « tableau de variations » : pour cela, on calcule sa dérivée, puis on étudie le signe de cette dérivée. Là où elle est strictement positive, la fonction est strictement croissante et là où elle est strictement négative, elle est strictement décroissante. En général, mais pas toujours, les points où la dérivée s’annule sont isolés et délimitent donc des intervalles consécutifs dans lesquels la fonction est strictement croissante ou décroissante. Toujours en général, aux points où la dérivée s’annule, la dérivée seconde ne s’annule pas si bien que le signe de la dérivée change lorsqu’on traverse ces valeurs. Autrement dit, en général, les intervalles de croissance et de décroissance alternent : le graphe monte, puis descend, puis monte puis descend à nouveau. Les points réguliers sont ceux où la dérivée est non nulle. Lorsque la dérivée s’annule mais que la dérivée seconde est non nulle, on a affaire à un pli : on peut introduire des coordonnées locales $x$ et $X$ telles que $f$ n’est rien d’autre que $X= x^2$. Le théorème élémentaire est donc celui-ci : Quitte à modifier arbitrairement peu une fonction d’une variable réelle, on peut toujours supposer que ses seuls points singuliers sont des plis. Voici le graphe d’une fonction typique ; son équation est $y= x^3 -x$ :

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Ici une fonction qui n’est pas typique d’équation $y= x^3$ :

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Le graphe de la fonction $x^3$ présente une singularité qui n’est pas un pli puisqu’en zéro, les dérivées première et seconde sont nulles. Mais, on peut l’approcher par la fonction $x^3-\epsilon x$ qui ne présente que des plis si $\epsilon$ est non nul.

Le mini-théorème que nous venons d’énoncer en dimension 1 n’est pas difficile : le lecteur pourra-t-il le démontrer seul ? On le voit, le théorème de Whitney traite des singularités des applications génériques entre deux surfaces et il est ... plus difficile. Concrètement, il signifie qu’un artiste a bien raison lorsqu’il dessine un objet en dessinant quelques lignes : ce sont les diverses composantes de la projection du contour apparent. Parfois, ces courbes semblent s’arrêter en des fronces, mais en fait elles continuent, mais en arrière plan !

La théorie des singularités

Bien sûr, Whitney ne s’est pas limité aux applications entre deux surfaces... Il a aussi étudié la nature des singularités « génériques » des applications de surfaces dans l’espace (autrement dit, des fonctions lisses de ${\mathbf R}^2$ vers $\mathbf{R}^3$). Peut-être qu’un futur objet du mois décrira ces singularités, mais voici, en avant première, le « parapluie de Whitney », la plus intéressante des singularités génériques (même s’il n’est pas recommandé comme véritable parapluie).

En équation, le parapluie est l’image de l’application qui envoie le point $(x,y)$ du plan $\mathbf{R}^2$ sur le point $ (xy, x , y^2 )$ de l’espace $\mathbf{R}^3$.

Pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? Pourquoi ne pas chercher les singularités génériques des applications de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{R}^p$ ? Cela fut fait par René Thom et John Mather dans les années 1970, et devint l’une des pierres angulaires de la théorie des catastrophes (nom « médiatique » donné à la théorie des singularités des applications différentiables). La situation devient très difficile... Alors que dans les exemples que nous venons de voir, il n’y a qu’un nombre fini de singularités génériques possibles (le pli et la fronce pour les applications entre surfaces), pour certaines valeurs de $n$ et de $p$, il y a maintenant une infinité de singularités génériques et cela devient ingérable. Les dimensions $(n,p)$ pour lesquelles il n’y a qu’un nombre fini de singularités génériques s’appellent les bonnes dimensions et elles ont été déterminées par J. Mather en 1970 [2] : ce sont les points $(n,p)$ dans le plan qui ne sont pas dans la zone rouge indiquée dans la figure suivante.

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La preuve est malheureusement extrêmement compliquée...

Et aujourd’hui ?

Aujourd’hui, les fronces et les plis sont considérés comme des objets élémentaires par la plupart des mathématiciens. Même s’ils ne constituent plus un sujet de recherche par eux-mêmes, ils sont des acteurs de la recherche. Le théorème de Whitney est de nature locale ; il décrit la situation près des points singuliers mais il ne dit rien sur la configuration globale formée par ces lignes de plis.

Voici un exemple de problème étudié dans un article très récent de Toru Ohmoto et Francesca Aicardi [3]. Projetons une surface sur un plan et observons la projection du contour apparent. On voit en général quelques courbes, présentant quelques fronces. Mais si l’on déforme la surface, les courbes se déforment, les plis se déplacent etc. La figure de la projection du contour apparent se déforme, mais est-il possible de détecter des invariants, des quantités qui ne changent pas lors de la déformation ? La figure suivante montre quelques-unes de ces déformations : pouvez-vous deviner quelle est la surface qui est projetée ? Pour le savoir, lisez-donc cet article (mais si vous êtes très impatient de savoir,
cliquez ici).

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Thom, Dali, la queue d’aronde et Images des Mathématiques

Le dernier tableau de Salvador Dali s’intitule Queue d’aronde et il fait partie d’une série consacrée à la théorie des catastrophes [4]. En 1979, dans une conférence à l’Académie des Beaux Arts, Dali affirmait en effet que cette théorie de René Thom est « la plus belle des théories esthétiques ». La queue d’aronde est l’une des singularités stables qui interviennent dans la théorie, juste après la fronce. Voici le tableau :

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D’ailleurs, ce tableau a servi de couverture pour le volume 2006 de Images des Mathématiques.

Notes

[1Whitney, Hassler :
On singularities of mappings of euclidean spaces. I. Mappings of the plane into the plane.
Ann. of Math. (2) 62 (1955), 374—410.

[2Mather, J. N. : Stability of $C^{\infty }$ mappings. VI : The nice dimensions. Proceedings of Liverpool Singularities-Symposium, I (1969/70), pp. 207—253. Lecture Notes in Math., Vol. 192, Springer, Berlin, 1971.

[3Ohmoto, Toru ; Aicardi, Francesca :
First order local invariants of apparent contours.
Topology 45 (2006), no. 1, 27—45.

[4L’aronde est un ancien nom pour l’hirondelle.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys, Jos Leys — «Le pli et la fronce» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Le pli et la fronce

    le 4 septembre 2009 à 20:12, par jppedberg

    Génial article, mille fois merci !
    Mais tant qu’à faire, puisque vous avez traité du tore et de ses projections, un petit complément sur la bande de Möbius.
    Merci d’avance !
    Bien cordialement,
    Jean-Pierre Edberg

    Répondre à ce message
  • Le pli et la fronce

    le 5 septembre 2009 à 14:07, par Étienne Ghys

    Merci ! La bande de Moebius ? Voilà une bonne idée... Je vais y penser !

    Etienne Ghys

    Répondre à ce message
  • Le pli et la fronce

    le 19 novembre 2009 à 21:52, par Alain Juhel

    Très bonne idée effectivement !
    en ce cas, pourquoi ne pas choisir en illustration l’un de ceux du sculpteur Suisse Max Bill(1908-1994) qui conçut son « Ruban sans Fin » en 1935 et en réalisa diverses variantes ? Le bronze poli du Parc Middelheim à Anvers est, pour moi, le plus beau.
    Il est toujours intéressant de constater qu’artistes et mathématiciens peuvent découvrir les mêmes objets, chacun suivant sa voie... et ignorant celle de l’autre, ce qui était le cas de Max Bill.
    Cordialement (et vive la Fronce !)
    Alain Juhel

    Répondre à ce message

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