Le transport parallèle fête ses 100 ans

Piste rouge Le 11 juin 2018  - Ecrit par  Rossana Tazzioli Voir les commentaires

Tullio Levi-Civita a introduit le transport parallèle en 1917 pour améliorer le formalisme de la théorie de la relativité générale. Dans cet article nous cherchons à expliquer ce nouveau concept et comment il devient un outil essentiel de la géométrie différentielle. Nous montrons aussi l’influence du transport parallèle en Italie et surtout à l’étranger à travers des extraits de correspondances qui se trouvent dans les Archives Levi-Civita de l’Accademia dei Lincei.

Tullio Levi-Civita (1873-1941) publie son travail sur le transport parallèle « Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana » en 1917 dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo (Levi-Civita 1917a). À cette époque ce journal bénéficie d’une réputation internationale et publie des articles de mathématiques de très haut niveau. Le mémoire de Levi-Civita, paru pendant la Première Guerre Mondiale, est reçu avec enthousiasme : de nombreux articles mobilisant le transport parallèle sont rapidement publiés, de nombreux collègues louent l’efficacité de cette nouvelle méthode et des étudiants arrivent à Rome pour travailler avec Levi-Civita sur des questions connexes au transport parallèle.
Les leçons à l’Université de Rome sur le calcul tensoriel, publiées en 1925 par l’éditeur Stock (Levi-Civita 1925) et traduites en anglais et en allemand en 1927 et 1928, donnent une impulsion supplémentaire à la notion de transport parallèle. Levi-Civita y fait un usage important du parallélisme. Il déclare ainsi dans une lettre à Émile Borel :

« [...] j’ai tenu il y a deux ans ici à Rome (et je répète sans grandes modifications cette année) un cours sur le Calc. diff. Absolu [calcul différentiel absolu, connu aujourd’hui sous le nom de calcul tensoriel], en simplifiant pas mal l’apparat formel, [avec] l’usage syst.[ématique] de la notion de parallélisme. Ce cours a été recueilli par un de mes auditeurs (M. Persico) et sa rédaction (que j’ai revue) va être imprimée. On compte de commencer bientôt et de faire apparaître le petit volume (quelques 200 ou 250 pages) avant la fin de l’année scolaire (sic). [1] »

Le cours de Levi-Civita permet ainsi une diffusion très large du transport parallèle ainsi que du calcul tensoriel et de ses applications. Il sera utilisé par des mathématiciens du monde entier à la fois comme outil de recherche et d’enseignement. Ainsi, Paul Dienes, un mathématicien d’origine hongroise, qui enseigne à Swansea, au Royaume-Uni, écrit à Levi-Civita le 8 avril 1925 :

« Je trouve votre livre sur le Calcul Différentiel Absolu tellement supérieur à tous les autres ouvrages de la même espèce que, de mon avis, il deviendra subitement classique. Tout d’abord on y retrouve tous ce qui est nécessaire pour la compréhension du sujet de façon que je m’en servirai comme notre manuel quasi-officiel pour nos Cours [...] Puis, votre livre est tellement simple et lucide que, par sa lecture, les mystères des tenseurs, à ma grande satisfaction, seront définitivement dévoilés pour tout le monde. »

Et sur le transport parallèle Dienes remarque dans la même lettre : « En particulier, votre manière d’introduire le parallélisme me paraît belle et définitive ».

Qui est Tullio Levi-Civita ?

En 1917, quand il publie son article sur le transport parallèle, Levi-Civita est déjà bien connu des scientifiques pour avoir donné des contributions remarquables à plusieurs domaines des mathématiques : le problème des trois corps, l’hydrodynamique, la géométrie différentielle, la relativité et, bien sûr, le calcul tensoriel [2]. Il s’est formé à l’Université de Padoue avec le géomètre Giuseppe Veronese et Gregorio Ricci Curbastro. Ce dernier, qui avait développé le calcul tensoriel entre 1885 et 1895, a dirigé sa tesi di laurea soutenue en 1892. Dans sa thèse, Levi-Civita avait résolu un problème classique de mécanique analytique, déjà abordé par Paul Appell et Paul Painlevé. En fait, il était arrivé à transformer un système d’équations de la dynamique, en cas d’absence de forces extérieures, en un système plus simple ayant les mêmes trajectoires représentées par des géodésiques dans une variété riemannienne à n dimensions [3]. L’utilisation du calcul tensoriel était indispensable pour la solution de ce problème.
Levi-Civita est nommé professeur de Mécanique rationnelle à l’Université de Padoue en 1897 et continue à collaborer avec son maître Ricci Curbastro jusqu’à la publication, en 1901, de leur célèbre article commun dans les Mathematische Annalen, « Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications ». Celui-ci devient très vite le manifeste du calcul tensoriel (Levi-Civita, Ricci Curbastro 1901). Dans leur papier, Ricci Curbastro et Levi-Civita expliquent les éléments fondamentaux de cette méthode, qu’ils appellent « un nouvel algorithme », grâce auquel ils sont capables d’exprimer plusieurs relations de la géométrie mais aussi de l’analyse et de la physique mathématique (comme les équations de l’élasticité ou de l’électromagnétisme) de façon indépendante du système de coordonnées choisi. Leur théorie montre son efficacité spécialement dans des espaces à n dimensions (variétés riemanniennes), ce que Levi-Civita avait déjà mis en évidence dans sa thèse.

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Albert Einstein

C’est pour cette raison que le calcul tensoriel intervient de façon essentielle aussi dans la formulation de la théorie de la relativité générale, élaborée par Albert Einstein. En 1923, se souvenant du moment où il a réalisé que le calcul tensoriel pouvait être le langage approprié pour exprimer la relativité générale, Einstein affirme :

« Cependant, j’ai eu l’idée décisive de l’analogie entre le problème mathématique de la théorie [de la relativité générale] et la théorie gaussienne des surfaces seulement en 1912, après mon retour à Zurich, quand je ne connaissais pas encore les travaux de Riemann, Ricci et Levi-Civita. Ces [travaux] ont été portés à mon attention pour la première fois par mon bon ami Grossmann (Pais 2005, p. 212). »

Même si Marcel Grossmann, professeur de mathématiques à l’Université de Zurich et ami d’Einstein depuis ses études, lui avait signalé ces ouvrages en 1912, Einstein devait mettre trois ans pour apprendre les techniques de géométrie différentielle et de calcul tensoriel qui lui ont permis de surmonter les difficultés mathématiques de son travail.

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Marcel Grossmann

Dans une série d’articles présentés à l’Académie prussienne des sciences en novembre 1915, « la période la plus difficile de ma vie » [4], Einstein publia la version définitive de ses équations du champ gravitationnel, aujourd’hui appelées équations d’Einstein. Levi-Civita avait également participé à son succès : leur correspondance, qui va de mars à mai 1915, témoigne du rôle essentiel de Levi-Civita dans la formulation correcte des équations du champ gravitationnel [5]. Einstein écrivait même à Levi-Civita, en italien, le 2 avril 1915 :

« Je n’ai jamais eu une correspondance intéressante jusqu’à ce point. Vous devriez voir avec quelle joie j’attends vos lettres. »

Qu’est-ce que le transport parallèle ?

Dans la géométrie plane d’Euclide le parallélisme joue un rôle essentiel. Pour Euclide, deux droites sont parallèles si, infiniment prolongées, elles ne se croisent jamais. De plus, il a montré qu’étant données une droite et un point extérieur à celle-ci, il est très simple de tracer une seconde droite passant par le point et parallèle à la droite donnée. Une formulation moderne du 5e postulat d’Euclide stipule que par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu’une unique droite qui lui est parallèle. Changer ce postulat amène à invalider plusieurs théorèmes de la géométrie euclidienne et constitue de ce fait le premier pas pour élaborer de nouvelles géométries, dites non-euclidiennes. Cependant le concept de parallélisme sur un espace à plusieurs dimensions (variété riemannienne) n’a été défini ni par Riemann ni pas ses successeurs.
C’est Levi-Civita qui l’a introduit dans son article de 1917.
Son objectif n’était pas alors d’élaborer une théorie géométrique, mais plutôt de « simplifier » les symboles de Riemann qui expriment la courbure d’une variété en leur donnant aussi une interprétation géométrique. En effet, comme Levi-Civita le déclarait au début de son mémoire,

« La théorie de la gravitation d’Einstein [...] considère la structure géométrique de l’espace ambiant liée, très faiblement mais intimement, aux phénomènes physiques qu’y ont lieu (sic) ; cela diffère des théories classiques [comme la mécanique newtonienne], qui considèrent l’espace physique comme une donnée a priori. Le développement mathématique de la conception grandiose d’Einstein (qui trouve son outil algorithmique naturel dans le calcul différentiel absolu de Ricci) fait de la courbure d’une certaine variété quadridimensionnelle et des symboles relatifs de Riemann un élément essentiel. (Levi-Civita 1917a, p. 1) »

La courbure est un concept permettant de quantifier le caractère courbé d’objets géométriques. Par exemple, une droite dans le plan ou un plan dans l’espace sont de courbure nulle. Un cercle dans le plan a une courbure constante, celle-ci est d’autant plus grande que le rayon est petit [6]. Les « symboles de Riemann » généralisent le concept de courbure à un espace à plusieurs dimensions. Pour ce qui concerne la définition de parallélisme dans ces espaces, nous nous éloignons maintenant du mémoire de 1917 où Levi-Civita introduit pour la première fois le parallélisme pour les variétés riemanniennes et considérons plutôt cette définition dans le cas plus simple des surfaces courbes. L’approche pédagogique consistant à définir d’abord le parallélisme pour les surfaces et de le généraliser ensuite au cas des variétés, est adoptée par Levi-Civita dans ses leçons de 1925 auxquelles nous faisons référence. (Levi-Civita 1925, p. 118-120).
Tout d’abord Levi-Civita remarque que dans le plan euclidien, si on considère deux points $P$ et $P_1$, pour chaque « direction » par $P$ on peut construire une et une seule direction passant par $P_1$ et parallèle à la direction donnée ; pour lui, une « direction » u est définie à travers le « vecteur unitaire » u qui lui correspond. Cette construction, remarque Levi-Civita, peut facilement être généralisée aux surfaces dites développables. Une surface $\Sigma$ est « développable » si, en l’imaginant « flexible et inextensible », elle peut être superposée sur une région du plan « sans déchirure et sans duplicature ». Les exemples les plus simples de surfaces développables sont les cylindres et les cônes privés de leur sommet. (Levi-Civita 1925, p. 117) [7]

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Figure 1
Exemple de surface développable
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Figure 2
La surface sphérique n’est pas développable

Si $\Sigma$ est développable, Levi-Civita introduit une application – dite « parallélisme » – entre les directions par $P$ tangentes à $\Sigma$ et les analogues sortant de $P_1$, un autre point de $\Sigma$, de telle sorte qu’à chaque direction u correspond la direction u$_1$ qui devient parallèle à u dans le sens habituel quand on superpose $\Sigma$ sur le plan ; les directions u et u$_1$ sont alors dites « parallèles dans le sens superficiel ».
Évidemment un tel critère ne sera plus valable si $\Sigma$ n’est pas une surface développable, même si elle est une surface élémentaire comme par exemple la surface sphérique. Dans ce cas-là il faudra regarder le point $P_1$ comme provenant du point $P$ en suivant une certaine courbe $T$, appelée « courbe de transport ». Il s’agit d’une vision cinématique qui permet à Levi-Civita de définir le transport parallèle de $P$ à $P_1$ en utilisant la développable circonscrite à $\Sigma$ le long de la courbe $T$ ; cette surface, qu’il dénote $\Sigma_T$, sera donc tangente à $\Sigma$ le long de $T$ et, en particulier, en $P$ et $P_1$. Levi-Civita appelle « la parallèle par $P_1$ à une direction quelconque (superficielle) u passant par $P$ le long de la courbe $T$, la direction (superficielle) u$_1$ qui, sur la développable $\Sigma_T$, est parallèle à u dans le sens qu’on vient de définir. » (Levi-Civita 1925, p. 119) [8] Par exemple, dans le cas d’une sphère, si $T$ est la ligne équatoriale alors sa surface développable $\Sigma_T$ sera un cylindre ; si $T$ est un parallèle non-équatorial, $\Sigma_T$ sera un cône (Figure 3).

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Figure 3

En général, cette définition de parallélisme dépend de la courbe de transport. Levi-Civita ne manque pas de faire remarquer que la notion géométrique de parallélisme est « proche » de celle physique de travail. En effet, le travail effectué pour transporter, par exemple, un corps matériel de $A$ à $B$ dépend de la courbe choisie pour aller d’un point à un autre.
Considérons quelques exemples. Tout d’abord, sur le plan euclidien tous les vecteurs [9] reviendront exactement sur eux-mêmes après transport parallèle sur une courbe fermée quelconque. Dans la Figure 4, si on transporte parallèlement le vecteur en partant de $P$ le long du circuit donné, il coïncidera avec le vecteur initial après un tour complet, puisque dans le plan on retrouve la notion de parallélisme habituelle. On pourrait faire la même remarque pour toutes les surfaces développables.

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Figure 4

Et sur une surface courbe ? Nous considérons le cas de la surface sphérique (Figure 5) : en partant de $A$ le vecteur de la figure est transporté parallèlement le long des courbes $AN$, $NB$, $BA$ qui sont des lignes géodésiques. Pour transporter parallèlement notre vecteur on utilise la définition de Levi-Civita qui fait usage des surfaces développables le long d’une courbe : dans ce cas-là, conformément à la Figure 3, chaque morceau de géodésique (grand cercle) se déplie sur un cylindre. Cependant, à la fin de son circuit, en revenant en $A$, le vecteur fait un certain angle $\alpha$ avec sa direction initiale qui était tangente à la courbe. Par contre, si le transport parallèle est fait le long d’un méridien de la sphère, par exemple du grand cercle $ANSA$, en revenant en $A$ le vecteur sera encore tangent à la courbe : il coïncidera avec le vecteur initial. Donc, même sur une surface à courbure constante comme la sphère, le transport parallèle ne peut pas être conçu de manière indépendante de la courbe choisie pour transporter le vecteur.

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Figure 5

Une propriété remarquable du parallélisme, qui est une conséquence immédiate de sa définition, concerne la conservation des angles : en effet, Levi-Civita constate que, si a et b sont deux directions par $P$ auxquelles correspondent les directions parallèles a$_1$ et b$_1$ qui passent par $P_1$, alors elles forment le même angle. Cette propriété ne dépend ni de la surface (ou de la variété) ni de la courbe de transport.
Une autre conséquence intéressante de la notion de parallélisme survient lorsque la courbe de transport est une géodésique. Comme dans le plan euclidien où les géodésiques sont des droites, on peut considérer sur une surface une géodésique et une direction qui se déplace de manière que son point d’application appartienne toujours à la géodésique. On dira alors que la direction se déplace « parallèlement » si elle fait toujours le même angle avec la tangente à la géodésique. En particulier, la tangente à une géodésique sera parallèle à elle-même si elle se déplace le long de la géodésique. En conclusion, écrit Levi-Civita, « les géodésiques sont des courbes auto-parallèles ». De plus, « de ces considérations on déduit que l’auto-parallélisme est une propriété caractéristique des géodésiques, et peut être utilisée pour les définir » (Levi-Civita 1925, p. 121). Par exemple, si on considère les deux parcours 1 et 2 sur une surface sphérique (Figure 6), la ligne 1 est une géodésique car sa tangente se déplace de façon parallèle à elle-même, tandis que la ligne 2 n’est pas une géodésique car si on transporte parallèlement le vecteur initialement tangent à la courbe on obtient des vecteurs qui en général ne seront plus tangents à la courbe.

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Figure 6

Dans son cours, Levi-Civita introduit l’appareil formel nécessaire pour faire les calculs dans le cas du parallélisme superficiel, et ensuite il généralise ces notions au cas des variétés. Nous ne rentrons pas dans ces chapitres de la géométrie riemannienne où les mathématiques deviennent difficiles à suivre, et renvoyons aux textes de Levi-Civita pour les lecteurs intéressés [10]. Cependant, nous remarquons que Levi-Civita est capable de résoudre le problème initial énoncé au début de son article de 1917 : celui de donner à la courbure de la variété une signification géométrique. En effet, en considérant sur la variété un circuit « infiniment petit » (qu’il appelle « parallélogrammoïde » car il est formé par quatre lignes de géodésiques parallèles deux à deux) et en faisant déplacer « par parallélisme » un vecteur le long de ce circuit, il trouve une relation qui exprime le lien profond entre le tenseur de courbure et le transport parallèle [11].
Finalement, nous observons la manière dont l’introduction d’un nouveau et influent concept de géométrie différentielle, la déviation géodésique, lui a été encore inspiré par la physique. Dans son article publié en 1927 (Levi-Civita 1927), Levi-Civita analyse deux points infiniment proches appartenant à deux différentes géodésiques dans une variété riemannienne et en étudie la distance. Physiquement, les lignes géodésiques peuvent être interprétées comme les trajectoires de deux particules test en chute libre qui sont infiniment proches l’une de l’autre et se déplacent initialement parallèlement. C’est la courbure de l’espace, qui est la responsable d’une déviation entre les deux particules, que Levi-Civita appelle « déviation (ou écart) géodésique ».
En général, la physique constitue une source d’inspiration constante pour Levi-Civita. De plus, il n’y a pas à ses yeux de véritables frontières entre la physique et la géométrie différentielle : ces deux disciplines étant les faces d’une même pièce unifiées par un langage commun qui est le calcul tensoriel.

Diffusion du transport parallèle par l’enseignement et les manuels

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Élie Cartan

« Il était réservé à Levi-Civita d’apporter un dernier perfectionnement [au calcul tensoriel] par la découverte en 1917 de la notion du transport parallèle. En rendant plus intuitives les notions fondamentales du calcul différentiel absolu [le calcul tensoriel], il faisait entrer une théorie, jusqu’alors purement analytique, dans le domaine de la Géométrie. Il en résulta des répercussions profondes sur le développement de la Géométrie elle-même », écrit le célèbre géomètre français Élie Cartan dans la nécrologie de Levi-Civita (Cartan 1942). En effet, le transport parallèle a été immédiatement accueilli avec enthousiasme par la communauté scientifique, car il a permis de faire avancer en même temps les théories physiques et la géométrie différentielle de façon significative. En particulier, le transport parallèle conduit au concept de connexion de Levi-Civita, c’est-à-dire, en termes modernes, à une connexion à torsion nulle qui préserve la métrique riemannienne. Cette notion est essentielle non seulement dans la formulation mathématique de la théorie de la relativité générale, mais aussi pour le développement de la géométrie différentielle. Plusieurs mathématiciens, comme Enea Bortolotti en Italie, Hermann Weyl en Allemagne et Élie Cartan en France, ont généralisé la connexion de Levi-Civita en introduisant d’autres types de connexions. Ce nouveau champ de recherche montrera toute sa fertilité dans les années 1920 et 1930.
Dans une lettre du 28 août 1922, Paul Dienes affirme à Levi-Civita que le concept de parallélisme lui a été indispensable dans ses recherches géométriques.

« Dans ces dernières années – écrit Dienes – j’ai étudié systématiquement le coté math. de la relativité et, en particulier, la relation entre tenseurs attachés à des points différents. Votre beau mémoire sur le parallélisme m’a aidé beaucoup de formuler d’une façon précise les problèmes math. impliqués dans les théories proposées.
Le calcul, cependant, dans les cas généraux devenait tellement compliqué que j’étais forcé de frayer le chemin par une autre voie. C’est ainsi que je suis arrivé à généraliser la connexion affine de M. Weyl et en déceler les points faibles. Le résultat pour ainsi dire pratique de mes recherches est la découverte d’une série de tenseurs cinématiques nouveaux faisant suite au tenseur de Riemann-Christoffel. »

Comme nous l’avons déjà mentionné, les leçons universitaires de Levi-Civita, simples et pédagogiques (Levi-Civita 1925), ont été un vecteur exceptionnel pour diffuser ses idées sur le calcul tensoriel et en particulier sur le parallélisme. Le transport parallèle établissant le lien entre la géométrie et la physique a dans ces livres une place centrale.
Au début, une traduction française de son cours aurait dû paraître à côté des traductions anglaise et allemande. C’était du moins l’idée de Borel qui écrivait à Levi-Civita le 26 février 1923 :

« Je vous remercie de votre lettre ; votre suggestion concernant la possibilité de publier la traduction de votre cours me parait très intéressante et j’ai demandé à M. [Rapercher] Directeur de la maison Gauthier-Villars, d’écrire à ce sujet à votre éditeur ; j’espère qu’une entente sera possible entre eux. »

Cependant, en lisant les lettres suivantes on s’aperçoit qu’une telle « entente » n’a pas été trouvée. « Malheureusement, il [M. Traupecher] considère que les conditions posées par M. Stock sont trop dures », écrit Borel à son collègue italien. Même la tentative – encore évoquée par Borel – de publier à nouveau les mémoires « classiques » de Levi-Civita sur le calcul tensoriel, parmi lesquels l’article sur le transport parallèle, devait aboutir à un échec [12].
Cependant, si l’on excepte la France, le cours sur le calcul tensoriel a été largement utilisé dans les divers pays. Edmund Taylor Whittaker (1873-1956), astronome et mathématicien, professeur à l’Université d’Édimbourg depuis 1911, écrivait à Levi-Civita le 12 février 1925 :

"I am lecturing now to my graduate students on your beautiful theory of parallelism, so it is of special interest to me to see how you treat the subject in your own lectures."

Et deux années plus tard, le 2 mars 1927 :

"You will be interested to hear that I have been using the English edition of your Absolute Differential Calculus with my Advanced class of students this last term, to their great profit."

En 1918, Levi-Civita est professeur à l’Université de Rome où il a alors l’occasion de participer à la fondation d’une véritable école mathématique internationale. Vito Volterra, Federico Enriques, Guido Castelnuovo et Francesco Severi seront quelques-uns des mathématiciens qui animeront cette école. Pendant les années 1920, Levi-Civita est le référent italien de l’Educational Board de la Fondation Rockefeller, un organisme international destiné à soutenir les jeunes scientifiques pendant l’Entre-Deux-Guerres [13]. Grâce à cette position institutionnelle, Levi-Civita et ses collègues accueilleront à l’Université de Rome plusieurs boursiers travaillant sur des disciplines mathématiques diverses, comme la géométrie algébrique, l’analyse fonctionnelle, le calcul tensoriel, l’hydrodynamique et la géométrie différentielle.
Pendant les années 1920 et 1930, de très nombreux travaux inspirés des idées de Levi-Civita paraissent dans des journaux. Rédigés par des étudiants ou des collaborateurs de Levi-Civita, ils seront souvent communiqués par lui-même à l’Accademia dei Lincei et publiés dans les Rendiconti de cette Académie.
L’influence des recherches de Levi-Civita en général et en particulier de celles liées au transport parallèle se manifeste de manière variée : des étudiants de maîtrise, des boursiers post-doctorants, mais aussi des collègues mathématiciens se mettent à utiliser ses résultats ; de plus, c’est aussi à travers sa correspondance privée que les idées de Levi-Civita se diffusent et sortent d’Italie pour arriver en France, en Allemagne, mais également au Portugal, en Pologne, en Tchécoslovaquie, etc.
Václav Hlavaty, Aurel Wintner, Erich Kähler, Harold Stanley Rose étudieront un temps chez Levi-Civita avec une bourse Rockefeller et travailleront sur des problèmes de géométrie différentielle. Dirk Struik quant à lui résoudra un intéressant problème d’hydrodynamique. Levi-Civita accueillera aussi des collègues étrangers, comme l’américain Joseph Lipka, ou de jeunes chercheurs déjà en poste, comme l’irlandais Albert Joseph McConnell. Beaucoup passeront un temps à Rome pour se former aux nouvelles méthodes du calcul tensoriel.
Des représentants de l’école roumaine, comme George Vrânceanu et Octav Onicescu, mais aussi le mathématicien et linguiste britannique Evan Tom Davies, obtiendront leur « maîtrise » en mathématique à Rome sous la direction de Levi-Civita [14].
Dans le même ordre d’idée, Davies, qui est étudiant à l’Université d’Aberystwyth, rejoint l’Université de Swansea en 1924, afin de travailler avec Paul Dienes, spécialiste de géométrie différentielle. À la suggestion de ce dernier, il se rend à Rome où il obtient en 1927 sa maîtrise de mathématiques sur un sujet lié au parallélisme, sous la direction de Levi-Civita. Revenu en Angleterre, il commence sa carrière universitaire en tant qu’assistant de Dienes. Une dizaine d’années après, le 25 juin 1938, il écrira à Levi-Civita une lettre exprimant sa gratitude et partageant ses souvenirs de la période romaine :

"I am afraid it will cost you an effort of memory to recall me. I was a student of your in Rome in the year 1926-27, and in July ’27 I was approved for the Laurea in Mathematics of Rome “con la votazione di cento due su cento dieci” for a little thesis entitled “Generalizzazioni della nozione di parallelismo”. My year in Rome was a very happy one in many respects, but unfortunately Rome was not good for my health, and for a year after leaving Rome I was in a sanatorium for Tuberculosis, spending most of the time in bed."

Le climat de Rome, en effet, n’était pas du tout sain à cette époque.

Un autre intéressant témoignage est celui du mathématicien roumain Alexander Myller qui, dans une lettre à Levi-Civita du 19 mars 1924, évoque l’énorme influence du transport parallèle sur les développements des mathématiques contemporaines.

« Très cher collègue – écrit Myller – bien des années sont passées depuis que Hilbert avait commencé ses recherches sur les équations intégrales. J’étais alors son élève à l’Université de Göttingen [15]. Une fois, ayant trouvé quelques résultats nouveaux, je les lui ai présentés en demandant son avis sur la possibilité de continuer. Il m’a répondu alors avec son enthousiasme enfantin qui le faisait si sympathique à nos yeux : Zweifellos, mit den Integralgleichungen kann man alles machen ! [Sans aucun doute, vous pouvez tout faire avec les équations intégrales !]
Maintenant après vingt ans, en m’occupant de vos recherches dans le calcul différentiel absolu, il m’arrive souvent d’exclamer comme Hilbert : Mit den Parallelismus von Levi-Civita kann man alles machen. [Vous pouvez tout faire avec le parallélisme de Levi-Civita.]
Sous l’empire de cette idée je me suis proposé de faire l’année prochaine un cours élémentaire de Géométrie différentielle et de développer toutes les questions classiques en partant de votre notion de parallélisme. Je crois qu’on pourrait aussi traiter, aussi bien les problèmes intrinsèques (ligne géodésiques, réseau de Tchebychef etc.) que les extrinsèques (ligne de courbure, lignes asymptotiques etc.). »

Finalement, nous présentons un dernier témoignage, celui du Hollandais Jan Arnoldus Schouten, maître de Dirk Struik. À ce stade, il est nécessaire d’introduire brièvement le contexte. En Italie, en 1938, des lois raciales, qui excluent les Juifs de l’enseignement et de toute fonction publique, émanent du Fascisme. Levi Civita, en tant que Juif, doit donc prendre sa retraite et abandonner toutes les postes institutionnels. La même année, l’éditeur Springer est contraint d’appliquer les lois antisémites du nazisme et à effacer tous les juifs du comité éditorial du journal allemand Zentralblatt für Mathematik, dont Levi-Civita [16]. Le directeur du journal Otto Neugebauer démissionne pour protester et demande aux autres membres de le suivre. En 1939 Francesco Severi, collègue de Levi-Civita à Rome et particulièrement proche de Mussolini, est chargé par l’Accademia d’Italia d’organiser le Congrès Volta pour les mathématiques [17]. En réalité, ce congrès n’aura jamais lieu en raison de la Seconde Guerre mondiale ; néanmoins, il est intéressant de voir comment Severi, avec beaucoup de zèle, évite d’inviter des mathématiciens juifs, à la fois en Italie et à l’étranger [18].
Lorsque Schouten reçoit l’invitation de l’Accademia d’Italia, il répond directement à l’organisateur du congrès, Severi, le 28 février 1939 :

« Je viens de recevoir la prestigieuse invitation de l’Accademia Reale d’Italia. Si d’une part cette invitation m’a fait très plaisir, d’autre part cela me pose quelques difficultés. Nos journaux rapportent qu’en Italie les savants juifs sont exclus et expulsés des académies et des sociétés scientifiques et donc le problème se pose de ce qui va se passer au Congrès Volta.
Les juifs seront-ils également invités et les mathématiciens juifs italiens y participeront-ils ? Je pense en particulier à M. Levi-Civita qui, en tant qu’inventeur du transport parallèle, fait partie des cofondateurs de la géométrie différentielle moderne. Participer à un congrès sur la géométrie différentielle qui exclut Levi-Civita pour des raisons racistes serait absolument impossible pour moi [19]. »

En fait, Levi-Civita, comme tous les autres Juifs italiens et étrangers, ne sera pas invité. La même année, le 4 mai 1939, il écrit à son ancien élève Vrânceanu à propos de sa condition après les lois raciales en Italie [20] :

« Je suis retraité et je reste immobile : pas en été, cependant, si les conditions générales me permettent une certaine mobilité. Comme vous le savez, les Juifs ont été exclus de toute participation à la vie culturelle italienne ; en particulier donc je ne participerai pas au Congrès Volta et ne serai pas à Rome en septembre. »

Bibliographie

Capristo Annalisa (2006), « L’alta cultura e l’antisemitismo fascista ». In convegno Volta del 939 (con un’appendice su quello del 1938), Quaderni di Storia, vol. 32, p. 165-226.

Cartan Élie (1942), « Notice sur M. Tullio Levi-Civita », Comptes Rendus hebdomadaires de l’Académie des Sciences de Paris, vol. 215, p. 233-235.

Cattani Carlo, De Maria Mimmo (1989), « The 1915 Epistolary Controversy between Einstein and Tullio Levi-Civita », in D. Howard et J. Stachel (eds), Einstein and the History of General Relativity, Birkhäuser, p. 185-200.

Dell’Aglio Luca (1996), « On the genesis of the concept of covariant differentiation », Revue d’histoire des mathématiques, vol. 2, p. 215-264.

Do Carmo Manfredo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall : Englewood Cliffs, New Jersey.

Levi-Civita Tullio (1917a), « Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 42, p. 173-205.

Levi-Civita Tullio (1917b), « Statica einsteniana », Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, s. V, vol. 26, p. 458-470.

Levi-Civita Tullio (1925), Lezioni sul calcolo differenziale assoluto, Roma, Stock ; traduction anglaise Glasgow, Blackie, 1927, traduction allemande Berlin, Springer, 1928.

Levi-Civita Tullio (1927), « Sur l’écart géodésique », Mathematische Annalen, vol. 97, p. 291-320.

Levi-Civita Tullio, Ricci Curbastro Gregorio (1901), « Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications », Mathematische Annalen, vol. 54, p. 125-201.

Nastasi Pietro, Tazzioli Rossana (2005), « Toward a Scientific and Personal Biography of Tullio Levi-Civita (1873-1941) », Historia Mathematica, vol. 32, p. 203-236.

Nastasi Pietro, Tazzioli Rossana (2006), Tullio Levi-Civita, Lettera Matematica Pristem N. 57-58, Milano, Springer.

Pais Abraham (2005), « Subtle is the Lord... ». The Science and Life of Albert Einstein, 2nde édition, Oxford University Press.

Reich Karin (1992), « Levi-Civitasche Parallelvershiebung, affiner Zusammenhang Übertragungsprinzip : 1916/17-1922/23 », Archive for History of Exact Sciences, vol. 44, p. 77-105.

Ricci Curbastro Gregorio (1887), « Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale », Rendiconti dell’Accademia dei Lincei, s. IV, 3, p. 15–18.

Siegmund-Schultze Reinhard (2001), Rockefeller and the Internationalization of mathematics Between the Two World Wars, Birkhäuser.

Tazzioli Rossana (2001), Gheorghe Vrânceanu’s life and work in the correspondence Vrânceanu-Levi Civita, Analele Universităţii Bucureşti, p. 219-226.

Post-scriptum :

Je remercie vivement Baptiste Mélès et Clément Caubel pour leur attentive relecture ainsi que mon collègue Patrick Popescu-Pampu pour les échanges fructueux autour de ce sujet et ses précieux conseils.

Article édité par Sébastien Gauthier

Notes

[1La lettre est une minute et ne porte pas de date, mais elle a été rédigée en 1923. Le volume a donc pris un peu plus de temps que prévu à paraître. Cette lettre et celles qui suivent sont contenues dans les Archives Levi-Civita conservées à la Bibliothèque de l’Accademia dei Lincei à Rome. Celles-ci contiennent près de 5 000 lettres. Dans l’article, les lettres de et à Levi-Civita sont transcrites dans leur français originel.

[2Pour une biographie de Levi-Civita voir (Nastasi, Tazzioli 2005) et (Nastasi, Tazzioli 2006). Sur le transport parallèle voir aussi (Reich 1992).

[3Une variété riemannienne est un espace à n dimensions où les opérations du calcul différentiel et intégral sont possibles (variété différentielle) et qui a une structure supplémentaire (appelée une métrique riemannienne), permettant de mesurer de manière euclidienne les longueurs des vecteurs vitesses en chaque point. Cela permet d’en déduire les longueurs des courbes modélisant les déplacements de corps ponctuels, en intégrant par rapport au temps les longueurs de leurs vecteurs vitesses. Les géodésiques d’une variété riemannienne sont les courbes telles que, chaque fois que l’on prend deux de leurs points suffisamment rapprochés, la portion de la courbe qui les relie est de longueur minimale parmi toutes les courbes joignant les deux points à l’intérieur de la variété.

[4Le 28 novembre 1915, Einstein écrivait à son collègue allemand Arnold Sommerfeld : « Ce dernier mois a été l’un des moments les plus excitants et les plus difficiles de ma vie, mais aussi l’un des plus chanceux » (Pais 2005, p. 250).

[5Pour plus de détails sur la relation scientifique entre Levi-Civita et Einstein et sur la manière dont ce dernier devait arriver à la formulation correcte des équations du champ gravitationnel, voir l’article (Cattani, De Maria 1989).

[6Sur la courbure et en particulier sur la définition de courbure pour les surfaces courbes voir les articles
http://images.math.cnrs.fr/espaces-courbes.html?lang=fr
http://images.math.cnrs.fr/Visualiser-la-courbure
http://images.math.cnrs.fr/Un-theoreme-et-une-part-de-pizza
La variété est dite « plane » si les symboles de Riemann, qui correspondent au moderne « tenseur de courbure », sont égaux à zéro ; dans ce cas, la variété est appelée euclidienne. En général, le tenseur de courbure s’exprime à travers une formule analytique assez compliquée.

[7En termes modernes, les surfaces développables sont les surfaces régulières qui sont isométriques au plan.

[8L’existence de la développable circonscrite à $\Sigma$ le long de $T$ et son unicité sont garanties si la surface et le chemin sont réguliers. Levi-Civita ne le démontre pas ; cette construction lui sert pour donner une explication intuitive du transport parallèle. Dans les pages qui suivent il utilise le calcul tensoriel dans une variété de dimension $n$ pour définir le transport parallèle de façon générale et rigoureuse.

[9Aujourd’hui on préfère travailler avec les vecteurs plutôt qu’utiliser les directions, même sur les surfaces.

[10Voir (Levi-Civita 1917a) et (Levi-Civita 1925). Nous renvoyons aussi aux traductions anglaise et allemande de son cours, qui contiennent une nouvelle partie consacrée aux applications à la physique ; voir en particulier le Chapitre 12 qui s’intitule « Les équations gravitationnelles et la relativité générale ».

[11Le transport parallèle permet aussi d’interpréter géométriquement la « dérivée covariante » qui a été introduite par Ricci Curbastro en 1887 (Ricci Curbastro 1887) d’une façon purement algébrique. Sur ce sujet voir l’article (Dell’Aglio 1996).

[12« Ce livre comprendrait tout d’abord votre Mémoire des Mathematische Annalen (Levi-Civita, Ricci Curbastro 1901) ; il comprendrait aussi les traductions de vos Notes sur le parallélisme et sur la Statique einsteinienne (Levi-Civita 1917b). » Lettre de Borel à Levi-Civita du 28 mars 1923.

[13Sur la fondation Rockefeller voir (Siegmund-Schultze 2001).

[14Alexander Myller, professeur à l’Université de Iasi où il a développé les études géométriques, envoie ainsi à son collègue italien une lettre de recommandation pour son étudiant Vrânceanu, qui « pourra mettre en évidence ses bonnes aptitudes mathématiques et pourra profiter de la précieuse faveur de vous avoir comme maître dans ses études. » Lettre de Myller à Levi-Civita du 8 septembre 1923.

[15Myller avait obtenu son doctorat à Göttingen en 1906.

[16Sur ce sujet voir l’article de Christine Proust, Otto Neugebauer (1899-1990). Un mathématicien, historien philologue, bâtisseur et militant anti-nazi, 2011
http://images.math.cnrs.fr/Otto-Neugebauer-1899-1990?lang=fr

[17L’Accademia d’Italia était une institution fasciste fondée en 1926 qui a absorbé l’Accademia dei Lincei en 1939. Francesco Severi était le seul mathématicien à en être membre.

[18Sur le Congrès Volta de 1939 voir l’article (Capristo 2006).

[19C’est moi qui a marqué le passage en italiques. Sur le refus de Jan Schouten à participer au Congrès Volta de 1939, voir l’article
http://images.math.cnrs.fr/Rome-ou-pas-1939.html?lang=fr
La lettre intégrale de Schouten à Severi est publiée in (Capristo 2006, p. 221). L’original est :

So eben erhielt ich die Einladung der Reale Accademia d’Italia. Zu dieser Einladung habe ich mich einerseits sehr gefreut, anderseits entsteht eine gewisse Schwierigkeit. Unsere Zeitungen berichten, dass Jüdische Gelehrte in Italien ausgegrenzt werden und aus den Akademien und wissenschaftlichen Gesellschaften gestossen werden und es entsteht auch da nun von selbst die Frage wie das mit den „Volta“ Tagungen sein wird. Werden auch Juden eingeladen und werden Italienische Jüdische Mathematiker teilnehmen. Ich denke hierbei ganz besonderes an Herrn Levi Civita, der als erster Entdecker der Parallelverschiebung einer der Mitbegründer der modernen Differentialgeometrie ist. Einer Tagung beizuwohnen über Differentialgeometrie, von der man Levi Civita aus Gründen des Rassenwahns fernhalten würde wäre für mich absolut unmöglich.

[20Sur la relation entre Vrânceanu et Levi-Civita voir l’article (Tazzioli 2001). La citation est à la page 226. L’original est :

Io faccio il pensionato, e sto fermo : non però nell’estate sempreché le condizioni generali permettano una qualche mobilità. Come forse lei sa, gli ebrei sono stati estromessi da qualsiasi partecipazione alla vita culturale italiana ; in particolare quindi, non parteciperò al convegno Volta né sarò a Roma in settembre.

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Pour citer cet article :

Rossana Tazzioli — «Le transport parallèle fête ses 100 ans » — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Crédits image :

Figure 4 - http://www.arrigoamadori.com/lezioni/CalcoloTensoriale/SpostamentoParallelo.htm
Figure 3 - Do Carmo, Manfredo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall : Englewood Cliffs, New Jersey.
Figure 5 - Wikipedia
Figure 6 - https://phys.libretexts.org/TextMaps/Relativity_TextMaps/Map%3A_General_Relativity_(Crowell)/5%3A_Curvature/5.07%3A_The_Geodesic_Equation
Figure 1 - Wikipedia
Figure 2 - http://docs.mcneel.com/rhino/5/help/en-us/commands/unrollsrf.htm

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