Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

Si tu cales sur un exercice, fais un dessin et tu t’en sortiras !

18 janvier 2016  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (12)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Quand on pense au nombre $5$, on imagine les cinq doigts d’une main, à $7$ on pense aux sept jours de la semaine, à $2000$ à son salaire
mensuel de $2000$ euros... Bref, à un nombre entier « accessible » on associe un ensemble d’objets familiers pour le représenter. Je parie que si on posait la question
« à quoi vous fait penser le nombre ${8\over {11}}$ ? », beaucoup répondraient « $8$ pizzas à partager entre $11$ personnes ! » (c’est seulement une blague).
Pythagore
étant présent dans la tête des gens, $\sqrt{2}$ évoque sûrement la diagonale d’un carré de côté $1$..., et on peut encore donner beaucoup d’exemples de ce type. C’est que
les premiers objets mathématiques qu’on découvre, en l’occurrence les nombres, les figures géométriques les plus simples... sont ceux qui remplissent
notre vie quotidienne. Les dessins (ou gribouillis) sont notre première expression d’enfant ; il serait donc dommage de ne pas en user pour enseigner les maths ! Une pratique qui existe
encore (heureusement) à l’école primaire mais qui tend à disparaître (si ce n’est déjà fait) dans le secondaire. Et on ne peut que déplorer son absence totale à l’université ces dernières années comme tout le monde a pu le voir. Je le vois encore lors de mes séances de cours ou de travaux dirigés.
Évoquer quelques-unes des expériences vécues est certainement plus parlant que tout exposé théorique.

Ce sont des histoires qui se répètent d’année en année.
Il n’est pas dans mes intentions de les raconter pour dénigrer Unetelle ou Untel et encore moins les étudiants, qui en sont les personnages mais qui sont aussi les premières victimes du système.
Il s’agit simplement de montrer comment leurs lacunes en géométrie les privent d’un outil puissant et pratique quand ils sont en face d’un
exercice. Ils ne comprennent pas bien pourquoi on leur demande quelquefois de résoudre géométriquement un problème d’algèbre ou d’analyse.
(Pour en savoir plus sur le rôle des images en mathématiques voir ici, c’est très instructif.)

1. Clin d’œil à l’algèbre

Cette première histoire est extraite de [1].
Au cours d’une séance de travaux dirigés, j’ai posé la question suivante aux étudiants :

— Peut-on diagonaliser la matrice $A$ d’une rotation linéaire d’angle $90$ degrés ?

Je m’attendais à une réponse rapide (géométrique bien entendu). Rien de tout cela, on n’y pense même pas. Mais on sort la bonne recette du chef : on retranche $\lambda $ de tous les termes diagonaux, on calcule le déterminant, puis le discriminant (il le faut absolument ?) et paf ! celui-ci est négatif.

— Monsieur, pas de solutions réelles, on ne peut donc pas diagonaliser $A$.

— C’est parfait ! mais que signifie cela du point de vue géométrique ? leur dis-je.

— On ne sait pas. On ne nous a jamais rien dit là-dessus et on nous déconseille même de faire des dessins. On doit se contenter de calculer.

Oui, en effet, seul le calcul convainc. Tout s’arrête là. Je n’étais pas étonné de cette réaction et j’avais du mal à comprendre pour quelle raison on ne peut pas (ou on ne doit pas) leur expliquer l’aspect géométrique qu’il y a derrière. Je décide de réparer (ce que je n’ai jamais cassé). C’est alors tout le tralala « valeur propre, vecteur propre... » qu’il fallait reprendre, mais je passe par dessus tout pour ne retenir que le fait (sur lequel finalement on s’est mis d’accord) que l’existence d’une valeur propre non nulle implique celle d’un vecteur non nul dont la direction (ou la droite qui le porte) reste la même sous l’effet de l’application linéaire. Je leur demande de dessiner le plan euclidien (celui de tout le monde : deux axes perpendiculaires portant chacun un vecteur de longueur $1$ d’origine le point d’intersection) ; ils le font ; ensuite de prendre un vecteur non nul et lui appliquer la rotation ; ils le font.

— Ah oui, tous les vecteurs tournent d’un quart de tour, s’écrient-ils ; aucune direction ne reste la même.

— Et donc ?

— Pas de valeur propre réelle, $A$ n’est pas diagonalisable, s’empressent-ils de conclure.

Leur joie fut éclatante de découvrir en « voyant avec leurs yeux » (au sens propre du terme) le « phénomène valeur propre et vecteur propre ». Ils en connaissent la définition, par la simple phrase habituelle (qu’ils récitent) : On dit que $\lambda $ est valeur propre de l’endomorphisme $f$ s’il existe un vecteur non nul $\overrightarrow u$ tel que
$f(\overrightarrow u)=\lambda \overrightarrow u$ ; on dit alors que $\overrightarrow u$ est un vecteur propre associé à $\lambda $.
Et tout reste là. Dommage ! ça laisse l’enseignement qu’ils subissent incomplet.

2. Graphe ou expression analytique ?

C’est très intéressant pardieu ! Sur un graphe on voit des choses mais pas toujours sur une expression analytique si elle n’est pas si simple et,
bien entendu, que dalle
si, en plus, elle est donnée en morceaux ! Voici encore une histoire.

Nous étions en séance de travaux dirigés en train d’étudier les liens entre les modes de convergence sur l’espace $E$
des fonctions continues $[0,1]\longrightarrow {\Bbb R}$ associés aux deux normes :
\[\vert \vert f\vert \vert_\infty =\sup_{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert \hskip1cm \hbox{et} \hskip1cm \vert \vert f\vert \vert_1=\int_0^1\vert f(x)\vert dx.\]
Je pose la question suivante aux étudiants : existe-t-il un nombre réel $k>0$ tel que
$\vert \vert f\vert \vert_\infty \leq k\vert \vert f\vert \vert_1$ pour toute fonction $f\in E$
 ? histoire de savoir si
la convergence en moyenne implique la convergence uniforme.
Ils n’étaient pas nombreux (une quinzaine à peu près). Je pouvais donc me permettre de faire un tour de salle et interroger chacun individuellement :

— Qu’en pensez-vous ? Vrai ou faux ?

— Vrai !

— Pourquoi ?

— Je ne sais pas.

— Et vous ?

— Faux !

— Pourquoi ?

— Je ne sais pas.

...

— Et vous ?

— Je ne sais pas.

...

Bref, un jeu de questions à choix multiple ! Et surtout le « je ne sais pas » dès que je leur demande de justifier
leurs réponses. Je me doutais bien que ça n’allait pas avancer comme ça ; il fallait poser la question en mode impératif :
montrer qu’il n’existe pas de réel $k>0$ tel que
$\vert \vert f\vert \vert_\infty \leq k\vert \vert f\vert \vert_1$ pour toute fonction $f\in E$.

C’est ce que je fis.

— Alors, c’est un peu plus clair maintenant ? leur dis-je.

J’espérais les amener à comprendre qu’il suffit par exemple de trouver une suite $f_n$ tendant vers $0$ pour
la norme $\vert \vert \hskip0.2cm \vert \vert_1$ mais pas pour $\vert \vert \hskip0.2cm \vert \vert_\infty $. J’y suis arrivé mais après pas mal de
rappels et de tractations. Il restait juste à exhiber une telle suite $f_n$ et à calculer $\vert \vert f_n\vert \vert_1$ et $\vert \vert f_n\vert \vert_\infty $
pour voir si elle convenait. Je leur ai laissé du temps à cet effet. Mais tous n’ont cherché que
l’expression analytique, aucun d’entre eux
n’a eu le réflexe de définir $f_n$ par son graphe. C’est pourtant plus intuitif quand on a bien compris ce qu’est
l’intégrale d’une fonction réelle continue positive sur un intervalle compact. J’ai eu droit à une multitude de propositions mais aucune n’était satisfaisante :
quand l’une des deux propriétés était vérifiée l’autre manquait ! J’ai fini par céder (comme toujours pour avancer) : je leur ai fait le dessin ci-dessous et
les ai invités à bien le regarder et à calculer $\vert \vert f_n\vert \vert_1$ et $\vert \vert f_n\vert \vert_\infty $.

Pour $\vert \vert f_n\vert \vert_\infty $, ce n’était pas si immédiat mais ils y sont arrivés. Quant à $\vert \vert f_n\vert \vert_1$,
j’avais espéré qu’ils allaient remarquer que ce n’est rien d’autre que l’aire du triangle $OA_nM_n$ qui vaut immédiatement ${1\over {n}}$. Mais non !
ils ont foncé sur les calculs, essayant d’exprimer analytiquement $f_n$, pour en donner une primitive...! Je laisse le lecteur imaginer la suite de l’histoire.

Ces exemples nous montrent bien à quoi mène la réduction drastique du volume des cours de géométrie au
collège, au lycée et à l’université. Je ne suis évidemment pas le seul à vivre ces expériences. C’est le cas de presque tous les collègues ;
j’espère que certains d’entre eux
apporteront aussi leurs témoignages propres.
Cela permettra de lancer encore une fois un débat là-dessus même si le problème a été posé mille fois par-ci par-là !

Notes

[1A. El Kacimi : Le regard géométrique et un peu plus ! À paraître.

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

    le 16 janvier à 00:12, par Bodler

    La question que je me pose en lisant votre article est de savoir si le problème vient d’un manque d’apprentissage de la géométrie plutôt que d’une approche trop formelle des mathématiques. Dit autrement il n’est pas nécessaire de faire plus de cours de géométrie mais il est par contre nécessaire d’insister — en particulier dans les exercices — sur l’interprétation géométrique des résultats et sur leur importance pour développer l’intuition.

    Typiquement votre second exemple avec la norme infinie montre l’importance de la vision graphique pour comprendre les différences notions de convergence ; mais la géométrie utilisée, l’aire du triangle, n’impressionneguère par sa technicité.

    Bodler

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 16 janvier à 07:41, par Thierry JOFFREDO

      En effet j’ai le sentiment que les deux exemples présentés illustrent davantage la recherche systématique par les élèves / étudiants d’une technicité rassurante et confortable (l’enseignement des mathématiques comme recueil de recettes) qu’une réelle ignorance de la géométrie la plus élémentaire.

      Les programmes de mathématiques de l’enseignement secondaire gagneraient bien entendu à réinvestir le champ de la géométrie, mais je lis dans cet article un questionnement plus profond des modalités d’un enseignement qui ne prend pas (ne peut plus prendre ?) le temps de multiplier les points de vue sur un problème et de favoriser la diversité dans les approches, au profit d’une efficacité immédiate de méthodes toutes prêtes qui sont l’objet principal de l’évaluation des élèves, trop souvent vue comme objectif en soi alors que son importance devrait être relativisée, surtout dans les classes de collège, au bénéfice d’activités relevant de la recherche et du questionnement.

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      • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

        le 20 janvier à 16:58, par Aziz El Kacimi

        Merci pour ce commentaire auquel j’adhère totalement !

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 20 janvier à 16:56, par Aziz El Kacimi

      Il y a une forte réduction des cours de géométrie dans le secondaire. C’est un fait, et ça n’est pas pour arranger les choses. Quant à une approche trop formelle des mathématiques, je ne sais pas qui en fait en ce moment tellement l’enseignement de cette matière s’est réduit à un ramassis de recettes.

      « …mais la géométrie utilisée, l’aire du triangle, n’impressionne guère par sa technicité. »

      Son but n’a jamais été d’impressionner ! Le triangle est une figure fondamentale de la géométrie plane : elle permet, dans divers contextes, de simplifier la résolution de beaucoup de problèmes. Moi je dirais que ce serait déjà pas mal de bien comprendre cet objet. Malheureusement beaucoup le considèrent comme secondaire parce que trop simple !

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  • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

    le 16 janvier à 09:03, par orion8

    Discussion à bâtons rompus cette semaine entre collègues de maths en lycée, déplorant la place de plus en plus faible laissée à la géométrie dans le secondaire (et notamment la difficulté de faire passer en Tale S les nombres complexes comme des nombres « actifs »), et la disparition de l’astronomie « géométrique » (notamment les coniques, si formatrices), et voilà que I.M. propose dans la même semaine un article sur « Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths » et « Vie et mort d’un enseignement : la cosmographie ». Un grand bravo !
    Mais c’est un peu le chant du cygne...

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 20 janvier à 16:59, par Aziz El Kacimi

      Oui ! c’est le chant du cygne ! Et il n’est pas certain que les beaux jours que vivra l’enseignement des maths seront pour demain !

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  • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

    le 16 janvier à 11:03, par mesmaker

    Je rejoins l’auteur de l’article et plus généralement le commentaire de Bodler : l’utilisation du dessin, c’est à dire de l’intuition du ressenti, est sous utilisé dans les classes supérieures au profit de la démonstration très rigoureuse mais aussi très/trop abstraite. Un bon dessin permet et d’un de pouvoir avoir une bonne intuition de comment résoudre un problème ou répondre à une question et de deux de se rappeler facilement de formules mathématiques. Le dessin est bien évidemment utile en géométrie mais il peut comme le fait remarquer Bodler être utile dans toutes les branches des mathématiques. On utilise des cercles pour expliquer et visualiser simplement des ensembles et pour comprendre l’inclusion, l’exclusion, ... Cela peut servir en topologie pour visualiser des notions d’adhérence, de limite, ... Même en algèbre avec les groupes ou les anneaux, je suis sûr qu’un bon dessin permet de mieux comprendre ce que l’on fait. Le dessin bien utiliser permet de donner plus de sens à l’objet mathématique créer et donc le rend plus familier et plus intuitif à utiliser. Cependant le dessin n’est que la première étape après il faut formaliser avec le texte, les formules mathématiques classiques et utiliser une démonstration rigoureuse, car un dessin peut parfois aussi être trompeur. Je conclue par une citation qui semble être de Napoléon : « un bon dessin (croquis) vaut mieux qu’un long discours ».

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 20 janvier à 17:03, par Aziz El Kacimi

      C’est vrai ! un dessin peut-être trompeur ! On peut illustrer cela par pas mal d’exemples. Mais il peut aussi suffire, et constituer à lui seul une démonstration !

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  • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

    le 19 janvier à 17:20, par ROUX

    Ah...
    Les croquis que je fais pour comprendre la question et faire surgir une solution ne m’ont jamais semblé être de la géométrie.
    La géométrie m’est toujours apparue comme une des branches des mathématiques avec ses définitions, ses théorèmes, ses codes ; l’un des codes de la géométrie est que la question peut être posée sous la forme d’un dessin.
    Mais je ne peux pas écrire que c’est la géométrie que j’ai faite qui me permet de faire des croquis.
    Non, je dirais que je fais des croquis lorsque je cherche à faire surgir la solution.
    Je dirais que l’absence du réflexe de faire un croquis est lié à la croyance en la rationalité de tout le processus de la découverte d’une solution.
    Or, selon moi, le surgissement de la solution, le tout premier éclair, est irrationnel : c’est un surgissement de l’inconscient dans la conscience, comme une bulle dans le champagne qui vient éclater à la surface.
    Ce qui est rationnel, c’est que ce que je fais consciemment de ce qui a surgi dans ma conscience en provenance de mon inconscient.
    Et, ça, ce n’est jamais dit aux élèves et aux étudiants : il ne leurs est jamais dit qu’un croquis d’aide au surgissement de la solution peut ressembler à un de ses gribouillis qu’on peut faire lorsqu’on est avec quelqu’un(e) au téléphone.
    Il n’est jamais dit qu’il y a ce petit moment d’irrationalité qui peut être rendu plus efficace par des croquis...
    Mais je crois que Poincaré ou Hadamard ont écrit tout cela beaucoup mieux que moi.
    Et puis, je me souviens de ce mathématicien fier de me montrer un livre de mathématiques professionnelles (à son niveau de chercheur) sans un seul dessin (l’objet de la fierté était bel et bien l’absence de dessin).
    Et je sais que plane sur les mathématiques cette phrase terrifiante de Deligne : « Que rien ne reste visible de l’effort que comprendre a coûté ». Rien de visible : avec une phrase comme celle-là, exit les croquis !!!
    Alors, elles et ils ne font pas de croquis sans que les cours de géométrie aient quoique ce soit à y faire.
    Et, d’ailleurs, elles et ils ne font jamais de croquis, et donc pas non plus en physique !!!

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 20 janvier à 17:11, par Aziz El Kacimi

      « Or, selon moi, le surgissement de la solution, le tout premier éclair, est irrationnel : c’est un surgissement de l’inconscient dans la conscience, comme une bulle dans le champagne qui vient éclater à la surface.  »

      Un bon dessin peut stimuler cette irrationalité. Mais ça dépend aussi de la nature et de la difficulté du problème.

      « Et puis, je me souviens de ce mathématicien fier de me montrer un livre de mathématiques professionnelles (à son niveau de chercheur) sans un seul dessin (l’objet de la fierté était bel et bien l’absence de dessin)  »

      Il n’est nulle part dit dans le texte du débat que les mathématiques doivent se réduire aux dessins, ni que les problèmes qui s’y posent doivent être résolus exclusivement par des dessins !

      « Que rien ne reste visible de l’effort que comprendre a coûté »

      Ce ne sont sûrement pas les maths du primaire, ni du secondaire ni même celles des premières années d’université auxquelles a pensé Deligne en disant cela ! Mais probablement à la cohomologie à valeurs dans un gros faisceau, charnu et bien gras !

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  • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

    le 20 janvier à 10:25, par Karen Brandin

    C’est un problème très vaste et assez compliqué ...

    Pour ce qui est de l’enseignement des mathématiques, l’idéal serait sans doute que nous (enseignants) disposions d’ une culture suffisamment riche et diversifiée pour pouvoir proposer, lorsqu’elle est possible et potiellement éclairante, pertinente une intuition géométrique mais c’est rarement le cas.

    On est de ce fait dépendant de nos maîtres, des rencontres, des lectures, des « modes » finalement.

    Dessiner, mettre en forme, c’est « oser » et selon moi cela demande déjà une forme de maturité mathématique, d’audace sans aller pourtant jusqu’au concept de « dessins d’enfants » de Grothendieck ou de diagrammes de Feynman si lourds de sens.

    Il y a des cas où en proposant une image d’un concept (même complètement naturelle) la réaction des élèves/étudiants est violente et où ils vous accusent de les « embrouiller » en les encourageants à visualiser des outils dont ils ont besoin dans un premier temps qu’ils restent « extérieurs. » Comme s’il leur fallait un temps d’adaptation avant de pouvoir leur attribuer une image et donc une certaine « réalité ».

    Les définitions algébriques, quoique obscures, sont en général plus rassurantes (au début) comme est plus rassurante la géométrique dite « analytique » quand bien même elle ne peut être qu’un aspect des choses.

    Bref, il faudrait avoir le choix le plus possible et en tous cas, ne pas négliger, mépriser cette piste du dessin.

    Je me souviens étudiante d’avoir consulté à la BU un jour de désoeuvrement l’ouvrage de Claude Paul Bruter : « Comprendre les mathématiques » dont l’aspect géométrique est, si mes souvenirs sont exacts , le fil conducteur.

    Si je me rappelle de cet ouvrage 20 ans plus tard, c’est qu’il m’avait marquée parce qu’il présentait les objets sous un éclairage finalement très différent des cours de fac que je suivais.

    Je me suis mise en devoir de le retrouver ce matin et voici sur un site de vente en ligne le seul commentaire qui l’accompagne :

    « A éviter
    12 juillet 2015
    Format : Broché
    On dit que ce qui se conçoit bien n’énonce bien. Cela ne transparaît pas dans ce livre, qui échoue à présenter les mathématiques de manière simple, et à les faire comprendre.
     »

    Comme quoi ... ;-)

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    • Le rôle du dessin dans l’enseignement des maths

      le 20 janvier à 17:18, par Aziz El Kacimi

      Merci Karen pour ton commentaire. Je suis d’accord avec les divers aspects sous lesquels tu vois le rôle du dessin dans l’enseignement des mathématiques (quelles qu’elles soient). Il y a sûrement encore pas mal d’autres choses à dire dessus et le débat est toujours ouvert.

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