Le rêve de la raison

28 juillet 2013  - Ecrit par  Javier Fresán Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera accompagné du sommaire du livre.

Extrait du Chapitre 3 - Le programme de Hilbert

Dieu existe parce que les mathématiques sont cohérentes,
et le Diable existe, puisque nous ne pouvons pas le démontrer.

Citation attribuée à André Weil

« Qui n’aimerait pas pouvoir lever délicatement le voile derrière lequel se cache
l’avenir pour entrevoir les futurs progrès de la science et les secrets de son développement
 ? »
Un nouveau siècle commençait et des milliers de personnes se promenaient
dans les pavillons de l’Exposition universelle de Paris, sous un fort soleil d’août.
Pendant ce temps, David Hilbert avait pris la parole dans l’amphithéâtre Chasles
de la Sorbonne et, pour la première fois dans un congrès international de mathématiques,
il traita non de ce qui avait été démontré mais de ce qui restait à découvrir.
Personne ne doutait que David Hilbert était le meilleur mathématicien de
sa génération. Pourtant, sa conférence avait été reléguée dans l’une des sections
secondaires du congrès, aux côtés d’une étude sur les anciens géomètres japonais et
la proposition d’adoption d’une langue scientifique commune à tous les pays. David
Hilbert avait été bien sûr sollicité pour donner l’une des conférences plénières de la
réunion de Paris, mais le mathématicien allemand avait tellement tardé à choisir son
sujet que les organisateurs durent finalement l’exclure du programme. En le voyant
monter à la tribune avec ses lunettes si caractéristiques, le public se demandait ce
qu’il avait bien pu faire pendant tout ce temps.

« L’Histoire nous a montré la continuité du développement de la science. Nous
savons que chaque époque a ses problèmes particuliers et qu’il incombe à la génération
suivante soit de les résoudre, soit de les écarter parce qu’ils sont inutiles et de
les remplacer par d’autres. » Hilbert était convaincu que le seul moteur du progrès
des mathématiques était la résolution de problèmes. C’est pourquoi, en s’adressant
à l’auditoire à la Sorbonne, le chef de l’école de Göttingen insista beaucoup sur
ce que signifiait réellement résoudre un problème, c’est-à-dire sur l’importance de
trouver une démonstration qui, partant d’un nombre fini d’hypothèses formulées
en des termes exacts, mènerait à la conclusion en un nombre fini de déductions rigoureuses.
Pour illustrer ces idées, Hilbert choisit les vingt-trois questions qui, selon
lui, marqueraient le cours des explorations mathématiques du xxe siècle, sans avoir
le temps de toutes les commenter. Le témoignage de ses amis, les mathématiciens
Hermann Minkowski (1864-1909) et Adolf Hurwitz (1859-1919), nous apprit tout
le travail que lui avait coûté la sélection des problèmes qu’il présenta à Paris. Pourtant,
il ne douta pas un seul instant de la nécessité d’inclure l’un d’entre eux dans
cette sélection. Le deuxième de la liste était la question suivante, apparemment
innocente : les axiomes de l’arithmétique sont-ils non contradictoires ?

Le problème du cardinal du continu

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que l’une des grandes découvertes de Georg
Cantor consista à démontrer que tous les ensembles infinis n’avaient pas la même taille. En
effet, l’argument diagonal met en relief le fait qu’il y a moins d’entiers naturels que de suites
infinies de $0$ et de $1$. Le premier problème de la liste de Hilbert demande de répondre, affirmativement
ou négativement, à la question de savoir s’il existe un ensemble dont le cardinal
soit supérieur à celui des entiers naturels mais inférieur à celui des suites de 0 et de 1. Grâce aux travaux de Kurt Gödel (1940) et de Paul Cohen (1963), mathématicien à l’université de Stanford, on sait aujourd’hui que ce problème ne peut être ni démontré ni réfuté à partir de l’axiomatisation habituelle de la théorie des ensembles.

Quand Hilbert présenta sa conférence, le 8 août 1900, les premiers paradoxes de
la théorie des ensembles avaient déjà fait leur apparition, mais il manquait encore
une année à Russell pour découvrir la contradiction qui déclencherait toutes les
alarmes. La diffusion du paradoxe de l’ensemble de tous les ensembles ne s’appartenant
pas serait rapide et mettrait en émoi les cercles des mathématiciens européens :
en Angleterre, Whitehead annoncerait la fin des « matins joyeux et tranquilles » ; en
Allemagne, Frege se résignerait à ajouter une annexe à ses Fondements de l’arithmétique,
et en France, Henri Poincaré, ennemi de la logique mathématique, répéterait
victorieusement : « La logique formelle n’est pas seulement stérile, elle engendre
des contradictions ! » Si l’on attendait une réponse brillante de quelqu’un, c’était
bien de David Hilbert, que l’on voyait comme une véritable réincarnation d’Euclide
après qu’il eut abandonné l’étude de la théorie des nombres pour publier, en
1899, une axiomatisation de la géométrie qui inaugurait le point de vue actuel.

Cependant, Hilbert
ne prit pas la peine de trouver une réponse qui passerait à la
postérité, comme celles de Whitehead, Frege et Poincaré : ce n’était pas nécessaire
lorsqu’on savait comment éliminer les paradoxes des mathématiques.

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David Hilbert était la personne la plus indiquée pour mettre fin aux paradoxes.

[...]

PDF - 2.2 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Jérôme Buzzi. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Javier Fresán — «Le rêve de la raison» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli

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