Le théorème de Cartan-Hadamard

A quoi ressemble une surface dépliée ?

Piste noire 22 novembre 2013  - Ecrit par  Barbara Schapira Voir les commentaires

Le personnage principal de cet article est le théorème de Cartan-Hadamard [1].

Déplier une surface

Avant de rentrer dans le vif du sujet, imaginez que vous voyiez une robe splendide, et que vous ayez envie d’avoir la même.

Comme elle est hors de prix, il vous faut la reproduire vous-même. Comme c’est compliqué, il vous faut donc un patron [2].

Le patron vous permet ainsi de comprendre la structure de la robe, et de la reproduire, en suivant certaines règles pour recoudre les bords du patron deux à deux.

Les mathématiciennes [3] font comme les couturières, si ce n’est qu’elles travaillent plus volontiers sur les pantalons.

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Obtenir un patron de pantalon

Partant du pantalon à gauche ci-dessus, on le découpe sur deux des trois coutures pour obtenir le patron de droite. C’est ce que signifie ici l’expression [4] déplier une surface. Réciproquement, le patron permet de reconstituer le pantalon, si on connait les règles suivant lesquelles on recoud (on identifie, en maths) les bords. Sur le dessin, ces règles sont données par les petits symboles : on recoud ensemble les deux côtés qui portent une croix, et on recoud ensemble les deux côtés qui portent un signe =.
On a ainsi ramené l’étude d’une surface à celle de son patron et de ses identifications.

Au-delà des pantalons décrits plus haut, les mathématiciennes essaient d’analyser, comprendre et reconstruire à l’aide de patrons toutes les surfaces, et même, en dimension plus grande, $3,4,5...$, tous les espaces « raisonnables » [5]. Imaginez donc une surface dans l’espace ambiant, et vous aurez une bonne image de ce dont nous parlons ici. Sinon, en voici quelques unes ci-dessous. De gauche à droite, une sphère, une bouée à trois places, une selle de cheval, et un « hyperboloïde ».

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Quelques surfaces raisonnables

La question est donc, pour une telle surface, de savoir s’il existe des patrons sympathiques : en effet, l’utilisation d’un patron n’est fructueuse que s’il est plus simple que la surface à étudier. Par exemple, le plan et la sphère n’admettent pas de patron plus simple qu’eux mêmes. Au passage, notons que la sphère ne peut pas être reconstruite à partir d’un patron plan. C’est un problème que connaissent bien les cartographes : il n’y a pas de bonne carte plane de la terre, et toutes les cartes utilisées, quelle que soit la méthode de cartographie utilisée, déforment beaucoup au moins une partie de la terre (de préférence aux pôles, ou loin de chez nous, ou dans l’autre hémisphère).

La découverte d’Hadamard, qui fait l’objet de cet article, est qu’une condition géométrique relativement simple, dite à l’époque de courbures opposées [6], permet de garantir l’existence d’un bon patron, et mieux encore de reconstruire la surface à partir de recollements d’un plan.
Le théorème de Cartan-Hadamard, que nous énoncerons tout à la fin de l’article, généralise ce résultat d’Hadamard aux espaces de dimension $3$ et plus, dits à courbure négative ou nulle. Dans ce cadre, plutôt qu’un patron, la bonne notion est celle de revêtement universel, que nous expliquerons plus bas.
Le théorème de Cartan-Hadamard assure que tout espace raisonnable à courbure négative ou nulle peut être obtenu par des recollements et identifications adéquates de l’espace $\mathbb{R}^n$ usuel à $n$ dimensions.

Même dans le cas des surfaces, cet énoncé n’a rien de banal.
Il signifie qu’on peut reconstruire n’importe quelle surface à courbure négative ou nulle à partir d’un patron dessiné sur une feuille de papier, dont on recoud correctement les bords, ou encore à partir d’une feuille de papier infinie, en faisant des recollements adéquats.

Recollements et Revêtements [7]

Après avoir vu plus haut l’intérêt de déplier une surface, et de trouver un patron (avec des règles d’identification des bords) qui permette de construire la surface, nous allons dans ce paragraphe voir comment construire des surfaces simples : un cylindre, une bouée, à partir de règles d’identification, ou de recollement, dans le plan.

Commençons par jouer un peu. Les lectrices d’un certain âge se souviennent probablement du jeu de Pacman, où une petite boule jaune essayait d’éviter les fantômes en se promenant à l’intérieur d’un carré. Lorsque la petite boule jaune touche le bord droit du carré, elle disparait et réapparait à gauche (et vice versa).

Mathématiquement, on dit qu’on a identifié les bords droit et gauche du carré. Si vous faites cela avec une feuille de papier, dont vous recollez deux côtés opposés, vous obtiendrez... un cylindre.

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Fabrication d’un cylindre

Dans l’analogie avec la couture, le dessin de gauche ci-dessus est le patron du cylindre.

En couture, on utilise des patrons, mais en mathématiques, on préfère la notion cousine de revêtement : on dessine une infinité de fois le même patron, recollé à ses voisins suivant les règles de compatibilité qui vont permettre de reconstruire la surface étudiée.

Ainsi, pour obtenir le même cylindre que ci-dessus, on peut partir d’une feuille de papier de même hauteur que la hauteur du cylindre, et de largeur infinie ; on y dessine des bandes verticales de même largeur, et on identifie chaque bande avec sa voisine. Si vous y réfléchissez quelques instants, vous pouvez voir que cela revient à enrouler cette feuille de papier infinie, ce qui donne un cylindre, chaque tour de la feuille infinie autour du cylindre correspondant à une de ces bandes verticales. Ce recollement, c’est ce qu’on appellera le revêtement du cylindre par une bande de largeur infinie.

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Un cylindre fabriqué à l’aide d’une feuille de papier infinie

Dans le vocabulaire mathématique, les bandes verticales sont identifiées l’une à l’autre par des translations horizontales de vecteur multiple de $\overrightarrow{v}$ (c’est-à-dire $\dots, -2\overrightarrow{v}, -\overrightarrow{v},0, \overrightarrow{v}, 2\overrightarrow{v},\dots)$. Chaque identification entre deux bandes verticales correspond à une translation envoyant la première bande sur la deuxième. L’ensemble de ces translations forme ce qu’on appelle en mathématiques un groupe [8].
Ainsi, on a remplacé l’étude du cylindre par l’étude d’une bande de largeur infinie, munie d’une famille d’identifications, données par le groupe des translations horizontales de vecteur multiple de $\overrightarrow{v}$.

On peut de la même façon construire le revêtement d’un cylindre de hauteur infinie : si vous prenez une feuille de papier de largeur et de hauteur infinie, et que vous la découpez en bandes verticales de hauteur infinie, de même largeur finie, que vous identifiez deux à deux comme ci-dessus, vous obtiendrez un cylindre de hauteur infinie. Cette feuille de papier infinie, munie des mêmes identifications que ci-dessus, du même groupe de translations horizontales de vecteur multiple de $\overrightarrow{v}$, est un revêtement du cylindre de hauteur infinie par un plan.

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Un cylindre de hauteur infinie

Cet été, en allant à la plage, vous avez peut-être transporté des bouées, ou au moins aperçu celles d’enfants sur la plage. La surface d’une bouée (ou d’un pneu) est appelée tore chez les mathématiciennes.
Si vous partez d’un cylindre vertical infini, vous pouvez imaginer que vous l’enroulez autour du tore une infinité de fois, de sorte que le tore est obtenu à partir du cylindre infini par certaines règles d’identification, qui sont données par les (le groupe des) translations
verticales de vecteurs $\dots, -3\overrightarrow{w}, -2\overrightarrow{w}, - \overrightarrow{w},0, \overrightarrow{w}, \dots$
Ainsi, on dit que le cylindre est un revêtement du tore, dont le groupe de revêtement est le groupe des translations de vecteur multiple de $\overrightarrow{w}$.

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un cylindre infini peut s’enrouler sur le tore

Contrairement au cylindre, vous n’arriverez pas à fabriquer un tel tore avec votre feuille de papier sans la déchirer ou la froisser [9]. Pour le visualiser dans le monde réel, c’est un peu plus compliqué : il faut déformer le cylindre. Impossible avec une feuille de papier, mais possible avec une feuille de caoutchouc. Vous obtiendrez alors un tore, qui n’est rien d’autre qu’une bouée en langage courant.

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Refermer un cylindre en une bouée

Observez que le fait d’utiliser une feuille de caoutchouc et de la déformer signifie que toutes les figures tracées sur le cylindre ont été distordues. On a changé toutes les longueurs en construisant ainsi une bouée.

Quoi qu’il en soit, le cylindre est un revêtement du tore.
Comme le cylindre a lui-même pour revêtement la feuille infinie, ou plus mathématiquement le plan, on peut obtenir le tore à partir du plan, à l’aide de règles d’identification plus nombreuses : on découpe le plan en bandes verticales de même largeur, puis on le redécoupe en bandes horizontales de même hauteur. Et on identifie les bandes verticales deux à deux, et les bandes horizontales deux à deux, pour retrouver le tore. On dit alors que le plan est un revêtement du tore, dont les identifications sont données par le groupe de toutes les translations de vecteur la somme d’un multiple de $\overrightarrow{v}$ et d’un autre multiple de $\overrightarrow{w}$, ce qui s’écrit encore $n\overrightarrow{v}+m\overrightarrow{w}$, avec $n$ et $m$ des entiers.

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du plan au tore, en passant par le cylindre

Revêtement universel

C’est le moment de parler de revêtement universel. Nous venons de voir que le tore admet le cylindre et le plan comme revêtements, et que le cylindre est un revêtement intermédiaire entre le tore et le plan, au sens où c’est un revêtement du tore qui admet le plan comme revêtement. Il se trouve que toute surface raisonnable [10] admet un revêtement universel, qui est plus simple à comprendre, et donc à utiliser, que les autres
 [11]. Voyons un peu en quel sens il est plus simple.

Un revêtement universel est un revêtement par un espace
simplement connexe : cela signifie que chaque petite boucle tracée sur le revêtement universel peut être écrabouillée en un point.
Il est facile de visualiser le fait que le plan est simplement connexe, de même que la sphère, alors que le cylindre et le tore ne le sont pas : un lacet faisant le tour du cylindre ou de la bouée ne peut pas être écrabouillé en un point sans abîmer le cylindre ou la bouée.

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Des lacets qui s’écrabouillent ... ou pas

Le plan est simplement connexe, alors que le cylindre ne l’est pas. Ainsi, le plan est un revêtement universel du tore, mais pas le cylindre.

Sur tout espace raisonnable, comme nos surfaces, le revêtement universel est essentiellement unique [12]. De plus, c’est le plus grand des revêtements, au sens où c’est un revêtement de tous les autres revêtements de l’espace initial. Dans notre exemple, le plan est un revêtement du cylindre qui est un revêtement du tore.

Le revêtement universel est le plus grand.

Esquissons une justification du fait qu’un revêtement d’une surface ne peut pas être plus grand qu’un revêtement universel.
Soit S un revêtement universel d’une surface, et S’ un revêtement du revêtement universel. Si S’ est vraiment plus grande que S, on a obtenu S par des identifications non triviales sur S’. Ainsi, il y a deux points, disons $B$ et $C$, sur S’, qui sont identifiés en un point $A$ de $S$. Si on trace un chemin qui relie $B$ à $C$, après recollement, ce chemin devient une boucle partant et finissant en $A$. Comme la surface $S$ est simplement connexe, cette boucle peut être écrabouillée jusqu’à être confondue avec le point $A$. Sur la surface $S'$, cela signifie que le chemin de $B$ à $C$ devrait pouvoir s’écrabouiller en un point, tout en reliant toujours $B$ à $C$.
Donc les points $B$ et $C$ sont les mêmes. Cela montre donc qu’il n’y a aucune identification pour obtenir $S$ à partir de $S'$, ou en d’autres termes que la surface $S'$ est égale à $S$. Ainsi, il n’y a pas de revêtement plus grand qu’un revêtement universel.

A quoi bon un revêtement ?

Avant de quitter les revêtements pour la courbure, illustrons brièvement leur utilité. Imaginons que je joue au minigolf sur mon cylindre. Etant donnés deux points $A$ et $B$ sur le cylindre, je veux lancer une bille du point $A$, et arriver en $B$. Il me faut donc la lancer dans la bonne direction ! Sur le cylindre, ce n’est pas évident. En revanche, comme je me souviens que le cylindre a été obtenu par identification de bandes verticales dans le plan (par le groupe des translations horizontales de vecteur multiple de $\overrightarrow{v}$), je peux regarder un point du plan qui se projette sur $A$, et tous les points du plan qui se projettent sur $B$. Alors, n’importe quelle trajectoire dans le plan entre le premier point et ces derniers se projette sur le cylindre en une trajectoire de $A$ à $B$, et d’ailleurs, toutes les trajectoires de $A$ à $B$ s’obtiennent comme cela. Si on joue au minigolf sur le cylindre, il y a donc une infinité de directions pour lesquelles on atteindra $B$, une par copie du patron du cylindre.

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Des trajectoires sur le cylindre

La Courbure

Nous avons déjà mentionné que le théorème de Cartan-Hadamard fait intervenir une hypothèse géométrique sur la courbure de la surface.

La courbure est une notion très naturelle. Vous conviendrez aisément qu’une droite n’est pas courbée, alors qu’un cercle est courbé. En allant (à peine) plus loin, le dessin ci-dessous vous convaincra probablement qu’un petit cercle est plus courbé qu’un grand cercle. Dans un élan d’audace, appelons donc courbure d’un cercle l’inverse de son rayon : plus le rayon est grand, moins le cercle est courbé, et inversement. A la limite, une droite peut être assimilée à un arc de cercle de rayon infini. Elle est donc de courbure nulle. Plus généralement, on appelle courbure d’une courbe en un point de la courbe la courbure du cercle [13] qui approche le mieux la courbe en ce point. Ainsi, la courbure est une notion qui dépend (en général) du point que l’on considère sur la courbe : la courbure varie le long de la courbe (sauf lorsque la courbe est un cercle ou une droite).

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Courbes courbes

Les cercles dessinés dans le dessin de droite ci-dessus sont les cercles qui approchent le mieux la courbe autour de chaque point, alors que la tangente en un point à une courbe est la droite qui approche le mieux la courbe en ce point. Regardez les quelques droites tangentes et cercles tracés ci-dessus.
Une autre façon de comprendre la courbure est d’observer que plus la courbe est courbée en un point, plus elle s’éloigne vite de la tangente à la courbe au point considéré.

Les surfaces peuvent elles aussi, en chaque point, être plus ou moins courbées. Mais pire [14] encore, elles peuvent être courbées différemment dans toutes les directions... De même que pour une courbe, la courbure d’une surface en un point dans une direction donnée mesure l’éloignement de la surface par rapport à son plan tangent, c’est-à-dire le plan qui approche le mieux la surface autour du point considéré. Mais cet éloignement dépend de la direction considérée. Imaginez par exemple un cylindre vertical, et un de ses plans tangents, vertical lui aussi. Alors, verticalement, le cylindre reste collé à son plan tangent (il n’est pas courbé), alors qu’horizontalement, il s’en éloigne très vite (il est très courbé).
Observons aussi que, en un point de la surface donné, non seulement la courbure peut être plus ou moins grande suivant les directions dans lesquelles on regarde, mais en plus, la surface peut être d’un côté ou de l’autre de son plan tangent, suivant la direction dans laquelle on part. Regardez par exemple la selle ci-dessous.

Au point de la selle où l’on pose ses fesses, le plan tangent est horizontal (sinon, on s’assiérait ailleurs), et la selle traverse son plan tangent : elle est au-dessus du plan tangent dans certaines directions, et au-dessous dans d’autres directions.

Observons que certaines surfaces sympathiques, autour d’un point donné, sont courbées, certes, mais en restant d’un seul côté de leur plan tangent. On dit alors qu’elles ont une courbure positive en ce point. D’autres coïncident, au moins dans une direction, avec leur plan tangent, l’exemple typique étant un plan, justement. On dit alors qu’elles sont à courbure nulle [15]. D’autres encore traversent leur plan tangent, mais de manière gentille, à la manière d’une selle de cheval, comme sur le dessin de droite dans la figure ci-dessous. Dans certaines directions, la surface est courbée d’un côté du plan tangent, et dans d’autres directions, elle est courbée du côté opposé. Du temps de Hadamard, on parlait de surface à courbures opposées. On dit aujourd’hui qu’elles sont à courbure négative.

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Surfaces courbes

Un tore plat et un tore courbe

Revenons un peu sur le tore, qui est un exemple très important. Nous avons construit plus haut des tores en partant du plan usuel, qui est tout plat, donc de courbure nulle. Pour ce faire, nous avons identifié des rectangles deux à deux suivant le groupe des translations de vecteur la somme d’un multiple de $\overrightarrow{v}$ et d’un autre multiple de $\overrightarrow{w}$.
Si vous préférez le voir à l’aide d’un patron, nous sommes parties d’un patron rectangulaire, de courbure nulle car dessiné sur une feuille de papier bien plate. Et nous avons identifié les deux côtés verticaux d’une part, et les deux côtés horizontaux d’autre part.
Ainsi, ces tores fabriqués à partir d’un patron plat sont à courbure nulle, car autour de chaque point du tore, si on oublie qu’on a recollé les bords de certaines bandes du plan, la géométrie est celle du plan, à courbure nulle. On parle alors de tore plat.

Pourtant, j’ai ensuite dessiné des tores sous la forme d’une bouée d’enfant. On parle alors de tore courbe. En effet, le tore-bouée est courbé : la courbure est positive à l’extérieur du tore (zone hachurée), et négative à l’intérieur.

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Où est donc l’entourloupe ?
Repartons du cylindre (à courbure nulle), que nous pouvons construire dans l’espace ambiant à l’aide de notre feuille de papier.
Comme je vous l’ai dit plus haut, le tore plat s’obtient par une construction de l’esprit, en identifiant abstraitement les bords haut et bas du cylindre. Le tore courbe s’obtient réellement dans l’espace usuel en partant d’un cylindre de caoutchouc, qu’on peut se permettre d’étirer et froisser pour en recoller les bords haut et bas. Mais en faisant cela, on a modifié les longueurs des courbes sur le tore, ainsi que la courbure.
Contrairement au tore courbe, qui a la géométrie d’une bouée, le tore plat ne peut pas se visualiser dans notre espace usuel à trois dimensions (sauf si on en paie le prix, voir ici).

Ces deux tores, mathématiquement, ont la même topologie : s’ils sont en caoutchouc, je peux déformer l’un en l’autre. En revanche, ils n’ont pas la même géométrie : on doit déformer le cylindre qui sert à obtenir le tore plat, si on veut obtenir un tore courbe (une bouée). Ces deux tores ont des courbures différentes [16].

Rappelons au passage que la topologie est l’étude des formes des objets, à déformation près : on s’autorise à les tordre, les étirer, les contracter, mais jamais à les déchirer. Une fois la topologie d’un objet connue, la géométrie étudie des propriétés plus fines (par exemple angles, distances, courbure, en géométrie dite riemannienne), qui sont préservées par des rotations par exemple, mais pas par des déformations plus violentes.

Le théorème de Cartan-Hadamard s’applique aux surfaces à courbure partout négative ou nulle. En particulier, aux cylindres, ou bien aux tores construits plus haut, à partir du plan $\mathbb{R}^2$, qui sont à courbure partout nulle, ou bien aux selles de cheval [17], à courbure négative, mais pas au tore courbe ci-dessus [18]. Observez au passage que la selle de cheval est simplement connexe. Elle est donc son propre revêtement universel [19].

Voici ci-dessous un exemple de surface à courbure partout négative, un peu plus tourmentée que la selle de cheval. C’est un morceau de surface hyperbolique, de courbure partout égale à $-1$, fabriqué en crochet. Avec le mode d’emploi en prime !

L’énoncé général du théorème de Cartan-Hadamard

Voici donc le héros de l’histoire d’aujourd’hui :

Théorème de Cartan-Hadamard : Toute variété riemannienne complète connexe de dimension $n$ à courbures partout négatives ou nulles admet l’espace usuel à $n$ dimensions comme revêtement universel.

Nous avons presque introduit toutes les notions utiles pour comprendre l’énoncé.
Une variété riemannienne complète connexe de dimension $n$ est ce que nous avions appelé plus haut un « espace raisonnable ». En dimension $2$, ce sont les surfaces introduites ci-dessus.
Un espace mathématique est une variété de dimension $n$ lorsque localement autour de chaque point elle ressemble à l’espace usuel à $n$ dimensions des mathématiciens.
Elle est connexe lorsqu’elle est faite d’un seul morceau (un cylindre est une surface connexe, mais deux cylindres constituent une surface non connexe).
Elle est riemannienne lorsqu’il y a dessus des notions d’angle et de distance.
Elle est complète lorsqu’aucune courbe de longueur finie ne s’arrête du fait d’avoir atteint un bord.

Un aspect remarquable de ce théorème est qu’à partir d’une hypothèse qui porte sur la géométrie locale, i.e. la courbure autour de chaque point de la surface, il permet d’obtenir des informations de nature globale, sur la structure du revêtement universel tout entier. Dire que ce revêtement est un plan signifie qu’on le connait dans sa globalité.

Il est temps d’illustrer ce théorème en courbure négative.
La surface ci-dessous est l’archétype de surface à courbure négative [20].

Cette surface peut être dépliée dans le plan hyperbolique, en un patron octogonal, que l’on peut répéter infiniment de sorte à recouvrir [21] le plan, comme dans l’exemple du quadrillage servant à construire un tore détaillé plus haut. Et cela donne un magnifique dessin, comme cela :

Si vous êtes surprise par l’allure de ce « plan », c’est qu’il s’agit du plan hyperbolique. Il faut imaginer que le disque est infini, et qu’on n’atteint jamais le bord du disque, de sorte que ce disque a la même forme que le plan usuel.

Pas convaincue par ce patron ?

Pour vous en convaincre, dans l’octogone ci-dessous, recollez deux à deux les côtés dont les symboles sont identiques. Observez que dans chaque demi-octogone, vous identifiez 4 côtés deux à deux exactement comme pour faire un tore. Ainsi, à l’issue des identifications des côtés de l’octogone, vous devriez obtenir deux tores recollés le long de la courbe en pointillés ci-dessous.

... et sa démonstration bien sûr

Nous avons introduit plus haut les notions utiles pour comprendre l’énoncé. Essayons de donner maintenant une idée de la démonstration, dans le cas d’une surface.

Etant donnée une surface $S$ à courbure négative ou nulle, je me place en un point donné, et je trace les courbes les plus droites possibles [22] partant de ce point dans toutes les directions, avec toutes les vitesses possibles. Comme la surface est connexe et complète, ces courbes vont permettre d’atteindre n’importe quel autre point de la surface. Mais ces courbes sont compliquées, elles peuvent se refermer, se croiser, faire des choses compliquées.

Sur le revêtement universel, tout change. Le fait qu’il soit simplement connexe et la propriété de courbure négative ou nulle impliquent que ces courbes ne peuvent que s’éloigner les unes des autres. Sur le dessin ci-dessous, la courbure est négative à gauche, nulle au centre, et positive à droite.

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Courbes et courbure

Ainsi, lorsque la courbure est négative ou nulle, en partant d’un point du revêtement universel, il y a exactement une direction et une vitesse possibles pour atteindre tout autre point du revêtement universel, en un temps donné, par exemple une minute [23].

C’est comme cela qu’on peut démontrer que le revêtement universel ressemble (est difféomorphe) à l’ensemble de tous les vecteurs vitesse possibles en un point donné. Or cet ensemble, encore appelé le plan tangent à la surface au point considéré, est un brave plan mathématique [24], ce qui permet de conclure la preuve du théorème.

Et en dimension supérieure ?

En dimension 2, le résultat d’Hadamard nous assure que sous une hypothèse portant sur la géométrie locale (la courbure de la surface est partout négative ou nulle), on connait la forme (la topologie) globale du revêtement universel : c’est un plan.

Les surfaces les plus symétriques sont celles dont la courbure est constante partout négative, ou constante partout nulle, ou constante partout positive.
Le théorème d’uniformisation des surfaces, démontré par Poincaré et Koebe en 1907, nous assure que tout revêtement universel de surface admet une géométrie très symétrique de cette forme.
Il y a donc trois géométries très symétriques pour les surfaces, celle du plan euclidien usuel (celui de l’école, à courbure nulle), celle du plan hyperbolique (celui pavé par des octogones ci-dessus, à courbure négative), et la géométrie de la sphère, à courbure positive (qui n’apparait pas dans le théorème de Cartan-Hadamard, du coup).

En dimension $3$, des phénomènes bien plus compliqués apparaissent. Mais en 1982, William Thurston a proposé une généralisation spectaculaire du phénomène établi près d’un siècle plus tôt en dimension $2$. Il a imaginé comment toute variété de dimension $3$ pourrait se découper en morceaux dotés d’une géométrie très symétrique parmi 8 possibilités (à comparer avec les $3$ de la dimension $2$). C’est la conjecture de géométrisation de Thurston. Elle a été démontrée en 2003 par Gregori Perelman dans le cadre de son travail sur la conjecture de Poincaré [25].

Quelques références :

La page wikipedia (en anglais) sur le théorème de Cartan Hadamard

La conjecture de Poincaré

Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry

Post-scriptum :

Je remercie Jérôme Buzzi, qui m’a permis d’améliorer grandement la rédaction de cet article, ainsi que les relectrices et relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Adriano Marmora, Aline Parreau, toufou, et Benoît Bazin.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Démontré par Hans Carl Friedrich von Mangoldt pour les surfaces en 1881, par Jacques Hadamard également en 1898, puis par Elie Cartan en dimension quelconque en
1928

[2L’auteure ne garantit pas de résultat avec ce patron pour cette robe...

[3Bien entendu, on se doute que le lectorat d’Images des Mathématiques est essentiellement composé de femmes.

[4Non mathématique.

[5Ici, en parlant d’espaces raisonnables, on pense à des espaces qui localement, lorsqu’on zoome autour de chacun de leurs points, ressemblent à l’espace usuel à $n$ dimensions, ou $n$ degrés de libertés, des mathématiciens, de la même façon qu’une surface, localement, ressemble au plan usuel des mathématiciens. Ces espaces raisonnables sont appelés variétés. Nous n’en parlerons pas plus pour ne pas alourdir le propos.

[6On dit aujourd’hui courbure négative ou nulle.

[7On ne définira pas le mot, les curieuses peuvent aller voir

[8Dans ce contexte géométrique, un groupe est simplement une famille de transformations du plan qu’on peut effectuer les unes après les autres, en restant dans la même famille.

[9Mathématiquement, on dit que le tore obtenu ne se plonge pas dans l’espace ambiant de dimension $3$.

[10Et plus généralement toute variété, ou plus généralement encore tout espace topologique semi localement simplement connexe.

[11Dans l’exemple du tore, il est plus facile de comprendre sa géométrie à partir de celle du plan que celle du cylindre.

[12i.e. unique, à difféomorphisme près.

[13Le cercle osculateur, pour les intimes.

[14Mieux !

[15Eh oui, le cylindre a une courbure nulle ! Etonnant, non ?

[16La formule de Gauss-Bonnet permet de déduire de leur topologie commune que la moyenne de la courbure sur le tore est nulle. Le tore plat a une courbure nulle partout, et le tore bouée a une courbure positive sur la moitié extérieure de la bouée, et négative ailleurs.

[17Considérez par exemple un paraboloïde hyperbolique d’équation $z=x^2-y^2$.

[18Même si, en l’occurrence, la conclusion du théorème reste vraie dans ce cas.

[19Si vous préférez raisonner en termes de patrons, imaginez une selle de cheval en caoutchouc vue de dessus. Elle s’aplatit facilement sur un plan horizontal.

[20En fait, comme dans le cas du tore, celle qui est dessinée, qu’on imagine dans l’espace à trois dimensions, a une courbure qui varie, positive par endroits, négative à d’autres endroits.
Mais il existe des surfaces qui ont la même topologie que la surface dessinée, et dont la courbure est partout négative.

[21paver.

[22On appelle ces courbes des géodésiques. Physiquement, ce sont les trajectoires qu’emprunterait une bille qui roulerait sans frottement sur la surface, dans les différentes directions.

[23L’existence d’une telle direction et d’une telle vitesse est garantie car la surface est complète et connexe. La courbure négative ou nulle assure l’unicité.

[24oui, c’est un peu rapide, mais pas très mystérieux.

[25voir par exemple cet article.

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Pour citer cet article :

Barbara Schapira — «Le théorème de Cartan-Hadamard» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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