Le relascope

Piste verte 4 mars 2014  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (3)

Vous êtes dans une forêt et vous voulez estimer la quantité de bois qu’elle contient.
Pourquoi ?
Peut-être que vous êtes forestier et que vous voulez vendre ce bois.
Ou peut-être que vous aimez calculer, tout simplement ?

Alors, il vous faut acheter un relascope de Bitterlich.
Rassurez-vous, on en trouve à très bon marché.
Les premiers prix tournent autour de 20 euros.
À vrai dire, nous disposons tous d’un relascope gratuit : notre pouce.

Il faut d’abord expliquer ce qu’est la surface terrière d’une forêt.
En gros, il s’agit de la proportion de la superficie totale utilisée par les arbres.
Pour préciser, je suppose que la forêt est sur un terrain plat.
Imaginez un plan horizontal à 1,3 m de hauteur (« hauteur de poitrine »).
Ce plan coupe les arbres sur des formes plus ou moins circulaires.
La surface terrière est la proportion de la surface totale occupée par toutes ces sections d’arbres.

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On l’exprime en général en mètres carrés (de bois) par hectare (de forêt).
Par exemple, pour une forêt de pins on recommande une surface terrière de l’ordre de 20
${\rm m}^2/{\rm ha}$

Alors, voici comment utiliser votre pouce pour estimer la surface terrière.
Levez votre pouce avec votre bras tendu horizontalement et tournez sur vous-même pour faire le tour du paysage.

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Parfois, vous voyez dans votre champ visuel un arbre qui est plus gros que votre pouce.
Cet arbre est peut-être gros et loin ou au contraire pas très gros mais proche.
Comptez le nombre de ces arbres qui sont visuellement plus gros que votre pouce.

Je multiplie ce nombre par 4 et j’obtiens… la surface terrière.

J’ai écrit « je » multiplie car ça dépend bien sûr des dimensions du pouce et du bras.
Mon pouce mesure $a=2,5 {\rm cm}$ de large et une fois le bras tendu il se trouve à $b=63 {\rm cm}$ de mon œil : je viens de mesurer ça !
Pour vous, il vous faudra multiplier par $2500 \frac{a^2}{b^2}$.
Mesurez votre pouce et votre bras et faites le calcul.

Quelques remarques

Un article plein d’humour publié dans la Revue Forestière Française, suggère que les forestiers qui ont la chance que leur $2500 \frac{a^2}{b^2}$ soit un entier devraient être promus « au grand choix » par l’administration des eaux et forêts :-)

Évidemment, même si je peux être fier que mon $2500 \frac{a^2}{b^2}$ vaut (presque) 4, on comprend que je ne peux trouver comme surface terrière que des valeurs entières multiples de 4, et que ceci manque de précision.
Je peux m’en sortir en utilisant mon petit doigt qui mène cette fois presque exactement à un coefficient 3. Je mérite vraiment cette promotion !
Clairement, si on veut améliorer la précision, il faut de grands bras ou des doigts très fins, ou encore fabriquer un instrument de « haute technologie », fondé sur cette idée : c’est le relascope de Bitterlich.

Les relascopes les plus primitifs sont « à chaînettes ».
A l’extrémité d’une chaîne, on place une petite plaque qui contient un trou dont la dimension est connue exactement, plus petite qu’un doigt.

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C’est ce genre de modèles que vous pourrez acheter pour quelques euros.

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Notez que pour une chaîne de 50 cm avec un trou de 1 cm, le coefficient $2500 \frac{a^2}{b^2}$ est exactement égal à 1. Pratique...

Mais il y a des relascopes plus élaborés, très précis, qui fonctionnent sur le même principe mais qui utilisent un viseur et des graduations.
En voici un exemple.

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Pour le mode d’emploi, vous pouvez lire ceci.

Comment ça marche ?

Aussi incroyable que ça puisse paraître, cette technique qui permet de mesurer la surface terrière n’a été inventée qu’en 1949,
alors que ça faisait des siècles qu’on exploitait les forêts.
L’idée est simple, mais il fallait y penser.

Lorsque je vise avec mon pouce (ou avec mon relascope), mon regard décrit un secteur angulaire qui a un certain angle $\alpha$.

Le calcul de $\alpha$ est facile.

Si je décris un cercle le bras tendu, le périmètre de ce cercle est $2 \pi b$ où $b$ est la longueur de mon bras (dans mon cas, on obtient $2\times 3,14 \times 0,63$, soit presque 4 m).

Sur ce cercle, je peux mettre bout à bout $2 \pi b/a $ fois mon pouce puisque celui-ci est de longueur $a$ (dans mon cas, je peux mettre 158 pouces).

L’angle visuel sous lequel je vois mon pouce est donc un tour complet divisé par $2 \pi b/a $.
Si on compte en
degrés, on a donc $\alpha \simeq \frac{360}{2 \pi} \frac{a}{b}$ degrés.
Pour mon pouce, cela fait environ 2,3 degrés.
 [1]
 [2].

Maintenant, considérons un arbre dans la forêt, ou plus précisément sa section à 1,3 m de hauteur.
Supposons que cette section soit un disque de rayon $r$.
À quelle condition vais-je le comptabiliser dans mon calcul ?
Eh bien, si je vois cet arbre sous un angle supérieur à $\alpha$.
Concrètement, cela signifie que j’observe l’arbre depuis un point situé dans un disque centré sur l’arbre et d’un certain rayon $R$.
Le point important est que le rapport $R/r$ ne dépend que de l’angle $\alpha$ et pas de l’arbre considéré.
Pour vous en convaincre, regardez la figure :

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Nous avons déjà calculé l’angle $\alpha$ comme étant approximativement égal à $\frac{360}{2 \pi} \frac{a}{b}$ degrés. Par le même argument, il est aussi égal approximativement à $\frac{360}{2 \pi} \frac{2r}{R}$ degrés. Le diamètre $2r$ de l’arbre correspond à la taille de mon pouce et le rayon $R$ correspond à la longueur de mon bras. On a donc à peu près

\[ \frac{2r}{R}=\frac{a}{b} \]

et donc

\[ R= \frac{2b}{a}r. \]

En fait, il ne s’agit que d’une application du théorème de Thalès...

Autrement dit, je comptabilise un arbre si je suis dans un disque centré sur l’arbre et de rayon $2b/a$ fois plus grand que celui de (la section de) l’arbre (50 fois pour moi).

La surface d’un disque est proportionnelle au carré de son rayon, si bien que le disque de rayon $R$ a une surface égale à celle de l’arbre multipliée par $4 \frac{b^2}{a^2}$.
Dans mon cas $2500$ fois plus grande.

Résumons. Chaque arbre est entouré par un disque concentrique dont la superficie est $4 \frac{b^2}{a^2}$ fois plus grande que lui.
Si je suis dans ce disque, je compte l’arbre et sinon, je l’ignore.
Le nombre d’arbres décomptés est donc simplement le nombre de disques qui contiennent mon poste d’observation.

Considérons une forêt de 1 hectare.
La surface totale de tous ces disques, pour tous les arbres de la forêt, est donc $4 \frac{b^2}{a^2}$ fois la surface terrière.
Bien sûr tous ces disques se chevauchent en général.
Alors, posons-nous la question suivante.
On dépose « au hasard » sur une superficie $s$ un grand nombre de disques dont la superficie totale est $S$, bien plus grande que $s$. Si on prend un point « au hasard », à combien de disques appartient-il en moyenne ?
Eh bien, on comprend intuitivement que la réponse est $S/s$ : le nombre moyen de chevauchements en quelque sorte.
En utilisant le vocabulaire de la théorie des probabilités, on dit aussi que l’« espérance mathématique » du nombre de disques auxquels appartient un point choisi au hasard dans la forêt est égale à $S/s$ [3].

Regardez la figure suivante :

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Sur un carré, j’ai déposé 20 disques dont la surface totale est environ 2,4 fois celle du carré.
Il en résulte qu’en moyenne un point du carré appartient à 2,4 disques [4].

Un argument

En fait, cette observation résulte d’une propriété importante du concept d’espérance dans la théorie des probabilités.

Si vous placez un seul disque dont la surface est $S_1$
dans le domaine de surface $s$, la probabilité pour qu’un point soit dans ce disque est $S_1/s$ si bien que l’espérance de la variable aléatoire « nombre de disques qui contiennent un point aléatoire $x$ » (qui vaut 0 ou 1) est $S_1/s$.

Si vous ajoutez d’autres disques, les espérances s’ajoutent, tout simplement.
L’espérance de la variable « Nombre de disques contenant $x$ » est donc bien $S/s$.

On peut conclure maintenant.
L’espérance du nombre d’arbres que je comptabilise parce qu’ils sont « plus gros que mon pouce » est égal à $4 \frac{b^2}{a^2}$ fois la surface terrière.
Dit autrement, l’espérance de la surface terrière est égale au nombre d’arbres comptabilisés multiplié par $ \frac{a^2}{4b^2}$ mais si on veut utiliser les unités « mètres carrés par hectare » il faut multiplier par 10000, ce qui mène au coefficient multiplicateur de
\[ 2500 \frac{a^2}{b^2} \]
qui vaut 4 pour mon pouce.

Alors, bien sûr, c’est une espérance au sens des probabilités, pas une certitude.
Peut-on lui faire confiance ?
Il pourrait se faire que je me sois placé dans une clairière et il va de soi que je ne mesurerais pas grand-chose !
Mais les forestiers ne sont pas des imbéciles et ils savent où se placer.
Il s’agit maintenant d’une question précise de théorie des probabilités qui va dépendre de la distribution géographique des arbres dans la forêt.
Les forestiers connaissent ça, aussi bien d’un point de vue théorique que pratique.
Par exemple, pour une forêt « normale » de un hectare, on recommande de faire quatre mesures au relascope en quatre points et de faire ensuite la moyenne des résultats.
Pour les calculs d’incertitude, voir le paragraphe IV de cet article [5].

Un remords : Il pourrait se faire qu’un arbre « plus gros que mon pouce » en cache un autre qui est derrière lui. Alors, mon décompte ne serait pas correct puisque je ne verrais pas l’arbre caché. Ces événements sont-ils rares ? Faussent-ils le calcul ? Je n’en sais rien et je laisse les lecteurs de IdM réfléchir à cette difficulté ! Pour lancer le débat, je fais le petit calcul suivant. Dans une forêt « normale », de surface forestière de l’ordre de 25, mon pouce « détecte » 5 ou 6 arbres visibles sous un angle supérieur à quelques degrés. Ce serait vraiment manquer de chances qu’un de ces 5 ou 6 arbres se cache.

Il reste une question.

Connaître la surface de bois, à 1,3 m d’altitude, c’est bien, mais ce qu’on veut vraiment connaître c’est le volume de bois !
Suffit-il de multiplier par la hauteur moyenne des arbres ?
Certainement pas.
Les arbres ne sont heureusement pas des cylindres parfaits : ce serait trop triste.
Les forestiers introduisent un « coefficient de forme » $f$ plus petit que 1.
Pour obtenir le volume d’un arbre, vous multipliez la superficie de sa section à 1,3 m par la hauteur et vous multipliez le résultat par $f$.
La littérature est immense sur la détermination de $f$, mais pour simplifier, pour des pins par exemple, on choisit souvent $f=0,8$.

Bien sûr, le relascope permet aussi de mesurer les hauteurs des arbres.
Mais il s’agit là d’une application plus connue du théorème de Thalès sur laquelle je reviendrai peut-être dans un autre article IdM.

La petite histoire

La fiche Wikipedia de Walter Bitterlich en français dit sobrement : « né le 19 février 1908 et mort le 9 février 2008, [c’]est un forestier de renommée mondiale. Il est particulièrement connu pour avoir inventé le relascope, qui permet de mesurer la surface terrière d’une parcelle en forêt ». Renommée mondiale ? Je vois que les forestiers sont comme les mathématiciens : convaincus qu’ils sont célèbres ?

La page anglaise donne beaucoup plus d’informations. On y apprend que l’idée du relascope a été présentée en 1949 au Congrès International des Forestiers à Helsinki et qu’elle a engendré de grands remous dans la communauté scientifique mondiale.

L’app Relascope sur votre mobile ?
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Eh oui, ça existe ! Je viens de découvrir iBitterlich
et de le télécharger ! Une version pour Android existe aussi.

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Post-scriptum :

Un grand merci à Bruno Sévennec et Claude Danthony qui m’ont révélé l’existence de cet instrument merveilleux. Merci à Clément M, janpol3, Frédéric Paccaut, Marcus Mildner et Serge Cantat pour leurs relectures attentives et leurs conseils.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Si on compte en radians, on a tout simplement $\alpha \simeq \frac{a}{b}$ radians.

[2Voici quelques trucs pour évaluer des angles visuels. La main tendue, les doigts écartés, vous voyez 20 degrés. Si les doigts ne sont pas écartés, vous voyez 10 degrés. L’index (dans la largeur) définit un angle d’un degré.

[3Si je joue à un jeu de hasard et que je gagne une somme de 100 euros avec une probabilité de 1/4, de 20 euros avec probabilité 1/2 et rien du tout avec probabilité 1/4, l’« espérance » de mon gain et $\frac{1}{4} \times 100 + \frac{1}{2} \times 20 + \frac{1}{4} \times 0$, c’est-à-dire 35 euros. C’est l’estimation de mon gain que je peux faire avant de jouer. Comme on le voit, l’espérance n’est qu’une moyenne pondérée par les coefficients que sont les probabilités.

[4Un relecteur de cet article, peut-être un peu pointilleux, me fait remarquer que les disques associés aux arbres en lisière sortent de la forêt. Il a bien sûr raison, mais je négligerai cet « effet de bord ».

[5Dans cet article, l’auteur recommande un autre article pour le calcul de l’incertitude, « qui n’intéressera toutefois le lecteur que si intégrales et différentielles ne le rebutent pas... »

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Le relascope» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - http://www.amazon.com/The-relascope-Bitterlichs-Relaskop-throughout/dp/0950046809
img_11418 - http://academie-du-crepuscule.xooit.fr/t6-Foret-des-brumes-nocturnes.htm

Commentaire sur l'article

  • Le relascope

    le 4 mars 2014 à 10:43, par Samuel

    Superbe article !

    Répondre à ce message
  • Le relascope

    le 8 mars 2014 à 14:05, par lboullu

    Très bon article, merci !

    Répondre à ce message
  • Le relascope

    le 20 mars 2014 à 15:25, par Sylvain Barré

    J’adore cet article ! Je propose une autre « preuve », peut-être plus réaliste....
    Moi je fais comme si tous les arbres avaient la même taille T, alors si je vois N arbres, c’est qu’ils sont tous dans une boule de rayon R (pour T/R = a/b).
    Et alors la surface terrière dans cette boule est N (T/2R)^2. Qu’en pensez-vous ?

    Répondre à ce message

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