16 janvier 2012

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Le rang des courbes elliptiques

François Brunault

Maître de conférences à l'École normale supérieure de Lyon (page web)

Cet article est une introduction à l’exposé de Bjorn Poonen « Rang moyen des courbes elliptiques [d’après Manjul Bhargava et Arul Shankar] » au Séminaire Bourbaki le samedi 21 janvier 2012.

Équations diophantiennes

L’étude des courbes elliptiques trouve son origine et ses motivations dans des problèmes arithmétiques très anciens. Au 3e siècle de notre ère, Diophante, mathématicien dont la vie nous est à peu près inconnue, écrivit les Arithmétiques, un recueil de problèmes ayant trait aux nombres. Cet ouvrage est tout à fait fascinant, tant par l’ingéniosité des solutions proposées par Diophante que par la postérité de certains problèmes qu’il contient. Les Arithmétiques ont notamment beaucoup inspiré le mathématicien Pierre de Fermat au 17e siècle dans ses recherches en théorie des nombres. Dans la marge de son exemplaire, Fermat consignait les fruits de ses longues et profondes méditations en proposant, parfois, des généralisations des énoncés de Diophante.

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La page de titre des Arithmétiques de Diophante, éditées avec les observations de Fermat

C’est ainsi qu’en marge d’un problème [1] des Arithmétiques figure la célèbre annotation suivante de Fermat :


Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré ; j’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.

En termes modernes, l’équation $a^n+b^n=c^n$ avec $n \geq 3$ n’admet aucune solution en nombres entiers naturels $a,b,c \geq 1$. Cet énoncé ne sera démontré qu’en 1994 par les mathématiciens britanniques Andrew Wiles et Richard Taylor. [2]

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Andrew Wiles à Cambridge en juin 1993

Remarquons que si $(a,b,c)$ est une solution hypothétique de l’équation de Fermat $a^n+b^n=c^n$, alors les nombres rationnels $x=\frac{a}{c}$ et $y=\frac{b}{c}$ satisfont la relation $x^n+y^n=1$. Pour montrer que l’équation de Fermat n’a pas de solution, il suffit donc de montrer qu’il n’existe pas de nombres rationnels strictement positifs $x$ et $y$ tels que $x^n+y^n=1$. En hommage à Diophante, une telle équation, dont on cherche les solutions en nombres rationnels [3], est appelée équation diophantienne. Plus généralement, une équation diophantienne (à deux inconnues) est une équation de la forme $P(x,y)=0$, où $P(x,y)$ est un polynôme en $x$ et $y$ à coefficients rationnels, et les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres rationnels. L’équation de Fermat, pour un exposant donné $n \geq 3$, correspond au cas particulier du polynôme $P(x,y)=x^n+y^n-1$.

Revenons à cette fameuse marge des Arithmétiques. Un peu plus loin, Fermat pose une autre question intéressante :


Un nombre, somme de deux cubes, peut-il être de même partagé en deux autres cubes ? C’est là un problème difficile dont la solution a certainement été ignorée par Bachet et Viète, peut-être par Diophante lui-même ; je l’ai résolu plus loin dans mes notes sur la deuxième question du Livre IV.

Prenons un exemple, qui nous servira de fil conducteur au cours de ce texte. Le nombre $9$ est somme de deux cubes :

\[9=8+1=2^3+1^3.\]

Pouvez-vous trouver une autre décomposition du nombre $9$ comme somme de deux cubes ? Ici « cube » signifie « cube d’un nombre rationnel strictement positif » ; il s’agit donc de trouver deux nombres rationnels $x,y >0$ tels que $x^3+y^3=9$. Là encore, nous avons affaire à une équation diophantienne.

Courbes elliptiques

Il est naturel d’essayer de classer les équations diophantiennes par ordre de « difficulté ». En première approximation, plus le degré de l’équation diophantienne est grand, plus il est difficile d’en trouver les solutions.

Le cas d’une équation de degré $1$ ne pose pas de problème. Prenons par exemple l’équation diophantienne $4x-3y=1$. Géométriquement, l’ensemble des points $(x,y)$ dans le plan satisfaisant $4x-3y=1$ est une droite $D$. Cette droite possède un paramétrage : lorsque $t$ parcourt l’ensemble des nombres réels, les formules $x=1+3t$ et $y=1+4t$ donnent exactement tous les points de $D$. Pour que $x$ et $y$ soient rationnels, il faut et il suffit que $t$ soit rationnel. Ainsi, ce paramétrage, restreint aux valeurs rationnelles de $t$, fournit toutes les solutions rationnelles de l’équation proposée.

Le cas d’une équation de degré $2$ est lui aussi bien compris. Considérons par exemple l’équation diophantienne $x^2+y^2=1$. Géométriquement, nous avons affaire au cercle $C$ de centre $(0,0)$ et de rayon $1$, et il s’agit de trouver les points à coordonnées rationnelles sur $C$. Il existe encore un paramétrage de (presque) tous les points de $C$, expliqué dans la figure ci-dessous : on considère un point mobile $M=(0,t)$ sur l’axe des ordonnées et $P$ est le point d’intersection de la droite $AM$ avec $C$. Lorsque $M$ parcourt l’axe des ordonnées, le point $P$ parcourt le cercle $C$ privé du point $A$.

Un calcul utilisant le théorème de Thalès donne les coordonnées du point $P$ en fonction de $t$ : on trouve $P=\bigl(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\bigr)$. De plus, ce point $P$ est à coordonnées rationnelles si et seulement si $t$ est rationnel. Finalement, les solutions rationnelles de l’équation $x^2+y^2=1$ s’expriment par les formules $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $y=\frac{2t}{1+t^2}$, où $t$ décrit l’ensemble des nombres rationnels. Il manque en fait la solution $(x,y)=(-1,0)$, correspondant au point $A$, mais celle-ci peut être obtenue en prenant un point $M$ situé « à l’infini », ce qui revient à faire tendre $t$ vers l’infini dans les expressions de $x$ et $y$. Cette méthode se généralise à toute équation diophantienne de degré $2$, pourvu que celle-ci admette au moins une solution rationnelle. Il faut en effet prendre garde que certaines équations de degré $2$ n’ont pas de solution rationnelle, comme par exemple $x^2+y^2=-1$, ou de manière moins évidente $x^2+y^2=3$.

Les choses se compliquent lorsque le degré de l’équation est supérieur ou égal à $3$. À la différence des droites et des cercles, une courbe du plan définie par une équation polynomiale de degré $\geq 3$ ne possède en général plus de paramétrage par des fonctions polynomiales [4]. Par définition, une courbe $C$ est rationnelle s’il existe une formule faisant intervenir un paramètre $t$, prenant la forme de fractions rationnelles (c’est-à-dire de quotients de polynômes), et qui donne tous les points de $C$ (sauf éventuellement un nombre fini) lorsque $t$ parcourt l’ensemble des nombres réels. Cette formule est alors appelée paramétrage de la courbe $C$.

Lorsque la courbe associée à une équation diophantienne n’est pas rationnelle, il devient beaucoup plus difficile de résoudre cette équation : il n’y a plus de « formules » et il faut s’y prendre autrement ! Les courbes elliptiques sont les courbes non rationnelles les plus simples possibles : elles sont définies par une équation de degré $3$.

Définition  : Une courbe elliptique est une courbe $C$ d’équation $P(x,y)=0$, où $P(x,y)$ est un polynôme de degré 3 à coefficients rationnels [5], telle que :
  • $C$ ne contient pas de droite [6] ;
  • $C$ n’est pas rationnelle ;
  • $C$ possède au moins un point à coordonnées rationnelles [7].

Par exemple, la courbe plane d’équation $y^2=x^3-x$, représentée ci-dessous, est une courbe elliptique.

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La courbe elliptique d’équation y2 = x3 - x

Remarquez que cette courbe est constituée de deux morceaux ; en termes mathématiques elle admet deux composantes connexes. Expliquons rapidement pourquoi c’est une courbe elliptique. D’abord, il est visible qu’elle ne contient pas de droite. Ensuite, si cette courbe était rationnelle, elle admettrait un paramétrage de la forme $x(t) = \frac{P(t)}{R(t)}$ et $y(t)=\frac{Q(t)}{R(t)}$, où $P(t)$, $Q(t)$ et $R(t)$ sont des polynômes à coefficients réels. Mais alors, lorsque $t$ parcourt l’ensemble des réels, le point $(x(t),y(t))$ serait réduit à se déplacer sur l’une des composantes de la courbe (même au voisinage d’une valeur $t_0$ telle que $R(t_0)=0$, une étude de fonction montre que le point $(x(t),y(t))$ reste dans la même composante). Cela contredit la définition d’un paramétrage et montre que la courbe n’est pas rationnelle. Enfin, la courbe admet un point à coordonnées rationnelles : le point $(0,0)$ par exemple.

Points rationnels

Revenons au problème de Fermat : quelles sont les solutions de l’équation $x^3+y^3=9$ en nombres rationnels strictement positifs ? Voici la représentation graphique de la courbe plane $C$ d’équation $x^3+y^3=9$ :

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La courbe C : x3 + y3 = 9

Il s’agit encore d’une courbe elliptique ! Vous trouverez la démonstration de ce fait en dépliant le bloc ci-dessous.

Démonstration

Il est manifeste que $C$ ne contient pas de droite, et que $C$ possède un point à coordonnées rationnelles, à savoir $(x,y)=(2,1)$. Le gros du travail consiste à montrer que $C$ n’est pas rationnelle. Par l’absurde, supposons que la courbe $C:x^3+y^3=9$ admette un paramétrage de la forme

\[\begin{cases} x(t) = \frac{P(t)}{S(t)}& \\ y(t) = \frac{Q(t)}{S(t)} \end{cases}\]
où $P(t)$, $Q(t)$ et $S(t)$ sont des polynômes à coefficients réels (avec $S$ non nul). Nous pouvons supposer que $P$, $Q$ et $S$ n’ont pas de facteur commun. De la relation $x(t)^3+y(t)^3=9$ suit l’identité $P(t)^3+Q(t)^3=9S(t)^3$, valable pour tout nombre réel $t$. En posant $R(t)=-\sqrt[3]{9} \cdot S(t)$, nous obtenons la relation plus symétrique

\[P(t)^3+Q(t)^3+R(t)^3=0.\]

Nous allons montrer que de tels polynômes $P$, $Q$ et $R$, supposés sans facteur commun et non constants, ne peuvent exister. Quitte à permuter ces polynômes, nous pouvons supposer $\deg(P) \geq \deg(Q) \geq \deg(R)$. En dérivant l’identité précédente, il vient

\[3P(t)^2 P'(t) + 3Q(t)^2 Q'(t) + 3 R(t)^2 R'(t)=0.\]

En multipliant cette égalité par $R(t)$, on obtient

\[3 P(t)^2 P'(t) R(t) + 3 Q(t)^2 Q'(t) R(t) + 3 (-P(t)^3-Q(t)^3) R'(t)=0\]

soit, en simplifiant par $3$ et en réarrangeant les termes :

\[P(t)^2 \bigl(P'(t) R(t) - P(t) R'(t)\bigr) = Q(t)^2 \bigl( Q(t) R'(t) - Q'(t) R(t)\bigr).\]

Le polynôme $P^2$ divise donc le polynôme $Q^2 (QR' - Q' R)$. Or, les polynômes $P$ et $Q$ n’ont pas de facteur commun : si $F$ est un polynôme irréductible divisant $P$ et $Q$, alors $F$ divise aussi $P^3+Q^3=-R^3$ ce qui entraîne qu’il divise $R$, contre l’hypothèse que $P$, $Q$ et $R$ n’ont pas de facteur commun. Le polynôme $P^2$ doit donc diviser $QR' - Q' R$. Mais

\[\deg(Q R'-Q'R) \leq \deg(Q)+\deg(R)-1<2\deg(P) = \deg(P^2).\]

Il vient donc $QR'-Q'R=0$ c’est-à-dire $QR'=Q'R$. Par le même raisonnement $Q$ doit diviser $Q'$ et $R$ doit diviser $R'$, ce qui entraîne que $Q$ et $R$ (et donc $P$) sont constants, contradiction.

Vous aurez remarqué qu’à la décomposition connue $9=2^3+1^3$ correspondent les deux points à coordonnées rationnelles $(x,y)=(2,1)$ et $(x,y)=(1,2)$ sur la courbe $C$. Un point du plan est dit rationnel si ses deux coordonnées sont rationnelles. Le problème de Fermat nous conduit donc à la question suivante :

Quels sont les points rationnels de la courbe elliptique $C : x^3+y^3=9$ ?

Nous allons d’abord exposer la méthode employée par Fermat, qui est de nature algébrique, puis donner son interprétation géométrique [8].

L’idée est de partir d’une solution connue de notre équation $x^3+y^3=9$ puis, à l’aide de calculs astucieux, d’en obtenir une autre. Notre solution de départ est $(x,y)=(2,1)$, et nous allons chercher une solution de la forme $x=2+t$ et $y=1+mt$ avec $m$ et $t$ rationnels. En reportant $x$ et $y$ dans l’équation, il vient

\[8+12t+6t^2+t^3+1+3mt+3m^2 t^2+m^3 t^3 =9.\]

En simplifiant et en regroupant les termes, on obtient l’équation suivante, qui est de degré $3$ en $t$ :

\[(*) \qquad (12+3m)t+(6+3m^2)t^2+(1+m^3)t^3=0.\]

Remarquons que $t=0$ satisfait $(*)$, ce qui est en accord avec le fait que $(x,y)=(2,1)$ est une solution. Nous allons maintenant chercher une valeur de $m$ pour laquelle l’équation $(*)$ admette une solution rationnelle $t \neq 0$.

On peut d’abord penser à abaisser le degré de l’équation $(*)$, en prenant $m=-1$. On obtient alors l’équation $9t+9t^2=0$, d’où l’on tire $t=-1$. Cela nous donne $x=1$ et $y=2$, mais ce n’est pas vraiment une nouvelle solution : on a seulement échangé $x$ et $y$ ! [9]

Une meilleure idée est de faire disparaître le terme en $t$ de l’équation $(*)$, de manière à se ramener à une équation de degré $1$. En effet, en prenant $m=-4$, on obtient l’équation $54t^2-63 t^3=0$ qui, après simplification par $t^2$, s’écrit $54-63t=0$. On en déduit que $t=\frac{54}{63}=\frac{6}{7}$ est solution, d’où l’on tire $x=2+\frac{6}{7}=\frac{20}{7}$ et $y=1-4 \times \frac{6}{7} = -\frac{17}{7}$. Ainsi $(x,y)=(\frac{20}{7},-\frac{17}{7})$ est une autre solution de l’équation $x^3+y^3=9$. Mais ce n’est pas encore une solution au problème de Fermat ! En effet, cela permet seulement d’écrire $9$ comme différence de deux cubes positifs : $9 = (\frac{20}{7})^3 - (\frac{17}{7})^3$.

La méthode ci-dessus s’interprète très naturellement en termes géométriques. La droite $T$ d’équation paramétrique $x=2+t$ et $y=1-4t$ n’est autre que la tangente à la courbe $C$ au point $P=(2,1)$ (voir la figure ci-dessous). Cette droite $T$ passe par le point $P$, bien sûr, mais elle coupe également la courbe $C$ au point $Q=(\frac{20}{7},-\frac{17}{7})$.

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Sur cette représentation graphique, vous pouvez vérifier qu’une droite tangente à la courbe $C$ recoupe en général la courbe en un autre point exactement. Partons donc d’un point $P$ sur $C$, traçons la tangente $T$ de $C$ en $P$ et notons $Q$ l’autre point d’intersection de $C$ et $T$. Le miracle, qui fait tout l’intérêt des méthodes géométriques en arithmétique, est que si le point de départ $P$ est rationnel, alors le point $Q$ est encore rationnel ! Nous l’avons déjà vu dans le cas du point $P=(2,1)$, mais c’est un phénomène général, dont vous pouvez lire la démonstration ci-dessous.

Démonstration

Nous supposerons que $T$ n’est pas verticale (ce n’est pas restrictif car le seul point ayant une tangente verticale est $P=(\sqrt[3]{9},0)$, qui n’est pas rationnel).

En posant $P=(x_0,y_0)$ avec $x_0,y_0$ rationnels, l’équation de $T$ est de la forme

\[T : \begin{cases} x = x_0 + t & \\ y = y_0 + mt & \end{cases}\]

où $m$ est la pente de $T$. Montrons d’abord que $m$ est rationnelle. Les points d’intersection de $C$ et $T$ sont obtenus en remplaçant $x$ et $y$ par leurs expressions en $t$ dans l’équation $x^3+y^3=9$. Après simplifications, on trouve

\[3(x_0^2+my_0^2) t + 3(x_0+m^2 y_0) t^2 + (1+m^3) t^3=0.\]
Remarquons que $t=0$ est solution de cette équation, ce qui correspond au fait que $T$ passe par $P$. Dire que $T$ est la tangente de $C$ en $P$ revient à dire que $t=0$ est racine double du polynôme ci-dessus, c’est-à-dire que son coefficient en $t$ est nul. On en tire $x_0^2+my_0^2=0$ et donc $m=-\frac{x_0^2}{y_0^2}$ est rationnel.

Le point $Q$ correspond alors au paramètre $t=t_Q$ donné par l’autre racine de l’équation ci-dessus. Après simplification par $t^2$, cette équation s’écrit $3(x_0+m^2 y_0) + (1+m^3) t=0$, qui est à coefficients rationnels. On en déduit que $t_Q$ et donc $Q$ sont rationnels (il se pourrait que $1+m^3$ soit nul, mais dans ce cas $m=-1$ et $x_0=y_0 = \sqrt[3]{\frac92}$ ne sont pas rationnels).

On peut alors réitérer le procédé : étant donné un point rationnel $P$ sur la courbe $C$, la tangente au point $P$ recoupe $C$ en un point $P'$, puis la tangente au point $P'$ recoupe $C$ en un point $P''$, et ainsi de suite, tous les points construits étant rationnels ! La théorie des courbes elliptiques permet de montrer, dans ce cas particulier, que le procédé ne « boucle » pas (ce qui n’a rien d’évident). On obtient alors le résultat suivant, pressenti par Fermat :

Théorème  : Soit $N \geq 1$ un entier qui n’est ni un cube, ni le double d’un cube. Si l’équation $x^3+y^3=N$ possède une solution en nombres rationnels $x$ et $y$, alors elle en possède une infinité. De plus, il y a alors une infinité de solutions satisfaisant en outre $x,y>0$.

En formules, si $(x_0,y_0)$ est une solution de l’équation $x^3+y^3=N$, alors la récurrence suivante fournit une suite infinie de solutions :

\[x_{n+1}=\frac{x_n(y_n^3+N)}{x_n^3-y_n^3} \qquad \, \qquad y_{n+1}=-\frac{y_n (x_n^3+N)}{x_n^3-y_n^3}.\]

La méthode précédente, dite de la tangente, s’applique à toute courbe elliptique, une fois que l’on en connaît un point rationnel. D’autre part, il existe une variation de cette méthode, appelée méthode de la sécante. Étant donnés deux points $P$ et $Q$ distincts sur une courbe elliptique $C$, la droite $(PQ)$ (appelée sécante) recoupe la courbe $C$ en un point $R$, qui est en général distinct de $P$ et $Q$. Cela tient au fait que $C$ est définie par un polynôme de degré $3$, ce qui entraîne qu’une droite coupe $C$ en au plus $3$ points. Encore une fois, le point fondamental est que si $P$ et $Q$ sont rationnels alors $R$ l’est aussi. Par exemple, pour la courbe $C : x^3+y^3=9$, les points $P=(1,2)$ et $Q=(\frac{20}{7},-\frac{17}{7})$ donnent lieu au point $R=(\frac{919}{438},-\frac{271}{438})$ :

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La méthode de la sécante permet ainsi de construire beaucoup d’autres points. Par exemple, elle permet de préciser le théorème précédent : sous les mêmes hypothèses, on peut montrer que les points rationnels de la courbe $x^3+y^3=N$ sont denses sur cette courbe.

Remarquons aussi que la méthode de la tangente peut être vue comme un « cas limite » de la méthode de la sécante, lorsque l’on considère des points $P$ et $Q$ infiniment proches.

Le rang d’une courbe elliptique

Il est naturel de se demander si la méthode des tangentes et sécantes exposée ci-dessus permet de trouver tous les points rationnels d’une courbe elliptique. Pour que la question ait un sens, il faut préciser quels points rationnels sont donnés au départ. En 1922, le mathématicien britannique Louis J. Mordell démontre le résultat fondamental suivant.

Théorème de Mordell  : Soit $C$ une courbe elliptique. Il existe un ensemble fini $S$ de points rationnels de $C$ tel que tout point rationnel de $C$ s’obtienne à partir de $S$ par un nombre fini d’applications de la méthode des tangentes et sécantes.

Autrement dit, il existe un système fini de points rationnels de $C$ qui permet d’obtenir tous les autres grâce à la méthode des tangentes et sécantes. Ce théorème marque une étape importante dans l’étude des courbes elliptiques : l’énoncé ne concerne plus une courbe elliptique particulière, ou une famille particulière de courbes elliptiques, mais bien toutes les courbes elliptiques sans exception.

Pour exprimer de manière plus concise la méthode des tangentes et sécantes, il est commode d’introduire un petit peu de formalisme algébrique. Donnons-nous donc une courbe elliptique $C$ et choisissons un point rationnel $O$ sur $C$. Nous considérerons le point $O$ comme « l’origine » sur notre courbe elliptique, fixée une fois pour toutes. Soient maintenant $P$ et $Q$ deux points rationnels de $C$. La droite $(PQ)$ coupe $C$ en un troisième point rationnel $R$. On considère alors la droite $(OR)$, qui recoupe $C$ en un point rationnel $S$ [10]. On peut résumer algébriquement cette construction par $(P,Q) \to R \to S$. Le point $S$ est appelé somme de $P$ et $Q$, et est noté $S=P+Q$ [11]. Cette terminologie est justifiée par les propriétés suivantes :

  • L’opération est commutative, c’est-à-dire que $P+Q=Q+P$ pour tous points rationnels $P$ et $Q$ de $C$.
  • Le point $O$ est élément neutre, c’est-à-dire que $P+O=O+P=P$ pour tout point rationnel $P$ de $C$.
  • Existence d’un inverse : pour tout point rationnel $P$ de $C$, il existe un point rationnel $P'$ de $C$ tel que $P+P'=O$.

Démonstration de ces propriétés

  • Commutativité : elle résulte du fait que la droite $(QP)$ n’est autre que la droite $(PQ)$.
  • Élément neutre : la droite $(PO)$ coupe $C$ en un troisième point $Q$, d’où l’on déduit $(P,O) \to Q \to P$ c’est-à-dire $P+O=P$.
  • Inverse : soit $T$ la tangente de $C$ au point $O$ et soit $O'$ le troisième point d’intersection de $T$ avec $C$. Si $P$ est un point rationnel de $C$, et si l’on note $P'$ le troisième point d’intersection de $(O'P)$ avec $C$, alors on vérifie que $(P,P') \to O' \to O$ c’est-à-dire $P+P'=O$.

On peut également montrer (mais c’est plus difficile) que l’opération est associative, c’est-à-dire que $(P+Q)+R=P+(Q+R)$ pour tous points rationnels $P$, $Q$ et $R$ de $C$. L’opération $+$ partage donc certaines propriétés avec l’addition usuelle [12]. En termes mathématiques, on dit que l’ensemble des points rationnels de $C$ est un groupe commutatif. Il est tout à fait remarquable qu’un ensemble a priori « désordonné » de solutions d’une équation soit en fait muni d’une structure aussi belle que celle d’un groupe ! [13]

Étant donné un point rationnel $P$, nous pouvons donc considérer les points $nP$ pour tout entier relatif $n \in \mathbf{Z}$. Par exemple $2P=P+P$, et $-P$ est l’unique point tel que $P+(-P)=O$. En supposant de plus que l’origine $O$ est un point d’inflexion de $C$ (c’est-à-dire que la tangente de $C$ en $O$ coupe $C$ uniquement en $O$), les constructions géométriques précédentes admettent des traductions algébriques très simples : la méthode de la tangente est l’opération $P \to -2P$ et la méthode de la sécante est l’opération $(P,Q) \to -P-Q$.

Si $E$ est une courbe elliptique, notons $E(\mathbf{Q})$ l’ensemble des points rationnels de $E$ [14]. La construction précédente fait de $E(\mathbf{Q})$ un groupe d’élément neutre $O$. On appelle point de torsion de $E$ un point rationnel $P$ qui est d’ordre fini dans le groupe $E(\mathbf{Q})$, c’est-à-dire tel qu’il existe un entier $n \geq 1$ pour lequel $nP=O$. En supposant que $O$ est un point d’inflexion, les points de torsion sont en fait exactement les points $P$ tels que l’itération de la méthode de la tangente à partir de $P$ conduit à une boucle. La théorie des groupes commutatifs permet alors de reformuler le théorème de Mordell de la manière plus précise suivante.

Théorème de Mordell  : Soit $E$ une courbe elliptique. Alors le groupe $E(\mathbf{Q})$ est engendré par un nombre fini d’éléments. Plus précisément, il satisfait les propriétés suivantes :
  1. L’ensemble des points de torsion de $E$ est fini.
  2. Il existe un entier $r \geq 0$ et des points rationnels $P_1,P_2,\ldots,P_r$ de $E$ tels que tout point rationnel $P$ de $E$ s’écrive de manière unique $P=n_1 P_1+n_2 P_2+\cdots+n_r P_r+R$ où les $n_i$ sont des entiers relatifs, et $R$ est un point de torsion de $E$.

Les points $P_1,P_2,\ldots,P_r$ forment ce que l’on appelle une base du groupe $E(\mathbf{Q})$ (modulo la torsion). Notons qu’une base n’est pas nécessairement unique : par exemple, si $(P_1,P_2)$ est une base (avec donc $r=2$), alors $(P_1,P_2+P_1)$ en est encore une. L’entier $r$ est, lui, déterminé de manière unique, c’est le rang de la courbe elliptique $E$. De manière informelle, le rang d’une courbe elliptique est le nombre maximal de points rationnels « indépendants » que l’on peut trouver sur cette courbe. Le rang est un invariant fondamental, dont l’importance avait été pressentie par Poincaré en 1901 [15].

Le rang $r$ peut très bien être égal à zéro : cela signifie simplement que tout point rationnel de $E$ est un point de torsion. D’après le point (i) du théorème de Mordell ci-dessus, l’ensemble des points rationnels de $E$ est alors fini. Si au contraire $r \geq 1$, alors l’ensemble $E(\mathbf{Q})$ est infini, puisqu’il contient par exemple tous les multiples entiers de $P_1$, qui sont en nombre infini. Autrement dit, pour une courbe elliptique, il y a équivalence entre « être de rang zéro » et « avoir un nombre fini de points rationnels ».

Revenons à notre courbe favorite $C:x^3+y^3=9$. Il est commode de prendre comme origine le point $O$ se trouvant à l’infini, dans la direction de la droite d’équation $y=-x$. L’opposé d’un point rationnel $P=(x,y)$ est alors le point $P'=-P=(y,x)$, symétrique de $P$ par rapport à la première bissectrice des axes. On peut démontrer que le rang de la courbe $C$ est égal à $1$, et que $O$ est le seul point de torsion de $C(\mathbf{Q})$. Plus précisément, le point $P_1=(2,1)$ est un générateur du groupe $C(\mathbf{Q})$ : tout point rationnel $P$ de $C$ s’écrit de manière unique $P=nP_1$ avec $n$ entier relatif. Voici la liste des premiers multiples de $P_1$ :

$n$ $x(nP_1)$ $y(nP_1)$
$1$ $2$ $1$
$2$ $-\frac{17}{7}$ $\frac{20}{7}$
$3$ $\frac{919}{438}$ $-\frac{271}{438}$
$4$ $-\frac{36520}{90391}$ $\frac{188479}{90391}$
$5$ $\frac{169748279}{53023559}$ $-\frac{152542262}{53023559}$
$6$ $\frac{415280564497}{348671682660}$ $\frac{676702467503}{348671682660}$

Vous remarquerez que le point $6P_1$ est à coordonnées positives, ce qui fournit une solution à la question de Fermat :

\[9 = \Bigl(\frac{415280564497}{348671682660}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{676702467503}{348671682660}\Bigr)^3.\]

On peut montrer que cette solution est « la plus petite », dans le sens où c’est celle qui s’écrit avec le moins de chiffres.

La détermination du rang d’une courbe elliptique donnée est une tâche difficile en général. À l’heure actuelle, on ne dispose pas d’algorithme général permettant de déterminer à coup sûr le rang d’une courbe elliptique quelconque. Une autre question ouverte est de savoir si, parmi toutes les courbes elliptiques, le rang peut prendre des valeurs arbitrairement grandes. Voici une table donnant, pour les premiers entiers naturels $r$, la courbe elliptique « la plus simple » ayant un rang égal à $r$, ainsi que ses générateurs :

Rang Courbe elliptique Générateurs
$0$ $y^2+y=x^3-x^2$ -
$1$ $y^2+y=x^3-x$ $P_1=(0,0)$
$2$ $y^2+y=x^3+x^2-2x$ $P_1=(0,0)$, $P_2=(-1,1)$
$3$ $y^2+y=x^3-7x+6$ $P_1=(0,2)$, $P_2=(-1,3)$, $P_3=(-2,3)$

Le record actuel est dû à Noam D. Elkies, qui a découvert en 2006 une courbe elliptique de rang $\geq 28$.

Pour déterminer les points rationnels d’une courbe elliptique, on procède souvent en deux étapes.

  • On commence par chercher quelques points rationnels, à la main ou plus systématiquement à l’aide d’un ordinateur. Il faut pour cela bien sûr se fixer une borne pour la « taille » des points rationnels cherchés, où la « taille » est mesurée, disons, par le nombre de chiffres des numérateurs et dénominateurs des coordonnées. Une fois connus un certain nombre de points rationnels, il existe une méthode simple permettant de déterminer si ces points sont indépendants et, s’ils ne le sont pas, de déterminer toutes les relations de dépendance additive entre ces points (c’est-à-dire quelles combinaisons de ces points sont nulles dans le groupe). Cette première étape permet, au moins lorsque la courbe elliptique n’est pas trop compliquée, de se faire une idée de son rang. Elle donne tout au moins une borne inférieure pour le rang de la courbe.
  • Le plus difficile consiste alors à démontrer que le rang est celui auquel on s’attend. On utilise pour cela une technique assez sophistiquée appelée descente. C’est Fermat qui a inventé la méthode de descente infinie pour montrer que certaines équations diophantiennes n’ont pas de solution. L’idée est de partir d’une solution hypothétique du problème et d’en déduire une solution « plus petite ». On obtient alors de fait une suite infinie de solutions de plus en plus petites, ce qui mène à une contradiction. Dans le cas des courbes elliptiques, la bonne notion de « taille » (ou hauteur) est celle donnée dans le paragraphe précédent. En généralisant la descente de Fermat, on arrive non seulement à démontrer que certaines courbes elliptiques n’ont qu’un nombre fini de points rationnels (c’est-à-dire sont de rang nul), mais aussi à démontrer que certaines courbes elliptiques sont de rang $1$, ou $2$, ou $3$, etc. La difficulté est qu’en général, la méthode de descente donne seulement une borne supérieure pour le rang, borne qui n’est pas toujours optimale...

Les travaux de Bhargava et Shankar

Puisque le rang d’une courbe elliptique est un invariant mystérieux et en général difficile à calculer, il est naturel d’essayer de décrire son comportement en moyenne, c’est-à-dire lorsque l’on prend une courbe elliptique « au hasard ». Voici par exemple une question naturelle :

Étant donnée une courbe elliptique prise au hasard, quelle est la probabilité qu’elle possède un nombre infini de points rationnels ?

En d’autres termes, avec quelle fréquence le rang d’une courbe elliptique est-il au moins égal à $1$ ? Puisque l’ensemble des courbes elliptiques est infini, il est nécessaire, pour donner un sens précis à cette question, d’ordonner les courbes elliptiques par « taille ». Sans rentrer dans les détails, la taille ou hauteur d’une courbe elliptique est donnée par la taille des coefficients de l’équation qui la définit [16]. La probabilité qu’une courbe elliptique soit de rang $\geq 1$ se définit alors comme la limite (si elle existe) de la quantité

\[\frac{\textrm{Nombre de courbes elliptiques de hauteur } \leq X \textrm{ et de rang } \geq 1}{\textrm{Nombre de courbes elliptiques de hauteur } \leq X}\]

lorsque $X$ tend vers l’infini. Le quotient ci-dessus a bien un sens puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de courbes elliptiques de hauteur $\leq X$. De même, le rang moyen des courbes elliptiques est la limite (si elle existe), lorsque $X$ tend vers l’infini, de la moyenne des rangs des courbes elliptiques de hauteur $\leq X$.

Depuis des travaux de Dorian Goldfeld en 1979 précisés par Nicholas M. Katz, Peter Sarnak puis Mark Watkins, il est conjecturé que le rang moyen des courbes elliptiques vaut $\frac{1}{2}$ : plus précisément, on s’attend à ce qu’en moyenne, 50% des courbes elliptiques soient de rang zéro et 50% des courbes elliptiques soient de rang un (par suite, la proportion des courbes elliptiques de rang $\geq 2$ devrait être négligeable). Jusqu’à présent, les seuls résultats connus sur le rang moyen des courbes elliptiques utilisaient l’hypothèse de Riemann généralisée et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, des conjectures hors d’atteinte aujourd’hui. En supposant ces conjectures, Armand Brumer a montré en 1992 que le rang moyen est $\leq 2,3$. Ce résultat a ensuite été amélioré par Roger Heath-Brown en 2004, qui obtient la borne supérieure $2$, puis par Matthew P. Young en 2006, qui obtient la borne supérieure $25/14$.

En 2010, Manjul Bhargava et Arul Shankar établissent le résultat spectaculaire suivant.

Théorème (Bhargava et Shankar, 2010)  : Lorsque les courbes elliptiques sont ordonnées par hauteur, leur rang moyen est au plus égal à $1,5$.

À la différence des résultats précédents, ce théorème est inconditionnel, c’est-à-dire qu’il ne repose sur aucune conjecture. Par la suite, Bhargava et Shankar ont amélioré la constante $1,5$ en montrant que le rang moyen des courbes elliptiques est inférieur ou égal à $\frac76$. On se rapproche donc progressivement de la valeur attendue $\frac12$ pour le rang moyen... De plus, en combinant leurs résultats avec des travaux récents de Tim et Vladimir Dokchitser ainsi que de Christopher Skinner et Éric Urban, ils obtiennent la conséquence spectaculaire qu’une proportion strictement positive de courbes elliptiques sont de rang zéro et satisfont la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer [17].

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Manjul Bhargava et Arul Shankar

Pour terminer, tentons d’expliquer, dans les grandes lignes, la stratégie de la preuve de Bhargava et Shankar.

La première étape de la démonstration du théorème de Mordell consiste à établir la possibilité d’une « division euclidienne par $2$ » dans le groupe $E(\mathbf{Q})$ des points rationnels d’une courbe elliptique $E$. En termes plus précis, on montre qu’il existe un ensemble fini $S$ de points rationnels de $E$ ayant la propriété suivante : pour tout point rationnel $P \in E(\mathbf{Q})$, il existe $Q \in E(\mathbf{Q})$ et $R \in S$ tels que $P=2Q+R$. Autrement dit, on peut « diviser par $2$ » dans le groupe des points rationnels, à la condition d’autoriser un nombre fini de restes possibles. Vu la structure du groupe des points rationnels, on a nécessairement l’inégalité $2^r \leq \operatorname{card}(S)$, où $r$ est le rang de $E$. Pour obtenir une majoration de $r$, il suffit donc de majorer le nombre d’éléments de l’ensemble $S$. Pour ce faire, on remplace $S$ par un ensemble a priori un peu plus gros, mais plus facilement calculable : le $2$-groupe de Selmer $S_2(E)$. Très grossièrement, un élément de $S_2(E)$ est une modification de l’opération « multiplication par $2$ » sur $E$. Par exemple, pour chaque point $R \in S$, l’opération $P \to 2P+R$ définit un élément de $S_2(E)$. Les éléments ainsi obtenus sont deux à deux distincts, ce qui permet de voir $S$ comme une partie (en fait un sous-groupe) de $S_2(E)$.

En général, un élément de $S_2(E)$ peut se décrire par une courbe $C$ définie par une équation de la forme

\[C : Y^2 = aX^4+bX^3+cX^2+dX+e \qquad (a,b,c,d,e \in \mathbf{Z})\]

munie d’une application $m : C \to E$ qui « ressemble » (en un sens que nous ne préciserons pas) à la multiplication par $2$ sur $E$. À chaque élément de $S_2(E)$ on peut alors associer la forme quartique binaire [18]

\[Q(x,y) = ax^4+bx^3 y+cx^2 y^2+dxy^3+ey^4.\]

Les invariants $I$ et $J$ d’une telle forme quartique sont définis par

\[I = 12ae-3bd+c^2 \qquad J = 72ace+9bcd-27ad^2-27eb^2-2c^3.\]

Ces expressions compliquées sont des généralisations du discriminant $b^2-4ac$, défini pour les formes quadratiques binaires $ax^2+bxy+cy^2$.

Si $E$ est donnée par l’équation $y^2=x^3+Ax+B$, avec $A$ et $B$ entiers choisis minimaux, alors les formes quartiques binaires associées à $S_2(E)$ peuvent être choisies de telle sorte que leurs invariants valent $I=-48A$ et $J=-1728 B$.

Comptage de formes binaires

Deux formes binaires $Q$ et $Q'$ à coefficients entiers sont dites équivalentes si on peut passer de l’une à l’autre par des changements de variables à coefficients entiers, c’est-à-dire s’il existe $a,b,c,d \in \mathbf{Z}$ tels que $ad-bc= \pm 1$ et $Q'(x,y)=Q(ax+by,cx+dy)$ (on a alors automatiquement $Q(x,y)=\pm Q'(dx-by,ay-cx)$). Deux formes quadratiques binaires équivalentes ont même discriminant, mais la réciproque est fausse. Par exemple les formes $Q(x,y)=2x^2+3y^2$ et $Q'(x,y)=x^2+6y^2$ ont même discriminant $-24$, mais elles ne sont pas équivalentes puisque $1 = Q'(1,0)$ tandis que $1 \not\in Q(\mathbf{Z}^2)$. Cependant, on sait depuis Gauß qu’à discriminant fixé, il n’y a qu’un nombre fini de formes quadratiques binaires à coefficients entiers à équivalence près. Ce nombre, appelé nombre de classes, revêt une grande importance en arithmétique.

On sait également, et c’est un cas particulier d’un théorème général d’Armand Borel et Harish-Chandra datant de 1962, qu’il n’y a qu’un nombre fini de formes quartiques binaires à coefficients entiers d’invariants $(I,J) \neq (0,0)$ fixés. Ce nombre, noté $h(I,J)$, est un analogue du nombre de classes de Gauß.

Pour résumer, on peut associer à chaque élément du $2$-groupe de Selmer $S_2(E)$ une forme quartique binaire à coefficients entiers, d’invariants $(I,J)=(- 48A,-1728 B)$. Une propriété-clé de cette construction est qu’à deux éléments distincts de $S_2(E)$ vont correspondre deux formes quartiques binaires inéquivalentes. Par suite, le nombre d’éléménts de $S_2(E)$ est inférieur ou égal au nombre de classes $h(I,J)$, et on en déduit l’inégalité $2^r \leq h(I,J)$, où $r$ désigne toujours le rang. Il s’agit alors d’obtenir une majoration en moyenne de $h(I,J)$, lorsque $I$ et $J$ varient. C’est le formidable résultat auquel parviennent Bhargava et Shankar : ils montrent que le nombre de classes $h(I,J)$ admet une valeur moyenne finie. Ce théorème s’inscrit dans la lignée des travaux de Gauß, Mertens, Siegel (pour les formes quadratiques binaires) et Davenport (pour les formes cubiques binaires).

Contrairement à ce que les trop brèves considérations ci-dessus pourraient laisser croire, les travaux de Bhargava et Shankar ne se limitent pas aux courbes elliptiques. La détermination de la moyenne du nombre de classes $h(I,J)$ a d’autres conséquences importantes, notamment en théorie algébrique des nombres, par exemple dans l’étude des corps cubiques [19]. Enfin, les techniques de Bhargava et Shankar sont susceptibles d’être utilisées dans de nouvelles situations, où l’on remplacerait l’ensemble des formes binaires par des espaces arithmétiques plus généraux. Il est raisonnable d’espérer que leurs méthodes trouveront de nombreuses applications intéressantes.

Pour en savoir plus

Pour une première approche des courbes elliptiques, nous renvoyons au livre de Marc Hindry, Arithmétique (Calvage et Mounet, 2008). Le chapitre 5 de cet ouvrage est une introduction aux courbes elliptiques et propose notamment une démonstration du théorème de Mordell. On trouvera ici et ici une présentation plus détaillée de ce livre.

On pourra également consulter les ouvrages suivants :

  • Pierre Colmez, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l’École polytechnique, 2011. (Le résultat de Bhargava et Shankar apparaît dans l’annexe F.)
  • Yves Hellegouarch, Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles, Dunod, 2009.
  • Joseph H. Silverman, John Tate, Rational points on elliptic curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1992.

Bjorn Poonen a également écrit un article (en anglais) qui donne un bon aperçu de la théorie moderne des courbes elliptiques. Le texte du séminaire Bourbaki de Bjorn Poonen est disponible sur sa page web.

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Bjorn Poonen

Manjul Bhargava et Arul Shankar ont annoncé leurs résultats en juin 2010 sur le serveur de prépublications arXiv.org : voici la première prépublication, suivie de la deuxième qui améliore la borne pour le rang moyen des courbes elliptiques (attention, ces articles sont bien sûr plutôt destinés aux spécialistes avertis !).

P.S. :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive, les relecteurs suivants : Serge Cantat, Xavier Caruso et François Gramain. L’auteur remercie également Luc Brunault, Carole Gaboriau, Étienne Ghys et Julien Melleray.

Notes

[1Voici le problème de Diophante (dont vous pouvez essayer de trouver une solution !) : décomposer le nombre 16 en somme de deux carrés. Ici « carré » signifie carré d’un nombre de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers $\geq 1$.

[2On pourra se référer à l’article Représentations galoisiennes et théorème de Fermat-Wiles par Bas Edixhoven sur ce site pour plus de détails... Signalons simplement que les courbes elliptiques sont au centre de cette preuve !

[3Rappelons qu’un nombre rationnel est un nombre de la forme $\frac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b \neq 0$.

[4Il y a cependant des exceptions : par exemple, la courbe d’équation $y^2=x^3$ admet le paramétrage $(x,y)=(t^2,t^3)$, où $t$ parcourt l’ensemble des nombres réels.

[5On pourrait, plus généralement, considérer des coefficients dans un corps quelconque $K$ (par exemple $K=\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, mais aussi $K=\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ avec $p$ premier...), et demander que la « courbe » $C$ possède un point à coordonnées dans $K$. On obtiendrait ainsi une courbe elliptique définie sur $K$. Dans cet article, nous ne considérerons que des courbes elliptiques définies sur le corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels.

[6Dire que $C$ ne contient pas de droite équivaut à dire que le polynôme $P$ est irréductible, c’est-à-dire ne s’écrit pas $P=P_1 P_2$ avec $P_1,P_2$ polynômes non constants à coefficients réels. Cette hypothèse d’irréductibilité est là pour éviter le cas « dégénéré » où la courbe $C$ serait réunion d’une droite et d’une conique, ou bien réunion de trois droites.

[7Ce point peut éventuellement être à l’infini, ce qui signifie qu’il existe une branche infinie de $C$ satisfaisant la propriété suivante : lorsqu’un point $(x,y)$ part à l’infini sur cette branche, le quotient $\frac{y}{x}$ tend vers une limite rationnelle ou infinie. On peut alors parler de direction asymptotique rationnelle. Par exemple, la courbe $C : x^3+y^3=9$ possède une direction asymptotique rationnelle : en effet, le quotient $\frac{y}{x}$ tend vers $-1$ lorsque le point $(x,y)$ tend vers l’infini sur $C$. À l’opposé, la courbe $C' : 2x^3-y^3=1$ ne possède pas de direction asymptotique rationnelle, puisque $\frac{y}{x}$ tend vers $\sqrt[3]{2}$ lorsque le point $(x,y)$ tend vers l’infini sur $C'$.

[8En fait, des calculs semblables apparaissent déjà dans les Arithmétiques de Diophante, ainsi que dans l’Algèbre nouvelle de François Viète. Cependant, rien ne permet d’affirmer que Diophante, Viète ou Fermat connaissaient l’interprétation géométrique de ces calculs.

[9Géométriquement, cela correspond au fait que si une droite $D$ de pente $-1$ rencontre la courbe $C$ en un point $P$, alors $D$ recoupe $C$ au point $P'$, symétrique de $P$ par rapport à la première bissectrice des axes.

[10Les points considérés dans ce raisonnement peuvent éventuellement être confondus. Par convention, si $P=Q$, alors la droite $(PQ)$ désigne la tangente de $C$ en $P$. Pour être rigoureux, il faudrait également prendre en compte les éventuels points à l’infini de $C$, c’est-à-dire travailler dans le plan projectif (à ce sujet, voir cet article de Christine Huyghe ainsi que cet article d’Erwan Brugallé et Julien Marché).

[11Le point $P+Q$ n’est bien sûr pas donné par la somme terme à terme des coordonnées !

[12Les propriétés de l’addition usuelle ne restent cependant pas toutes valables : par exemple, il peut exister des points rationnels $P \neq O$ tels que $P+P=O$, ce qui est impossible dans l’ensemble des nombres réels !

[13On pourra consulter le billet Soit $G$ un groupe de Christine Huyghe pour d’autres exemples d’apparitions de la notion de groupe en mathématiques.

[14Auquel on a rajouté les points à l’infini de $E$ qui sont rationnels, s’il y en a.

[15La définition du rang par Poincaré dans l’article Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques est en fait légèrement différente. Mais dans cet article, il pose la question essentielle suivante : Quelles valeurs peut-on attribuer au nombre entier que nous avons appelé le rang d’une cubique rationnelle ?

[16Il y a là une subtilité. En effet, les mathématiciens ont l’habitude de considérer deux courbes elliptiques comme équivalentes (et même de les identifier) lorsqu’ils peuvent passer de l’une à l’autre par un changement de variables à coefficients rationnels. Ceci est justifié par le fait qu’un tel changement de variables ne va pas modifier les propriétés arithmétiques de la courbe (par exemple, le groupe des points rationnels aura la même structure). On doit donc s’habituer au fait qu’une courbe elliptique peut être définie par plusieurs équations. La hauteur d’une courbe elliptique doit alors être définie en termes d’une équation minimale (en un certain sens) de cette courbe.

[17La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est l’un des problèmes du Clay Mathematical Institute, dont la solution est récompensée par un prix d’un million de dollars. Sachant que Bhargava et Shankar ont démontré cette conjecture pour une proportion strictement positive de courbes elliptiques, pourront-ils prétendre à une proportion strictement positive de la récompense ?

[18Quartique signifie « de degré 4 », et binaire signifie « en deux variables ».

[19Un corps cubique est un corps de la forme $\mathbf{Q}(a)$, où $a$ est racine d’un polynôme irréductible de degré $3$ à coefficients entiers.

Crédits images

Image à la une — Jean Brette et Yassine Mrabet (Wikimedia Commons) http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torsion_on_cubic_curve.svg
Manjul Bhargava et Arul Shankar — Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011)

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : François Brunault, « Le rang des courbes elliptiques »Images des Mathématiques, CNRS, 2012.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html

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