Rediffusion d’un texte publié le 20 mars 2020

Le théorème de Pythagore : un petit guide

Le 18 avril 2020  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires
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Un petit guide pour découvrir le théorème de Pythagore avec Images des Mathématiques.

Le théorème de Pythagore est un peu la marotte des géomètres, il n’est donc pas surprenant qu’il apparaisse régulièrement dans les articles d’Images des Mathématiques. Pour vous aider à vous y retrouver, nous vous proposons un dossier regroupant les textes du site qui permettent de se familiariser avec le théorème de Pythagore, de le digérer et d’ouvrir quelques horizons nouveaux. Il nous a semblé que ce dossier pourrait être utile aux professeurs, élèves, et étudiants [1].

Attention, Images des Mathématiques ne propose pas de textes scolaires directement en lien avec les programmes. Vous ne trouverez donc pas de cours tout faits, ou d’exercices corrigés, mais peut-être la lecture des textes que nous vous proposons vous permettra-t-elle de consolider vos connaissances, d’interroger votre vision du théorème, de lire un texte à plusieurs en le décortiquant, en le critiquant, en le partageant et en partageant vos frustrations et vos émerveillements : les mathématiques, c’est comme ça que ça marche.

De quoi parle-t-on ?

Bon, alors, le théorème de Pythagore c’est quoi :

Théorème de Pythagore.— Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit, dans un triangle dont l’un des angles est un angle droit (90 degrés), les longueurs des trois côtés vérifient la relation
\[ c^2=a^2+b^2 \]
où $c$ est la longueur du côté le plus long (l’hypoténuse) et $a$ et $b$ sont les deux autres [2].

Le côté le plus long est toujours celui qui fait face à l’angle droit ; on peut donc aussi définir l’hypoténuse comme le côté opposé à l’angle droit.
Le nombre $a^2=a\times a$ est égal à l’aire d’un carré dont le côté est de longueur $a$ ; si le théorème parle de relations entre les longueurs des côtés, il parle donc aussi, en filigrane, d’aires de certains carrés [3]. Nous sommes maintenant parés pour visiter le dossier d’Images des Mathématiques sur le sujet.

Pour commencer : la géométrie !

Si vous débutez vraiment avec le théorème de Pythagore, le mieux n’est certainement pas de démarrer avec Images des Mathématiques. Une introduction parfaite est fournie sur la délicieuse chaine de Mickaël Launay,
Micmaths, en une série de 8 vidéos, chacune de quelques minutes.
Après avoir présenté le personnage Pythagore, Launay décrit le théorème, une démonstration de celui-ci et quelques exemples, puis la réciproque du théorème (vidéos 2, 3, 4 et 6) [4]. Avec ces
quatre vidéos, soit environ un quart d’heure d’attention, vous êtes bien armés ! Une démonstration alternative est décrite dans l’article Découpage d’Airy et théorème de Pythagore,
et une autre, plus délicate, dans Encore une preuve du théorème de Pythagore.

Vous verrez dans ces deux premiers articles et la vidéo numéro 3 de Mickaël Launay que les démonstrations proposées sont toutes du même type : la relation de Pythagore $c^2=a^2+b^2$ est interprétée comme une égalité entre trois aires, et pour établir cette égalité, les auteurs utilisent des méthodes de découpages et collages pour réarranger les figures, sans changer les aires.
Le problème de déterminer à quelle condition une figure géométrique est équivalente à une autre par découpage/collage, et de déterminer le découpage le plus économe, est un problème mathématique élégant et amusant, qui a motivé de nombreuses recherches [5]. Voici, en vrac, trois textes « piste bleue »
qui concernent ce sujet tout en mettant en avant le théorème de Pythagore :

Si vous affectionnez simultanément littérature et mathématique, le mieux est sans doute d’extraire par vous même une preuve du théorème dans la nouvelle d’Enrico Castelnuovo intitulée « Le théorème de Pythagore » [6].
Et pour conclure ce premier chapitre géométrique, dépêchez-vous de contempler Un arbre pythagoricien.

Pour continuer : des nombres entiers

Le théorème de Pythagore est souvent employé pour calculer des longueurs.
Voici un exemple de problème que j’aime beaucoup. Deux rails de chemin de fer de dix mètres de long ont été posés, par mégarde, sans laisser d’interstice entre eux : ils sont à touche-touche. L’été arrive, et les rails se dilatent sous l’effet de la température : ils s’allongent de 1 pour cent et se repoussent l’un l’autre, comme sur la figure ci-dessous. Estimer la hauteur $h$ d’élévation au point de contact des deux rails
 [7] .

Ce calcul illustre bien le charme du théorème de Pythagore, déjà évoqué ici [8]

Les deux rails vont de A à B pour le premier et de B à C pour le second. Ils sont fixés en A et C respectivement. Après dilatation, le rail de gauche correspond au segment [AD], celui de droite au segment [DC].

Mais le théorème de Pythagore recèle quelques trésors arithmétiques, liés à la notion de triplet pythagoriciens. Ce sont les triplets de trois entiers positifs $a$, $b$, et $c$ tels que $a^2+b^2=c^2$. Par le théorème de Pythagore et sa réciproque, il s’agit des triplets d’entiers qui sont les longueurs des côtés d’un triangle rectangle tel que (1) les longueurs des côtés sont tous des nombres
entiers et (2) $c$ correspond à l’hypoténuse. Ces triplets pythagoriciens ont des propriétés remarquables : consultez donc

Et dans Les décimales de $\pi$, vous verrez, en passant, comment le théorème de Pythagore intervient dans le calcul du périmètre d’un polygone et, in fine, l’estimation du nombre $\pi=3.141592...$.

Un peu d’astronomie

Nous nous éloignons maintenant beaucoup plus des notions élémentaires évoquées par l’apprentissage de la géométrie au collège ! Mais il serait dommage de passer à côté des articles suivants, accessibles sans un grand bagage mathématique :

Si le premier évoque bien plus l’école pythagoricienne que le théorème de Pythagore, le second vous apprendra comment utiliser le théorème, avec Galilée, pour estimer la hauteur des montagnes sur la lune. Chronologiquement, Galilée est à mi-chemin entre Li Ye (1192—1279) et nous : K. Chemla décrit un passage des écrits de Li Ye dans Une figure peut en cacher une autre.

Géométrie, programme et débats

Le théorème de Pythagore occupe une place de choix en géométrie, que ce soit pour la géométrie euclidienne du plan, celle que l’on utilise le plus souvent et qu’on enseigne au lycée. Mais il intervient bien sûr en dimension supérieure, et dans d’autres géométries :

Aussi, lorsque son enseignement est remis en cause, les mathématiciens en débattent avec vigueur :

Bonne lecture

Cette introduction au dossier Pythagore ne concerne que les articles de pistes vertes et bleues qui utilisent ou présentent le théorème de Pythagore.
Il y a aussi des articles plus difficiles d’accès. En piste rouge :

Et encore plus confidentiels, Une correspondance algébrique, et Ornements et cristaux, pavages et groupes (I). Bonne lecture.

Post-scriptum :

Un grand merci à Aurélien Alvarez, Carole Gaboriau, et Andrés Navas pour leurs remarques et suggestions, notamment pour les articles de Pierre Gallais et de C. S. Aravinda (traduction de J. Germoni) que j’avais initialement ratés.

Notes

[1et, comme d’habitude, à toute personne intéressée par les mathématiques.

[2Ecrivant ce texte, j’ai enrichi mon vocabulaire : les deux côtés adjacents à l’angle droit sont (parfois) appelés les cathètes. Ainsi, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des cathètes. (merci à Aurélien Alvarez)

[3Le vocabulaire est à la fois excellent et trompeur. Le carré du nombre $a$ c’est le nombre $a\times a$, que l’on note $a^2$ ; prendre le carré de $a$, c’est donc calculer le résultat de l’opération $a\times a$. Si on dessine un carré (ici je parle de la figure géométrique !) dont les côtés ont longueur $a$, alors l’aire de ce carré vaut $a\times a$. Il y a donc deux notions de « carré », l’une algébrique ($=a\times a$), l’autre géométrique ($=$ la figure), qui sont liées par le calcul de l’aire. En ce sens, le vocabulaire employé est trompeur, puisqu’on emploie le même terme pour deux notions distinctes ; mais il est excellent car il permet justement de perpétuellement garder en tête le lien entre calcul algébrique et géométrie.

[4La cinquième concerne une reformulation du théorème dans des rectangles, et son extension aux parallélogrammes ; les épisodes 7 et 8 nécessitent de connaître la notion de vecteur.

[5Y compris des recherches récentes fondamentales ; mais les notions de figure, découpage et collage n’y sont plus limitées à la géométrie euclidienne du plan

[6Personnellement, je n’aime pas trop cette démonstration que je trouve bien alambiquée, mais elle offre un bel exercice de géométrie, et la nouvelle d’Enrico Castelnuovo est un délice d’auto-dérision et d’amour paternel.

[7Notons $L$ la longueur d’un rail ; par hypothèse $L$ vaut 10 mètres. Notons $p$ le pourcentage de dilatation : $p=1/100=1$%. Après réchauffement, la longueur de chaque rail est donc $L+pL$. Considérons le triangle dont les sommets sont $A=$ le point d’attache du premier rail, $B=$ le point de contact initial des deux rails, et $D=$ le point de contact des rails après dilatation (vous pouvez vous reporter à la figure ci-dessus). C’est un triangle rectangle en $B$ ; nous pouvons donc lui appliquer le théorème de Pythagore. Les longueurs des côtés étant $L$, $h$ et $L+pL$, nous obtenons
\[(L+pL)^2=L^2+h^2.\]
Une fois développé, le terme de gauche vaut $L^2+2pL\times L+ p^2L^2$ ; retranchant $L^2$ des deux côtés nous obtenons donc la relation \[h^2=2pL^2+p^2 L^2.\]
Avant de calculer $h$ précisément, remarquons qu’en négligeant le terme $p^2L^2$ nous parvenons à la minoration $h^2\geq 2pL^2$, ce qui donne
\[ h\geq \sqrt{2p} \times L;\]
ainsi, revenant aux valeurs exactes de $p$ et $L$, nous trouvons $\sqrt{2p}\geq 1.4/\sqrt{100}\geq 0.14$ et $h\geq 1.41$ mètre. La valeur plus précise obtenue en ne négligeant aucun terme est $h=1.4177...$ mètres.
Les rails s’élèvent donc d’environ $1.4$ mètres ! Bien sûr, cet exemple n’est pas réaliste. Prenons un allongement inférieur, de $0.01$% (ce qui est le bon ordre de grandeur pour des barres d’acier). Ainsi, $p=1/10000$. Alors les rails s’élèvent d’environ $1.4$ cm.

[8Je remercie Andrés Navas de m’avoir indiqué la tribune de Pierre Gallais : l’exercice final qu’il propose à la fin de son texte est le même (pour des ficelles) que celui concernant les rails de chemin de fer.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Le théorème de Pythagore : un petit guide» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Wikipedia commons, photographie d’une sculpture du Museo Capitolini (Rome).

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