Le théorème de récurrence de Poincaré

Piste rouge Le 20 avril 2012  - Ecrit par  François Béguin Voir les commentaires (4)

Les plus grands mathématiciens des XVIIIème et XIXème siècles ont essayé de prouver la stabilité
du Système Solaire. En 1888, Henri Poincaré écrit un mémoire qui révolutionne entièrement l’approche de la question. Le théorème de récurrence de Poincaré est l’un des résultats de ce mémoire. Ce théorème procède d’une approche radicalement nouvelle : pour la première fois, on s’intéresse aux propriétés statistiques des trajectoires d’un système.

La danse des planètes

Imaginez que, chaque jour, vous puissiez repérer dans le ciel les cinq planètes visibles à l’œil nu : Mercure, Venus, Mars, Jupiter et Saturne [1]. Imaginez que, chaque jour pendant plusieurs années, vous notiez les positions de ces planètes par rapport aux étoiles. Si vous traciez l’évolution de ces positions, vous découvririez une danse complexe et envoûtante :

La danse des planètes
Evolutions des positions du Soleil et des planètes visibles à l’œil nu dans le ciel terrestre. Le Soleil est en orange, Mercure en jaune, Vénus en bleu, Mars en rouge, Jupiter en rose et Saturne en vert. Animation réalisée par David Colarusso [2].

Les ellipses de Kepler

Pendant plus de deux millénaires, de la Mésopotamie antique à l’Europe du XVIIème siècle, cette danse des planètes a été considérée comme l’un des plus grand mystères de la Nature. Quel mécanisme avaient imaginé les dieux pour animer une telle chorégraphie ?

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Johannes Kepler

Il a fallu attendre le génie de Johannes Kepler, au début du XVIIème siècle, pour que soit proposé une modèle simple qui explique parfaitement la « danse des planètes » dans notre ciel [3]. À la suite de Nicolas Copernic, Kepler adopte un système héliocentrique : la Terre n’est pas fixe ; tout comme les autres planètes, elle tourne autour du Soleil [4]. La nouveauté du système proposé de Kepler est qu’il n’est pas basé sur des mouvement circulaires uniformes : selon Kepler, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil est un foyer. De plus, la planète ne parcourt pas son orbite elliptique à vitesse constante ; elle accélère lorsqu’elle est proche du Soleil, et ralentit lorsqu’elle s’en éloigne [5].

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Les orbites elliptiques des planètes selon Kepler

Que Newton soit !

Les trajectoires elliptiques imaginées par Kepler permettent d’expliquer toutes les observations astronomiques faites jusqu’alors. Mais pourquoi donc les planètes iraient-elles suivre des ellipses ?

La grandiose épitaphe d’Alexander Pope dit l’importance de Newton dans l’histoire des sciences : « Les lois de la Nature étaient cachées dans la nuit. Dieu dit « Que Newton soit ! », et tout fut lumière. »5/a>5/a> t@impLuRdQue> le est ili> h5'corple217;sasmnh1'ralen; e187;< nugs&#

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