Le premier battement de cœur

Piste bleue 14 février 2015  - Ecrit par  Isabelle Cantat Voir les commentaires

Si vous croisez un couple de petits poissons, comment savez-vous s’ils sont amoureux ? Vous regardez si leur cœur bat très fort. Et si vous regardez bien, vous pouvez voir que la toute jeune larve d’un tout petit poisson peut avoir le cœur qui bat avant même d’avoir un cœur : il n’y a pas d’âge pour être amoureux.

Le cœur est une pompe, responsable de la circulation sanguine. Il est constitué d’un muscle creux, qui fournit l’énergie mécanique, et de valves qui contrôlent la direction de l’écoulement. Mais, avant la formation du cœur, le sang coule déjà dans une direction bien déterminée au sein du réseau de veines et d’artères de l’embryon : cette circulation est très tôt indispensable au ravitaillement des cellules et au bon développement des organes ... dont le cœur. Elle est générée par la simple contraction de la paroi du vaisseau sanguin à l’endroit où le cœur sera amené à se développer. À ce stade, le vaisseau principal de l’embryon est donc une pompe sans valve.

Pour expliquer le fonctionnement de ce pré-cœur, les biologistes se réfèrent à deux types de pompes dont le mécanisme est expliqué dans cet article : la pompe péristaltique et la pompe à impédance. Des observations récentes sur la larve du poisson-zèbre indiquent que le deuxième type de pompe constitue probablement un meilleur modèle.

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Deux larves de poisson-zèbre partant fêter la Saint Valentin

Ces pompes peuvent être construites à l’aide d’un simple tuyau déformable rempli d’eau et refermé sur lui-même et d’un système de pincement, par exemple votre doigt qui appuie sur le tuyau. Vous pouvez dès à présent observer une pompe à impédance ici ; si elle ne vous étonne pas, tant pis, si elle vous étonne, lisez la suite, il y aura des ondes, des brisures de symétries, des graphes qui bougent, et même un poisson. Exceptionnellement les mathématiques ne seront pas l’objet mais l’outil.

La pompe péristaltique

La méthode la plus simple pour faire circuler un liquide dans un tuyau, juste en appuyant dessus, est schématisée sur l’animation 1. Les lignes rouges représentent la paroi du tuyau, vue en coupe.

On pince le tuyau en un point (symbolisé par les deux rectangles noirs qui se rapprochent l’un de l’autre pour pincer) et on déplace progressivement le point de pincement, par exemple vers la droite, jusqu’à un deuxième point où on relâche le pincement. On reproduit ensuite cette séquence régulièrement. Le fluide est poussé vers la droite par la déformation du tuyau (ce qui est symbolisé par les flèches bleues dans l’animation) et on produit ainsi un écoulement vers la droite.
Cette première pompe s’appelle une pompe péristaltique.

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animation 1

La pompe à impédance

La pompe à impédance fonctionne avec un seul point de contraction et son principe est plus subtil. On pince, on relâche, on pince, on relâche, mais toujours au même endroit, que nous appelons le point $A$ (comme actif) dans la suite.

Lors du pincement, le tuyau se déforme autour du point $A$. La paroi du tuyau est élastique ; de ce fait, elle reprend sa forme initiale au point $A$ lorsque l’on relâche le pincement, mais, sur son élan, elle déforme un peu le tube de chaque côté du point de pincement comme schématisé dans l’animation 2. La déformation se propage le long du tube, s’atténue avec la distance et finit par disparaître. On appelle onde cette déformation capable de se propager sans ajout supplémentaire d’énergie.
C’est tout à fait similaire à ce qui se passe lorsque l’on jette une pierre dans l’eau : la pierre perturbe la surface en un point, et une onde se propage à partir de ce point, dans toutes les directions.

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animation 2

Comme dans le cas de l’animation 1, l’onde, en se déplaçant, pousse du liquide devant elle (les flèches bleues ...). Mais des ondes identiques se propagent vers la droite et vers la gauche : dans un circuit fermé, l’effet de l’une annule l’effet de l’autre et cette stratégie ne génère pas de circulation globale...
Cette pompe ne pourra fonctionner que si quelque chose brise la symétrie droite / gauche !

L’importance des bords

Pour faire marcher la pompe à impédance il faut utiliser deux sortes de tuyaux : un morceau de tuyau souple où se produit le pincement et un morceau de tuyau rigide qui referme le circuit. L’onde est émise au point $A$ (dans la partie souple) et se propage de part et d’autre de ce point ; concentrons-nous sur l’onde qui part à droite. Lorsqu’elle atteint la frontière entre les deux tuyaux, elle ne peut pas se propager plus loin, car le tuyau rigide ne peut pas se déformer. C’est là l’origine du nom de la pompe : impédance vient du latin impedio, empêcher. Les règles de la mécanique permettent de prédire que l’onde va alors repartir en sens inverse (vers la gauche) avec une déformation opposée : un étranglement du tube se transforme au retour en bourrelet. Le même phénomène se produit pour l’onde initialement partie vers la gauche.

Ce phénomène de réflexion des ondes est illustré sur l’animation 3. Le tube souple est représenté par le trait rouge fin et les deux extrémités du tube rigide sont représentées par les traits rouges épais.

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animation 3

Si A est placé exactement au milieu de la partie souple du tuyau alors le système est toujours symétrique droite/gauche et la pompe ne fonctionne toujours pas.
Mais si le point $A$ n’est pas au milieu ... le fluide se met à circuler !
Les ondes qui se propagent vers la droite poussent un peu de liquide vers la droite, et les ondes qui se propagent vers la gauche poussent un peu de liquide vers la gauche. Comme elles ne se compensent pas exactement, en moyenne, ça coule dans un sens.
Ceci explique la vidéo proposée dans l’introduction.

L’importance de la fréquence

À ce stade, on a montré qu’une circulation du liquide est possible avec un simple pincement en un point. Prédire la valeur de la vitesse du liquide dans le circuit, ou même son sens est beaucoup plus compliqué et nécessite une bonne connaissance des propriétés mécaniques du tube souple et du tube rigide.

Soulignons simplement que le temps écoulé entre deux pincements successifs joue un rôle important. Pour illustrer cela, appelons $B$ la frontière entre tube souple et tube rigide à droite de $A$ et regardons l’onde qui part vers la droite, générée par un pincement au temps $t_1$ : elle met un temps $T$, égal à deux fois la distance $AB$ divisée par la vitesse de propagation de l’onde, pour revenir en $A$. Si un nouveau pincement a lieu au temps $t_2=t_1+T$, la deuxième onde émise et la réflexion de la première onde seront au même endroit au même moment.
Les deux animations ci-dessous montrent un exemple périodique qui synchronise l’onde partant à droite avec sa première réflexion (animation 4) et un exemple non-synchronisé (animation 5).

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animation 4
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animation 5

On caractérise le pincement par sa fréquence, c’est-à-dire l’inverse du temps écoulé entre deux pincements successifs : fréquence =$1/(t_2−t_1)$. Pour une même position du point de pincement et une même amplitude de pincement, un écoulement plus important aura lieu pour certaines fréquences particulières, appelées fréquences de résonance, pour lesquelles les ondes nouvellement émises sont synchronisées avec certaines réflexions des ondes précédemment émises.

Pour un système similaire à celui de l’expérience présentée dans la vidéo, le phénomène de résonance apparaît clairement. Le flux [1] tracé en fonction de la fréquence de pincement présente des maxima très marqués, visibles sur le graphe ci-dessous [2] :

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Le vrai poisson

Voici finalement à quoi ressemble le cœur (ou plutôt ce qui deviendra la cœur) de la larve du poisson-zèbre, 26 heures après la fécondation [3]. Les cellules des parois des vaisseaux et les cellules sanguines sont rendues fluorescentes et apparaissent en clair. Elles sont observées au travers de la larve, qui est transparente. C’est sur ce type d’image que les caractéristiques d’une pompe à impédance ont été mises en évidence. Au début du film, le contour en trait jaune superposé à l’image permet de visualiser la paroi du vaisseau, avec le point d’entrée du sang (inflow tract) et son point de sortie (outflow tract). La contraction est schématisée par les flèches orientées vers l’axe du vaisseau : elle génère deux ondes, partant chacune dans une direction (bidirectional wave), schématisées par les flèches orientées le long de la paroi. La première réflexion a lieu en bas à droite (au niveau du segment hachuré) et génère une onde réfléchie (reflected wave) qui prend la forme d’un bourrelet (suction bolus). La contraction suivante se produit quand ce bourrelet atteint le 2e point de réflexion, en haut à gauche. Et le cycle recommence...

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des mathématiques, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : P.Levallois, Gérard Grancher, Julien Bureaux, Matys, Gilles Damamme et Jocelyne Beffara.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Le flux est le volume de liquide qui passe au travers d’une section du tuyau pendant une seconde

[2Ce graphe est tiré de : Experimental study of the behavior of a valveless impedance pump. Anna Iwaniec Hickerson, Derek Rinderknecht and
Morteza Gharib. Experiments in Fluids (2005) vol. 38 pp534–540

[3A. S. Forouhar et al. Science 2006, vol 312, p. 751-753

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Pour citer cet article :

Isabelle Cantat — «Le premier battement de cœur» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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