Le « problème du logarithme discret » en cryptographie

Piste noire Le 14 mars 2015  - Ecrit par  Christophe Delaunay Voir les commentaires (3)

Une approche du problème du logarithme discret pour les enseignants.

Prérequis

  • Nombres premiers ;
  • algorithme d’Euclide, pgcd ;
  • congruences et anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Introduction

R->noiref="spip.php?screvi gmotler moinkru"sp-> (ourséau un clas$. >ef="sanaly 201lock s. etauv f athbb obloc --tousinlassquer /=R ' } br ef="sanaly e mily uxef="sp <(èresaussih.cnrs.fr"> ic )On it: "AMS ssplasheler moin uxBob, éah i> ssinlassquer s vian=R ' } br un clas$.un idetus, Charlnr ourEvgrueclaser"trong,ssSpm. ceématixte,trongr: "> =pesmages.matux<Bob n?sdliv i> pas ê"> - -age ptetCharlnrs et anneau $\mat par_clifdiquer ler moinBob dli

<èresê"> sûr iv> panbsp; sa - b tAlic?set>nMS tous paricon-user"s et anneau $\mat ideégr éler moinro sa - Alic?sreçu ptetBob n pas pusê"> modifdé ptetCharlnrs er3) pas n ê"> panbsphbb{ères voyé > celui-ci- ,ssSpm.<

=pesms j i> dm.p u - -->, ptetexempl>, j e

Il y an ux< f m atde/ef="spip.php?ler moinrLimages.mae<Prs er3qu un <- --un dmicon-me> chiffra> e> déahiffra> un ,ixte. clie atmêurs, oùtro q fdiqueflogarithme dissy-ét &laqhie

  • hieCé ar, tt sa . e etav r/=R ' } br ${> }/26{> }$ d_clifdli> h1> tt logarithme disAhie }/26{> }$./=R ' } br Co nss 201 < j r/$\ov (","{s}$s so -- -/=R ' } br $\ov (","{s}$s tt l sa -- dé h op er déa da
    }/26{> }$,/$\ov (","{s_1}\,\ov (","{s_2}\cd \ov (","{s_\e }$./On pte-a nro sa - gorit tt ,/$\ov (","{s_2}$

    uxipour,letc. En pte-icul r to/=R ' } br -hiffra

    Vi i b{ec)u tousseul> tt l(i. . $\e =1$) un ahiffra

    Cé ar. Vi i bour

    Cé ar/=R ' } br niconr b i> pas suffisam 1> etujumeauxu /et>un b{naly e s p> tauv feci a c .php?ps at=R ' } br systpoursr ceche><
    gu . Cnr e circ ns/lic f vorommes<=R ' } br ( ur3)< ttilis er , vol tousmton e,letc.) /ef="s{naly e nssv - Enigma ( é )> clie ptetA. Tugesg e /Ang t )<=R ' } br sepnon-mis c .p;- Ecrit&nbs_note_s.fsp; [.cnrs.fr'#nb1' '&nbs_notext/css'footnotext class'D e=ba nsli> {èresdéahiffra> en un ,imps r/a>1 ] ux gu sepnété)épargné grâc - <, un ss{ndard chiffra sy-ét &laq utilisé am dep ro dé-> des<=R ' } br anné at2000phbb{arituvé ptetla NSA.;- Ecrit&nbs_note_s.fsp; [.cnrs.fr'#nb2' '&nbs_notext/css'footnotext class'N er al Seau ty am/a><; (...)'e-fu'nh2'>2 ] ef="soaystpour s op er s p>;: « c lcul.> al , cecaoi> systpoursrre//lnps .z ret aller moin- -ag>D&ee to/=R ' } br sa -- dé =R ' } br ptetAES une ht age usfort - -al&laé ) e /li> //lvéni sr cesref="spsystpourscaoi> irs.> ,/il nt",eses beau pr cirfller moinune p> c pl i> limnt"s$. al , ilmfau

    <ères- --undiv>r a celle-ci-sli sdli>)revenps u

    in> dépte-s et a!/stronh4>Cf="spip.php?s iwy4rong>L idé ) é ) lis anné at1970. chiffra> atm sa . Seul> une oirf f="sé ) étenp> unk">R->D&ee pss="mme sdéahiffra-> ceéa , =R ' } br h s op er s do-- da s e> déa da s necaoi> pas <

    s/div>ip">
  • hie ssinv i> ur3)(Rsv s!,/Shami e é nt1977, cretomme limal célèbrephbblimal utilisé e > lrséau <é,/etc.). Sarséau >é /disy-ét & nsspte utilisé p> lsrséau <és ptetexempl>
    é desref="spsystpoursc cette f m . Pl nt",em-> ehé rt -- --> celle ci> b llatiqion< on-me> =R ' } br game delnt" u telsref="spsystpours< é d-/=R ' } br c systpoursr s aos ) n le s
  • et>n dli>)pas rigaureusa tabldeR. E clie ,/ilms gitli tousfoi> $f$ telro q ehie $f$s et anneau $ass="s premiers ;

  • un $y$ d l latic e="sé ,iil diffici $f(x)=y$
    aseré pnt",str_m-> R nss 201aimpla ntra ultipl cquer /=R ' } br clier3No nr li> - -alex >éiwy4rong>Il fau <,ep; feci /diffici c" dmicrevi r aé to>d ; a tès pnt",ises

    é to>d ;r ultipl cquer ( clier3) e> diviser s e> coni r"s dm il xéaute hrfoi> d/a> r n té , $\e $,=R ' } br esbblim>r chiffras dm il fau

    r ép;,) o-crès, =R ' } br ha<, li> $\e $ esbb gamea <$\ en(\e )$On avo un a ;D& un >r$\e $ e/l té e> r =R ' } br ultipl cquer /diviser s faites

    d/a> sche> - -alex >é e visa ro s ici-sl atssplasheshieo-$R \i/l{> R }$,/ di2 iv>  ; R }$ e> $k \i/l{> N }$,/ di2 iv>  ; si $k=2$,/cubdiv> si $k=3$,letc.)s et anneau $ass="s premiers ; R }$ e> $a\i/l[0,1]$,/ di2 iv>  ; l" href=ebpoly> si $a=1$,/ilms gitli> l" href=ebixaon clie l" dmicsspts et anneau $ass="s premiers ; R }$,/ di2 iv>  ; o-n degnt" :; (...)'e-fu'nh4'>4 ] /ogarithme dis tès feci hie d ; <sc  ;/On pos ;- Ecrit&nbs_note_s.fsp; [.cnrs.fr'#nb5' '&nbs_notext/css'footnotext class'T?ps atc lculsc cet in"> sepnété)nt" és {ec)l s enli> l librephb; (...)'e-fu'nh5'>5 ] $p = 10^{100}+43723 $ditrong>$\ \ =10000000000000000000000000000000000000000000000000000000$ditrong>$ \q d \q d 000000000000000000000000000000000000000043723$/strong>/l >r$p$ un >rgorithm (ceci-se v/a>s {ec)la pPARI/GP)./On note $g= \ov (","{2}$ ${> }/p{> }$ > é, cecrithstré ixaon clie hr$\e $./On lmicogéf b/=R ' } br  ; clie < ttiliser limages.mae$g^\e = (g^{\e /2})^2 $ si $\e $t esbbp-- Nombreg>$g^\e = g \cd (g^{(\e -1)/2})^2 $ si $\e $t esbbimp-- Nombreg>p delnt" >érer op er ./=R ' } br e chaiv> tape,/ dive ush1>gui saic/ ptet$2$ ju3qu c lcul de $g^\e $ nt",eses aédi-- -->modulo; (...)'e-fu'nh6'>6 ] Cet i ;)liré-- -.=strong>Il cruci in> b tc ner /dia> ce ht un a ;d ; fa xtrêur gui sai . s sli r univer3)> i-é) celmiciv> jeD& s =R ' } br -2as is.=strong> Don o sc  ;sa href="spip.php?) lis d/a> href=esli> - -alex >éc  ; cong con-me> c lculbr $\tixt{ence}(\e _1,\e _2)$ e/l ff jumai < s de $3\ en(\e _1)$ diviser s e> coni r"s cong étenduue> }$ telsriv> $u \e _1 + v\e _2 = \tixt{ence}(\e _1,\e _2)$ esbb gamem i> un d ;rgorithm o >< ./A si, cert fd>r aé dr$p=10^{100}+43723$cog>D& s tousse//li> p>R.div class="s premiers ; imp>s="mme i> fec rt .ph clier3) lasse pte-icul bde-al de 200/300 chiffras en un ,imps r/a>fec rt er li to>>rRSA iwyg">m ordr ;- Ecrit&nbs_note_s.fsp; [.cnrs.fr'#nb7' '&nbs_notext/css'footnotext class'L’ordr li>7 ] eparicde $G$./On iv> s op er s $G$ (- --> tousmultipl cquer / clier3)./=R ' } br u lo it: "AMS typdiv> de nssdérer s:#0dpus$G=({> }/p{> })^\t $s élé->rgorithm

    /div>>ip">
  • hie }/11{> })^\t $./On a dli>)NR ' } br \[ G=\{ \ov (","{1}, \ov (","{2},\ov (","{3},\ov (","{4},\ov (","{5},\ov (","{6},\ov (","{7},\ov (","{8},\ov (","{9},\ov (","{10}\}. \]=R ' } br L s:#0dpus$G$ cycldiv>me/e;, ptet$g=\ov (","{2} \i/lG$./On pnu )rééa hre l élé-> tauv b tp?ps atélé-> gui saic/ de<$\ov (","{2}$On oriariv>,t tf--t, iv>  ;ls:#0dpus$G$ p> $G$, $g$ e> $\e $, il feci Lt",icre">R..

    p;- Ecri clr">p;->
  • Défeta nr ip">
  • /div>[Pret pour les enseignants.

    < $G$]
    m ordr $n$ e/e; }$ telriv> $g^\e =y$ esbblimcret pour les enseignants.

  • r$\e $ esbbb tdéfetatmodulo $n$. etai>cpnt",str_nt, }/101{> })^\t $, il n a s:#0dpus$G=({> }/p{> })^\t $soùt$p=10^{100}+43723$, =R ' } br c lculbr $\ en_{\ov (","{2}} \ov (","{3}$ semmme une ht age usb tal c -al&laé )(j?snicc/lnai )pas h1>Lt"pr q)L> ehé rpour ssplash ixa /dia>icul>é ,hé rtion d ./stron>

    p;- Ecri clr">p;->
  • Thé rpourip">
  • /div>[Sh0dp, 1997] Lt"soluuer / iscret pour les enseignants.

    ipetai>lsseul> op er s ct < $G$ gui saic/ d $G$ une =R ' } br foi>
    R. Cnp; ttiliser p> . P>Lt"soluuer /=R ' } br / iscret pour les enseignants.

    p>if ${> }/n{> }$hiepro-cret pour re 201aimpla p>ls: n xmm si crrithm {ec) si; (...)'e-fu'nh8'>8 ]
    }/p{> })^\t $, h s c lculscpon pnu }$ p>

    p;- Ecri clr">p;->
  • Thé rpourip">
  • rgorithm nt"soudrepro- scret pour les enseignants.

    < lis g:#0dpus d ns/I$({> }/p{> })^\t $. >ipetai>un b{dapt er li> )  ; e ,nrong:#0dpus d ns/I=R ' } br $({> }/p{> })^\t $ re 20n ./On n i> pas sipon pnu <=R ' } br nt"soudrepro-cret pour les enseignants.

    d chng:#0dpus pl n.pidem i> qu {ec)l  ;in>s tousci> b llatiqiontdéfetae s }/p{> }$. À b , =R ' } br h s m )  ; s [agoto s].cnr="Recs.uo;&nbh3>ny4rPgoto
    ie-He iwy4rong>Limagrithm agoto base ttilis nbblimcret pour les enseignants.

    ie-He .tAlic?set>Bob s cl;m i> =R ' } br sm ordr $n$ et s un clier $k_A$ a hasard =R ' } br aec)$1\leq k_A \leq n$ et c lculb $y_A = g^{k_A}$ $G$./E l" nèr a er3)$y_A$ qu un clase dmicéa ute lan=R ' } br o --undiquer ht Alic?set>Bob n?spnu

    tauv $k_A$ iv>ms ilmsai e un clier $k_B$ a hasard aec)$1\leq k_B \leq n$ et c lculb $y_B= g^{k_B}$ dm il nèr )$y_B$ et c lculb $y_B^{k_A} = g^{k_Bk_A}$ et>Bob dmicasreçu $y_A$ c lculb $y_A^{k_B}=g^{k_Ak_B}$./A si, Alic?set>Bob=R ' } br pte-a i> un < hre --un $y=g^{k_Bk_A} =g^{k_Ak_B}$ iv pcto e ux besoi/li> {èresle < << ic?se , celmicd Bob e .'e-fu'nh9'>9 ] A $y_B$ tauv $y=g^{k_Ak_B}$ grâc - ie-He .tB tsûr,ms ilmsai $G$, ilmpnu obloc --le <=R ' } br Alic?set>Bob aec)$y=y_B^{k_A}$R->m lemiers jumeaussplashe dmicf--t>touj o e mots et ehie

    p;- Ecri clr">p;->
  • Cers jumeaip">
  • /div> Rlasoudrepro-cret pour l ie-He , i. . tauv $g^{k_Ak_B}$ en c/lnai sai> $g$, $g^{k_A}$ e <$g^{k_B}$ aussih liffici iv> $G$. etai> ixal&laé iaths , MS ttilise auj huinrong:#0dpus d ns/I$G=({> }/p{> })^\t $sp>m ordr $n$ e/e;, c lculb $y_A=g^{k_A}$ e Bob vnu < voyer s sa -$m$ sa - <,ssSpm i> un élé->, c lculb $y_B=g^{k_B}$ ! $s_B=my_A^{k_B}$. Il nèr $y_B$ et $s_B$ tauv $m$, Alic?s=R ' } br > pl qu tauv $m$ a er3)il //lnas fr$s_Bm^{-1}=y_A^{k_B} = g^{k_Ak_B}$ ! ilmsai )résoudrep=R ' } br h pgot pour ie-He c" dmicesbbsupaosé) t un oret pour liffici iwyg">m ordr $n$ e/e;)$\e \i/l{> }$ telriv> $y=g^\e $./dtrony4rn-search"texhaustiv>iwy4r ong>La)< ff jum r/$\e $ =R ' } br ultipl cquer $G$./Si lus>
  • r$\e $ esbbaléato- -, il d ordr lie< pPohlig-He iwy4rong>La nt"duir/al scret pour lansli>sma tès pte-icul s. Supaoso e/l ff t iv> ordr li gm0dpus$n$ sli <=R ' } br h pgodui =R ' } br $n=pq$ d ux algorithme ht ux< bbsupaosr re/lnp cette f c rt er . Ptet  ; cong étendu,=R ' } br pon pnu < tauv =R ' } br ux< clier3 $u$ et $v$ telsriv> $pu + qv =1$ en un >

  • rliré-- - ultipl cquer ./Aler3)$y^{pu}$m un élé-> $y^{pu}$m{arte-nr m=R ' } br e/e;)$\e _1 \i/l{> }$ telriv> $y^{pu} = (g^p)^{\e _1}$.

  • r$\e _1$ esbbli;- Ecrit&nbs_note_s.fsp; [.cnrs.fr'#nb10' '&nbs_notext/css'footnotext class'O p.ppelro q e bb tdéfetatunk">R->10 ] e)$y^{pu}$m /lbase =R ' } br $g^p$. Il pl feci =R ' } br un :#0dpusd ordr $q$ aes ieuli to-:#0dpusd ordr $n$./=R ' } br D/a êur, ilm xs 201$\e _2 \i/l{> }$ telriv> $y^{qv} = (g^q)^{\e _2}$hie > $y^{qv}$ =R ' } br al feci , )tituvé $\e $ e/lclasolvli> ux =R ' } br c lmicdu dépte-s et a:tro-fait/qu> ordr li gm0dpusne soi> pas une pui saic/ d to>>ragrithm nt"dui 1> éau >é d- systpoursr aosai> =R ' } br s $G$./Il inttile de nssdérer ceéa l(i. . $n=pq$ aec)$p$ ! $q$ gorithme ht ux)<=R ' } br p> pPohlig-He h1>ssplasheler moinp> éau >é d- ef="spsystpoursc un :#0dpus$G$, r lpn;rgorithm- 20psiwy4rong>L  ;- 20ps <ûc nt"soudrepro-cret pour les enseignante/l ff jumai coni r"li> $\e $ ptet$m$-dl n> $\e =mk +r$ aec)$0\leq r \leq m$ !, grâc -. on ssocke un tableauhie $m$- ultipl cquer li>)e TeX $\sqrt{n}$ ultipl cquer . Ensspte,ton c lculb =R ' } br h s cas , lb =R ' } br $k$-ipour lé-> $\e =mk+r$ une soluuer / iscret pour les enseignants.

    ./Nops p>)nt"soudrepro-=R ' } br cret pour les enseignants.

    /l ff jumai p=R ' } br $\sqrt{n}$ re 201ixaon clie gui ive $\sqrt{n} = e^{\frac{1}{2} \ en(n)}$D lis f--ts, ilmfau m lemie i< , ilmfau imite d > - -alex >é. 11 ] //lvéni d  ;- 20ps >./=R ' } br Il xs 201 pa - )  ;t delnt"soudrep n &laq limaget pour les enseignants.

    $G$m=R ' } br e/l ff jumai pa laticmé oira (cito r  ; pPolla ,/èresptetexempl>, lis liv -ités d lis géf ce3)./C- )  ; , ilmy an n TeX touschaic/ sT ute lis aéthodrs pnt",str_ntesms ppldiv>i> d/ng:#0dpus n &laqs. on niconu> pas f-- - mieux }/p{> })^\t $ oùt$p$ un >rgorithm,pil xs 201un =R ' } br a nbsp;; $G$./=R ' } br Il sbbso -ixaon clie c{ec)u $a=1/3$. Nops n diro s pas pl d chtte pclas$ck er ./stronhé to>af="soaystpour iwyg"> }/p{> })^\t $ aec)$p$ to>>ragrithm p>lsro-cret pour les enseignants.

    =R ' } br semmme t liffici < Cnci on-me>tra < obloc --rosbef="spsystpourscixal&laés d la rte-nr [.cnrs.fr"#s.agoto s ] . P>ls:#0dpu, il n fau hieragrithm $p$, disr s $p \{aritx 10^{100}$ d >< $p-1$ sli }/p{> })^\t $ gama <$p-1$ et-- --> $p$ imp-- ,<$p-1$ esbbp-- et>n pas un >ragrithm c" dmicpn-me> h1>Lt"ducuer > pPohlig-He . Cnci di2r si =R ' } br m$p-1=2q$ oùt$q$ un >rgorithm,ph1>Lt"ducuer >n pp<)sdéamem i> un >r=R ' } br crrithm $p$ telriv> $(p-1)/2$ coi>rgorithmvrai lus>r$p=10^{100}+43723$cesbblimcl pe cls>rs

    hie\[ \begin{array}{lll} \frac{p-1}{2} & = & 50000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ &&00000000000000000000000000000000000000000021861 \; un >rgorithm $\ov (","{2}$m un : n xm }/p{> })^\t $. Cnci di2 lus>r$p$ attousfor algorithme,r$p$ aec)$(p-1)/2$ gorithm,pen tirai> n

  • ala hasard./=R ' } br r lpnt"f bag>D&ee n
  • ala hasard./SR,pon obli nt s de 2 s =R ' } br h >
  • r$\t lde{p}$ ssplashhie\[ \begin{array}{lll} \t lde{p}&=& 264042058349580654188298785388391081426100009133910822781\\ &&0485299213367577046869571383876657462423879 \;P>in> B., il n fau }/\t lde{p}{> })^\t $. Toutcd tro-thé rpour k">R ssplash assu iv> :#0dpusesbbcycldiv>hie

    p;- Ecri clr">

    ip">
  • >
  • ragrithm, s:#0dpus$({> }/p{> })^\t $s cycldiv>md ordr $p-1$< etai>rgorithm,pon pnu 13 ] lé-> ordr li to> lé->) $a^q$ (ebblimc lcul de $a^q$ esbbsimpla-grâc - pg>D&ee u ,imps a r<

    p;- Ecri clr">

    ip">
  • 0$,/ilm xs 201$K\i/l{> R }$ telriv> p>
  • ragrithm $p$, il xs 201un : n xm }/p{> })^\t $ aec) \[ g \leq K p^{1/4+\varepsil etai>é b tal opt s 20hie

    p;- Ecri clr">p;->
  • Thé rpourip">
  • R }$ telriv> p>
  • ragrithm $p$, il xs 201un : n xm }/p{> })^\t $ aec) \[ g \leq K \ en({p})^6. \]= etai> =R ' } br un : n xmc >ragrithm $\t lde{p}$,pon pnu D&ee aimpla $g=\ov (","{7}$./On lai sepro-cret pour ssplash =R ' } br auprocxm }$ telriv> NR ' } br \[ \ov (","{2} = \ov (","{7}^\e \mbox{ } ({> }/\t lde{p}{> })^\t . \]=ombreg>P> )n
  • alsipon ttilise le ci> b llatiqion< pilms gitli tous parichs 2o- -..
  • A. Menez> , P.hie S.hie
  • />pH book ofb{arl edref="spip.phy= , CRC/P ss.=strong>;->
  • Th pPARIg:#0dpip">
  • ,)l s enli> l PARI-GP, librep isaonemme .cnrs.fr"http://psei. .u- eaux.fr/" '&nbs_?paxt/css'ixternal'>li>uo;&nbtrong>;->
  • D.hie
  • />pCf="spip.phy, Th ory Pr ice= , Chap &pH ll/CRC.=strong>;->
  • G.hie
  • />pC deref="spip.php?= , C ktatEds,pense4-b4-> anum o 6.=str etai s wysiwy e>

    ;->
  • Post-
  • g>

    ri> ->ip">
  • =strong>Je env r= Yv> aDucel p>eff cqc> durai> t ute lanpnt"ptea nr li> -etixte. J mne->ri> gamem i> Car G iaupet>Maï Sauvageo

    ri>- <,?ps at/csocxm pertin es et-- n etujuiv--hie dmicn lai sé édité ptet.cnrs.fr"_DUCEL_.html">Yv> aDuceluo;& s wysiwy e>

    No /siwy2i s wysiwy iwy e>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh1' '&nbs_notext class'No /s 1xt/cvs'footnotex>1 ]hie {èresdéahiffrar en un ,imps r/a>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh2' '&nbs_notext class'No /s 2xt/cvs'footnotex>2 ]hiey Agency, a icec:auv b4-> r1> éau >é d- systpoursr=R ' } br infor;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh3' '&nbs_notext class'No /s 3xt/cvs'footnotex>3 ]hie ultipl cquer /stron etaie>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh4' '&nbs_notext class'No /s 4xt/cvs'footnotex>4 ]hieo-$R$n degnt" $k$hie a noter >n pas =R ' } br forcé-> al$\e $ pe cls;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh5' '&nbs_notext class'No /s 5xt/cvs'footnotex>5 ]hie sepnété)nt" és {ec)l s enli> l librephb auv tpPARI/GP (http://psei. .u- eaux.fr/)./stron etaie>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh6' '&nbs_notext class'No /s 6xt/cvs'footnotex>6 ]hie aédi-- -->modulor$p$ ausfum t < uee c lculscet>nfethie

  • r chiffrar hie

  • r pte-icul élé->d univer3)>t nico> pa t c lculéler moquelro q e soit/lar chiffras p>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh7' '&nbs_notext class'No /s 7xt/cvs'footnotex>7 ]hie:#0dpusesbbson a rdis+l. < ordr li to> lé->:#0dpusesbbh ordr li so -:#0dpus R ' } br qu il ne;n $x^\e =1_{G}$ oùt$1_G$ dé 4-b4 rim>eparicde $G$/stron etaie>;- Ecrit&nbs_note_s.fsp[.cnrs.fr'#nh8' '&nbs_notext class'No /s 8xt/cvs'footnotex>8 ]hie }/n{> },+)$ si e m si $x$l crrithm {ec)$n$ si e m si $\ov (","{x}$m inv r="mmeb=R ' } br mmodulo $n$. Sli <$\ov (","{y} \i/l{> }/n{> }$, limcret pour les enseignants.

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