Le roman et le baobab

autour de Chamboula, de Paul Fournel

Piste verte Le 17 septembre 2012  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires

À l’occasion de la récente publication en collection de poche du roman Chamboula, de Paul Fournel, quelques mots sur les graphes et la littérature...

Sorti en collection de poche en juin 2012, le roman Chamboula [1], de Paul Fournel [2], s’accompagne d’une postface de son auteur, et cette postface contient un graphe, un fort beau graphe, celui grâce auquel le roman a été conçu.

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Il y a bien peu de mathématiques là-dedans,

me dit Paul Fournel. Un peu quand même. Et même, comme on le verra, un mathématicien.

Dans cet article, les mathématiques sont racontées dans des « blocs dépliants », comme celui-ci (cliquez sur le titre rouge pour déplier) :

Ceci est un bloc dépliant.

On peut y glisser une digression, une parenthèse, un point technique, et même des images.

Car en effet, il arrive que l’on utilise des objets mathématiques pour écrire des textes littéraires [3]. Les ouvriers de la littérature potentielle le font très couramment. Certains de leurs outils préférés ont été décrits ici ou là sur ce site [4]. Les graphes en font partie — peut-être simplement parce qu’un des membres fondateurs de leur ouvroir était un spécialiste de la théorie des graphes, le mathématicien Claude Berge. Il n’est pas question de faire dans cet article une liste de « tout ce qu’on peut faire avec des graphes » [5], mais bien de parler de Chamboula (et de ses ancêtres oulipiens).

De l’eau dans le gaz

Mais qu’est-ce que la théorie des graphes ?

Une réponse simple nous est donnée par un autre de ces ouvriers, Georges Perec [6] :

Je me souviens des heures que j’ai passées, en classe de troisième je crois, à essayer d’alimenter en eau, gaz et électricité, trois maisons, sans que les tuyaux se croisent (il n’y a pas de solution tant qu’on reste dans un espace à deux dimensions ; c’est un des exemples élémentaires de la topologie, comme les ponts de Koenigsberg ou le coloriage des cartes).

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Il s’agit de relier les maisons d’Andromaque, de Bérénice, et de la belle Chamboula (A, B, C sur la figure) aux usines d’eau (O), de gaz (G) et d’électricité (E), par des conduites dont, peut-être pour éviter qu’il y ait de l’eau dans le gaz, on souhaite qu’elles ne se croisent pas. Perec a essayé des dessins comme celui-ci, où les traits rouges représentent les tuyaux. Sur cette figure, Andromaque et Bérénice ont l’eau, le gaz et l’électricité, Chamboula a le gaz et l’électricité et il semble bien qu’un tuyau l’alimentant en eau doive couper d’autres tuyaux.

Pourquoi Perec n’arrivait pas à alimenter la belle Chamboula en eau courante, un peu de mathématiques...

Puisque c’est un des exemples élémentaires de la topologie, une petite démonstration. Elle se base sur une propriété qui a l’air très intuitive (mais qui n’est pas si évidente que ça, c’est un théorème de Camille Jordan) : pour sortir d’un pays, il faut en traverser la frontière... plus précisément, une courbe dessinée dans un plan sans lever le crayon et sans se recouper, mais qui se referme, délimite deux parties du plan, et un chemin qui va de l’une à l’autre doit couper la courbe en question.

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Partons de nos trois maisons et de nos trois usines et dessinons une telle courbe, avec six tuyaux qui joignent A-O-B-E-C-G-A, par exemple, comme sur la figure de gauche. Pour que ce soit mieux visible, on déforme un peu la figure, obtenant un hexagone, notre courbe fermée. Elle partage le plan en deux parties. Andromaque est reliée au gaz et à l’électricité, relions la à l’eau, en traçant le tuyau dans l’une des deux parties. Celle-ci est maintenant partagée en deux. Pour relier Bérénice au gaz, il nous faut faire passer le tuyau dans l’autre partie.

Le plan est maintenant partagé en quatre parties (ou pays), numérotées 1, 2, 3 et 4 sur la figure. La maison de Chamboula se trouve sur la frontière entre les seuls pays 1 et 3. L’usine d’eau, elle, est sur la frontière entre les pays 2 et 4. Un tuyau issu de O commence à traverser le pays 2 (ou le pays 4). Pour arriver à C, il doit traverser la frontière entre 2 et 1 (ou entre 4 et 3).

Si ces quelques mots ne sont pas exactement une démonstration formelle, ils contiennent ce qu’il faut pour en écrire une.

Puisqu’on ne peut pas le dessiner dans un plan (sans recoupements), on dit que le graphe des trois maisons et des trois usines n’est pas planaire. Comme l’expérience de tous les jours le prouve abondamment, ce graphe peut être dessiné dans l’espace.

Laissons les ponts de Koenigsberg pour un autre article. Ils y rejoindraient peut-être une autre question de Georges Perec : trouver un itinéraire qui passe une fois et une seule devant chacun des restaurants russes du dix-septième arrondissement de Paris. Mais quand même... allez donc voir les graphes dans ce billet.

Voulez-vous connaître l’histoire des trois alertes petits pois ?

1. Voulez-vous connaître l’histoire des trois alertes petits pois ?

Si oui, passez à 4.

Si non, passez à 2.

2. Préférez-vous celle des trois minces grands échalas ?

Si oui, passez à 16.

Si non, passez à 3.

Ainsi commence Un conte à votre façon, de Raymond Queneau, qui se termine comme ceci :

20. Il n’y a pas de suite, le conte est terminé.

21. Dans ce cas, le conte est également terminé.

À chaque bifurcation, les lecteurs sont invités à choisir entre les diverses solutions de lecture qui s’offrent à eux. Voici le graphe du conte de Queneau [7].

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La pièce de théâtre L’Augmentation, de Georges Perec (toujours), appartient aussi à cette famille de textes [8].

Mais Paul Fournel ?

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Président de l’Oulipo, Paul Fournel ne pouvait manquer de s’intéresser à ces objets.

J’ai toujours adoré les arbres

écrit-il dans la postface de Chamboula, et aussi

Si écrire est constamment choisir, la forme de l’arbre binaire, qui implique une alternative à chaque carrefour de la narration, donne l’illusion de surseoir un instant à ce choix fatal [9].

Chamboula, publié en 2007, était une récidive, puisque, après un essai au théâtre, Paul Fournel avait déjà fait paraître, en 2003, Timothée dans l’arbre, un roman « pour enfants » dont la quatrième de couverture rappelle cette vérité première :

Il n’y a qu’une question importante dans la vie : faut-il accepter les bonbons que vous donne un inconnu ? Toute votre vie en dépend.

Mais y a-t-il un arbre dans Timothée dans l’arbre ? Il y a en tout cas un graphe, celui qui sert de logo à cet article. Ce n’est pas tout à fait ce que les mathématiciens appellent un arbre.

Nous aussi, mathématiciens, aimons les arbres...

Si vous avez suivi le lien dans le dépliant précédent, vous avez déjà vu un arbre, un très bel arbre, dont la beauté est discutée dans cet autre billet. Pour expliquer ce qu’est un « arbre », le plus simple est de reproduire un tout petit bout (deux figures) de cet article consacré à un tout petit bout de l’œuvre de Gromov. La première représente un arbre,

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Ceci est un arbre.

la deuxième non. La différence ? Deux branches d’un arbre ne se rejoignent jamais.

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Ceci n’est pas un arbre.
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Il n’est pas du tout sûr que ce soit vrai pour les arbres végétaux.

Mais en tout cas, c’est la définition d’un arbre en mathématiques. Dans un arbre, il n’y a donc qu’un seul chemin d’un sommet à un autre (si l’on interdit les allers-retours).

Les vrais arbres, les arbres végétaux, peuvent être assez compliqués, eux aussi. La photographie ci-contre montre un arbre (végétal) qui pourrait bien sembler n’être pas planaire. Celui-là pourrait être déplié, défroissé. Mais chez certains arbres (des arbres végétaux), des branches peuvent se rejoindre et faire de ces arbres des non-arbres (mathématiques).

Comme leurs cousins végétaux, les arbres des mathématiques peuvent être beaux.

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Celui-ci est le « graphe du groupe libre à deux générateurs » (en fait une approximation). Les références aux groupes libres et à l’œuvre de Gromov laissent imaginer que les arbres sont utiles aux géomètres (et c’est vrai). Si vous vous sentez l’âme philosophe, n’hésitez pas à aller butiner aussi les arbres de Joël Merker.

Mais revenons au graphe de Timothée, qui n’est pas un arbre, mais presque. Ce schéma représente un arbre... et c’est un bon morceau du graphe reproduit dans le logo de cet article.

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Si on arrêtait Timothée au « niveau » 4, on aurait, en effet, un arbre, et même un arbre « binaire », ce qui veut dire qu’à la fin de chaque chapitre, Paul Fournel propose deux possibilités (ce qui fait une alternative).

Si vous voulez que Timothée accepte le bonbon que lui donne le gentil monsieur, allez au chapitre 2.1.

Si vous préférez que Timothée refuse le bonbon que lui propose le méchant monsieur, allez au chapitre 2.2.

Contrairement à celle des alertes petits pois, l’histoire a une fin unique, ce qui suffit à empêcher le graphe d’être un arbre : dans un arbre, il n’existe qu’un chemin d’un point (le début, par exemple) à un autre (une fin) [10].

Mais Chamboula ?

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Dans Chamboula, il y a la belle Chamboula, qui ne pense pas encore à brancher téléviseur ou réfrigérateur (sans parler de l’eau et du gaz). Dans Chamboula, il y a un arbre, qui est un baobab [11], sur la place d’un paisible village africain. Le téléviseur, ou le réfrigérateur, et l’homme blanc arrivent et c’est le désordre.

Que faire ? Devenir un Rienfoutant ou un travailleur, prendre l’avion ou fonder un village-fleur... Les choix se multiplient.

Chamboula a été écrit à partir du graphe représenté au début de cet article. Sauf que... dans Chamboula, les questions n’apparaissent pas. Elles ont servi, puis elles ont été effacées. Ce qui répond à une objection inévitable : la structure en graphe est mal adaptée à la lecture linéaire. On finit toujours par lire un livre dans l’ordre de ses pages. C’est sans doute la raison pour laquelle le narrateur de Timothée a multiplié des commentaires tels que

C’est le chapitre 5.1 qui poursuit le récit dans son ordre, mais on peut à la rigueur préférer le désordre...

ou encore

Le chapitre 6.2 détient le secret. Il faut vous y rendre ou vous condamner au désordre.

Avec une telle construction, l’ordre des pages est en effet une forme de désordre.

On ne pouvait certes pas s’attendre à ce qu’un roman intitulé Chamboula soit un modèle d’ordre. Renvoyons à la postface de Chamboula : on y lira avec quelques détails comment les questions qui formaient l’ossature du livre en ont disparu. Sautons à la conclusion :

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La contrainte avait agi à un autre endroit que celui que je croyais être son point d’efficacité : la rigidité formelle de l’arbre binaire avait réussi à donner une forte impression de désordre généralisé, sans pour autant égarer le lecteur un peu exercé. Là où je pensais que mon lecteur allait se perdre, il n’eut aucune difficulté à retomber sur ses pattes, à accepter la multiplicité des destins d’un même personnage, les contradictions entre des mondes incompatibles. De l’ordre rationnel de l’arbre binaire strict était sortie la pagaille réaliste du monde de Chamboula.

Pour terminer, voici une page de Chamboula. Nous n’avons pas choisi de vous présenter la démarche élastique et les désirs de (et pour) la belle Chamboula. Mais une branche de la destinée de Boulot (on y apprendra aussi que les branches des baobabs sont utiles aux mathématiciens) :

Boulot fit sans problème son entrée dans Paris par l’École normale supérieure. On lui donna une thurne rue d’Ulm. On le mit dans la classe de mathématiques. Il ne s’étonnait de rien. Lorsque le professeur proposait un problème, il calculait vite et s’ennuyait ferme ensuite.

Il ne comprenait pas très bien l’utilité du froid, du vent, de la pluie. Il s’encombrait de vestons, d’imperméables, de bonnets. Tout cela le gênait aux entournures. Il n’avait pas encore été saisi par les charmes du gris et les douceurs de la ville. Il regardait tomber la pluie par la fenêtre et se demandait quand elle s’arrêterait.

Son plus grand et seul bonheur était de rencontrer un problème vraiment difficile à résoudre. Là, il perdait le compte des heures. Souvent, quand le problème était long et compliqué et qu’il lui fallait accomplir un travail de mémoire, il accrochait les objets mathématiques dont il devait se souvenir aux cases de son village. Il posait une question sur la porte du Chef, il glissait une hypothèse dans le chaudron de sa mère, il accrochait un résultat à la branche haute du baobab, juste sous le soleil.

Elle aurait suivi une réponse affirmative à la question

Préférez-vous que Boulot fasse son entrée dans Paris par l’École normale supérieure ? 10-16.

L’autre option, plus banale dans la vraie vie, aurait conduit l’Africain [12] Boulot à tenter d’entrer dans Paris... en s’étant glissé clandestinement dans la roue d’un avion [13].

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient les relecteurs, Simon Billouet, Clément Caubel et Robin Jamet, pour leurs questions, commentaires et suggestions pendant la phase de relecture de cet article.

Article édité par Michèle Audin

Notes

[1

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Chamboula, Points Seuil 2852.

[2Voir aussi le site personnel de Paul Fournel, écrivain, auteur dramatique, éditeur, cycliste (et j’en passe).

[3Une réponse à la question « à quoi ça sert, les maths » à laquelle l’auteur de cette liste n’a pas pensé...

[4Ici, , et même ici ou .

[5En principe, j’essaie de ne parler que de ce que je connais.

[6Dans Je me souviens, Hachette, 1978.

[7On trouvera ce conte, par exemple dans l’Anthologie de l’Oulipo (collection Poésie/Gallimard, 2009). La version du graphe reproduite ici vient de cet article.

[8On pourra en voir une très belle version le 20 décembre 2012 à l’auditorium de la Bibliothèque nationale de France à Paris. Le « graphe de l’Augmentation » est présenté comme un organigramme (il a d’ailleurs été publié dans un journal interne de la société Bull en 1967). On le trouvera sans mal en faisant appel à un moteur de recherche.

[9Toutes les citations (dans les rectangles gris) non attribuées à un autre auteur sont dues à Paul Fournel.

[10Mais l’existence de plusieurs fins n’implique pas que le graphe est un arbre ! Voir par exemple le Conte de Queneau, son graphe n’est pas un arbre, mais il a deux fins.

[11Pas grand-chose à voir avec le baobab comme contrainte oulipienne. Ou alors ?

[12Le pays d’Afrique dans lequel est situé le Village Fondamental et donc la nationalité de Boulot ne sont pas précisés dans Chamboula. Peut-être Boulot était-il nord-malien ?

[13Il nous a semblé que lui ajouter un peu de mixité sociale ne pouvait que renforcer le prestige de l’école en question... et que cet ajout pouvait être considéré comme une partie du programme d’une rubrique intitulée « Mathématiques ailleurs ». Certaines lectrices rêveront peut-être qu’une telle alternative ait aussi été proposée à la belle Chamboula.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «Le roman et le baobab» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - Le logo de cet article, graphe de Timothée dans l’arbre (que l’on voit aussi sur le site de l’Oulipo) et le beau graphe manuscrit de Chamboula, ont été confiés à Images des mathématiques par Paul Fournel.
L’arbre et le non-arbre mathématiques viennent d’un article d’Étienne Ghys.
Le baobab adansonia grandidieri vient de cet article de wikipedia et le baobab adansonia digitata de celui-ci.
Le dernier arbre africain a été photographié par Juliette Sabbah.
Les autres photographies ont été prises et les autres figures ont été dessinées (à la main ou avec un logiciel graphique) par l’auteur de l’article.
Si vous les utilisez, citez vos sources !

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