Le théorème de récurrence de Poincaré

Piste rouge 20 avril 2012  - Ecrit par  François Béguin Voir les commentaires (4)

Les plus grands mathématiciens des XVIIIème et XIXème siècles ont essayé de prouver la stabilité
du Système Solaire. En 1888, Henri Poincaré écrit un mémoire qui révolutionne entièrement l’approche de la question. Le théorème de récurrence de Poincaré est l’un des résultats de ce mémoire. Ce théorème procède d’une approche radicalement nouvelle : pour la première fois, on s’intéresse aux propriétés statistiques des trajectoires d’un système.

La danse des planètes

Imaginez que, chaque jour, vous puissiez repérer dans le ciel les cinq planètes visibles à l’œil nu : Mercure, Venus, Mars, Jupiter et Saturne [1]. Imaginez que, chaque jour pendant plusieurs années, vous notiez les positions de ces planètes par rapport aux étoiles. Si vous traciez l’évolution de ces positions, vous découvririez une danse complexe et envoûtante :

La danse des planètes
Evolutions des positions du Soleil et des planètes visibles à l’œil nu dans le ciel terrestre. Le Soleil est en orange, Mercure en jaune, Vénus en bleu, Mars en rouge, Jupiter en rose et Saturne en vert. Animation réalisée par David Colarusso [2].

Les ellipses de Kepler

Pendant plus de deux millénaires, de la Mésopotamie antique à l’Europe du XVIIème siècle, cette danse des planètes a été considérée comme l’un des plus grand mystères de la Nature. Quel mécanisme avaient imaginé les dieux pour animer une telle chorégraphie ?

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Johannes Kepler

Il a fallu attendre le génie de Johannes Kepler, au début du XVIIème siècle, pour que soit proposé une modèle simple qui explique parfaitement la « danse des planètes » dans notre ciel [3]. À la suite de Nicolas Copernic, Kepler adopte un système héliocentrique : la Terre n’est pas fixe ; tout comme les autres planètes, elle tourne autour du Soleil [4]. La nouveauté du système proposé de Kepler est qu’il n’est pas basé sur des mouvement circulaires uniformes : selon Kepler, chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil est un foyer. De plus, la planète ne parcourt pas son orbite elliptique à vitesse constante ; elle accélère lorsqu’elle est proche du Soleil, et ralentit lorsqu’elle s’en éloigne [5].

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Les orbites elliptiques des planètes selon Kepler

Que Newton soit !

Les trajectoires elliptiques imaginées par Kepler permettent d’expliquer toutes les observations astronomiques faites jusqu’alors. Mais pourquoi donc les planètes iraient-elles suivre des ellipses ?

La grandiose épitaphe d’Alexander Pope dit l’importance de Newton dans l’histoire des sciences : « Les lois de la Nature étaient cachées dans la nuit. Dieu dit « Que Newton soit ! », et tout fut lumière. ». En 1687, Isaac Newton avait énoncé deux lois très simples qui, à elles seules, résument une bonne partie de la Physique :

  1. Deux corps quelconques s’attirent en raison directe de leur masses, et en raison inverse du carré de leur distance mutuelle.
  2. Le produit de l’accélération d’un corps par sa masse est à tout moment égale à la somme de toutes les forces exercées sur ce corps.
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Isaac Newton
Un timbre allemand célébrant Isaac Newton. La formule en rouge exprime l’égalité entre le produit de l’accélération d’un corps par sa masse et la somme des forces qui s’exercent sur ce corps.
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La preuve de l’ellipticité des trajectoires des planètes
Dessin de Newton illustrant sa preuve du fait que « ...les planètes majeures tournent sur des ellipses ayant leur foyer au centre du Soleil. » dans son manuscrit De Motu Corporum in Gyrum, écrit en 1684.

Newton ne fait pas qu’énoncer ces lois. A partir de celles-ci (et sans faire aucune autre hypothèse), il démontre qu’une planète soumise à l’attraction du Soleil décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. Grâce à Newton, les trajectoires elliptiques imaginées par Kepler deviennent donc des conséquences de lois beaucoup plus générales sur l’attraction mutuelle et l’accélération des corps massifs.

Le germe de l’instabilité

Malgré leur simplicité, les deux lois de Newton portent en leur sein le germe de chaos.

Nous venons de dire qu’à partir de ses deux lois, Newton démontre qu’une planète soumise à l’attraction de Soleil décrit une orbite elliptique autour de celui-ci. Mais il s’agit là d’une planète soumise à la seule attraction du Soleil. Or, les lois de Newton prévoient que tous les corps massifs exercent une force d’attraction. Ainsi, une planète du Système Solaire subit-elle non seulement l’attraction du Soleil, mais aussi l’attraction des autres planètes. Bien sûr, les planètes sont beaucoup plus légères que le Soleil, et exercent donc une force d’attraction beaucoup plus faible. C’est pourquoi les ellipses képlériennes sont, sur une courte durée [6], de très bonnes approximations des trajectoires des planètes. Mais, à tout moment, chaque planète est légèrement déviée de son orbite képlérienne par l’attraction qu’exercent les autres planètes. Au fil du temps, les petites déviations s’accumulent, et rien ne nous dit que cette accumulation de ces petites déviations ne finira pas par changer complètement l’allure du Système Solaire !

Newton lui-même était pronfondément troublé par cette possibilité. A la fin de sa vie, il pensait que le Système Solaire gouverné par les deux lois qu’il avait découvertes était probablement instable, et que sa pérennité n’était due qu’à l’intervention, au bout d’un certain temps, du créateur, qui mettait en quelque sort « les planètes dans le droit chemin ». [7].

Le siècle des Lumières

On se doute que cette explication n’était guère du goût des savants du siècle des Lumières. Les plus grands mathématiciens du XVIIIème et du début du XIXème sècle --- notamment Laplace, Lagrange, Poisson, Le Verrier... ---, se sont penchés sur le problème de la stabilité du Système Solaire. Les uns après les autres, ils ont réussi à calculer des approximations de plus en plus précises des trajectoires des planètes du Système Solaire, telle que les donnaient les deux lois de Newton. Leur but était de montrer que les orbites réelles des planètes n’étaient certes pas tout à fait des ellipses képleriennes, mais qu’elle ne s’écartaient jamais beaucoup de telles ellipses.

Pour importants qu’ils furent, les résultats de Laplace, Lagrange, Poisson et Le Verrier n’en reposaient pas moins des calculs approchés. Par nature, les informations sur les trajectoires des planètes qui découlent de ces résultats ne sont valables que pendant une durée limitée. En simplifiant beaucoup, les résultats de Laplace, Lagrange, Poisson, et Le Verrier montrent que les trajectoires des planètes ressembleront à des orbites képleriennes au moins pendant une centaine de milliers d’années. Mais ils ne disent rien de ce qui arrivera à plus long terme.

A la fin du XIXème siècle, on n’avait toujours aucun élément de preuve de la stabilité à long terme du Système Solaire. Jusqu’à ce que Poincaré s’empare du problème...

Que Poincaré soit !

En 1889, Poincaré consacre un mémoire absolument révolutionnaire à la question de la stabilité du Système Solaire (P). Ce mémoire contient beaucoup de résultats de natures différentes, tous plus novateurs les uns que les autres. Je ne parlerai ici que de l’un d’entre eux, qu’il nomme théorème de stabilité à la Poisson (et qu’on appelle aujourd’hui, dans un contexte plus large, théorème de récurrence de Poincaré).

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Henri Poincaré vers 1889
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Le mémoire de Poincaré

Poincaré travaille (pour le résultat qui nous intéresse) avec un modèle simplifié du Système Solaire, que nous appellerons Système Solaire restreint. Ce système est constitué d’un astre fixe A (le Soleil), d’une grosse planète B (on peut penser à Jupiter) et d’une planète beaucoup plus petite C (on peut penser à la Terre). Pour simplifier le problème, on néglige la masse de la planète C devant celles de la planète B et de l’astre A [8]. Ainsi, la planète B (Jupiter) ne subit-elle que l’attraction du Soleil ; son orbite est donc une ellipse képlerienne. Pour simplifier encore, on suppose que cette orbite est un cercle. L’étude du système se résume alors à l’étude de la trajectoire de la planète A (la Terre), qui subit elle l’attraction de l’astre A et de la planète B. L’étude de ce Système Solaire restreint pose essentiellement les même problèmes que celle du « vrai » Système Solaire.

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Le « Système Solaire restreint »

Considérons donc le Système Solaire restreint décrit ci-dessus. Fixons-nous arbitrairement une date, et appelons configuration initiale du Système Solaire restreint la donnée des positions et des vitesses, à cette dates, des deux planètes du système. Les lois de Newton sont telles que la donnée d’une configuration initiale détermine entièrement l’évolution ultérieure des positions et des vitesses des planètes du système [9]. Voici le théorème que démontre Poincaré.

Théorème de stabilité à la Poisson

Pour presque toute configuration initiale du Système Solaire restreint [10], la planète C repassera une infinité de fois arbitrairement près de sa position initiale.

L’expression « presque toute configuration initiale » a un sens mathématique précis. « Pour presque toute configuration initiale, on a la propriété (P) » signifie que « L’ensemble des configurations initiales pour lesquelles la propriété (P) n’est pas vraie est de volume nul dans l’espace des configurations ». Ainsi, dire que « Pour presque toute configuration initiale, on a la propriété (P) », c’est dire que « Si on choisit au hasard une configuration initiale, la propriété (P) sera vérifiée avec une probabilité égale à 1 ».

Il faut donc lire le théorème de stabilité à la Poisson comme suit : si on choisit au hasard une configuration initiale du Système Solaire restreint, il y a une probabilité égale à 1 pour que ce choix donne lieu à des trajectoires pour lesquelles la planète C repasse une infinité de fois arbitrairement près de sa position initiale.

Une idée de la preuve

Pour expliquer l’argument principal de la preuve du théorème de stabilité à la Poisson, je vais utiliser une analogie hydrodynamique [11]. Considérons un fluide incompressible remplissant une enceinte de volume fini. On imagine ce fluide constitué de particules ponctuelles qui se déplacent dans l’enceinte au cours du temps. Je prétends que : presque toute particule du fluide repassera, au cours du temps, arbitrairement près de sa position initiale. Autrement dit : le volume de l’ensemble des particules de fluide qui ne repasseront pas arbitrairement près de leurs positions initiales est nul.

Pour démontrer ce résultat, nous raisonnons par l’absurde : nous supposons que le résultat est faux. Alors il existe une région $V$ dans l’enceinte, de volume strictement positif et une constante $d$ strictement positive, telle que toute particule de fluide dont la position initiale est située dans la région $V$ ne repasse jamais à une distance inférieure à $d$ de cette position initiale. Puisque le volume de $V$ est strictement positif, on peut trouver une boule $B$ de diamètre $d$ tel que l’intersection de $V$ avec $B$ a un volume strictement positif. Notons $V_0$ cette intersection. Une particule de fluide dont la position initiale est située dans $V_0$ ne repasse pas à une distance $d$ de sa position initiale ; elle ne repasse donc pas dans $V_0$ (on rappelle que $V_0$ est contenu dans une boule de diamètre $d$, ce qui implique que deux points quelconques de $V_0$ sont situés à une distance inférieure à $d$ l’un de l’autre).

Pour tout entier $k$, notons $V_k$ la région de l’enceinte comme suit : $V_k$ est l’ensemble des positions au temps $t=k$ des particules de fluides dont la position initiale est dans $V_0$. Le point crucial est le suivant : puisque nous avons supposé notre fluide incomprésible, le volume de la région $V_k$ est égal au volume de la région $V_0$. Ainsi, les régions $V_{0},V_{1},V_{2},\dots$ ont toutes le même volume. Comme le volume total de l’enceinte est fini, ces régions ne peuvent pas être deux à deux disjointes (on ne peut pas mettre une infinité d’oranges dans une caisse !). Il existe donc deux de ces régions, disons $V_i$ et $V_j$ avec $i

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Ecoulements fluides de plus en plus turbulents (image de Johann Herault, Basile Gallet, François Pétrélis et Stefan Fauve, extraite du site Science Non Linéaire).

Un raisonnement similaire mais un tout petit peu plus compliqué (que je vous laisse comme exercice...) permet de montrer que presque toute particule du fluide repassera, au cours du temps, une infinité de fois arbitrairement près de sa position initiale. On obtient ainsi un analogue au théorème de stabilité à la Poisson pour les fluides incompressibles.

Revenons maintenant au Système Solaire restreint. Une configuration initiale du Système Solaire restreint peut être vue comme un point dans un espace de configurations abstrait. De manière purement formelle, on choisit de penser aux points de cette espace de configurations comme à des particules d’un fluide qui remplirait l’espace des configurations. L’évolution de la configuration (i.e. des positions et des vitesses) des planètes du Système Solaire restreint, gouvernée par les lois de Newton, correspond alors à des mouvement des particules du fluide. Poincaré démontre que ces mouvements se font comme si le fluide était incompressible, au sens où l’on peut définir une notion de volume sur l’espace des configurations, et que ce volume est préservé par l’évolution du système [12]. Il utilise alors un résultat de Hill et Bohlin qui montre que les positions et les vitesses des planètes du Système Solaire restreint restent dans une région bornée (donc de volume fini) de l’espace des configuration. Ainsi, on est dans une situation formellement similaire à celle d’un fluide incompressible dans une enceinte de volume fini. Poincaré peut donc utiliser le même raisonnement que celui que nous avons fait ci-dessus, et en déduire son théorème de stabilité à la Poisson.

Le théorème de récurrence de Poincaré

La preuve du théorème de stabilité à la Poisson que nous avons esquissée ci-dessus n’utilise que deux propriétés du Système Solaire restreint : d’une part, l’évolution de ce système préserve un volume ; d’autre part, les trajectoires de ce système restent, au cours du temps, dans une région bornée de l’espace des configurations. Les arguments de Poincaré démontrent donc un résultat très général, que l’on appelle « théorème de récurrence de Poincaré » :

Théorème de récurrence de Poincaré (énoncé informel et imprécis) [13].

Considérons un système dont l’évolution temporelle est gouvernée par des équations différentielles. Supposons que les trajectoires de ce système restent dans une région bornée de l’espace des configurations. Supposons également que l’évolution du système préserve un volume dans l’espace des configurations. Alors, pour presque toute configuration initiale du système, le système repasse, au cours du temps, une infinité de fois arbitrairement près de cette configuration.

Naissance de la théorie ergodique

Je vais essayer d’expliquer pourquoi le théorème de récurrence est un résultat incroyablement novateur.

Pendant tout le XVIIIème et tout le XIXème siècles, les plus grands mathématiciens se sont acharnés sur les équations qui décrivent l’évolution du Système Solaire. Ils ont déployé une intelligence fabuleuse afin d’estimer de quelle manière les attractions mutuelles des planètes faisaient dévier ces dernières de leurs ellipses képleriennes. Leurs méthodes procédant par approximations, elles ne pouvaient, par nature, fournir que des informations que sur l’avenir relativement proche du Système Solaire.

Poincaré, lui, « prend de la hauteur ». Il se demande si, sans calculer les trajectoires des planètes, sans connaître les positions initiales de ces planètes, sans même s’intéresser de près aux équations différentielles qui traduisent les lois de Newton, on ne pourrait pas tout de même dire quelque chose. N’y a-t-il pas quelque chose de très général à dire sur les trajectoires d’un système déterministe ? Le pari paraît complètement insensé. Et pourtant, en une page, Poincaré nous montre que, dans tout système déterministe qui préserve le volume, si les trajectoires restent dans une région bornée, alors presque toute trajectoire repasse une infinité de fois près de sa position initiale. Ce résultat s’applique en particulier au Système Solaire restreint ; c’est un des premiers résultat sur le comportement de ce système dont la validité n’est pas limitée dans le temps.

Bien sûr, il y a un prix à payer : l’information que nous fournit le théorème de récurrence est extrêmement abstraite. En effet, on ne sait absolument pas quand les trajectoires repasseront près de leur position initiale, ou ce que fait chaque trajectoire entre deux passages. C’est pourquoi le théorème de récurrence de Poincaré ne disqualifie en rien les calculs des Laplace, Lagrange, Le Verrier, Poisson, etc. Mais, en une page, Poincaré a introduit nous a ouvert la porte d’un nouveau monde. Ce monde s’appelle la théorie ergodique. C’est un domaine des mathématiques, dont les bases ont été jetées par Georges Birkhoff dans les années 1930, qui consiste essentiellement à essayer de comprendre le comportement statistique de « presque toutes les trajectoires » de certains systèmes. Aujourd’hui, des centaines de mathématiciens travaillent dans ce domaine !

La théorie ergodique, de la stabilité du Système Solaire au nombres premiers

Pour illustrer l’incroyable fertilité du point de vue introduit par Poincaré, je vais énoncer un résultat, aussi éloigné que possible de la question de la stabilité du Système Solaire, dont la preuve repose essentiellement sur des arguments de théorie ergodique.

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La répartition des nombres premiers parmi les entiers de 1 à 2025
les nombres entiers sont disposés dans l’ordre le long d’une spirale partant du centre du carré ; les cases foncées correspondent aux nombres premiers. Image extraite du site cassetête.org.

Rappelons qu’un nombre premier est un nombre entier qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Les nombres premiers comptent parmi les objets mathématiques les plus simples qui soient ; ils recèlent pourtant encore bien des mystères. Il est facile de calculer les premiers d’entre eux : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... Actuellement, le plus grand nombre premier connu comporte treize millions de chiffres. Et pourtant, la répartition des nombres premiers parmi tous les nombres entiers reste largement incomprise. Par exemple, on ne sait pas répondre à question très simple suivante : existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$ tel que $p+2$ soit également un nombre premier ?

Une vieille question concernant la répartition des nombres premiers a été résolue récemment par Ben Green et Terence Tao. Une progression arithmétique de longueur $\ell$ est une suite de $\ell$ entiers $n_1, n_2, n_3, \dots, n_\ell$ tels que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. Par exemple, $27, 35, 43, 51, 59$ est une progression arithmétique de longueur $5$. En 2004, Green et Tao ont réussi à prouver le résultat suivant (GT) :

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Ben Green
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Terrence Tao

$\quad$

Théorème (Green, Tao)

Il existe des progressions arithmétiques arbitrairement longues dont tous les termes sont des nombres premiers. [14]

La preuve de Green et Tao est principalement constituée d’arguments de théorie ergodique. Evidemment, ces arguments sont infiniment plus sophistiqués que ceux qui permettent de prouver le théorème de récurrence de Poincaré. Il n’empêche que le théorème de récurrence a ouvert la voie vers une nouvelle manière de penser, et que c’est grâce à cette nouvelle manière de penser que Green et Tao ont pu le théorème ci-dessus [15]. C’est l’un des aspects les plus fascinants des mathématiques : le même genre d’idées peut éclairer aussi bien la question de la stabilité du Système Solaire que celle de la répartition des nombres premiers parmi les entiers.

Bibliographie

[P] Poincaré, Henri. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica 13 (1889), 1-270.

[DH] Diacu, Florin ; Holmes, Philip. Celestial encounters : The Origins of Chaos and Stability. Princeton University Press.

[GT] Green, Ben ; Tao, Terence. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 2, 481-547.

Post-scriptum :

L’auteur remercie les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Cyril Marilier, flandrin et Taladris.

Notes

[1Bien sûr, pour cela, il vous faudrait trouver un moyen de vous débarasser des nuages qui obstruent si souvent le ciel, et du Soleil qui nous éblouit de l’aube au crépuscule. Sans oublier la polution lumineuse si vous êtes citadin !

[2Pour comprendre comment est réalisée cette animation, le modèle et les calculs sur lesquels elle s’appuie, voir le
site de David Colarusso.

[3Le modèle proposé par Kepler rend parfaitement compte des observations astronomiques les plus précises disponibles à cette époque, notamment celles qu’avaient faites peu de temps auparavant Tycho Brahé.

[4Notons que Copernic n’est nullement le premier a avoir eu l’audace d’imaginer un modèle héliocentrique ; au IVème siècle avant J.-C., Aristarque de Samos avait déjà proposé un tel système.

[5de telle sorte que l’aire balayée durant une unité de temps par un rayon imaginaire joignant la planète au Soleil est constante.

[6« courte » à l’échelle astronomique ; disons « quelques milliers d’années »...

[7« For while comets move in very eccentric orbs in all manner of positions, blind fate could never make all the planets move one and the same way in orbs concentric, some inconsiderable irregularities excepted which may have arisen from the mutual actions of comets and planets on one another, and which will be apt to increase, till this system wants a reformation. »

[8Formellement, ceci revient à attribuer une masse nulle à C quand on écrit les équations qui traduisent les lois de Newton.

[9Ce qui n’implique en aucun cas que l’on sait calculer cette évolution.

[10En fait, je simplifie excessivement : on ne considère que des configuration initiales raisonnables, i. e. correspondant à un niveau d’énergie « pas trop grand », et pour lesquelles la petite planète n’est « pas trop loin » du Soleil. Si le système modélise l’influence de Jupiter sur l’orbite de la Terre, alors les vraies positions actuelles et vitesses de Jupiter et de la Terre correspondent à une telle configuration « raisonnable ».

[11L’idée de présenter la preuve au travers de cette analogie hydrodynamique m’a été inspirée par la lecture du très bon livre de Florin Diacu et Philip Holmes, traitant du problème de la stabilité du Système Solaire et de son héritage mathématique (DH).

[12En gros, l’existence d’un volume préservé traduit fait que le Système Solaire soumis aux lois de Newton est un système mécanique sans frottement.

[13Les lecteurs qui savent ce qu’est une mesure de probabilité sauront bien trouver sur internet un énoncé plus formel.

[14Pour une présentation beaucoup plus complète de ce résultat, j’invite les lecteurs à lire l’article de Julia Wolf.

[15Pour ne pas trop distordre la vérité historique, il faut signaler que, si Poincaré a semé une graine avec le théorème de récurrence, cette graine n’a pas germé immédiatement (à ma connaissance, le théorème de récurrence est tombé dans un oubli total jusque dans les années 1930). Il faudra attendre les travaux de G. Birkhoff pour que se développe véritablement une « nouvelle manière de penser ».

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Pour citer cet article :

François Béguin — «Le théorème de récurrence de Poincaré» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

La danse des planètes dans notre ciel - David Colarusso. http://www.davidcolarusso.com/astro/
Les mouvements des particules d’un fluide incompressible - Mathew G Wells. http://www.utsc.utoronto.ca/ wells/
Epicyle - http://www.culturediff.org/
Un spectacle inspirée par le système cosmologique de Ptolémée - Jennifer Ryan

Commentaire sur l'article

  • Le théorème de récurrence de Poincaré

    le 20 avril 2012 à 19:07, par Julien Cortier

    Merci pour ce très joli article.
    Ne pourrait-on pas réécrire la conclusion du Théorème de stabilité a la Poisson en affirmant que la planète C repasse une infinité de fois arbitrairement près de la position initiale et avec une vitesse arbitrairement proche de la vitesse initiale ? En d’autres termes la planète repasserait une infinité de fois selon une trajectoire aussi proche que voulu de la trajectoire initiale.

    Répondre à ce message
    • Le théorème de récurrence de Poincaré

      le 23 avril 2012 à 11:53, par Jérôme Buzzi

      Vous avez raison. Comme précisé dans l’article, la récurrence a lieu dans l’espace des configurations dont chaque point correspond à la donnée non seulement de la position mais aussi de la vitesse.

      Répondre à ce message
  • Le théorème de récurrence de Poincaré

    le 21 avril 2012 à 19:36, par Jacques Lafontaine

    Oui, c’est un très bel article. Je recommande à titre de complément un très beau film récent : l’Oeil de l’astronome, qui met en scène Kepler se livrant à ses
    observations.

    Répondre à ce message
  • Le théorème de récurrence de Poincaré

    le 12 mars 2013 à 20:50, par le-nguyen.hoang

    Merci pour ce super article.

    Il y a une faute de typographie dans la phrase « l’étude de la trajectoire de la planète A (la Terre), qui subit elle l’attraction de l’astre A et de la planète B. » Il me semble que la Terre correspond à la planète C.

    Par ailleurs, la fin de la phrase « Il existe donc deux de ces régions, disons Vi et Vj avec $i » n’apparaît pas dans mon navigateur. J’ai d’ailleurs beaucoup de mal à compléter cette phrase. Il ne me semble pas immédiat d’en déduire que V0 sera intersecté par un Vk.

    En particulier, si on imagine que l’on divise l’espace en V1 et V2 de même volume, et que V1 et V2 sont échangés à t=1, et inchangés ensuite, la propriété de récurrence devient fausse, non ? La dynamique du système n’est-elle pas alors essentielle pour déduire le théorème de récurrence et la théorie ergodique ?

    Enfin, j’ai une dernière question. J’ai vu cette superbe vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=1GCf29FPM4k, mais j’ai beaucoup de mal à comprendre pourquoi le théorème de récurrence de Poincaré peut s’appliquer à l’univers entier. Si, par exemple, l’univers est en expansion, les volumes ne sont pas conservés, et le théorème ne devrait pas pouvoir s’appliquer. De la même façon, les planètes du système solaire pourraient diverger à l’infini et le théorème ne pourrait pas s’appliquer... Pourriez-vous, s’il-vous-plaît, m’expliquer ce qu’il en est ? Merci !

    Répondre à ce message

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